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专题 7.5 平行线的判定与性质中常用思想方法
【人教版2024】
【题型1 整体思想求角】
1．（23-24七年级·江苏苏州·期中）如图，AB∥EF，∠BAC与∠CDE的角平分线交于点G，且
GF∥DE，已知∠ACD=90°，若∠AGD=α，∠GFE=β，则下列等式中成立的是（ ）
A．α=β B．2α+β=90° C．3α+β=90° D．α+2β=90°
【答案】B
【分析】过D作DP∥EF，连接GC并延长到H，连接AD，根据平行线的性质得到∠PDE=β，利用三
角形的内角和定理和平行线的性质得到∠BAC+∠PDC=180°−(∠CAD+∠ADA)=90°，再根据角平
分线的定义证得2(∠CAG+∠CDG)=90°+β；再利用三角形的外角性质得到
∠CAG+∠CDG=∠ACD−∠AGD=90°−α，进而可求解．
【详解】解：过D作DP∥EF，连接GC并延长到H，连接AD，则∠PDE+∠≝=180°，
∵GF∥DE，
∴∠F+∠≝=180°，
∴∠PDE=∠F=β，
∵∠ACD=90°，
∴∠CAD+∠CDA=90°，
∵AB∥EF，
1
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学科网（北京）股份有限公司∴AB∥DP，
∴∠BAD+∠ADP=180°，
∴∠BAC+∠PDC=180°−(∠CAD+∠ADA)=90°，
∵∠BAC与∠CDE的角平分线交于点G，
1 1
∴∠BAG=∠CAG= ∠BAC，∠CDG=∠EDG= ∠CDE，
2 2
∴∠PDC=∠CDE−∠PDE=2∠CDG−β，
∴2∠CAG+2∠CDG−β=90°，即2(∠CAG+∠CDG)=90°+β；
∵∠ACH=∠CAG+∠AGC，∠DCH=∠CDG+∠DGC，
∴∠ACD=∠CAG+∠CDG+∠AGD，
则∠CAG+∠CDG=∠ACD−∠AGD=90°−α，
∴2(90°−α)=90°+β，
则2α+β=90°，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形的内角和定理和外角性质、角平分线的定义，添加辅助线，利
用平行线的性质探索角之间的数量关系是解答的关键．
2．（24-25七年级·上海·期中）对于平面内的∠M和∠N，若存在一个常数k>0，使得
∠M+k∠N=360°，则称∠N为∠M的k系补周角．如若∠M=90°，N=45°，则∠N为∠M的6系
补周角．
(1)若∠H=110°，则∠H的4系补周角的度数为______
(2)在平面内AB∥CD，点E是平面内一点，连接BE,DE．
①如图1，∠D=70°，若∠B是∠E的3系补周角，求∠B的度数．
∠ABE ∠CDE
②如图2，∠ABE和∠CDE均为钝角，点F在点E的右侧，且满足∠ABF= ，∠CDF=
n n
（其中n为常数且n<1），点P是∠ABE角平分线BG上的一个动点，在P点运动过程中，请你确定一个
点P的位置，使得∠BPD是∠F的k系补周角，并直接写出此时的k值（用含n的式子表示）．
【答案】(1)62.5°
2
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学科网（北京）股份有限公司2
(2)①∠B=72.5°②k=
n
【分析】（1）设∠H的4系补周角的度数为x°，根据新定义列出方程求解即可；
（2）①过E作EF∥AB，得∠B+∠D=∠BED，再由已知∠D=60°，∠B是∠E的3系补周角，列出
∠B的方程，求得∠B的度数；
②根据k系补周角的定义先确定P点的位置，再结合∠ABF=n∠ABE，∠CDF=n∠CDE求解k与n的
关系即可求解．
本题主要考查平行线的性质与判定，角平分线的定义，新定义．解题的关键是熟练掌握平行线的性质与判
定，角平分线的定义，新定义．
【详解】（1）解：设∠H的4系补周角的度数为x°，根据新定义得：
110+4x=360，
解得x=62.5，
∠H的4系补周角的度数为62.5°，
故答案为：70；
（2）解：①过E作EF∥AB，如图1，
∴∠B=∠BEF
，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∵∠D=70°，
∴∠≝=∠D=70°，
∵∠B+70°=∠BEF+∠≝¿，
即∠B+70°=∠BED，
∵∠B是∠BED的3系补周角，
∴∠BED=360°−3∠B，
