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专题 26.23 实际问题与反比例函数（培优篇）（专项练习）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．春季是传染病多发的季节，积极预防传染病是学校高度重视的一项工作，为此，某
校对学生宿舍采取喷洒药物进行消毒．在对某宿舍进行消毒的过程中，先经过 的集中
药物喷洒，再封闭宿舍 ，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量
与药物在空气中的持续时间 之间的函数关系，在打开门窗通风前分别满
足两个一次函数，在通风后又成反比例，如图所示．下面四个选项中错误的是（ ）
A．经过 集中喷洒药物，室内空气中的含药量最高达到
B．室内空气中的含药量不低于 的持续时间达到了
C．当室内空气中的含药量不低于 且持续时间不低于35分钟，才能有效杀灭
某种传染病毒．此次消毒完全有效
D．当室内空气中的含药量低于 时，对人体才是安全的，所以从室内空气中
的含药量达到 开始，需经过 后，学生才能进入室内
2．如图，在某温度不变的条件下，通过一次又一次地对气缸顶部的活塞加压，测出每
一次加压后气缸内气体的体积 与气体对气缸壁产生的压强 的关系可以用如图
所示的函数图象进行表示，下列说法正确的是（ ）A．气压P与体积V的关系式为
B．当气压 时，体积V的取值范围为
C．当体积V变为原来的一半时，对应的气压P也变为原来的一半
D．当 时，气压P随着体积V的增大而减小
3．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压 与气
体体积 之间的函数关系如图所示.当气球的体积是 ，气球内的气压是（ ） .
A．96 B．150 C．120 D．64
4．如图所示，点B、D在双曲线 上，点A在双曲线 上，且
AD//y轴，AB//x轴， 以AB、AD为邻边作平行四边形ABCD，则平行四边形ABCD的面
积是（ ）A．4 B．6 C．8 D．10
5．如图是个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶
点记作 （m为1～8的整数）．函数 的图象为曲线L．若曲线L使得
这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，则k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．当今，各种造型的气球深受小朋友喜爱．如图1是“冰墩墩”造型的气球，气球内
充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（kPa）是气球体积V（m3）
的反比例函数，其图象如图2所示，当气球内的气压大于200kPa时，气球将爆炸，为了安
全起见，气球的体积V的范围为*
A．V＞0.48m3 B．V＜0.48m3 C．V≥0.48m3 D．V≤0.48m3
7．某市举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞
赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值） 与该校参加竞赛人数 的
情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则这四所学
校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是（ ）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
8．两个反比例函数 ， 在第一象限内的图像如图所示，点 、 、 ……
反比例函数 图像上，它们的横坐标分别是 、 、 …… ，纵坐标分别是
1，3，5，…，共2020个连续奇数，过点 、 、 …… 分别作 轴的平行线，与反
比例函数 的图像交点依次是 、 、 …… ，则
等于（ ）
A．2019.5 B．2020.5 C．2019 D．4039
9．如图，△ABC是边长为4cm的等边三角形，动点P从点A出发，以2cm/s的速度
沿A→C→B运动，到达B点即停止运动，过点P作PD⊥AB于点D，设运动时间为x
（s），△ADP的面积为y（cm2），则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是
（ ）A． B． C． D．
10．为规范市场秩序、保障民生工程，监管部门对某一商品的价格持续监控．该商品
的价格 （元/件）随时间t（天）的变化如图所示，设 （元/件）表示从第1天到第t天
该商品的平均价格，则 随t变化的图像大致是（ ）
A． B．C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间 与行驶速度 满足函数关系：
，其图象为如图所示的一段曲线，且端点为 和 ，则 ________和
