文档内容
专题 26.16 反比例函数与几何综合专题（培优篇）
（专项练习）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，点 为坐标原点，菱形 的边 在 轴的正半轴上，对角线 、
交于点 ，反比例函数 的图象经过点 和点 ，若菱形 的面积为 ，
则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A的坐标为（﹣1，2），点B在
x轴正半轴上，点D在第三象限的双曲线 上，过点C作CE x轴交双曲线于点E，
则CE的长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在平面直角坐标系中，菱形 的顶点 在第二象限，其余顶点都在第
一象限， 轴， ， ．过点 作 ，垂足为 ， ．反比例函数 的图象经过点 ，与边 交于点 ，连接 ， ， ．若
，则 的值为（ ）
A． B． C．7 D．
4．已知：如图，在菱形OABC中，OC＝8，∠AOC＝60°，OA落在x轴正半轴上，点
D是OC边上的一点（不与端点O，C重合），过点D作DE⊥AB于点E，若点D，E都在
反比例函数 （x＞0）图象上，则k的值为（ ）
A．16 B． C．9 D．
5．如图，点A在反比例函数 的图像上，以 为一边作等腰直角三角形
，其中∠ =90°， ，则线段 长的最小值是（ ）A．1 B． C． D．4
6．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD位于第一象限，且对角线AC、BD所在的
直线与坐标轴垂直，点A的坐标为 ，点D的坐标为 ．若双曲线 与菱形
ABCD有公共点，则k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在第二象限，其余顶点都在第
一象限，AB∥X轴，AO⊥AD，AO=AD．过点A作AE⊥CD，垂足为E，DE=4CE．反比例函
数 的图象经过点E，与边AB交于点F，连接OE，OF，EF．若 ，则k
的值为（ ）
A． B． C．7 D．
8．如图，在直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A．C分别在x
轴、y轴上，反比例函数 的图象与正方形的两边AB、BC分别交于点M、N，ND⊥x轴，垂足为D，连接OM、ON、MN．
下列结论：
①△OCN≌△OAM；
②ON=MN；
③四边形DAMN与△MON面积相等；
④若∠MON=450，MN=2，则点C的坐标为 ．
其中正确的个数是【 】
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，A、B是函数 上两点， 为一动点，作 轴， 轴，下列说
法正确的是( )
① ；② ；③若 ，则 平分 ；④若
，则
A．①③ B．②③ C．②④ D．③④
10．如图，反比例函数y＝ （x＜0）的图象经过点A（﹣2，2），过点A作AB⊥y轴，
垂足为B，在y轴的正半轴上取一点P（0，t），过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对
称轴，点B经轴对称变换得到的点B'在此反比例函数的图象上，则t的值是（ ）A．1+ B．4+ C．4 D．-1+
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在x轴正半轴上，顶点B，C
在第一象限，顶点D的坐标 ． 反比例函数 （常数 ， ）的图象恰好经
过正方形ABCD的两个顶点，则k的值是_______．
12．如图，经过原点O的直线与反比例函数y＝ （a＞0）的图象交于A，D两点
（点A在第一象限），点B，C，E在反比例函数y＝ （b＜0）的图象上，AB∥y轴，
AE∥CD∥x轴，五边形ABCDE的面积为56，四边形ABCD的面积为32，则a﹣b的值为__，
的值为__．
13．如图，将一把矩形直尺ABCD和一块含30°角的三角板EFG摆放在平面直角坐标
系中，AB在x轴上，点G与点A重合，点F在AD上，三角板的直角边EF交BC于点M，反比例函数y= （x＞0）的图象恰好经过点F，M．若直尺的宽CD=3，三角板的斜边FG=
，则k=_____．
14．如图所示是一块含30°，60°，90°的直角三角板，直角顶点O位于坐标原点，斜边
AB垂直于x轴，顶点A在函数y= （x＞0）的图象上，顶点B在函数y= （x＞0）的
1 2
图象上，∠ABO=30°，则 =____．
15．如图，平面直角坐标系中，边长为1的正方形 的顶点A、B分别在x轴、y
轴上，点 在反比例函数 的图象上，过 的中点 作矩形 ，使顶点
落在反比例函数的图象上，再过 的中点 作矩形 ，使顶点 落在反比例函数
的图象上，…，依此规律可得：
（1）点 的坐标为______
（2）作出矩形 时，落在反比例函数图象上的顶点 的坐标为_____．16．如图，在平面直角坐标系中， 为坐标原点， 的边 垂直 轴于点 ，反
比例函数 的图像经过 的中点 ，与边 相交于点 ，若 的坐标为 ，
