跟踪训练01数列的概念（解析版）_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_3.2024专项复习_更新中2024年新高考数学一轮复习之题型归纳与重难专题突破提升（新高考专用）_第六章数列

跟踪训练 01 数列的概念 一．选择题（共15小题） 1．已知数列9，99，999，9999， ，写出 的通项公式 A． B． C． D． 【解答】解：数列9，99，999，9999， ， 可以表示为： ， ， ， ， ， 的通项公式： ， 故选： ． 2．已知 是各项均为正整数的递增数列，且 ，若 ，则 的 最大值为 A．7 B．8 C．9 D．10 【解答】解：若要使 尽可能的大，则 取最小值，数列递增幅度要最小， 则 的最小值为 ， 的最小值为 ， 即当 是公差为1的等差数列， 的值最大， 不妨设数列 是首项为3，公差为1的等差数列， 则 ， 所以 ， 当 ， ， 当 ， ，当 ， ，所以 的最大值为10． 故选： ． 3．数列 ，4， ，16， 的一个通项公式为 A． B． C． D． 【解答】解：设此数列为 ，其符号为 ，绝对值为 ． ． 故选： ． 4．已知数列 的项满足 ，而 ，通过计算 ， ，猜想 等于 A． B． C． D． 【解答】解：数列 的项满足 ，而 ， ． 猜想 ． 故选： ． 5．已知数列 的前 项和 ， ，则 A．20 B．17 C．18 D．19 【解答】解： 数列 的前 项和 ， ， 则 ．故选： ． 6．等比数列 中，首项为 ，公比为 ，则下列条件中，使 一定为递减数列的条件 是 A． B． ， C． ， 或 ， D． 【解答】解：等比数列 为递减数列， 当首项 ，公比 时， 为递减数列； 当首项 ，公比 时，数列 为递增数列； 当首项 ，公比 时，数列 为递增数列； 当首项 ，公比 时，数列 为递减数列； 使 一定为递减数列的条件是 ， 或 ， ． 故选： ． 7．设数列 的前 项和为 ，则“对任意 ， ”是“数列 为递增数 列”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不是充分也不是必要条件 【解答】解：数列 中，对任意 ， ，则 ， ； 所以数列 是递增数列，充分性成立； 当数列 为递增数列时， ， ； 即 ，所以 ，如数列 ，2，2，2， ；不满足题意，必要性不成立； 所以“对任意 ， ”是“数列 为递增数列”的充分不必要条件． 故选： ． 8．数列0， ，4， ， 的一个通项公式为 A． B． C． D． 【解答】解：数列0， ，4， ， ， 即数列 ， ， ， ， ， 所以数列的一个通项公式为 ，即 ． 故选： ． 9．数列 ，4， ，20， 的一个通项公式可以是 A． B． C． D． 【解答】解：根据题意，数列 ，4， ，20， ， 有 ， ， ， ， 故该数列的一个通项公式可以为： ． 故选： ．10．数列 的第10项是 A． B． C． D． 【解答】解：根据题意，数列 ， 其通项公式为 ，故其第10项 ． 故选： ． 11．已知无穷实数列 的前 项和为 ．若数列 既有最大项，也有最小项，则在： ①“ 且数列 严格减”和②“ 且数列 严格增”中， 可能满足的 条件是 A．不存在 B．只有① C．只有② D．①和② 【解答】解：对于①，不妨设 ， ，当 ， ，因为 ， ， 当 ， ，所以 ， 又 ，所以 ， 可能满足条件①； 对于②，设 ， ，则 到 轴的距离随 的增大而增大，对某一整数 ， 当 ， 若 单调递增或单调递减或正负交替，数列 均不能同时存在最大值和最小值， 不可能满足条件②． 故选： ． 12．数列 ，4， ，8， 的通项公式可以是 A． B． C． D．