________；若行驶速度不得超过 ，则汽车通过该路段最少需要________小时．
12．如图，点E，F在函数y＝ （k＞0）的图象上．直线EF：y＝﹣x+n分别与x轴、
y轴交于点A，B．且BE＝AF＝m，过点E作EP⊥y轴于P．已知 0EP的面积为1．则k的
值是_____． OEF的面积是_____（用含m，n的式子表示）． △
△
13．如图，在平面直角坐标系中，已知直线 和双曲线 ，在直线上取一点，
记为 ，过 作 轴的垂线交双曲线于点 ，过 作 轴的垂线交直线于点 ，过 作
轴的垂线交双曲线于点 ，过 作 轴的垂线交直线于点 ······，依次进行下去，记点的横坐标为 ，若 则 ______．
14．如图，已知等边 ，顶点 在双曲线 上，点 的坐标为（2，
0）．过 作 ，交双曲线于点 ，过 作 交 轴于 ，得到第二个等
边 ．过 作 交双曲线于点 ，过 作 交 轴于点 得到第三
个等边 ；以此类推，…，则点 的坐标为______， 的坐标为______．
15．如图，点 ， 分别在 轴和 轴上， ， ，沿 所在直线将
翻折，使点 落在点 处，若反比例函数 的图象经过点 ，则 的值
为______．16．如图所示的是一蓄水池每小时的排水量 与排完水池中的水所用的时间
之间的函数图象．
（1）根据图象可知此蓄水池的蓄水量为_______ ；
（2）此函数的解析式为___________；
（3）若要在 内排完水池中的水，那么每小时的排水量至少应该是______ ；
（4）如果每小时的排水量是 ，那么水池中的水需要________h排完．
17．如图，某校园艺社计划利用已有的一堵长为10m的墙，用篱笆围一个面积为12m2
的矩形园子．
（1）设矩形园子的相邻两边长分别为xm，ym，y关于x的函数表达式为 _____（不
写自变量取值范围）；
（2）当y≥4m时，x的取值范围为 _____；
（3）当一条边长为7.5m时，另一条边的长度为 _____m．
18．如图是某种电子理疗设备工作原理的示意图，其开始工作时的温度是20℃，然后
按照一次函数关系一直增加到70℃，这样有利于打通病灶部位的血液循环，在此温度下再
沿反比例函数关系缓慢下降至35℃，然后在此基础上又沿着一次函数关系一直将温度升至
70℃，再在此温度下沿着反比例函数关系缓慢下降至35℃，如此循环下去．（1） 的值为________；
（2）如果在 分钟内温度大于或等于50℃时，治疗效果最好，则维持这个温度范
围的持续时间为________分钟．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显
示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要
求该企业立即整改，在15天内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的
浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，
第3天时硫化物的浓度降为4.5mg/L．从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满
足下面表格中的关系：
时间x（天） 3 5 6 9 ……
硫化物的浓度y（mg/L） 4.5 2.7 2.25 1.5 ……
(1) 在整改过程中，当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
(2) 在整改过程中，当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
(3) 该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为
什么？20．（8分）电子体重科读数直观又便于携带，为人们带来了方便．某综合实践活动
小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R， R
1 1
与踏板上人的质量m之间的函数关系式为R＝km＋b（其中k，b为常数，0≤m≤120），其
1
图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻R0的阻值为30欧，接通
开关，人站上踏板，电压表显示的读数为U0 ，该读数可以换算为人的质量m，
温馨提示：
①导体两端的电压U，导体的电阻R，通过导体的电流I，满足关系式I＝ ；
②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压．
（1）求k，b的值；
（2）求R 关于U 的函数解析式；
1 0
（3）用含U 的代数式表示m；
0
（4）若电压表量程为0~6伏，为保护电压表，请确定该电子体重秤可称的最大质量．
21．（10分）某综合实践活动小组设计了一个简易电子体重秤，已知装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻 与踏板上人的质量 之间满足一次函数关系，共图象如图1