∴∠B+70°=360°−3∠B，
∴∠B=72.5°；
②如图2，当BG上的动点P为∠CDE的角平分线与BG的交点时，满足∠BPD是∠F的k系补周角，
3
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学科网（北京）股份有限公司过点P作PM∥AB，过点F作FN∥AB，如图2，
∵AB∥CD，
∴CD∥PM，CD∥FN，
∴∠ABP=∠BPM，∠CDP=∠DPM，∠ABF+∠BFN=180°，∠CDF+∠DFN=180°，
∴∠ABF+∠BFD+∠CDF
=∠ABF+∠BFN+∠CDF+∠DFN
=180°+180°
=360°，
∵∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点P，
1 1
∴∠ABP= ∠ABE，∠CDP= ∠CDE，
2 2
1
∴∠BPD=∠BPM+∠DPM= (∠ABE+∠CDE)，
2
∠ABE ∠CDE
∵ ∠ABF= ，∠CDF= （其中n为常数且n<1），
n n
1
∴∠BPD= (n∠ABF+n∠CDF)，
2
n
∴∠BPD= (∠ABF+∠CDF)，
2
n
∴∠BPD= (360°−∠BFD)，
2
2
∴∠BFD+ ∠BPD=360°，
n
∴∠BPD是∠BFD的k系补周角，
2
此时，k= ．
n
3．（23-24七年级·宁夏石嘴山·期中）如图，已知AP∥DM，点B，C分别是射线AP，DM上的点，
∠D=∠ABC=60°，AM，AN分别平分∠BAC和∠CAD．
4
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学科网（北京）股份有限公司(1)求∠MAN的度数；
(2)若∠∧=∠ACB，求∠ACB的度数．
【答案】(1)60°
(2)80°
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义：
（1）先由平行线的性质得到∠BAD=180°−∠D=120°，再由角平分线的定义得到
1 1 1
∠CAN= ∠CAD，∠CAM= ∠BAC，据此可得∠MAN=∠CAN+∠CAM= ∠BAD=60°；
2 2 2
（2）先证明∠BAD+∠ABC=180°，得到AD∥BC，则∠ACB=∠CAD，再证明∠CAD=∠BAN，
1
得到∠DAN=∠BAC，则∠DAN=∠BAC=∠NAC= ∠BAD=40°，可得
3
∠ACB=∠CAD=∠DAN+∠CAN=80°．
【详解】（1）解：∵AP∥DM，
∴∠BAD=180°−∠D=120°，
∵AM，AN分别平分∠BAC和∠CAD，
1 1
∴∠CAN= ∠CAD，∠CAM= ∠BAC，
2 2
1 1 1 1
∴∠MAN=∠CAN+∠CAM= ∠BAC+ ∠CAD= (∠BAC+∠CAD)= ∠BAD=60°；
2 2 2 2
（2）解：∵∠BAD=120°，∠ABC=60°，
∴∠BAD+∠ABC=180°，
∴AD∥BC，
∴∠ACB=∠CAD，
∵AP∥DM，
∴∠∧=∠BAN，
∵∠∧=∠ACB，
∴∠CAD=∠BAN，
∴∠DAN=∠BAC，
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学科网（北京）股份有限公司1
∴∠DAN=∠BAC=∠NAC= ∠BAD=40°，
3
∴∠ACB=∠CAD=∠DAN+∠CAN=80°．
4．（23-24七年级·广西河池·阶段练习）（1）如图1，已知AB∥CD，点E在两平行线的内侧，连接AE，
CE．若∠EAB=35°，∠ECD=25°，求∠AEC的度数；
（2）如图2，已知AB∥CD，点E在两平行线的外侧，连接AE，CE，若∠EAB=α，∠ECD=β．
①求∠AEC的大小（用含α，β的代数式表示）；
②作∠ECD的平分线交AB于点G，连接GE，AG平分∠CGE（如图3）．若∠AEG=130°，
α+β=80°，分别求出α，β的度数．
【答案】（1）60°；（2）①∠AEC=β−α；②α=20°，β=60°
【分析】（1）如图1，过点E作MN∥AB．根据两直线平行，内错角相等即可作答．
（2）①如图2，根据平行线的性质，由AB∥CD，得∠EFB=∠ECD=β．根据三角形外角的性质，即
可作答．②如图3，根据平行线的性质，由AB∥CD，得∠1＝∠2．根据角平分线的定义，得∠EAB＝∠1＝
1 1
α ，∠2＝∠3，那么∠3＝∠EAB＝ α．根据三角形内角和定理，得∠EAB+∠3＝180°﹣∠AEG＝50°，
