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专题23 利用一次函数解决实际问题（解析版）
类型一 最大利润问题
1．（2021•福建）某公司经营某种农产品，零售一箱该农产品的利润是70元，批发一箱该农产品的利润是
40元．
（1）已知该公司某月卖出100箱这种农产品共获利润4600元，问：该公司当月零售、批发这种农产品
的箱数分别是多少？
（2）经营性质规定，该公司零售的数量不能多于总数量的30%．现该公司要经营1000箱这种农产品，
问：应如何规划零售和批发的数量，才能使总利润最大？最大总利润是多少？
思路引领：（1）设该公司当月零售这种农产品x箱，则批发这种农产品（100﹣x）箱，依据该公司某
月卖出100箱这种农产品共获利润4600元，列方程求解即可．
（2）设该公司当月零售这种农产品m箱，则批发这种农产品（1000﹣m）箱，该公司获得利润为y元，
进而得到y关于m的函数关系式，利用一次函数的性质，即可求解．
解：（1）设该公司当月零售这种农产品x箱，则批发这种农产品（100﹣x）箱，依题意得
70x+40（100﹣x）＝4600，
解得：x＝20，
100﹣20＝80（箱），
答：该公司当月零售这种农产品20箱，批发这种农产品80箱；
（2）设该公司当月零售这种农产品m箱，则批发这种农产品（1000﹣m）箱，依题意得
0＜m≤1000×30%，
解得0＜m≤300，
设该公司获得利润为y元，依题意得
y＝70m+40（1000﹣m），
即y＝30m+40000，
∵30＞0，y随着m的增大而增大，
∴当m＝300时，y取最大值，此时y＝30×300+40000＝49000（元），
∴批发这种农产品的数量为1000﹣m＝700（箱），
答：该公司零售、批发这种农产品的箱数分别是300箱，700箱时，获得最大利润为49000元．
总结提升：本题主要考查了一元一次方程和一次函数的应用，根据题意列出函数表达式，熟练掌握函数
性质根据自变量取值范围确定函数值是解决问题的关键．
类型二 方案设计问题2．（2022•新田县一模）某商场准备购进A，B两种型号电脑，每台A型号电脑进价比每台B型号电脑多
500元，用40000元购进A型号电脑的数量与用30000元购进B型号电脑的数量相同，请解答下列问题：
（1）A，B型号电脑每台进价各是多少元？
（2）若每台A型号电脑售价为2500元，每台B型号电脑售价为1800元，商场决定用不超过35000元
同时购进A，B两种型号电脑20台，且全部售出，请写出所获的利润 y（单位：元）与A型号电脑x
（单位：台）的函数关系式并求此时的最大利润．
（3）在（2）问的条件下，将不超过所获得的最大利润再次购买A，B两种型号电脑捐赠给某个福利院，
问有多少种捐赠方案？最多捐赠多少台电脑？
思路引领：（1）设每台A型号电脑进价为a元，每台B型号电脑进价为（a﹣500）元，由“用40000
元购进A型号电脑的数量与用30000元购进B型号电脑的数量相同”列出方程即可求解；
（2）所获的利润＝A型电脑利润+B型电脑利润，可求y与x关系，由“用不超过35000元购进A，B两
种型号电脑20台”列出不等式，根据函数性质即可求解；
（3）由一次函数的性质可求最大利润，设再次购买的 A 型电脑 b 台，B 型电脑 c 台，可得
2000b+1500c≤8000，可求整数解，即可求解．
解：（1）设每台A型号电脑进价为a元．
40000 30000
由题意，得 = ，
a a-500
解得：a＝2000，
经检验a＝2000是原方程的解，且符合题意，
2000﹣500＝1500（元），
答：每台A型号电脑进价为2000元，每台B型号电脑进价为1500元；
（2）由题意，得y＝（2500﹣2000）x+（1800﹣1500）（20﹣x）＝200x+6000，
∵2000x+1500（20﹣x）≤35000，
解得x≤10，
∵200＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴x＝10时，所获利润最大为y＝200×10+6000＝8000元．
答：y与x的函数解析式为y＝200x+6000，此时，最大利润为8000元．
（3）设再次购买A型电脑b台，B型电脑c台，
∴2000b+1500c≤8000，且b，c为正整数，{b=1 {b=2 {b=3 {b=1 {b=2 {b=1 {b=1
∴ 或 或 或 或 或 或 ．
c=1 c=1 c=1 c=2 c=2 c=3 c=4
答：有7种捐赠方案，最多捐赠5台电脑．
总结提升：本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，分析题意，找到
合适的数量关系是解决问题的关键．
类型三 运费最少问题
3．（2021•巴东县模拟）学校计划组织七年级学生到金果坪乡红色教育基地参加“追寻红色足迹传承革命
精神”的活动．在此活动中，若每位老师带队14名学生，则还有10名学生没有老师带；若每位老师带
队15名学生，就有一位老师少带6名学生．