所示；图2的电路中，电源电压恒为3伏，定值电阻 的阻值为40欧，接通开关，人站上
踏板，电压表显示的读数为 ，然后把 代入相应的关系式，该读数就可以换算为人的
质量 ，
知识小链接：①导体两端的电压 ，导体的电阻 ，通过导体的电流 ，满足关系式
；②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压．
(1)求可变电阻 与人的质量 之间的函数关系；
(2)用含 的代数式表示 ；
(3)当电压表显示的读数 为0.75伏时，求人的质量 ．
22．（10分）习总书记强调，实行垃圾分类，关系广大人民群众生活环境，关系节约
使用资源，也是社会文明水平的一个重要体现．为改善城市生态环境，某市决定从6月1
日起，在全市实行生活垃圾分类处理，某街道计划建造垃圾初级处理点20个，解决垃圾投
放问题．有A、B两种类型垃圾处理点，其占地面积、可供使用居民楼幢数及造价见表：
类 可供使用幢
占地面积 造价（万元）
型 数
A 15 18 1.5
B 20 30 2.1(1)已知该街道可供建造垃圾初级处理点的占地面积不超过370m2，如何分配A、B两种
类型垃圾处理点的数量，才能够满足该街道490幢居民楼的垃圾投放需求，且使得建造方
案最省钱？
(2)当建造方案最省钱时，经测算，该街道垃圾月处理成本y（元）与月处理量x（吨）
之间的函数关系可以近似的表示为： ，若每个B型处理
点的垃圾月处理量是A型处理点的1.2倍，该街道建造的每个A型处理点每月处理量为多
少吨时，才能使该街道每吨垃圾的月处理成本最低？（精确到0.1）
23．（10分）已知直线l：y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，且与双曲线
1
交于点C（1，a）．
（1）试确定双曲线的函数表达式；
（2）将l 沿y轴翻折后，得到l，画出l 的图象，并求出l 的函数表达式；
1 2 2 2
（3）在（2）的条件下，点P是线段AC上点（不包括端点），过点P作x轴的平行线，
分别交l 于点M，交双曲线于点N，求S AMN的取值范围．
2
△24．（12分）某电子科技公司研发出一套学习软件，并对这套学习软件在24周的销
售时间内，做出了下面的预测：设第x周该软件的周销售量为T（单位：千套），当0＜
x≤8时，T与x+4成反比；当8＜x≤24时．T﹣2与x成正比，并预测得到了如表中对应的数
据．设第x周销售该软件每千套的利润为K（单位：千元），K与x满足如图中的函数关系
图象：
x/周 8 24
T/千套 10 26
(1)求T与x的函数关系式；
(2)观察图象，当12≤x≤24时，K与x的函数关系式为________．
(3)设第x周销售该学习软件所获的周利润总额为y（单位：千元），则：
①在这24周的销售时间内，是否存在所获周利润总额不变的情况？若存在，求出这个
不变的值；若不存在，请说明理由．
②该公司销售部门通过大数据模拟分析后认为，最有利于该学习软件提供售后服务和
销售的周利润总额的范围是286≤y≤504，求在此范围内对应的周销售量T的最小值和最大
值．参考答案
1．C
【分析】利用图中信息一一判断即可．
解：由图象可知，经过 集中喷洒药物，室内空气中的含药量最高达到 ，
故A选项正确．不符合题意．
设015，
设反比例函数解析式为y= ，
2
把（15，8）代入得：8= ，
解得： ，
∴ ，
当y=5时，x=2.5，当y=5时，x=24，
1 1 2 2
24-2.5=21.5＜35，故C选项错误，符合题意；
当y=2时，x=1，当y=2时，x=60，
1 1 2 260-1=59，故D选项正确．不符合题意，
故选：C．
【点拨】本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用等知识，解题的关键是读懂图
象信息，属于中考常考题型．
2．D
【分析】A．气压P与体积V表达式为P= ,k＞0，即可求解；
B．当P=70时， ,即可求解；
C．当体积V变为原来的一半时，对应的气压P变为原来的两倍，即可求解；
D．当60≤V≤100时，气压P随着体积V的增大而减小，即可求解．
解：当V=60时，P=100，则PV=6000，
A．气压P与体积V表达式为P= ，k＞0，故本选项不符合题意；
B．当P=70时，V= ＞80，故本选项不符合题意；
C．当体积V变为原来的一半时，对应的气压P变为原来的两倍，本选项不符合题意；
D．当60≤V≤100时，气压P随着体积V的增大而减小，本选项符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查的是反比例函数综合运用．现实生活中存在大量成反比例函数的两
个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，进而根据字母代表的意思
求解．
3．A
【分析】根据题意可知温度不变时，气球内气体的气压P（kPa）是气体体积V（m3）
的反比例函数，且过点（0.8，120），代入解析式即可得到结论．