．
（1）反比例函数 的解析式是_________；
（2）设点 是线段 上的动点，过点 且平行 轴的直线与反比例函数的图像交于
点 ，则 面积的最大值是_________．
17．如图，正方形ABCD的顶点C，D均在双曲线 在第一象限的分支上，顶点
A，B分别在x轴、y轴上，则此正方形的边长为______．
18．如图所示，直线y= x分别与双曲线y= （k＞0，x＞0）、双曲线y= （k＞
1 2
0，x＞0）交于点A，点B，且OA=2AB，将直线向左平移4个单位长度后，与双曲线y=
交于点C，若 ，则 的值为_____．三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）如图，在平面直角坐标系 中，反比例函数 的图像经过点
，点 在 轴的负半轴上， 交 轴于点 ， 为线段 的中点．
（1） ________，点 的坐标为________；
（2）若点 为线段 上的一个动点，过点 作 轴，交反比例函数图像于点 ，
求 面积的最大值．
20．（8分）如图，一次函数y＝x+1的图象与反比例函数的图象交于点A（1，n）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）点P（m，0）在x轴上一点，点M是反比例函数图象上任意一点，过点M作
MN⊥y轴，求出△MNP的面积；
（3）在（2）的条件下，当点P从左往右运动时，判断△MNP的面积如何变化？并说
明理由．21．（10分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y＝ （a≠0）的图象在
第一象限交于A、B两点，A点的坐标为（m，4），B点的坐标为（3，2），连接OA、
OB，过B作BD⊥y轴，垂足为D，交OA于C．若OC＝CA，
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）在直线BD上是否存在一点E，使得△AOE是以AO为直角边的直角三角形，直
接写出所有可能的E点坐标．
22．（10分）如图，平面直角坐标系中，点A（0，2），点B（3，﹣2），以AB为边
在y轴右侧作正方形ABCD，反比例函数 （x＞0）恰好经过点D．
（1）求D点坐标及反比例函数解析式；
（2）在x轴上有两点E，F，其中点E使得ED+EA的值最小，点F使得|FD﹣FA|的值
最大，求线段EF的长．23．（10分）如图，反比例函数y＝ （x＞0）过点A（3，4），直线AC与x轴交于
点C（6，0），过点C作x轴的垂线交反比例函数图象于点B，
（1）求反比例函数和直线AC的解析式；
（2）求△ABC的面积；
（3）在平面内有点D，使得以A，B，C，D四点为顶点的四边形为平行四边形，请
直接写出符合条件的所有D点的坐标．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知点B(4，0)，等腰直角三角形 的
直角顶点 在反比例函数 的图象上．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）把 向右平移 个单位长度，对应得到 ．当这个函数图象经过
一边的中点时，求 的值．参考答案
1．A
【分析】过点A和点D作x轴的垂线，与x轴分别相交于点E和点F，设点A（m，
n），根据题意将点D的坐标表示出来，即可求出AD所在直线的函数表达式，再求出点C
的坐标；根据菱形的性质可得AO=CO，结合勾股定理即可表示出AE，最后根据菱形的面
积求出m即可．解：
过点A和点D作x轴的垂线，与x轴分别相交于点E和点F，
设点A（m，n），
∵AE⊥x轴，DF⊥x轴，
∴ ，
∵四边形OABC为菱形，则点D为AC中点，
∴DF= ，即点D的纵坐标为 ，
∵反比例函数 的图象经过点 和点 ，
∴D（2m， ），
设AD所在的直线函数表达式为：y=kx+b，
将A（m，n），D（2m， ）代入得： ，
解得： ，
∴AD所在的直线函数表达式为： ，
当y=0时，解得x=3m，
∴C（3m，0），
∴OA=OC=3m，
在Rt△OAE中，AE= ，
∵菱形 的面积为 ，∴OC×AE= ，解得：m= ，
∴AE= ，
∴A（ ，2），
故选：A
【点拨】本题主要考查了菱形的性质以及反比例函数的图象和性质，熟练地掌握相关
性质内容，结合图形表示出点C的坐标是解题的关键．
2．C
【分析】设点 ，过点D作x轴的垂线交CE于点G，过点A作x轴的平行线
交DG于点H，过点A作AN⊥x轴于点N，可证得△DHA≌△CGD(AAS)、
△ANB≌△DGC(AAS)得到：AN=DG=2=AH，而AH=−1−m=2，解得：m=−3，据此即可求解．
解：设点 ，
如图所示，过点D作x轴的垂线交CE于点G，过点A过x轴的平行线交DG于点H，
过点A作AN⊥x轴于点N，
∵∠GDC+∠DCG=90°，∠GDC+∠HDA=90°，
∴∠HDA=∠GCD，
在△DHA和△CGD中，，
∴△DHA≌△CGD(AAS)，
∴HA=GD，DH=CG，
同理可证得△ANB≌△DGC(AAS)，
