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专题22 网格中求正弦
【法一讲解】转移角后求正弦
如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上， 与 相
交于点P，则 的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
解：取格点 ，连接 、 ，设网格中每个小正方形的边长为1，
则 ， ， ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，在 中， ，
由题意知， ，∴ ，∴ ，
∴ ，故选：
【法二讲解】等面积法求正弦
如图，在网格中，小正方形的边长为1，点 都在格点上，则 的值为（ ）A． B． C． D．
解：过点B作 于点D，连接BC，如下图，
∵小正方形的边长为1，∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ．故选：C．
【法三讲解】构造直角三角形求正弦
如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
解：如图，连接格点CD，设1个网格的边长为x，则 ，
∴ ∴∠BDC＝∠ADC＝90°，∴sin∠A=又 ∴sin∠A= ＝
故选：C
【综合演练】
1．如图，由6个形状、大小完全相同的小矩形组成矩形网络，小矩形的顶点称为这个矩形网格的
格点，已知小矩形较短边长为1，点 ， ， ， 都在格点上，则 的值（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】先证明∠ABD=90°，再求出BD= ,AD= ,根据三角函数的定
义即可得到答案.
【详解】解：如图，∵小矩形较短边长为1，有图可知，小矩形较长边长为2，
∴AE=BE=2,BF=DF=1,
∴∠ABE=45°,∠DBF=45°
∴∠ABD=90°,
∵AB= ,BD= ,AD= ,
∴ = = = ,
故选A.
【点睛】此题主要考查了勾股定理和三角函数的定义，正确应用勾股定理是解题关键．
2．如图， 的顶点都在方格纸的格点上，则sinC为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据网格结构连接格点AD、BD，利用勾股定理列式求出AC2、AD2、CD2，再利用勾股定
理逆定理判断出△ACD是直角三角形，然后根据锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解．
【详解】解：如图，连接格点AD、BD，
由勾股定理得，AC2=22+42=20，
AD2=12+12=2，
CD2=32+32=18，
∵AD2+CD2=AC2，
∴△ACD是直角三角形，∴sinC= = ．
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握网格结构，作辅助线构造成直角
三角形是解题的关键．
3．如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1， 的顶点都在这些小正方形
的顶点上，那么 的值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过点A作 于点D，在 中，利用勾股定理求得线段AC的长，再按照正
弦函数的定义计算即可．
【详解】解：如图，过点A作 于点D，则 ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键．
4．如图，在边长为1的小正方形构成的网格中，格点A、B、C、D都在同一个圆上，则
的值为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据圆周角的推论得出 ，再利用勾股定理计算AC即可得
出结果
【详解】
连接AD、DC、AC
由题意可知：∠ADC=90°
∵∠AED=∠DCA
∴在Rt△ADC中，
∵
故选：C
【点睛】本题考查正弦值的计算、勾股定理、同弧所对的圆周角相等、熟练掌握圆周角的推论是
关键
5．如图，小正方形的边长均为1， 、 、 分别是小正方形的三个顶点，则 的值为
（ ）A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】连接 ，先根据勾股定理求得AB、BC、AC的长，然后再利用勾股定理逆定理证得
是直角三角形，最后根据正弦的定义解答即可
【详解】解：如图：连接 ，
每个小正方形的边长均为1，
， ， ，
，
是直角三角形，
．