甲型客车 乙型客车
载客量（人/辆） 35 30
租金（元/辆） 400 320
（1）参加此次活动的老师和学生各多少名？
（2）现有甲乙两种大型客车，其载客量和租金如表所示．
①若所有师生都有车坐，且每辆车上不少于2名老师，则租车的总数应为多少？
②学校计划此次活动的租金总费用不超过3000元，学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？
思路引领：（1）设参加此次研学活动的老师有x人，学生有y人，根据“若每位老师带队14名学生，
则还剩10名学生没老师带；若每位老师带队15名学生，就有一位老师少带6名学生”，即可得出关于
x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）①利用租车总辆数＝师生人数÷35结合每辆客车上至少要有2名老师，即可得出租车总辆数为8
辆；
②设租35座客车m辆，则需租30座的客车（8﹣m）辆，根据8辆车的座位数不少于师生人数及租车
总费用不超过3000元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为
正整数即可得出租车方案数，设租车总费用为 w元，根据租车总费用＝400×租用35座客车的数量
+320×租用30座客车的数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值
问题．
解：（1）设参加此次研学活动的老师有x人，学生有y人，
{14x+10= y
依题意，得： ，
15x-6= y
{ x=16
解得： ．
y=234答：参加此次研学活动的老师有16人，学生有234人；
（2）①设租车总数为n辆，则：
35n+30（8﹣n）≥250400n+320（8﹣n）≤3000，
50
∴ ≤n≤8，
7
∵n为正整数，
∴租车的总数应为8辆；
②设租甲种车型m辆，
依题意得，{35m+30(8-m)≥234+16，
400m+320(8-m)≤3000
解这个不等式组得：2≤m≤5.5，
∵m为正整数，
∴m＝2，3，4，5
即学校共有四种租车方案．
设租车费用为W元，则W＝400n+320（8﹣m）＝80m+2560，
∵80＞0，
∴W随m的增大而增大，
∴当m＝2时费用最低，最少费用为W＝160+2560＝2720（元）．
答：学校共有四种租车方案，最少费用为2720元．
总结提升：本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的
关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）①根据师生人数，确定租车辆数；②
根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
类型四 运用图像信息解决行程问题
4．（2022•竞秀区二模）A，B，C三地在同一条公路上，C地在A，B两地之间，且到A，B两地的路程相
等．甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，匀速行驶．甲车到达C地并停留1小时后以原速继续前往
B地，到达B地后立即调头（调头时间忽略不计），并按原路原速返回，到达 C地停止行驶；乙车经C
地到达A地停止行驶．在两车行驶的过程中，甲、乙两车距C地的路程y（单位：千米）与甲车所用时
间x（单位：小时）之间的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题：
（1）乙车的速度为 千米/时；
（2）求乙车从C地到A地的过程中，y与x的函数关系式（不用写自变量的取值范围）；
（3）请直接写出x为何值时两车距C地的路程之和为120千米？思路引领：（1））由函数图像中得出乙车在6小时内走完全程240千米，利用公式求出速度即可；
（2）由乙车的图象，用待定系数法求函数解析式即可；
（3）由图可知，分别在3个时间段可能两车在途中距C地路程之和为120km，分三种情况讨论即可．
解：（1）由函数图像知，乙车在6小时内走完全程240千米，乙车的速度为240÷6＝40（千米/小时），
故答案为：40；
（2）设乙车从C地到A地的过程中y与x的函数关系式为：y＝kx+b（k≠0），
将（3，0），（6，120）代入y＝kx+b（k≠0），
{ 3k+b=0
得： ，
6k+b=120
{ k=40
解得： ，
b=-120
∴乙车从C地到A地的过程中y与x的函数关系式为：y＝40x﹣120；
（3）由图可知，分别在3个时间段可能两车在途中距C地路程之和为120km，
①①当甲在4至C，乙在B至C的过程中
由题意知，甲车速度为120÷2＝60（千米/小时），
60x+120+40x＝240，解得：x＝1.2；
②甲车从C到B，乙车从C到A，
由题意得：40x﹣120+60（x﹣1）﹣120＝120，
解得：x＝4.2；
③甲车从B到C，乙车从C到A，
60（x﹣1）﹣240+240﹣40x﹣＝20，