∴AN=DG=2=AH，则点 G，CG=DH，
AH=−1−m=2，解得：m=−3，
故点G(−3,−7)，D(−3,−5)，H(−3,2)，
则点 ， ，DH=5+2=7，
，
故选：C．
【点拨】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，
作出辅助线是解决本题的关键．
3．A
【分析】延长EA交x轴于点G，过点F作FH⊥x轴于点H，可得AG⊥x轴；利用
AO⊥AD，AO＝AD证明 DAE≌△AOG，得到DE＝AG，AE＝OG；利用DE＝4CE，四边形
△
ABCD是菱形，可得AD＝CD＝ DE．设DE＝4a，则AD＝OA＝5a，由勾股定理可得EA
＝3a，求出EG＝AE＋AG＝7a，可得E点坐标为（3a，7a），所以k＝21a2．证明四边形
AGHF为矩形，则FH＝AG＝4a，可得点F的坐标为（ a，4a），利用S OEF＝S OEG
△ △
＋S EGHF−S OFH，列出关于a的方程，求得a2的值，则k的值可求．
梯形
解：如图，△延长EA交x轴于点G，过点F作FH⊥x轴于点H，∵AB∥x轴，AE⊥CD，AB∥CD，
∴AG⊥x轴．
∵AO⊥AD，
∴∠DAE＋∠OAG＝90°，
∵AE⊥CD，
∴∠DAE＋∠D＝90°．
∴∠D＝∠OAG，
在 DAE和 AOG中， ，
△ △
∴△DAE≌△AOG（AAS），
∴DE＝AG，AE＝OG，
∵四边形ABCD是菱形，DE＝4CE，
∴AD＝CD＝ DE，
设DE＝4a，则AD＝OA＝5a，
∴OG＝AE＝ ＝3a，
∴EG＝AE＋AG＝7a，
∴E（3a，7a），
∵反比例函数 的图象经过点E，
∴k＝21a2，
∵AG⊥GH，FH⊥GH，AF⊥AG，
∴四边形AGHF为矩形，
∴HF＝AG＝4a，∵点F在反比例函数 的图象上，
∴x＝ ，
∴F（ ，4a），
∴OH＝ ，FH＝4a，
∴GH＝OH−OG＝ ，
∵S OEF＝S OEG＋S EGHF−S OFH，S EOF＝ ，
梯形
△ △ △ △
∴ OG•EG＋ （EG＋FH）•GH－ OH•HF＝ ，
∴ ×21a2＋ (7a＋4a)× － ×21a2＝ ，
解得：a2＝ ，
∴k＝21a2＝21× ＝ ．
故选：A．
【点拨】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，待定系数法，反比例函数图象上
点的坐标特征，全等三角形判定与性质，菱形的性质，勾股定理等．熟练掌握利用点的坐
标表示相应线段的长度和利用线段的长度表示相应点的坐标是解题的关键．
4．B
【分析】过D作DH∥BC，交AB于H，根据菱形的性质得出四边形BCDH是平行四边
形，DH＝BC＝8，∠DHE＝∠B＝60°，解直角三角形求得DE，作DM⊥x轴于M，过E点
作EN⊥DM于N，解直角三角形求得DN，EN，设D（x， x），则E（x＋6， x−2
），根据反比例函数系数k的几何意义得出k＝x• x＝（x＋6）（ x−2 ），解得x＝
3，从而求得k的值．
解：过D作DH∥BC，交AB于H，∵在菱形OABC中，OC＝8，∠AOC＝60°，
∴OA∥BC，OC∥AB，BC＝OC＝8，∠B＝∠AOC＝60°，
∴∠DHE＝∠B＝60°，四边形BCDH是平行四边形，
∴DH＝BC＝8，
∵DE⊥AB于点E，
∴DE＝DH•sin60°＝4 ，
作DM⊥x轴于M，过E点作EN⊥DM于N，
∵OC∥AB，DE⊥AB，
∴DE⊥OC，
∴∠ODM＋∠NDE＝90°，
∵∠DOM＋∠ODM＝90°，
∴∠NDE＝∠DOM＝60°，
∴DM＝ OM，DN＝ DE＝2 ，NE＝ DE＝6，
设D（x， x），则E（x＋6， x−2 ），
∵点D，E都在反比例函数 （x＞0）图象上，
∴k＝x• x＝（x＋6）（ x−2 ），解得x＝3，
∴D（3，3 ），
∴k＝3×3 ＝9 ．
故选：B．
【点拨】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，菱形的性质，解直角三角形等，
求得D点的坐标是解题的关键．5．C
【分析】如图，过 作 轴，交y轴于M，过 作 轴，垂足为D，交MA
于H，则 证明 可得 设
则 可得 再利用
勾股定理建立函数关系式，结合完全平方公式的变形可得答案．
解：如图，过 作 轴，交y轴于M，过 作 轴，垂足为D，交MA于
H，则
设 则
而当 时，则
∴ 的最小值是8，
∴ 的最小值是
故选：C．【点拨】本题考查的是等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函
数的性质，完全平方公式的变形应用，勾股定理的应用，掌握“ 的变形公
式”是解本题的关键．
6．D
【分析】根据菱形的性质求得B、C的坐标，然后把B、D的坐标分别代入 求得
k的值，即可求得k的取值范围．
解：∵菱形ABCD位于第一象限，且对角线AC、BD所在的直线与坐标轴垂直，点A
的坐标为 ，点D的坐标为 ．
∴设点B的坐标为 ，点C的坐标为 ．
∴AC中点坐标为 ，BD中点坐标为 ，