解：设球内气体的气压p（kPa）和气体体积V（m3）的关系式为 ，
∵图象过点（0.8，120）
∴k=96，
即气压p（kPa）与气体体积V（m3）之间的函数关系为 ，
∴当V=1时，p=96．
故选：A．【点拨】本题考查了反比例函数的应用，根据图象上的已知点的坐标，利用待定系数
法求出函数解析式．
4．A
【分析】设 ，求得 、 的坐标，进而得 、 的长度，再根据矩形的面积
公式求矩形 的面积．
解： 轴， 轴，
∴ ，
四边形 为矩形，
设 ，
点 ， 在双曲线 上，
， ，
， ，
矩形 的面积为： ，
故选：A．
【点拨】本题主要考查反比例函数的图象与性质，关键是根据 点的坐标，求出 、
点坐标．
5．A
【分析】先根据题意求出各点的坐标，进而求出对应的k值，然后根据曲线的两侧各
有4个点即可求出答案．
解：∵每个台阶的高和宽分别是1和2，
∴T（-16，1），T（-14，2），T（-12，3），T（-10，4），T（-8，5），T（-6，
1 2 3 4 5 6
6），T（-4，7），T（-2，8），
7 8
∵L过点T，
1
∴k=-16×1=-16，
若曲线L过点T（-14，2），T（-4，7）时，k=-14×2=-28，
2 7
若曲线L过点T（-12，3），T（-6，6）时，k=-12×3=-36，
3 6
若曲线L过点T（-10，4），T（-8，5）时，k=-40，
4 5∵曲线L使得T～T 这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，
1 8
∴-36＜k＜-28，
故选：A．
【点拨】本题考查了反比例函数的应用，求出各点的坐标是本题的关键．
6．C
【分析】先求出反比例函数解析式，再依题意得P≤200，即 ，解不等式即可．
解：设P与V的函数关系式为P= ，
则 ，
解得k=96，
∴函数关系式为P= ；
当P＞200KPa时，气球将爆炸，
∴P≤200，即 ，
解得V≥0.48（m3）．
故选C．
【点拨】本题考查了反比例函数的实际应用，关键是建立函数关系式，并会运用函数
关系式解答题目的问题．
7．C
【分析】根据反比例函数图像与性质求解即可得到结论．
解：描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，设反比例函数
表达式为 ，则令甲 、乙 、丙 、丁 ，
过甲点作 轴平行线交反比例函数于 ，过丙点作 轴平行线交反比例函数于
，如图所示：由图可知 ，
、乙 、 、丁 在反比例函数 图像上，
根据题意可知 优秀人数，则
① ，即乙、丁两所学校优秀人数相同；
② ，即甲学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数少；
③ ，即丙学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数多；
综上所述：甲学校优秀人数 乙学校优秀人数 丁学校优秀人数 丙学校优秀人数，
在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是丙学校，
故选：C．
【点拨】本题考查反比例函数图像与性质的实际应用题，读懂题意，并熟练掌握反比
例函数的图像与性质是解决问题的关键．
8．A
【分析】主要是找规律，找出规律即可求出本题答案，先根据已知条件求出 分别为
1、3、5时 的值，即可求出当 时 的值，再将其代入 中即可求出 ．
解：当 时， 、 、 … 分别为6、2、 …
将 、 、 … 代入 ，
得： 、 、 …，
故选：A．
【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y= （k≠0）的图
象是双曲线；图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
9．B
解：过点P作PD⊥AB于点D， ABC是边长为4cm的等边三角形，
则AP=2x， △
当点P从A→C的过程中，AD=x，PD= x，如图1所示，
则y= AD•PD= = ，（0≤x≤2），
当点P从C→B的过程中，BD=（8﹣2x）× =4﹣x，PD= （4﹣x），PC=2x﹣4，
如图2所示，
则 ABC边上的高是：AC•sin60°=4× =2 ，
△
∴y=S ﹣S ﹣S
ABC ACP BDP
△ △ △
= （2＜x≤4），故选B．
点睛：此题空考查了动点问题函数图象.几何图形中的动点问题,是代数的方程知识与几
何知识的综合运用.解题的关键是要求有运动的观点,搞清点的运动特性,对动态问题作静态
分析,解答时要注意以下几点:(1)将与求解有关的线段用含未知数的代数式表示出来;(2)明确
几何题与代数题不是截然分开的,解题时要有数形结合的思想;(3)考虑到方程的解应符合实
际意义,所以在求出方程的解后,要结合条件进行合理的取舍.对于动点类的题目,解题的关键
在于抓住运动图形的特殊位置,临界位置及其特殊性质,解决此类问题的基本方法是从运动与
变化的角度来观察和研究图形,把握图形运动与变化的全过程,此类题目常需借助函数或方程
解答.