【解答】解：数列 ，4， ，8， 的奇数项为负，偶数项为正，且均为2的倍数， 故 ． 故选： ． 13．若数列为 ， ， ， ， ，则 是该数列中的 A．第17项 B．第18项 C．第19项 D．第20项 【解答】解：根据题意，数列 ， ， ， ， 则其通项可以为 ， 若 ，解可得 ，即 是第20项， 故选： ． 14．已知各项均为正整数的递增数列 的前 项和为 ，若 ， ，当 取 最大值时， 的值为 A．10 B．61 C．64 D．73 【解答】解：因为 为递增数列且均为正整数， ， ， 若 取最大值时，则当 时， 均取到最小，即 ， ， ， ， 即当 时，可得 ，所以数列 是以首项为3，公差为1的等差数列， 则 ， 又因为 ， ， ， 若 的最大值为61，则 ， ，符合题意； 若 的最大值为62，则 ， ，不符合题意； 综上所述：当 取最大值时， 的值为73． 故选： ．15．数列2，0，2，0， 的通项公式可以为 A． B． C． D． 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于 ， ，其前4项为0，2，0，2，不符合题意； 对于 ， ，其前4项为0，4，0，4，不符合题意； 对于 ， ，其前4项为2，0， ，0，不符合题意； 对于 ， ，其前4项为2，0，2，0，符合题意； 故选： ． 二．多选题（共5小题） 16．下列说法中正确的是 A．数列1，2，3，4，5和数列5，4，3，2，1是相同的数列 B．2，2，2，2，2，2是数列，这些数也可以构成集合 ，2，2，2，2， C．数列1，3，5，7，9的第1项是1，第2项是3 D．已知 是一个数列，则 也是一个数列 【解答】解：对于选项 ：数列1，2，3，4，5和数列5，4，3，2，1是不同的数列，故 错误； 对于选项 ，2，2，2，2，2是数列，这些数也可以构成集合 ，故错误； 对于选项 ：数列1，3，5，7，9的第1项是1，第2项是3，故正确； 对于选项 ：已知 是一个数列，则 也是一个数列，故正确； 故选： ． 17．下列叙述不正确的是A．数列1，3，5，7与7，5，3，1是相同的数列 B．数列0，1，2，3， 可以表示为 C．数列0，1，0，1， 是常数列 D．数列 是递增数列 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于 ，数列1，3，5，7与7，5，3，1，数字的顺序不同，是不同的数列， 错误； 对于 ，数列0，1，2，3， 可以表示为 ， 错误； 对于 ，数列0，1，0，1， 是摆动数列， 错误； 对于 ，数列 ，有 ，则 ，则数列 是递增数列， 正确； 故选： ． 18．已知数列 ，2， ， ，则下列说法正确的是 A．此数列的通项公式是 B．8是它的第32项 C．此数列的通项公式是 D．8是它的第4项 【解答】解：数列 ，2， ， ，即 ， ， ， ， ， 则此数列的通项公式为 ，故 正确， 错误， 令 ，解得 ， 故8是它的第32项，故 正确， 错误． 故选： ． 19．已知数列 的前4项为2，0，2，0，则该数列的通项公式可能为A． B． C． D． 【解答】解： ：若 ，则数列的前4项为0，2，0，2，不符合题意； ，则数列的前4项，2，0，2，0，符合题意； ，则数列的前4项，2，0，2，0，符合题意； ，则数列的前4项，2，0，2，0，符合题意． 故选： ． 20．已知数列 的前4项为2，0，2，0，则该数列的通项公式可能为 A． B． C． D． 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于 ， ，该数列的前4项为0，2，0，2，不符合题意； 对于 ， ，该数列的前4项为2，0，2，0，符合题意； 对于 ， ，该数列的前4项为2，0， ，0，不符合题意； 对于 ， ，该数列的前4项为2，0，2，0，符合题意； 故选： ． 