∵AC、BD互相平分，
∴ ，解得 ，
∴点B的坐标为 ，点C的坐标为 ．
当双曲线 过D点时， ， ，
当双曲线 过B 点时， ， ，
当双曲线 与直线BC只有一个交点时，∵点B的坐标为 ，点C的坐标为 ，
∴直线BC解析式为： ，
联立 ，整理得 ，
∴ ，解得 ，
此时交点坐标为 在线段BC上，
∴若双曲线 与菱形ABCD有公共点，则k的取值范围为 ．
故选：D．
【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据菱形的性质求得B、C的
坐标是解题的关键．
7．A
【分析】延长EA交x轴于点G，过点F作x轴的垂线，垂足分别为H，则可得
△DEA≌△AGO，从而可得DE=AG，AE=OG，若设CE=a，则DE=AG=4a，
AD=DC=DE+CE=5a，由勾股定理得AE=OG=3a，故可得点E、A的坐标，由AB与x轴平
行，从而也可得点F的坐标，根据 ，即可求得a的值，从
而可求得k的值．
解：如图，延长EA交x轴于点G，过点F作x轴的垂线，垂足分别为H
∵四边形ABCD是菱形
∴CD=AD=AB，CD∥AB
∵AB∥x轴，AE⊥CD
∴EG⊥x轴，∠D+∠DAE=90゜
∵OA⊥AD
∴∠DAE+∠GAO=90゜
∴∠GAO=∠D
∵OA=OD
∴△DEA≌△AGO(AAS)∴DE=AG，AE=OG
设CE=a，则DE=AG=4CE=4a，AD=AB=DC=DE+CE=5a
在Rt△AED中，由勾股定理得：AE=3a
∴OG=AE=3a，GE=AG+AE=7a
∴A（3a,4a），E(3a,7a)
∵AB∥x轴，AG⊥x轴，FH⊥x轴
∴四边形AGHF是矩形
∴FH=AG=3a，AF=GH
∵E点在双曲线 上
∴
即
∵F点在双曲线 上，且F点的纵坐标为4a
∴
即
∴
∵
∴
解得：∴
故选：A．
【点拨】本题是反比例函数与几何的综合题，考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，
三角形全等的判定与性质等知识，关键是作辅助线及证明△DEA≌△AGO，从而求得E、
A、F三点的坐标．
8．C
【分析】设正方形OABC的边长为a，通过△OCN≌△OAM（SAS）判定结论①正确，
求出ON和MN不一定相等判定结论②错误，而
可得结论③正确，列式求出C点的坐标为
可知结论④正确．
解：设正方形OABC的边长为a，
则A（a，0），B（a，a），C（0，a），M（a， ），N（ ，a）．
∵CN=AM= ，OC=OA= a，∠OCN=∠OAM=900，
∴△OCN≌△OAM（SAS）．结论①正确．
根据勾股定理， ，
，
∴ON和MN不一定相等．结论②错误．
∵ ，
∴ ．结论③正确．
如图，过点O作OH⊥MN于点H，则∵△OCN≌△OAM ，∴ON=OM，∠CON=∠AOM．
∵∠MON=450，MN=2，
∴NH=HM=1，∠CON=∠NOH=∠HOM=∠AOM=22.50．
∴△OCN≌△OHN（ASA）．∴CN=HN=1．
∴ ．
由 得， ．
解得： （舍去负值）．
∴点C的坐标为 ．结论④正确．
∴结论正确的为①③④3个．
故选C．
【点拨】本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、比
例系数的几何意义和正方形的性质；熟练运用勾股定理和等腰直角三角形的性质进行几何
计算．
9．B
【分析】①显然AO与BO不一定相等，由此可判断①错误；②延长BP，交x轴于点
E，延长AP，交y轴于点F，根据矩形的性质以及反比例函数的性质判断②正确；③过P
作PM⊥BO，垂足为M，过P作PN⊥AO，垂足为N，由已知可推导得出PM=PN，继而可
判断③正确；④设P（a，b），则B（a， ），A（ ，b），根据S =4，可得
BOP
△
ab=4，继而可判断④错误．
解：①显然AO与BO不一定相等，故 AOP与 BOP不一定全等，故①错误；
②延长BP，交x轴于点E，延长AP，交△ y轴于点△F，
∵AP//x轴，BP//y轴，∴四边形OEPF是矩形，S =S ，
EOP FOP
△ △
∵S =S = k=6，
BOE AOF
△ △
∴S =S ，故②正确；
AOP BOP
③过△P作P△M⊥BO，垂足为M，过P作PN⊥AO，垂足为N，
∵S = OA•PN，S = BO•PM，S =S ，AO=BO，
AOP BOP AOP BOP
△ △ △ △
∴PM=PN，
∴PO平分∠AOB，即OP为∠AOB的平分线，故③正确；
④设P（a，b），则B（a， ），A（ ，b），
∵S = BP•EO= =4，
BOP
△
∴ab=4，
∴S = AP•BP= =8，
ABP
△
故④错误，
综上，正确的为②③，
故选B．
【点拨】本题考查了反比例函数的综合题，正确添加辅助线、熟知反比例函数k的几
何意义是解题的关键．
10．A
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征由A点坐标为（-2，2）得到k=-4，即反