解得：x＝9＞7，不符合题意，
这种情况为甲车到达A地后，乙车到达C地时，符合题意，即x＝7时，
综上所述，当x的值为1.2或4.2或7时，两车距C地的路程之和为120千米．
总结提升：本题考查一次函数的应用、待定系数法求函数解析式，一元一次方程的应用等知识，关键是
理解每段图象的意义，进行分类讨论．第二部分 专题提优训练
1．（2021春•广安期末）为积极响应垃圾分类的号召，某街道决定在街道内的所有小区安装垃圾分类的温
馨提示牌和垃圾箱．已知购买3个垃圾箱和2个温馨提示牌需要280元，购买2个垃圾箱和3个温馨提
示牌需要270元．
（1）每个垃圾箱和每个温馨提示牌各多少元？
（2）若购买垃圾箱和温馨提示牌共100个（两种都买），且垃圾箱的个数不少于温馨提示牌个数的3
倍，请写出总费用w（元）与垃圾箱个数m（个）之间的函数关系式，并说明当购买垃圾箱和温馨提示
牌各多少个时，总费用最低，最低费用为多少元？
思路引领：（1）根据购买3个垃圾箱和2个温馨提示牌需要280元，购买2个垃圾箱和3个温馨提示牌
需要270元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
（2）根据题意，可以写出w与m的函数关系式，然后根据垃圾箱的个数不少于温馨提示牌个数的 3倍，
即可得到m的取值范围，然后根据一次函数的性质，即可得到当购买垃圾箱和温馨提示牌各多少个时，
总费用最低，最低费用为多少元．
解：（1）设每个垃圾箱和每个温馨提示牌分别为x元、y元，
{3x+2y=280
由题意可得， ，
2x+3 y=270
{x=60
解得 ，
y=50
答：每个垃圾箱和每个温馨提示牌分别为60元、50元；
（2）设购买垃圾箱m个，则购买温馨提示牌（100﹣m）个，
w＝60m+50（100﹣m）＝10m+5000，
∵垃圾箱的个数不少于温馨提示牌个数的3倍，
∴m≥3（100﹣m），
解得m≥75，
∴当m＝75时，w取得最小值，此时w＝5750，100﹣m＝25，
答：总费用w（元）与垃圾箱个数m（个）之间的函数关系式是w＝10m+5000，当购买垃圾箱和温馨提
示牌分别为75个、25个时，总费用最低，最低费用为5750元．
总结提升：本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关
键是明确题意，找出等量关系和不等关系，写出相应的方程组和不等式，然后根据题意，写出一次函数
关系式，利用一次函数的性质解答．
2．（2021•德阳）今年，“广汉三星堆”又有新的文物出土，景区游客大幅度增长．为了应对暑期旅游旺季，方便更多的游客在园区内休息，景区管理委员会决定向某公司采购一批户外休闲椅．经了解，该公
司出售弧形椅和条形椅两种类型的休闲椅，已知条形椅的单价是弧形椅单价的0.75倍，用8000元购买
弧形椅的数量比用4800元购买条形椅的数量多10张．
（1）弧形椅和条形椅的单价分别是多少元？
（2）已知一张弧形椅可坐5人，一张条形椅可坐3人，景区计划共购进300张休闲椅，并保证至少增
加1200个座位．请问：应如何安排购买方案最节省费用？最低费用是多少元？
思路引领：（1）设弧形椅的单价为x元，则条形椅的单价为0.75x元，根据“用8000元购买弧形椅的
数量比用4800元购买条形椅的数量多10张”列分式方程解答即可；
（2）设购进弧形椅m张，则购进条形椅（300﹣m）张，根据“一张弧形椅可坐5人，一张条形椅可坐
3人，景区计划共购进300张休闲椅，并保证至少增加1200个座位”列不等式求出m的取值范围；设购
买休闲椅所需的费用为W元，根据题意求出W与m的函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可．
解：（1）设弧形椅的单价为x元，则条形椅的单价为0.75x元，根据题意得：
8000 4800
= +10，
x 0.75x
解得x＝160，
经检验，x＝160是原方程的解，且符合题意，
∴0.75x＝120，
答：弧形椅的单价为160元，条形椅的单价为120元；
（2）设购进弧形椅m张，则购进条形椅（300﹣m）张，由题意得：
5m+3（300﹣m）≥1200，
解得m≥150；
设购买休闲椅所需的费用为W元，
则W＝160m+120（300﹣m），
即W＝40m+36000，
∵40＞0，
∴W随m的增大而增大，
∴当m＝150时，W有最小值，W最小 ＝40×150+36000＝42000，
300﹣m＝300﹣150＝150；
答：购进150张弧形椅，150张条形椅最节省费用，最低费用是42000元．
总结提升：此题主要考查了一次函数的应用分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，由图象得出正
确信息是解题关键，学会利用不等式确定自变量取值范围，学会利用一次函数性质解决最值问题，属于中考常考题型．
3．（2022春•枣阳市期末）某公司现有一批270吨物资需要运送到A地和B地，公司决定安排大、小货车
共20辆，运送这批物资，每辆大货车装15吨物资，每辆小货车装10吨物资，这20辆货车恰好装完这