10．A
【分析】根据函数图像先求出 关于t的函数解析式，进而求出 关于t的解析式，
再判断各个选项，即可．
解：∵由题意得：当1≤t≤6时， =2t+3，
当6＜t≤25时， =15，
当25＜t≤30时， =-2t+65，
∴当1≤t≤6时， = ，
当6＜t≤25时， = ，
当25＜t≤30时， =
= ，
∴当t=30时， =13，符合条件的选项只有A．
故选A．
【点拨】本题主要考查函数图像和函数解析式，掌握待定系数法以及函数图像上点的坐标意义，是解题的关键．
11． 80
【分析】将点A（40，1）代入t= ，求得k，再把点B代入求出的解析式中，求得m
的值；求出v=60时的t值，汽车所用时间应大于等于这个值．
解：由题意得：函数经过点（40，1），把（40，1）代入t= ，得：k=40，故可得：
解析式为t= ，再把（m，0.5）代入t= ，得：m=80；
把v=60代入t= ，得：t= ，∴汽车通过该路段最少需要 小时．
故答案为40，80， ．
【点拨】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变
量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们
的关系式．
12． 2， ﹣ m2．
【分析】作EC⊥x轴于C，FD⊥x轴于D，FH⊥y轴于H，根据反比例函数的比例系数
的几何意义由 OEP的面积为1易得k＝2，再根据S OEF+S OFD＝S OEC+S
梯形
ECDF，S OF△D＝S OEC＝1，所以S OEF＝S E△CDF，然△后根据梯形△面积公式计算．
梯形
解：作△EC⊥x轴△于C，FD⊥x轴于△D，FH⊥y轴于H，如图，
∵△OEP的面积为1，
∴ |k|＝1，
而k＞0，
∴k＝2，
∴反比例函数解析式为y＝ ，
∵B（0，n），A（n，0），
∴OA＝OB＝n，
∴∠OBA＝∠OAB＝45°∵BE＝AF＝m，
∴E（ m， ），F（ ， m），
∵S OEF+S OFD＝S OEC+S ECDF，
梯形
而△S OFD＝△S OEC＝△1，
△ △
∴S OEF＝S ECDF＝ （ m+ ）•（ ﹣ m）＝ ﹣ m2．
梯形
△
故答案为作EC⊥x轴于C，FD⊥x轴于D，FH⊥y轴于H，如图，
∵△OEP的面积为1，
∴ |k|＝1，
而k＞0，
∴k＝2，
∴反比例函数解析式为y＝ ，
∵B（0，n），A（n，0），
∴OA＝OB＝n，
∴∠OBA＝∠OAB＝45°
∵BE＝AF＝m，
∴E（ m， ），F（ ， m），
∵S OEF+S OFD＝S OEC+S ECDF，
梯形
而△S OFD＝△S OEC＝△1，
△ △
∴S OEF＝S ECDF＝ （ m+ ）•（ ﹣ m）＝ ﹣ m2．
梯形
△
故答案为2， ﹣ m2．【点拨】本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、反
比例函数的比例系数的几何意义等知识，解题的关键是学会理由参数解决问题．
13．
【分析】根据反比例函数与一次函数图象上点的坐标特征分别求出A、B 、A、B 、
1 1 2 2
A、B …，从而得到每3次变化为一个循环组依次循环，用2020除以3，根据商的情况确
3 3
定出a 即可
2020
解：当a=2时，B 的横坐标与A 的横坐标相等为2，A（2，3），B (2， ) ；
1 1 1 1 1
A 的纵坐标和B 的纵坐标相同为 ，代入y=x+1，得x= ，可得A（ ，
2 1 2
）；
B 的横坐标和A 的横坐标相同为 ，代入 得，y= ，得B ( ， ) ；
2 2 2
A 的纵坐标和B 的纵坐标相同为 ，代入y=x+1，得x= ，故A（ ， ）
3 2 3
B 的横坐标和A 的横坐标相同为 ，代入 得，y=3，得B ( ，3)
3 3 3
A 的纵坐标和B 的纵坐标相同为3，代入y=x+1，得x=2，所以A（2，3）
4 3 4
…
由上可知，a，a，a，a，a，…，3个为一组依次循环，
1 2 3 4 5
∵2020÷3=673 ，
∴a
2020
=a
1
=2，⋯⋯1
故答案为：2．
【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，
依次求出各点的坐标，观察出每3次变化为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题
的难点．
14． （2 ，0）， （2 ，0）．【分析】根据等边三角形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征分别求出B 、