比例函数解析式为y=- ，且OB=AB=2，则可判断△OAB为等腰直角三角形，所以∠AOB=45°，再利用PQ⊥OA可得到∠OPQ=45°，然后轴对称的性质得PB=PB′，
BB′⊥PQ，所以∠BPQ=∠B′PQ=45°，于是得到B′P⊥y轴，则点B的坐标可表示为（- ，
t），于是利用PB=PB′得t-2=|- |= ，然后解方程可得到满足条件的t的值．
解：如图，
∵点A坐标为（-2，2），
∴k=-2×2=-4，
∴反比例函数解析式为y=- ，
∵OB=AB=2，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠AOB=45°，
∵PQ⊥OA，
∴∠OPQ=45°，
∵点B和点B′关于直线l对称，
∴PB=PB′，BB′⊥PQ，
∴∠B′PQ=∠OPQ=45°，∠B′PB=90°，
∴B′P⊥y轴，
∴点B′的坐标为（- ，t），
∵PB=PB′，
∴t-2=|- |= ，
整理得t2-2t-4=0，解得t1= ，t2=1- （不符合题意，舍去），∴t的值为 ．
故选A．
【点拨】本题是反比例函数的综合题，解决本题要掌握反比例函数图象上点的坐标特
征、等腰直角三角形的性质和轴对称的性质及会用求根公式法解一元二次方程．
11．5或22.5
【分析】先设一个未知数用来表示出B、C两点的坐标，再利用反比例函数图像恰好
经过B、C、D的其中两个点进行分类讨论，建立方程求出未知数的值，符合题意时进一步
求出k的值即可．
解：如图所示，分别过B、D两点向x轴作垂线，垂足分别为F、E点，并过C点向
BF作垂线，垂足为点G；
∵正方形ABCD，
∴∠DAB=90°，AB=BC=CD=DA，
∴∠DAE+∠BAF=90°，
又∵∠DAE+∠ADE=90°，∠BAF+∠ABF=90°，
∴∠DAE=∠ABF，∠ADE=∠BAF，
∴ ≌ ，
同理可证△ADE≌△BAF≌△CBG；
∴DE=AF=BG，AE=BF=CG；
设AE=m，
∵点D的坐标 ( ,2) ，
∴OE= ，DE=AF=BG=2，
∴B（ ， ），C（ ， ）,
∵ ，
当 时， ，不符题意，舍去；
当 时，由 解得 ,符合题意；故该情况成立，此时 ；当 时，由 解得 ,符合题意，故该情况成立，此时
;
故答案为：5或22.5．
【点拨】本题综合考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、反比例函数的图
像与性质、解一元二次方程等内容，解题的关键是牢记相关概念与性质，能根据题意建立
相等关系列出方程等，本题涉及到了分类讨论和数形结合的思想方法等．
12． 24 ﹣
【分析】如图，连接AC，OE，OC，OB，延长AB交DC的延长线于T，设AB交x
轴于K．求出证明四边形ACDE是平行四边形，推出S =S =S -S
ADE ADC 五边形ABCDE 四边形
△ △
=56-32=24，推出S =S =12，可得 a- b=12，推出a-b=24．再证明BC∥AD，
ABCD AOE DEO
△ △
证明AD=3BC，推出AT=3BT，再证明AK=3BK即可解决问题．
解：如图，连接AC，OE，OC，OB，延长AB交DC的延长线于T，设AB交x轴于
K．
由题意A，D关于原点对称，∴A，D的纵坐标的绝对值相等，
∵AE∥CD，
∴E，C的纵坐标的绝对值相等，
∵E，C在反比例函数y＝ 的图象上，
∴E，C关于原点对称，
∴E，O，C共线，
∵OE＝OC，OA＝OD，∴四边形ACDE是平行四边形，
∴S ＝S ＝S ﹣S ＝56﹣32＝24，
ADE ADC 五边形ABCDE 四边形ABCD
∴S△AOE ＝S△DEO ＝12，
△ △
∴ a﹣ b＝12，
∴a﹣b＝24，
∵S ＝S ＝12，
AOC AOB
∴B△C∥AD，△
∴ ＝ ，
∵S ＝32﹣24＝8，
ACB
∴S△ADC ：S
ABC
＝24：8＝1：3，
∴B△C：AD＝△1：3，
∴TB：TA＝1：3，设BT＝a，则AT＝3a，AK＝TK＝1.5k，BK＝0.5k，
∴AK：BK＝3：1，
∴ ＝ ＝ ，
∴ ＝﹣ ．
故答案为24，﹣ ．
【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，平行四边形的判定和性质，
平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问
题，属于中考填空题中的压轴题．13．
【分析】通过作辅助线，构造直角三角形，求出MN，FN，进而求出AN、MB，表示
出点F、点M的坐标，利用反比例函数k的意义，确定点F的坐标，进而确定k的值即可．
解：过点M作MN⊥AD，垂足为N，则MN=AD=3，
在Rt△FMN中，∠MFN=30°，
∴FN= MN=3 ，
∴AN=MB=8 ﹣3 =5 ，
设OA=x，则OB=x+3，
∴F（x，8 ），M（x+3，5 ），
∴8 x=（x+3）×5 ，
解得，x=5，
∴F（5，8 ），
∴k=5×8 =40 ．
故答案为：40 ．
【点拨】考查反比例函数的图象上点的坐标特征，把点的坐标代入函数关系式是常用
的方法．
14． =﹣ .