批物资，已知这两种货车的运费如下表：
目的地 A地（元/辆） B地（元/辆）
车型
大货车 800 1000
小货车 500 600
现安排上述装好物资的20辆货车（每辆大货车装15吨物资，每辆小货车装10吨物资）中的10辆前往
A地，其余前往B地，设前往A地的大货车有x辆，这20辆货车的总运费为y元．
（1）这20辆货车中，大货车、小货车各有多少辆？
（2）求y与x的函数解析式，并直接写出x的取值范围；
（3）若运往A地的物资不少于140吨，求总运费y的最小值．
思路引领：（1）设大货车有a辆，可得：15a+10（20﹣a）＝270，即可解得大货车有14辆，小货车有
6辆；
x≥0
{
14-x≥0
（2）由题意得y＝800x+1000（14﹣x）+500（10﹣x）+600[6﹣（10﹣a），又 可得y与
10-x≥0
6-(10-x)≥0
x的函数解析式为y＝﹣100x+16600（4≤x≤10且x为整数）；
（3）由运往A地的物资不少于140吨，知15x+10（10﹣x）≥140，x≥8，根据一次函数性质可得总运
费最少的调配方案是：10辆大货车前往A地；4辆大货车、6辆小货车前往B地，最少运费为15600元．
解：（1）设大货车有a辆，则小货车有（20﹣a）辆，
根据题意得：15a+10（20﹣a）＝270，
解得：a＝14，
∴20﹣a＝20﹣14＝6（辆），
答：大货车有14辆，小货车有6辆；
（2）由题意得：
y＝800x+1000（14﹣x）+500（10﹣x）+600[6﹣（10﹣x）]＝﹣100x+16600，
x≥0
{
14-x≥0
∵ ，
10-x≥0
6-(10-x)≥0∴4≤x≤10，
答：y与x的函数解析式为y＝﹣100x+16600（4≤x≤10且x为整数）；
（3）∵运往A地的物资不少于140吨，
∴15x+10（10﹣x）≥140，
解得x≥8，
∴8≤x≤10且x为整数，
∵y＝﹣100x+16600，且k＝﹣100＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝10时，y最小值 ＝﹣100×10+16600＝15600（元）．
答：总运费最少的调配方案是：10辆大货车前往A地；4辆大货车、6辆小货车前往B地，最少运费为
15600元．
总结提升：本题考查一元一次方程及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数关系式．
4．一辆快车和一辆慢车分别从甲、乙两地同时出发匀速相向而行，快车到达乙地后，原路原速返回甲地．
图1表示两车行驶过程中离甲地的路程y（km）与行驶时间x（h）的函数图象．
（1）直接写出快慢两车的速度；
（2）在行驶过程中，慢车出发多长时间，两车相遇？
（3）若两车之间的距离为skm，在图2的直角坐标系中画出s（km）与x（h）的函数图象．
思路引领：（1）观察函数图象可得出甲、乙两地间的距离，根据数量关系速度＝路程÷时间即可得出快、
慢两车的速度；
（2）根据图象找出点的坐标，利用待定系数法可求出线段 OA、AB、CD的解析式，令OA＝CD和AB
＝CD相等即可求出交点横坐标，由此即可得出结论；
（3）根据两车相遇结合t＝0、10、20、30可找出关键点，依此画出函数图象即可．
解：（1）观察函数图象可知：甲、乙两地距离之间的距离为2250km，快车的速度为2250÷10＝225（km/h），
慢车的速度为2250÷30＝75（km/h）．
答：快车的速度是225km/h，慢车的速度是75km/h．
（2）设OA的解析式为y＝kx（k≠0），AB的解析式为y ＝k x+b （k ≠0），CD的解析式为y ＝k x+b
1 1 1 1 2 2 2
（k ≠0），
2
根据题意得：2250＝10k，{10k +b =2250，{ b =2250 ，
1 1 2
20k +b =0 30k +b =0
1 1 2 2
解得：k＝225，{k =-225，{k =-75 ，
1 2
b =4500 b =2250
1 2
∴y＝225x（0≤x≤10），y ＝﹣225x+4500（10≤x≤20），y ＝﹣75x+2250（0≤x≤30）．
1 2
当225x＝﹣75x+2250时，解得：x＝7.5；
当﹣225x+4500＝﹣75x+2250时，解得：x＝15．
答：慢车出发7.5小时或15小时时，两车相遇．
（3）根据题意得：
7.5小时时两车相遇；
10时时，两车相距2.5×（225+75）＝750（km）；
15时时，两车相遇，
20时时，两车相距75×（30﹣20）＝750（km），
30时时，两车相距为0．
由这些关键点画出图象即可．
总结提升：本题考查了一次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式以及函数图象，解题的关键是：
（1）根据数量关系速度＝路程÷时间代入数据求值；（2）根据点的坐标利用待定系数法求出一次函数解
析式；（3）找出函数图象上的关键点的坐标．