2 2
进而求得α＝25°，β＝55°．
【详解】解：（1）如图1，过点E作MN∥AB．
∵AB∥MN，
∴∠AEM=∠EAB=35°．
∵AB∥CD，AB∥MN，
∴MN∥CD．
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学科网（北京）股份有限公司∴∠MEC=∠ECD=25°．
∴∠AEC=∠AEM+∠MEC=35°+25°=60°．
（2）①∵AB∥CD，
∴∠EFB=∠ECD=β．
又∵∠EFB=∠EAB+∠AEC，∠EAB=α，
∴∠AEC=∠EFB−∠EAB=β−α．
②如图3，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠2．
又∵CG平分∠ECD，
1
∴∠ECG=∠1= β．
2
∴∠ECG=∠2．
∵AG平分于∠CGE，
∴∠2=∠3．
1
∴∠3=∠ECG= β．
2
∵∠AEG=130°，
∴∠EAB+∠3=180°−∠AEG=50°．
1
∴α+ β=50°．
2
又∵α+β=80°，
∴α=20°，β=60°．
【点睛】本题主要考查平行线的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质、
角平分线的定义以及三角形内角和定理是解决本题的关键．
5．（23-24七年级·湖北武汉·期末）如图1，点E在直线AB、DC之间，且
∠DEB+∠ABE−∠CDE=180°．
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学科网（北京）股份有限公司（1）求证：AB//DC；
（2）若点F是直线BA上的一点，且∠BEF=∠BFE，EG平分∠DEB交直线AB于点G，若∠D=20°，
求∠FEG的度数；
1 1
（3）如图3，点N是直线AB、DC外一点，且满足∠CDM= ∠CDE，∠ABN= ∠ABE，ND与BE
4 4
交于点M．已知∠CDM=α(0°<α<12°)，且BN//DE，则∠NMB的度数为______（请直接写出答案，
用含α的式子表示）．
【答案】（1）见解析；（2）10°；（3）180°−15α
【分析】（1）过点E作EF∥CD，根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等，得出∠CDE=∠≝,结
合已知条件∠DEB+∠ABE−∠CDE=180°，得出∠FEB+∠ABE=180°,即可证明；
（2）过点E作HE∥CD，设∠GEF=x,∠FEB=∠EFB= y, 由（1）得AB∥CD，则AB∥CD∥HE，由平
行线的性质，得出∠≝=∠D+∠EFB=20°+ y,再由EG平分∠DEB，得出
∠DEG=∠GEB=∠GEF+∠FEB=x+ y,则∠≝=∠DEG+∠GEF=2x+ y，则可列出关于x和y的
方程，即可求得x，即∠GEF的度数；
（3）过点N作NP∥CD，过点M作QM∥CD，由（1）得AB∥CD，则NP∥CD∥AB∥QM，根据
1
∠CDM= ∠CDE和∠CDM=α，得出∠MDE=3α,根据CD∥PN∥QM,DE∥NB,得出
4
∠PND=∠CDM=∠DMQ=α, ∠EDM=∠BNM=3α,即∠BNP=4α,根据NP∥AB，得出
1
∠PNB=∠ABN=4α,再由∠ABN= ∠ABE，得出∠ABM=16α,由AB∥QM,得出
4
∠QMB=180°−16α,因为∠NMB=∠NMQ+∠QMB，代入α的式子即可求出∠BMN．
【详解】（1）过点E作EF∥CD，如图，
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学科网（北京）股份有限公司∵EF∥CD,
∴∠CDE=∠≝,
∴∠DEB−∠CDE=∠DEB−∠≝=∠FEB,
∵∠DEB+∠ABE−∠CDE=180°,
∴∠FEB+∠ABE=180°,
∴EF∥AB，
∴CD∥AB；
（2）过点E作HE∥CD，如图，
设∠GEF=x,∠FEB=∠EFB= y,
由（1）得AB∥CD，则AB∥CD∥HE，
∴∠D=∠DEH=20°,∠HEF=∠EFB= y,
∴∠≝=∠DEH+∠HEF=∠D+∠EFB=20°+ y,
又∵EG平分∠DEB，
∴∠DEG=∠GEB=∠GEF+∠FEB=x+ y,
∴∠≝=∠DEG+∠GEF=x+ y+x=2x+ y,
即2x+ y=20°+ y,