2
B 、B 的坐标，得出规律，进而求出点B 的坐标．
3 4 n
解：如图，作AC⊥x轴于点C，设B C=a，则AC= a，
2 1 2
OC=OB +B C=2+a，A（2+a， a）．
1 1 2
∵点A 在双曲线 上，
2
∴（2+a）• a= ，
解得a= -1，或a=- -1（舍去），
∴OB =OB +2B C=2+2 -2=2 ，
2 1 1
∴点B 的坐标为（2 ，0）；
2
作AD⊥x轴于点D，设B D=b，则AD= b，
3 2 3
OD=OB +B D=2 +b，A（2 +b， b）．
2 2 2
∵点A 在双曲线y= （x＞0）上，
3
∴（2 +b）• b= ，
解得b=- + ，或b=- - （舍去），
∴OB =OB +2B D=2 -2 +2 =2 ，
3 2 2
∴点B 的坐标为（2 ，0）；
3
同理可得点B 的坐标为（2 ，0）即（4，0）；
4
以此类推…，
∴点B 的坐标为（2 ，0），
n故答案为（2 ，0），（2 ，0）．
【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，正确求出
B 、B 、B 的坐标进而得出点B 的规律是解题的关键．
2 3 4 n
15．
【分析】由将 AOB沿直线AB翻折知 ，过点 作 轴于点 ，
△
而 ， ，由此可以求出 的坐标，进而得k的值．
解：∵ ， ，
∴ ，
由翻折知 ， ．
过点 作 轴于点 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴点 的坐标为 ．
∵反比例函数 的图象经过点 ，
∴ ，
∴ ．【点拨】本题考查了反比例函数的性质、坐标意义及直角三角形性质，正确求得 的
坐标是关键．
16． 48 8 9.6
【分析】（1）根据工作总量＝工作效率×工作时间即可求出答案；
（2）根据点 在此函数图象上，利用待定系数法求出函数的解析式；
（3）把 代入函数的解析式即可求出每小时的排水量；
（4）把 代入函数的解析式即可求出水池中的水需要排完的时间．
解：（1）根据题意得：蓄水量为 ，
故答案为：48；
（2）设 ，
点 在此函数图象上，
，
，
此函数的解析式 ，
故答案为： ；
（3） 当 时， ；
每小时的排水量至少应该是 ．
故答案为：8；
（4） 当 时， ；
∴水池中的水需要9.6h排完，
故答案为：9.6．【点拨】主要考查了反比例函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，
从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式．
17． y 1.2≤x≤3 1.6
【分析】（1）利用矩形的面积计算公式，可得出xy＝12，进而可得出y ；
（2）代入4≤y≤10，可求出1.2≤x≤3，即x的取值范围为1.2≤x≤3；
（3）利用反比例函数图象上点的坐标特征，可求出另一边的长度．
解：（1）依题意得：xy＝12，
∴y ．
故答案为：y ．
（2）∵y ，k＝12，
当x＞0时，y随x的增大而减小，
∵4≤y≤10，
即4 10，
∴1.2≤x≤3．
∴x的取值范围为1.2≤x≤3．
故答案为：1.2≤x≤3．
（3）当x＝7.5时，y 1.6；
当y＝7.5时， 7.5，
解得：x＝1.6．
∴当一条边长为7.5m时，另一条边的长度为1.6m．
故答案为：1.6．
【点拨】本题考查了根据实际问题列反比例函数关系式、反比例函数的性质以及反比
例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y关于x
的函数关系式；（2）利用反比例函数的性质，找出x的取值范围；（3）利用反比例函数
图象上点的坐标特征，求出另一条边的长度．
18． 50； 20.【分析】先利用待定系数法求得第一次循环中反比例函数的解析式，令 时即可
求解；再利用待定系数法求得第一次循环中一次函数的解析式，分别求得 时对应的
的值求差即可．
解：设第一次循环过程中反比例函数的解析式为 ，过点(25，70)，
∴ ，
∴ ，
当 时，则 ，解得 ，
设第一次循环过程中一次函数的解析式为 ，
由题意得 ，解得 ，
∴一次函数的解析式为 ，
∴当 ℃时，则 ，解得 ；
当 ℃时，则 ，解得 ，
∴ 分钟内温度大于或等于50℃时，治疗效果最好，则维持这个温度范围的持续时
间为
（分钟），
故答案为：（1）50；（2）20.
