跟踪训练02函数的单调性与最值（解析版）_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_3.2024专项复习_更新中2024年新高考数学一轮复习之题型归纳与重难专题突破提升（新高考专用）

跟踪训练 02 函数的单调性与最值 一．选择题（共15小题） 1．下列函数中，在 ， 内为增函数的是 A． B． C． D． 【解答】解：对于 ， 在 ， 内为减函数，故 不符合题意； 对于 ， 在 内没有意义，故 不符合题意； 对于 ， 在 ， 内为增函数，故 符合题意； 对于 ， 在 ， 内没有意义，故 不符合题意． 故选： ． 2．“ ”是“函数 在区间 上单调递增”的 A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【解答】解：令 ， ， 若 在 上单调递增， 因为 是 上的增函数， 则需使 是 上的增函数且 ， 则 且 ，解得 ． 因为 ， ， 故 是 的必要不充分条件． 故选： ．3．函数 的单调减区间为 A． B． C． D． 【解答】解：函数 定义域为 ， 令 ， ，则 ， 函数 在定义域上为单调减函数， 函数 ， ，在 上单调递增，在 上单调递减， 则函数 在 上单调递减，在 上单调递增， 故选： ． 4．已知函数 且 ，则“ ”是“ 在 上单调递 增”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解答】解：若 在 上单调递增， 则 ， 所以 ， 由“ ”可推出“ ”，但由“ ”推不出“ ”， 所以“ ”是“ 在 上单调递增”的充分不必要条件． 故选： ． 5．已知函数 在定义域 上是减函数，且 ，则实数 的取值范围是 A． B． C． D． 【解答】解：因为函数 在定义域 上是减函数，且 ， 则有 ， 解得 ， 所以实数 的取值范围是 ． 故选： ． 6．已知函数 且 是 上的单调函数，则 的取值范围 是 A． ， ， B． ， C． ， ， D． ， ， 【解答】解：函数 且 是 上的单调函数， 若 是 上的单调递增函数，则 ，解得 ， 若 是 上的单调递减函数，则 ，解得 ， 综上， 的取值范围是 ， ． 故选： ．7．已知 ，若函数 在区间 ， 上为减函数，则 的取值范围是 A． B． C． D． 【解答】解：令 ，则 ， 所以 ， 所以 在 ， 上递减， 因为函数 在区间 ， 上为减函数， 所以 ，得 ． 故选： ． 8．已知函数， ，则“ ”是“ 是 上的增函数”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解答】解：若 ，则 是 上的增函数， 当 时， 显然单调递增， 故“ ”是“ 是 上的增函数”的 充分不必要条件． 故选： ． 9．函数 的单调递增区间为 A． B． C． D．【解答】解：令 ，解得 或 ， 则函数 在 上单调递增，在 上单调递减， 又函数 在定义域上为单调递增函数， 所以原函数 在 上单调递增，在 上单调递减， 所以函数的单调递增区间为 ， 故选： ． 10．已知 且 ，若函数 在 ， 上是减函数，则实数 的取值范围 是 A． B． C． ， D． 【解答】解： 在 ， 上是减函数， 在 ， 上是减函数，故 ， 考虑定义域： ，故 ， 综上所述： ． 故选： ． 11．函数 的单调递减区间为 A． B． C． D． 【解答】解：由 ，可得： 或 ， 所以函数 的定义域为 ， ， ， 令 ， 由二次函数的性质可知 在 上单调递减，在 上单调递增，又 在定义域内为减函数， 由复合函数的性质可知函数 单调递减区间为 ． 故选： ． 12．函数 的递减区间是 A． B． C． D． 【解答】解：令 ，求得 ，或 ，故函数的定义域为 ，或 ，且 ， 本题即求函数 在定义域内的减区间． 再利用二次函数的性质可得函数 在定义域内的减区间 ， 故选： ． 13．已知函数 ，且 ，则实数 的取值范围为 A． B． C． D． 【解答】解：令 ，则 ， 由 得 ， 因 为 在 上 单 调 递 增 ， 且 ， 所以 为奇函数， 由 得 ，所以 ， 解得 ． 故选： ． 14．已知函数 同时满足性质： ① ；②对于 ， ， ，则函数 可能是 A． B． C． D． 【解答】解：由函数奇偶性的定义，若函数 满足 ，则函数 为奇函 数， 由函数单调性的定义，若函数 满足 ， ， ，则函数 在区间 上单调递增， 选项中四个函数定义域均为 ， ，都有 ， 对 于 ， ， 故 为 奇 函 数 ， 满 足 性 质 ① ， 在 上单调递增，满足性质②； 对于 ，由指数函数的性质， 为非奇非偶函数，在 上单调递减，性质①，② 均不满足； 对于 ， ，故 为奇函数，满足性质①， 令 ， ，解得 ， ， 的单调递增区间为 ， ，故 在 不单调，不满足性质 ②；对于 ，由幂函数的性质， 为偶函数，在区间 ， 单调递增，不满足性质①， 满足性质②． 故选： ． 15．若函数 在区间 单调递减，则 的取值范围是 A． B． C． D． 