解：如图，Rt△AOB中，∠B=30°，∠AOB=90°，∴∠OAC=60°，∵AB⊥OC，
∴∠ACO=90°，
∴∠AOC=30°，
设AC=a，则OA=2a，OC= a，
∴A（ a，a），
∵A在函数y= （x＞0）的图象上，
1
∴k= a•a= a²，
1
Rt△BOC中，OB=2OC=2 a，
∴BC= =3a，
∴B（ a，﹣3a），
∵B在函数y= （x＞0）的图象上，
2
∴k=﹣3a· a=﹣3 a²，
2
∴ =﹣ ；
故答案为﹣ ．
考点：反比例函数图象上点的坐标特征．15．
【分析】（1）先根据题意得出P 点的坐标，进而可得出反比例函数的解析式，再依
1
次求出点P，P，P 的坐标，找出规律可得出 的坐标；
2 3 4
（2）根据（1）中的规律可得答案．
解：（1）∵正方形OAP B的边长为1，点P 在反比例函数 （x＞0）的图象上，
1 1
∴P（1，1），
1
∴k=1，
∴反比例函数的解析式为： ，
∵B 是PA的中点，
1 1
∴PA=AB= ，
2 1 1
∴OA=2，
1
∴ ．
故答案为： ．
（2）由（1）的解同理，得 …
∴ ，
当 时， ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，解题的关键是找
出规律．16．
【分析】（1）先确定出点A坐标，进而得出点C坐标，将点C，D坐标代入反比例函
数中即可得出结论；
（2）由m＝1，求出点C，D坐标，利用待定系数法即可得出结论，设出点E坐标，
进而表示出点F坐标，即可建立面积与n的函数关系式即可得出结论．
解：（1）∵AD＝3，D（4，m），
∴A（4，m＋3），
∵点C是OA的中点，
∴ ，
∵点C，D在双曲线y＝ 上，
∴ ，
∴ ，
∴反比例函数解析式为y＝ ；
（2）∵m＝1，
∴C（2，2），D（4，1），
设直线CD的解析式为y＝ax＋b，
∴ ，
∴
∴直线CD的解析式为 ，故答案为： ；
如图，设点 ，
C（2，2），D（4，1），
∴2＜n＜4，
∵EF∥y轴交双曲线 于F，
∴ ，
∴EF＝− n＋3− ，
∴S OEF＝
△
∴n＝3时，S△OEF最大，最大值为 ，
故答案为：
【点拨】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，线段的中点坐标公式，
解本题的关键是建立S OEF与n的函数关系式．
△
17．
【分析】过D作DE⊥x轴于E，过C作CF⊥y轴于F，设A（a，0），B（0，b）；由
正方形的性质可得△ABO≌△DAF，△ABO≌△BCE，从而可得D（a+b，a）、C（b，a+b）两点坐标，根据两点在双曲线 上，代入可得a=b；由D（2a，a）代入 求得a2
即可解答；
解：如图，过D作DE⊥x轴于E，过C作CF⊥y轴于F，
设A（a，0），B（0，b），
ABCD是正方形，则AD=AB=BC，∠BAD=∠ABC=90°，
∵∠BAO+∠DAF=90°，∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠ABO=∠DAF，
∵AB=DA，∠AOB=∠DFA=90°，
∴△ABO≌△DAF（AAS），∴OA=DF=a，OB=FA=b，
∴D点坐标（a+b，a），
同理可得△ABO≌△BCE（AAS），∴OA=BE=a，OB=EC=b，
∴C点坐标（b，a+b），
∵C、D两点在双曲线 上，
∴b（a+b）=10，a（a+b）=10，
∴b（a+b）=a（a+b），∴b=a，
∴△ABO是等腰直角三角形，
将D（2a，a）代入 ，得：a2=5，
∴AB= ，
故答案为： ；
【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，反比例函数解析式，
勾股定理等知识；综合性强，正确作出辅助线是解题关键．
18．9
【分析】首先求出直线 平移后的解析式 求出与y轴于 作于F，求出直线EF的解析式为 联立方程 求出点
根据距离公式求出 的长度，根据面积公式求出 的长度，进而求出 的长度，求出
点 的坐标，即可求出
解：直线 向左平移4个单位后的解析式为 即
∴直线 交y轴于
作 于F，
可得直线EF的解析式为
由
解得
即
∴
∵∴
∴
∴
∴
∴
故答案为：9．
【点拨】本题考查了反比例函数和一次函数综合，综合性比较强，涉及一次函数的平
移，求解析式，联立方程求交点，两点之间的距离公式，两条平行线之间的距离，反比例
函数解析式的求解等，熟练掌握相关知识是解题的关键．