【点拨】本题考查了待定系数法求函数的解析式以及求函数值，理解题意是解题的关
键．
19．(1)线段AC的函数表达式为：y＝﹣2.5x+12（0≤x＜3）；(2)y＝ （x≥3）；
(3)该企业所排污水中硫化物的浓度可以在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L，理由
见分析．
【分析】（1）设线段AC的函数表达式为：y=kx+b，把A、C两点坐标代入求出k、b
的值即可；
（2）设函数的表达式为：y= ，把C点坐标代入，求出k的值即可；
（3）根据（2）所得表达式，求出x=15时，y的值与硫化物浓度允许的最高值比较即可．
（1）解：由前三天的函数图像是线段，设函数表达式为：y=kx+b
把（0，12）（3，4.5）代入函数关系式，得 ，
解得：k=﹣2.5，b=12
∴当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式为：y=﹣2.5x+12；
（2）解：当x≥3时，设y= ，
把（3，4.5）代入函数表达式，得4.5= ，
解得k=13.5，
∴当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式为：y= ；
（3）解：能，理由如下：
当x=15时，y= =0.9，
因为0.9＜1，
所以该企业所排污水中硫化物的浓度，能在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L．
【点拨】本题考查一次函数和反比例函数，熟练掌握根据坐标确定解析式的一次项系
数和常数项是解题关键．
20．（1） ；（2） ；I（3） ；（4）该电子体重秤
可称的最大质量为115千克．
【分析】（1）根据待定系数法，即可求解；
（2）根据“串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压”，列出等
式，进而即可求解；
（3）由R＝ m＋240， ，即可得到答案；
1
（4）把 时，代入 ，进而即可得到答案．解：（1）把（0，240），（120，0）代入R＝km＋b，得 ，解得：
1
；
（2）∵ ，
∴ ；
（3）由（1）可知： ，
∴R＝ m＋240，
1
又∵ ，
∴ = m＋240，即： ；
（4）∵电压表量程为0~6伏，
∴当 时，
答：该电子体重秤可称的最大质量为115千克．
【点拨】本题主要考查一次函数与反比例函数的实际应用，熟练掌握待定系数法，是
解题的关键．
21．(1) (2) (3)70
【分析】（1）设可变电阻 与人的质量 之间的函数关系为 ，直接
用待定系数法求解即可；
（2）由题意可得， ，再结合（1）的解析式，求解即可；（3）将 代入 ，计算即可．
（1）解：设可变电阻 与人的质量 之间的函数关系为 ，
把（0，260），（130，0）代入 得，
，
解得 ，
可变电阻 与人的质量 之间的函数关系为 ；
（2）由题意得，可变电阻两端的电压之和=电源电压-电表电压，
即可变电阻两端的电压之和 ，
，串联电路中电流处处相等，
，
定值电阻 的阻值为40欧， ，
，
整理得 ；
（3）当 时，
.
【点拨】本题以物理中的电路问题为背景，考查了待定系数法求一次函数解析式、反
比例函数解析式即代入求值，准确理解题意并熟练掌握知识点是解题的关键．
22．(1)当建造A型处理点9个，建造B型处理点11个时最省钱(2)每个A型处理点每
月处理量为5.4吨时，才能使该街道每吨垃圾的月处理成本最低【分析】（1）首先依据题意得出不等关系即可供建造垃圾初级处理点占地面积＜等于
370m2，居民楼的数量大于等于490幢，由此列出不等式组；再根据题意求出总费用为y与
A型处理点的个数x之间的函数关系，进而求解；
（2）分0≤x＜144、144≤x＜300两种情况，分别利用二次函数和反比例函数的性质求
出函数的最小值，进而求解．
（1）解：设建造A型处理点x个，则建造B型处理点（20﹣x）个．
依题意得： ，
解得6≤x≤9.17，
∵x为整数，
∴x＝6，7，8，9有四种方案；
设建造A型处理点x个时，总费用为y万元．则：y＝1.5x+2.1（20﹣x）＝﹣0.6x+42，
∵﹣0.6＜0，
∴y随x增大而减小，当x＝9时，y的值最小，此时y＝36.6（万元），
∴当建造A型处理点9个，建造B型处理点11个时最省钱；
（2）解：由题意得：每吨垃圾的处理成本为 （元/吨），
当0≤x＜144时， ＝ （ x3﹣80x2+5040x）＝ x2﹣80x+5040，
∵ >0，故 有最小值，
当x＝﹣ ＝﹣ ＝120（吨）时， 的最小值为240（元/吨），
当144≤x＜300时， ＝ （10x+72000）＝10+ ，