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、勾股定理逆定理以及正弦的定义，根据题意证得 是直
角三角形是解答本题的关键．
6．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则sin∠BAC的值为_____．
【答案】 ．
【分析】利用网格构造直角三角形，再根据勾股定理、逆定理求出三角形的边长，最后根据三角
函数的意义求解即可．【详解】解：如图，连接格点BD，
∵BD2＝12+12＝2，CD2＝12+12＝2，BC2＝22＝4，
∴BD2+CD2＝BC2，
∴∠BDC＝90°＝∠ADB，
由勾股定理得，
AB＝ ＝ ，BD＝ ＝ ，
∴sin∠BAC＝ ＝ ＝ ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查的是求网格问题中锐角的三角函数值，掌握利用网格构造直角三角形、勾股定
理、勾股定理的逆定理和正弦的定义是解决此题的关键．
7．如图，在 的正方形网格中，以格点为顶点的 的面积等于 ，则 的值是
________．
【答案】
【分析】过点C作CD⊥AB于点D，根据勾股定理即可求出AB和AC，然后根据三角形的面积求出
CD，再根据正弦值的定义即可得出结论．
【详解】解：过点C作CD⊥AB于点D根据勾股定理可得AB= ，AC=
∵ 的面积等于
∴
解得：CD=
在Rt△ACD中， =
故答案为： ．
【点睛】此题考查的是勾股定理和求一个角的锐角三角函数，掌握勾股定理和构造直角三角形求
一个角的正弦值是解决此题的关键．
8．如图，在正方形网格中， 的三个顶点都在格点上，则 __________．
【答案】
【分析】根据所给图形可得出 ，再求正弦值即可．
【详解】解：根据网格所示，可得出 ，
∴ ．
故答案为： ．【点睛】本题考查的知识点是用格点解直角三角形，根据格点找出 是解此题
的关键．
9．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，
AB，CD都交于O，则sin∠AOD＝_____．
【答案】 ．
【分析】直接利用网格结合锐角三角函数关系得出sin∠AOD＝sin∠ABE，即可得出答案．
【详解】解：如图，
由网格可得： AE＝ ，AB＝ ，BE= ，
∵ ，
∴ ，
∴∠AEB=90°，
又DC∥BE，且∠AOD＝∠ABE，
故sin∠AOD＝sin∠ABE＝ ；
故答案为： .
【点睛】本题主要考查了勾股定理，解直角三角形，掌握勾股定理，解直角三角形是解题的关键.
10．如图，在正方形网格图中，每个小正方形的边长均为 ，则 的正弦值是_______．
【答案】【分析】根据同弧所对的圆周角相等，可以得到∠1=∠A，在直角 ABC中，利用三角函数的定义
即可求解． △
【详解】解：如图：
由勾股定理，得： ，
∵∠1=∠A，
∴ ；
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，正确根据圆周角定理，把所求角的三角函数转化为∠A
的三角函数是解题的关键．
11．在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形， ， ， ， 都在格点处，
与 相交于 ，则 的值等于_________．
【答案】
【分析】根据平移的性质和锐角三角函数以及勾股定理，通过转化的数学思想可以求得sin∠BOD
的值，本题得以解决．
【详解】解：连接AE、EF，如图所示，则AE∥CD， ∴∠FAE=∠BOD，
设每个小正方形的边长为a，
则AE= ，AF= ，EF= ，
∵ ，
∴△FAE是直角三角形，∠FEA=90°，
∴sin∠FAE=
即sin∠BOD= ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用勾股定
理和等积法解答．
12．如图，在4×5的网格图中，每个小正方形边长均为1，点A、O、B均在格点上，则
(1) AOB的面积是_____________； (2) ______________
△
【答案】 4
【分析】（1）利用正方形的面积减去各顶点上三角形的面积即可得到结果；
（2）作OB边上的高AC，算出AC，再利用正弦的定义求解．
【详解】解：（1）S =
AOB
△=
=4；
（2）作OB边上的高AC，
∵AO= ，BO= ，AB= ，
∴AC= S ×2÷OB=4×2÷ = ，
AOB
△
∴sin∠AOB= = ，
故答案为：4； ．
【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题，正弦的定义，解题的关键是掌握网格的特点．