三．填空题（共5小题） 21．已知无穷数列 满足 ， ， ， ，写出满足条件的 的一个通项公式： （或 （答案不唯一） ．（不能写成分段数列的 形式） 【解答】解：由 ， ， ， ， 猜想 ． 故答案为： ．（答案不唯一）． 22．数列 的通项公式为 ，对于任意自然数 ，数列 都是递增数列 则实数 的取值范围为 ． 【解答】解：因为 ，当 时， ， 因为 是递增数列，所以 ，即 ，也即 ， 因为 ，所以 ． 所以实数 的取值范围为 ． 故答案为： ． 23．已知数列 满足下列条件：①是无穷数列；②是递减数列；③每一项都是正数．写 出一个符合条件的数列 的通项公式： ． 【解答】解：根据题意，要求数列①是无穷数列；②是递减数列；③每一项都是正数； 则 符合， 故答案为： （答案不唯一）． 24．“物不知数”问题：“今有物，不知其数，三、三数之，剩二；五、五数之，剩三； 七、七数之，剩二．问物几何？”即著名的“孙子问题”，最早由《孙子算经》提出，研 究的是整除与同余的问题．现有这样一个问题：将1到2022这2022个数中，被3除余2且被5除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列 ，则此数列的中位数为 1007 ． 【解答】解：由题意可知， 既是3的倍数，又是5的倍数，即 ， 故 ， 当 时， ， 当 时， ， 故 ，2，3， ，135， 故数列 共有135项，即中位数为第68项， 故 ． 故答案为：1007． 25．已知数列 的通项公式为 ， ，且 为单调递增数列，则实数 的 取值范围是 ． 【解答】解： 数列 的通项公式为 ，且数列 是递增数列， ， 恒成立， 即 ， 恒成立， 而 ， 随 的增大而增大， 即当 时， ， 取得最小值2，则 ， 所以实数 的取值范围是 ， 故答案为： ．四．解答题（共3小题） 26．已知数列 满足 ， （Ⅰ）数列中有哪些项是负数？ （Ⅱ）当 为何值时， 取得最小值？并求出此最小值． 【解答】解：（Ⅰ） ，解得 ， ， 数列中第1，2，3，4，5项为负数，即 ， ， ， ， ， （Ⅱ） ，当 ，3时 取得最小值，最小值为 ． 27 ． 已 知 有 穷 数 列 、 ， 2 ， ， ， 函 数 ． （1）如果 是常数列， ， ， ，在直角坐标系中在画出函数 的图象， 据此写出该函数的单调区间和最小值，无需证明； （2）当 ， 时，判断函数 在区间 ， 上的单调性， 并说明理由； （3）当 ， ， 时，求该函数的最小值．【 解 答 】 解 ： （ 1 ） 是 常 数 列 ， ， ， ， 则 ， 则其图象为如图， 由图象可得减区间 ， ，增区间 ， ，最小值 （2） ； （2） ， 时， 且 ， ， 所 以 ， 所 以 所 以 且 ， 所以 在 ， 上单调递增； （3）因为 ， 显然当 ， 时， 单调递增，当 ， 时， 单调递减， 设存在一个值 ，使得 时 单调递减， 时 单调递增， 此时最小值为 ，下面证明 存在： 因为若要 时 单调递减， 时 单调递增，则有 解得： ， 且 ，解得 ， 所以 ，所以 ，所以存在 满足条件，故假设成立， 综上可知： 在 上单调递减，在 上单调递增， 的 最 小 值 为 ． 28．已知数列 的前 项和为 ． （1）求证：数列 为等差数列； （2）试讨论数列 的单调性（递增数列或递减数列或常数列）． 【解答】解：（1）由已知，得 ， （3分） 又 ， （2分） 所以，数列 为公差为 的等差数列． （1分） （2）由 ， 得当 时，数列 为递增数列； （2分） 当 时，数列 为常数列； （2分） 当 时，数列 为递减数列． （2分）