【解答】解： 函数 在区间 单调递减， 在区间 上单调递减且恒大于等于0， 即 在区间 上单调递增且恒大于0小于等于1， ，解得 ． 的取值范围是 ， 故选： ． 二．多选题（共5小题） 16 ． 函 数 ， 对 于 任 意 ， ， 当 时 ， 都 有 成立的必要不充分条件是 A． B． C． D． 【解答】解：由题意可得函数 在 上单调递减， 可得 解得 ，所以不等式成立的充要条件为 ， 则它的必要不充分为 ， 故选： ． 17．若 ，则下列关系正确的是 A． B． C． D． 【解答】解：由 ，得 ， 令 ，则 在 上单调递增， 由 ，得 ． 故选： ． 18．已知 为区间 上的减函数，且 ，则 A． （a） B． （a） C． （a） D． （a） 【解答】解：因为 ，则 ，又 为区间 上的减函数，故 （a） ，故 正确； 因为 与0的大小关系不定，无法比较 与 （a）的大小，故 错； 因为 ，所以 ，又 为 上的减函数，所以 （a），故 正确； 因为 ， ，又 为 上的减函数，所以 （a），故 正确． 故选： ．19．下列说法正确的是 A． B．函数 在 ， 单调递增，在 单调递增，则 在 上是单调递增 C．函数 与 关于 对称． D．函数 是 上的增函数，若 成立，则 【解答】解：对于 ， ，故 正确； 对于 ，函数 在 ， 单调递增，在 单调递增，则 在 上不一定单调 递增，故 不正确． 对于 ，设函数 上任意一点 ，则将函数 向左平移 2 个单位得函数 ，此时对应点为 ， 将函数 关于 轴对称得函数 ，此时对应点为 ， 再将函数 的图象向右平移2个单位得 ，此时对应点为 ， 而点 与 有 ，所以点 与 关于 对称， 所以函数 与 关于 对称，故 正确． 对于 ，设 ，因为函数 是 上的增函数，所以函数 是 上的增函数， 因 为 ， 所 以 ， 即 ， 所以 ， 所以 ，即 ，故 正确． 故选： ． 20．下列命题，其中正确的命题是 A．函数 的最大值为 B．函数 的减区间是 ， C．若 ，则 为1 D．已知 在 上是增函数，若 （a） （b） ，则 【解答】解： 选项：设 ， 由 在 单调递减，所以 ，故 正确； 选项：由 ， 所以函数的定义域为 ， ，此时函数 在 ， 单调递减， 所以原函数的单调减区间为 ， ，故 错误； 选项：由 ， ， 所以 ，故 正确；选项：假设 ，则 ， 所以 ， 由 在 上是增函数， 所以 （a） ， （b） ， 所以 （a） （b） ， 与 （a） （b） 矛盾， 所以当函数 在 上是增函数时， 若 （a） （b） ，则 ，故 正确． 故选： ． 三．填空题（共5小题） 21．若函数 在 上单调递增，则实数 的最小值为 ． 【解答】解：由题可知， 在 时单调递增，则 ， 在 时单调递增，则 ， 且 ，即 ， 综上， ， 故实数 的最小值为 ， 故答案为： 22．已知函数 在区间 ， 上是严格增函数，则实数 的取值范围是 ， ． ．【解答】解：令 ，解得 或 ， 当 时， 在区间 ， 上是严格增函数， 当 时， ， 当 时，恒成立， 实数 的取值范围是 ， ． 故答案为： ， ． 23．写出一个同时具有下列性质（1）（2）的函数 ． （1） ； （2） 在 上是增函数． 【解答】解：根据（1）（2）可得， 为偶函数，且在 单调递增， 故满足题意的 不唯一，可以是 ； 故答案为： ． 24．函数 的单调递增区间为 ． 【解答】解：设 ，由 ，解得 或 ， 则 ． 由 在 递减， 由复合函数的单调性：同增异减， 可得要求 的递增区间，只需求 的减区间． 可得区间 为 的减区间．故答案为： ． 25．函数 的单调递增区间为 ． 【解答】解：要使函数有意义，则 ， 即 或 ， 令 ， 则当 时，函数 单调递减， 当 时，函数 单调递增， 因为函数 在其定义域内为单调增函数， 所以根据复合函数的单调性之间的关系可知， 当 时， 单调递增， 即函数的单调递增区间为 ， 故答案为： ． 四．解答题（共3小题） 26．已知 ． （1）判断 在区间 上的单调性，并证明； （2）求该函数在区间 ， 上的最值． 【解答】解（1） 在 上单调递增，证明如下： 证明：设 ， 因为 ，所以 ， 又因为 ， 所以 ， ， ， 所以 ， 即 ， 所以 在 上单调递增； （2）由（1）可知 在 上单调递增， 所以 在 ， 上单调递增， 所以 ， ． 27．已知 ， ， ． （1）解不等式 ； （2）判断并证明函数 的单调性． 【解答】解：（1）由 ， ， ，得 ， 解得 ， 即不等式解集为 ； （2）在 ， 为减函数．证明如下： 设 ，则 ，因为 ， ， ， 所以 ， 即 ． 所以 是 ， 上的减函数． 28 ． 已 知 函 数 ， 二 次 函 数 满 足 （ 1 ） ， 且 不 等 式 的解集为 ． （1）求 ， 的解析式； （2）设 ，根据定义证明： 在 上为增函数． 【解答】解：（1）依题意， ，因此 ， 设二次函数 ，不等式 ，即为 ， 则 ，4是关于 的一元二次方程 的两个实根，且 ， 于是得 ，又 （1） ，解得 ， ， ， 于是得 ， 所以 ， ． （2）证明：由（1）知， ， 任取 ， ，且 ， ，因为 ，有 ， ， ，则 ，即 ， 所以函数 在 上为增函数．