19．（1）m=6， ；（2）当a=1时， 面积的最大值为
【分析】（1）将点 代入反比例函数解析式求出m，根据坐标中点公式求出点
C的横坐标即可；
（2）由AC两点坐标求出直线AB的解析式为 ，设D坐标为
，则 ，进而得到 ，即可解答
解：（1）把点 代入反比例函数 ，得： ，
解得：m=6，
∵A点横坐标为：4，B点横坐标为0，故C点横坐标为： ，
故答案为：6， ；
（2）设直线 对应的函数表达式为 ．将 ， 代入得 ，解得 ．
所以直线 对应的函数表达式为 ．
因为点 在线段 上，可设 ，
因为 轴，交反比例函数图像于点 ．所以 ．
所以 ．
所以当a=1时， 面积的最大值为 ．
【点拨】本题考查了函数与几何综合，涉及了待定系数法求函数解析式、三角形面积、
坐标中点求法、二次函数的应用等知识点，解题关键是用函数解析式表示三角形面积．
20．（1）y＝ ；（2）1；（3）△MNP的面积是不变的常数1，理由见分析．
【分析】（1）将点A的坐标代入y＝x+1得：n＝1+1＝2，故点A（1，2），进而求解；
（2）MN⊥y轴，故MN∥x轴，则△MNP的面积S＝S OMN＝ k＝1；
△
（3）由（2）知△MNP的面积为1，为常数，即可求解．
解：（1）将点A的坐标代入y＝x+1得：n＝1+1＝2，故点A（1，2），
设反比例函数的表达式为：y＝ ，将点A的坐标代入上式得：2＝ ，解得：k＝2，
故反比例函数表达式为：y＝ ；
（2）∵MN⊥y轴，故MN∥x轴，
则△MNP的面积S＝S OMN＝ k＝1；
△
（3）由（2）知△MNP的面积为1，为常数，
故△MNP的面积是不变的常数1．
【点拨】此题主要考查一次函数、反比例函数和几何综合，熟练掌握函数图象和性质
是解题关键．
21．（1）y= ，y= x+6；（2） ；（3）（ ，2）或（ ，2）．【分析】（1）先利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而确定出点A的坐标，
再用待定系数法求出一次函数解析式；
（2）先求出OB的解析式，进而求出AG，用三角形的面积公式即可得出结论．
（3）分情形分别讨论求解即可解决问题；
解：（1）∵点B（3，2）在反比例函数y= 的图象上，
∴a=3×2=6，
∴反比例函数的表达式为y= ，
∵点A的纵坐标为4，
∵点A在反比例函数y= 图象上，
∴A（ ，4），
∴ ，
∴ ，
∴一次函数的表达式为y=- x+6；
（2）如图1，过点A作AF⊥x轴于F交OB于G，
∵B（3，2），
∴直线OB的解析式为y= x，
∴G（ ，1），A（ ，4），
∴AG=4-1=3，∴S =S +S = ×3×3= ．
AOB AOG ABG
△ △ △
（3）①当∠AOE=90°时，
∵直线AC的解析式为y= x，
∴直线OE的解析式为y= x，
当y=2时，x=- ，
∴E（- ，2）；
②当∠OAE=90°时，可得直线AE的解析式为y=- x+ ，
当y=2时，x= ，
∴E（ ，2）．
综上所述，满足条件的E的坐标为（- ，2）或（ ，2）．
【点拨】此题主要考查了反比例函数综合题、待定系数法，三角形的面积公式，直角
三角形的判定和性质，解本题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思
想思考问题．
22．（1）D（4，5）， ；（2）
【分析】（1）作DM⊥y轴于M，BN⊥y轴于N，通过证得△ANB≌△DMA（AAS），求
得D的坐标，然后根据待定系数法即可求得双曲线的解析式．
（2）利用轴对称求最短路线得出A点关于x轴对称点的性质，进而得出DA′的解析式，
可得点E坐标，延长DA交x轴于F，此时|FD﹣FA|的值最大，求出直线AD的解析式可得
点F坐标，由此即可解决问题．
解：（1）作DM⊥y轴于M，BN⊥y轴于N，∵点A（0，2），点B（3，﹣2），
∴OA=2，ON=2，
∴AN=4，BN=3，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，AB=AD，
∴∠NAB+∠DAM=90°，
∵∠NAB+∠ABN=90°，
∴∠DAM=∠ABN，
在△ANB和△DMA中，
，
∴△ANB≌△DMA（AAS），
∴AM=BN=3，DM=AN=4，
∴OM=5，
∴D（4，5），
∵反比例函数 （x＞0）恰好经过点D．
∴k=4×5=20，
∴双曲线为 ；
（2）如图2所示：作A点关于x轴对称点A′，连接DA′，交x轴于点E，此时ED+EA