解得：x=10°,即∠GEF=10°；
（3）过点N作NP∥CD，过点M作QM∥CD，如图，
由（1）得AB∥CD，则NP∥CD∥AB∥QM，
∵NP∥CD，CD∥QM，∠CDM=α,
∴∠PND=∠CDM=∠DMQ=α,
1
又∵∠CDM= ∠CDE，
4
∴∠MDE=3∠CDM=3α,
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学科网（北京）股份有限公司∵BN//DE,
∴∠MDE=∠BNM=3α,
∴∠PNB=∠PND+∠BNM=α+3α=4α,
又∵PN∥AB，
∴∠PNB=∠NBA=4α,
1
∵∠ABN= ∠ABE,
4
∴∠ABM=4∠ABN=4×4α=16α,
又∵AB∥QM，
∴∠ABM+∠QMB=180°,
∴∠QMB=180°−∠ABM=180°−16α,
∴∠NMB=∠NMQ+∠QMB=α+180°−16α=180−15α．
【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，解决问题的关键是作平行线构造相等的角，利用两直
线平行，内错角相等，同位角相等来计算和推导角之间的关系．
6．（23-24七年级·广东清远·期中）如图，已知AM∥BN，∠A=60°，点P是射线M上一动点（与点A
不重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．
(1)∠ABN=_________
(2)∠CBD=_________
(3)当点P运动到某处时，∠ACB=∠ABD，则此时∠ABC=_________
(4)在点P运动的过程中，∠APB与∠ADB的比值是否随之变化？若不变，请求出这个比值：若变化，请
找出变化规律．
【答案】(1)120°
(2)30°
(3)60°
(4)∠APB:∠ADB=2:1
【分析】（1）根据两直线平行同旁内角互补求解即可；
（2）由（1）知∠ABP+∠PBN=120°，再根据角平分线的定义知∠ABP=2∠BP、
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学科网（北京）股份有限公司∠PBN=2∠DBP，可得2∠CBP+2∠DBP=120°，即∠CBD=∠CBP+∠DBP=60°；
（3）由AM∥BN得∠ACB=∠CBN，进而可证∠ABC=∠DBN，由（2）可知：∠ABN=120°，
∠CBD=60°，从而可求∠ABC的值；
（4）由平行线的性质得∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN，由角平分线的定义得∠PBN=2∠DBN，
进而可求∠APB:∠ADB=2:1．
【详解】（1）∵AM∥BN，
∴∠ABN+∠A=180°，
∵∠A=60°，
∴∠ABN=180°−60°=120°，
故答案为：120°；
（2）∵∠ABN=120°，
∴∠ABP+∠PBN=120°，
∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，
∴∠ABP=2∠CBP、∠PBN=2∠DBP，
∴2∠CBP+2∠DBP=120°，
∴∠CBD=∠CBP+∠DBP=60°；
故答案为：60°；
（3）∵AM∥BN，
∴∠ACB=∠CBN，
∵∠ACB=∠ABD，
∴∠CBN=∠ABD，
∴∠ABC+∠CBD=∠CBD+∠DBN，
∴∠ABC=∠DBN；
由（2）可知：∠ABN=120°，∠CBD=60°，
∴∠ABC+∠DBN=∠ABN−∠CBD=120°−60°=60°，
∴∠ABC=30°；
故答案为：30°；
（4）不变，∠APB:∠ADB=2:1．
∵AM∥BN，
∴∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN，
∵BD平分∠PBN，
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学科网（北京）股份有限公司∴∠PBN=2∠DBN，
∴∠APB:∠ADB=2:1．
【点睛】本题考查平行线的性质，以及角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
7.（23-24七年级·河北保定·期末）如图，AB∥CD，点P为平面内一点．
(1)如图①，当点P在CD与之间时，若∠A=20°，∠C=45°，则∠P= °；