13．如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1， 的顶点都在这些小正方形
的顶点上，则 的值为_______．
【答案】
【分析】结合图形，根据锐角三角函数的定义即可求解．
【详解】在网格上取个点D，得
∵CD=4，AD=3
∴∴
故答案为：
【点睛】本题考查解直角三角形，涉及勾股定理逆定理，勾股定理，锐角三角函数，属于学生灵
活运用所学知识．
14．如图，正方形网格中，每个正方形边长都相等，A、O、B在如图的格点上，则
_____．
【答案】
【分析】根据三角形的面积计算公式求出 边OA上的高BC即可得出答案．
【详解】解：如图，过点B作 ，垂足为C，
，
，
即 ，
，
在 中， ，
在 中，，
故答案为： ．
【点睛】本题考查网格与勾股定理，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
15．如图，在正方形网格中， 的顶点都在格点上，则 的值为______．
【答案】
【分析】找到∠ABC所在的直角三角形，利用勾股定理求得斜边长，进而求得 , 的邻
边与斜边之比即可．
【详解】解：如图所示，作AD⊥BC，垂足为D，AD=3，BD=4，
∵∠ADB=
∴利用勾股定理可得 ，
∴cosB= ＝ ，
∴ = + = ．
故答案为 ．【点睛】此题主要考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，根据题意得出cos∠ABC, 是解
决问题的关键．
三、解答题
16．如图所示的方格纸是由9个大小完全一样的小正方形组成的．点A、B、C、D均在方格纸的格
点(即图中小正方形的顶点)上，线段AB与线段CD相交于点E．设图中每个小正方形的边长均为
1．
（1）求证：AB⊥CD；
（2）求sin∠BCD的值．
【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【分析】（1）证明 ，可得 ，根据同角的余角相等可得结论；
（2）根据勾股定理先计算 和 的长，根据面积法可得 的长，最后由三角函数定义可得结
论．
【详解】（1）证明：如图，
， ， ，
，
，
又 ，
，
，；
（2）解：在 中， ， ，
，
同理， ，
，
，
，
解得 ，
．
【点睛】本题考查网格型问题，还考查了三角形全等的性质和判定，勾股定理和三角函数，解题
的关键是根据面积法和数形结合的思想解决问题．
17．图①、图②均是边上为1的小正方形组成的 的网格，每个小正方形的顶点称为格点．线
段 的端点均在格点上．
（1）在图①中作正方形 ；
（2）在图②中作 ，使点 在格点上，且 ．
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析
【分析】（1）确定AB= ，再根据正方形的四边相等，四个角是直角即可作图；
（2）根据锐角三角函数的定义即可作图．
【详解】解：（1）如图所示，正方形ABCD为所求；（2）如图所示， 为所求，且 ．
【点睛】本题考查了网格图中的创新作图问题，设计了正方形的性质以及锐角三角函数的定义，
解题的关键是熟悉正方形的性质及锐角三角函数的定义．
18．如图，由12个形状、大小完全相同的小矩形组成一个大的矩形网格，小矩形的顶点称为这个
矩形网格的格点，已知这个大矩形网格的宽为6，△ABC的顶点都在格点．
（1）求每个小矩形的长与宽；
（2）在矩形网格中找一格点E，使△ABE为直角三角形，求出所有满足条件的线段AE的长度．
（3）求sin∠BAC的值．
【答案】（1）每个小矩形的长为3，宽为1.5；（2）3或3 或 ；（3） ．
【详解】分析：（1）设每个小矩形的长为x，宽为y，根据图形可知小矩形的长与宽间的数量关系
有两个：2个矩形的宽=矩形的长；两个矩形的宽+1个矩形的长=6，据此列出方程组，并解答即可；
（2）利用图形和勾股定理逆定理进行解答；
（3）过B作BP⊥AC于P，则BM=MN=y，AM=2y， AB=AN= ．由S ABN= BN×AM=
△AN×BP，得到BP的长．在Rt△ABP中， 利用正弦的定义求解即可．
详解：（1）设每个小矩形的长为x，宽为y，依题意得： ，解得： ，所以每个
小矩形的长为3，宽为1.5；
（2）如图所示：
AE=3或3 或 ；
（3）如图，过B作BP⊥AC于P，则BM=MN=y，AM=2y．
∵AM⊥BN，∴AB=AN= = ．
∵S ABN= BN×AM= AN×BP，∴BP= = = ．在Rt△ABP中， sin∠BAC
△
=sin∠BAP= = ÷ = ．
点睛：本题考查了四边形综合题，需要掌握二元一次方程组的应用、勾股定理、勾股定理的逆定
理以及锐角三角函数的定义的应用，主要考查学生的理解能力和观察图形的能力，求三角函数值
需构建直角三角形是解此类题的常用作法．