的值最小，∵A（0，2），
∴A′（0，﹣2），
设直线DA′的解析式为： ，
把A（0，﹣2），D（4，5）代入得 ，
解得： ，
故直线DA′解析式为： ，
当 则 ，
故E点坐标为：（ ，0），
延长DA交x轴于F，此时|FD﹣FA|的值最大，
设直线AD的解析式为 ，
把A（0，2），D（4，5）代入得 ，
解得 ，
∴直线AD的解析式为 ，
当 则 ，∴F（ ，0），
∴ ．
【点拨】本题属于反比例函数与几何的综合，考查了正方形的性质，全等三角形的判
定和性质，待定系数法求反比例函数、一次函数解析式以及最短路线问题等知识，根据题
意得出E，F点坐标是解题关键．
23．（1）反比例函数解析式为：y＝ ；直线AC的解析式为：y＝﹣ x+8；（2）
3；（3）符合条件的点D的坐标是：（3，2）或（3，6）或（9，﹣2）．
【分析】（1）将A点的坐标代入反比例函数y＝ 求得k的值，然后将A，C坐标代
入直线解析式解答即可；
（2）把x=6代入反比例函数解析式求得相应的y的值，即得点B的坐标，进而利用三
角形面积公式解答即可；
（3）使得以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，如图所示，找出满足题意
D的坐标即可．
解：（1）把点A（3，4）代入y＝ （x＞0），得
k＝xy＝3×4＝12，
故该反比例函数解析式为：y＝ ，
把A（3，4），C（6，0）代入y＝mx+n中，
可得： ，
解得： ，所以直线AC的解析式为：y＝﹣ x+8；
（2）∵点C（6，0），BC⊥x轴，
∴把x＝6代入反比例函数y＝ ，得
y＝ ＝2，则B（6，2），
所以△ABC的面积＝ ；
（3）①如图，当四边形ABCD为平行四边形时，AD∥BC且AD＝BC．
∵A（3，4）、B（6，2）、C（6，0），
∴点D的横坐标为3，y ﹣y ＝y ﹣y 即4﹣y ＝2﹣0，故y ＝2．
A D B C D D
所以D（3，2）．
②如图，当四边形ACBD′为平行四边形时，AD′∥CB且AD′＝CB．
∵A（3，4）、B（6，2）、C（6，0），
∴点D的横坐标为3，y ﹣y ＝y ﹣y 即y ﹣4＝2﹣0，故y ＝6．
D′ A B C D D′
所以D′（3，6）．
③如图，当四边形ACD″B为平行四边形时，AC＝BD″且AC∥BD″．
∵A（3，4）、B（6，2）、C（6，0），
∴x ﹣x ＝x ﹣x 即x ﹣6＝6﹣3，故x ＝9．
D″ B C A D″ D″
y ﹣y ＝y ﹣y 即y ﹣2＝0﹣4，故y ＝﹣2．
D″ B C A D″ D″
所以D″（9，﹣2）．
综上所述，符合条件的点D的坐标是：（3，2）或（3，6）或（9，﹣2）．
【点拨】本题考查了反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，
平行四边形的判定与性质，解答（3）题时，采用了“数形结合”和“分类讨论”的数学思
想．
24．（1） ；（2）1或3
【分析】（1）过点A作AC⊥OB于点C，根据等腰直角三角形的性质得出点A坐标，
用待定系数法求得反比例函数的解析式即可；
（2）分两种情况讨论：①反比例函数图象过AB的中点；②反比例函数图象过AO的
中点．分别过中点作x轴的垂线，根据等腰直角三角形的性质得出中点的纵坐标，代入反
比例函数的解析式得出中点坐标，再根据平移的法则得出a的值即可．解：（1）如图1，过点A作AC⊥OB于点C，
图1
∵△OAB是等腰直角三角形，
∴∠AOB＝45°，OC＝ OB，
又∵B（4，0），
∴OC＝2，AC＝2．
∴A点坐标为（2，2）
把点A（2，2）代入y＝ ，得k＝4．
∴反比例函数的解析式为 ；
（2）分两种情况讨论：
①如图2，点D是A′B′的中点，过点D作DE⊥x轴于点E．
由题意得A′B′＝ ，∠A′B′E＝45°，
在Rt DEB′中，B′D＝ ，DE＝1，B′E＝1．
△
∴O′E＝3，
把y＝1代入 ，得x＝4，
∴OE＝4，
∴a＝OO′＝4﹣3＝1；②如图3，点F是A′O′的中点，过点F作FH⊥x轴于点H．
由题意得A′O′＝ ，∠A′O′B′＝45°，
在Rt△FO′H中，FH＝1，O′H＝1．
把y＝1代入 ，得x＝4，
∴OH＝4，
∴a＝OO′＝4﹣1＝3，
综上所述，a的值为1或3．
【点拨】本题考查反比例函数图象上的坐标特征、等腰直角三角形的性质、坐标与图
形变化-平移，解题的关键是利用待定系数法求出反比例函数解析式 ，对于题（2）要
注意分类讨论．