当x＝300（吨）时， ＝250，即 ＞250（元/吨），
∵240＜250，
故当x＝120吨时， 的最小值为240元/吨，
∵每个B型处理点的垃圾月处理量是A型处理点的1.2倍且A型处理点9个，建造B
型处理点11个，∴每个A型处理点每月处理量＝ ×120× ≈5.4（吨），
故每个A型处理点每月处理量为5.4吨时，才能使该街道每吨垃圾的月处理成本最低．
【点拨】本题考查了二次函数、反比例函数和一元一次不等式组的应用，题目有效地
将现实生活中的事件与数学思想联系起来，弄懂题意、列出函数关系式是解题的关键．
23．（1） ；（2）y=﹣x+3；（3） ≤S AMN＜4．
△
【分析】（1）令x=1代入一次函数y=x+3后求出C的坐标，然后把C代入反比例函数
解析式中即可求出k的值；
（2）设直线l 与x轴交于D，由题意知，A与D关于y轴对称，所以可以求出D的坐
2
标，再把B点坐标代入y=ax+b即可求出直线l 的解析式；
2
（3）设M的纵坐标为t，由题意可得M的坐标为（3﹣t，t），N的坐标为（ ，
t），进而得MN= +t﹣3，又可知在 ABM中，MN边上的高为t，所以可以求出S AMN
△ △
与t的关系式．
解：（1）令x=1代入y=x+3，
∴y=1+3=4，
∴C（1，4），把C（1，4）代入 中，
∴k=4，
∴双曲线的解析式为： ；
（2）如图所示，设直线l 与x轴交于点D，由题意知：A与D关于y轴对称，
2
∴D的坐标为（3，0），设直线l 的解析式为：y=ax+b，把D与B的坐标代入上式，
2
得： ，
∴解得： ，
∴直线l 的解析式为：y=﹣x+3；
2（3）设M（3﹣t，t），
∵点P在线段AC上移动（不包括端点），
∴0＜t＜4，
∴PN∥x轴，
∴N的纵坐标为t，把y=t代入 ，
∴x= ，
∴N的坐标为（ ，t），
∴MN= ﹣（3﹣t）= +t﹣3，
过点A作AE⊥PN于点E，
∴AE=t，
∴S AMN= AE•MN= t（ +t﹣3）= ．
△
由二次函数性质可知，当0≤t≤ 时，S AMN随t的增大而减小，当 ＜t≤4时，
△
S AMN随t的增大而增大，
△
∴当t= 时，S AMN可取得最小值为 ，当t=4时，S AMN可取得最大值为4，
△ △
∵0＜t＜4，
∴ ≤S AMN＜4．
△24．(1) ；(2) ；(3)①存在，不变的值为240；②当周利
润总额的范围是286≤y≤504时，对应的周销售量T的最小值是11千套，最大值是18千套．
（1）解：当0＜x≤8时，设 ，
根据表格中的数据，当x＝8时，T＝10，
∴ ，
解得：m＝120，
∴ ，
当8＜x≤24时，设 ，
根据表格中的数据，当x＝24时，T＝26，
∴ ，
解得：n＝1，
∴ ，
即： ，
∴T与x的函数关系式为 ；
（2）解：当12≤x≤24时，设K与x的函数关系式为 ，
将x＝12，K＝32；x＝24，K＝20代入 ，得： ，
解得： ，
∴当12≤x≤24时，设K与x的函数关系式为 ，
故答案为： ；
（3）①存在，不变的值为240，
由函数图像得：当0＜x≤12时，设K与x的函数关系式为 ，
将x＝0，K＝8；x＝12，K＝32代入 ，
得： ，
解得： ，
∴当0＜x≤12时，设K与x的函数关系式为K＝2x＋8，
∴当0＜x≤8时，y＝KT＝(2x＋8)· ＝240；
当8＜x≤12时，y＝KT＝(2x＋8)(x＋2)＝2x2＋12x＋16；
当12＜x≤24时，y＝KT＝(－x＋44)(x＋2)＝－x2＋42x＋88，
综上所述，在这24周的销售时间内，存在所获周利润总额不变的情况，这个不变的值
为240．
②（Ⅰ）当8＜x≤12时，y＝2x2＋12x＋16＝2(x＋3)2－2，抛物线的对称轴为直线x＝－
3，
∴当8＜x≤12时，在对称轴右侧，y随着x的增大而增大，
当2(x＋3)2－2＝286时，
解得：x＝9，x＝－15（舍去）；
1 2
当x＝12时，y取得最大值，最大值为2×(12＋3)2－2＝448，满足286≤y≤504；
当x＝9时，周销售量T取得最小值11，当x＝12时，T取得最大值14；
（Ⅱ）当12＜x≤24时，y＝－x2＋42x＋88＝－(x－21)2＋529，抛物线的对称轴为直线x
＝21，
当x＝12时，y取得最小值，最小值为－(12－21)2＋529＝448，满足286≤y≤504；当－(x－21)2＋529＝504时，
解得：x＝16，x＝26（舍去）；
1 2
当x＝12时，周销售量T取得最小值14，当x＝16时，T取得最大值18，
综上所述，当周利润总额的范围是286≤y≤504时，对应的周销售量T的最小值是11千
套，最大值是18千套．
【点拨】本题考查了待定系数法求函数关系式，二次函数图像的性质，一元二次方程
的解法，熟练掌握二次函数图像的性质是解决本题的关键．