(2)如图②，当点P在点B右上方时，∠ABP、∠CDP、∠BPD之间存在怎样的数量关系？请证明；
(3)如图③，EB平分∠PEG，FP平分∠GFD，若∠PFD=40°，则∠G+∠P= °．
【答案】(1)65
(2)∠ABP=∠CDP+∠BPD；理由见解析
(3)120
【分析】本题主要考查了平行线的判定及性质等；
（1）过点P作MN∥AB，由平行线的判定方法得AB∥CD∥MN，由平行线的性质得
∠APM=∠A=20°，∠MPC=∠C=45°，由角的和差得∠P=∠APM+∠MPC，即可求解；
（2）过点P作MN∥AB，同理可得AB∥CD∥MN，由平行线的性质得∠CDP=∠DPN，
∠ABP=∠BPN，由角的和差得∠BPN=∠BPD+∠DPN，即可求解；
（3）延长AB交PF于点H，过点G，作MN∥AB，同理可得：MN∥AB∥CD，由平行线的性质得
∠HEG=∠EGM，∠EHF=∠PFD，∠MGF=∠GFD，由角的和差得 ∠EGF=∠EGM+∠MGF
=∠PEH+80°，由三角形内角和及邻补角的定义得∠P+∠PEH=40°，即可求解；
掌握平行线的判定及性质，解决这类问题的典型做法：作出辅助线MN是解题的关键．
【详解】（1）解：过点P作MN∥AB，
∵AB∥CD
，
∴AB∥CD∥MN，
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学科网（北京）股份有限公司又∵∠A=20°，∠C=45°，
∴∠APM=∠A=20°，
∠MPC=∠C=45°，
∴∠P=∠APM+∠MPC
=20°+45°
=65°；
故答案：65；
（2）解：∠ABP=∠BPD+∠CDP；
理由如下：
过点P作MN∥AB，
同理可得：AB∥CD∥MN，
∴∠CDP=∠DPN，
∠ABP=∠BPN，
∵∠BPN=∠BPD+∠DPN，
∴∠ABP=∠CDP+∠BPD；
（3）解：延长AB交PF于点H，过点G，作MN∥AB，
同理可得：MN∥AB∥CD，
∴∠HEG=∠EGM，
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学科网（北京）股份有限公司∠EHF=∠PFD，
∠MGF=∠GFD，
∵EB平分∠PEG，FP平分∠GFD，
∠PFD=40°，
∴∠PEH=∠HEG，
∠PFD=∠PFG=40°，
∠GFD=80°，
∴∠EGF=∠EGM+∠MGF
=∠HEG+∠GFD
=∠PEH+80°，
∵∠P+∠PEH=180°−∠PBE，
∠EHF=180°−∠PBE，
∴∠P+∠PEH=∠EHF，
∴∠P+∠PEH=40°，
∴∠P=40°−∠PEH，
∴∠EGF+∠P
=∠PEH+80°+40°−∠PEH
=120°．
故答案为：120．
【题型2 方程思想求角】
8．（23-24七年级·江苏扬州·期中）【模型发现】某校七年级数学兴趣小组的同学在活动中发现：如图1
的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是大家就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着
角的数量关系．
(1)如图1，AB∥CD，M是AB、CD之间的一点，连接BM，DM，则有∠B+∠D=∠BMD．请你证
明这个结论．
(2)【运用】如图2，AB∥CD，M、N是AB、CD之间的两点，且2∠M=3∠N，请你利用（1）中
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学科网（北京）股份有限公司“猪蹄模型”的结论，找出∠B、∠C、∠M三者之间的数量关系，并说明理由．
(3)【延伸】如图3，AB∥CD，点E、F分别在AB、CD上，EN、FG分别平分∠BEM和∠CFM，且
EN∥MG．如果∠EMF=α，那么∠MGF等于多少？（用含α的代数式表示，请直接写出结论，无需证
明）
【答案】(1)见解析
1
(2) ∠BMN=∠B−∠C，理由见解析
3
1
(3)∠MGF等于90°+ α
2
【分析】本题考查了平行线的性质，利用“猪蹄模型”是解题关键．
（1）如图，过M作MN∥AB．得AB∥MN∥CD，故∠B=∠BMN，∠D=∠BMN，因此
∠B+∠D=∠BMN+∠DMN=∠BMD．
（2）过N作NE∥AB．由（1）∠B+∠MNE=∠M①．再得出∠ENC=∠C②，由①+②得
∠B+∠MNE+∠ENC=∠M+∠C，即∠B+∠MNC=∠M+∠C，再求解即可．
（3）由角平分线得∠MEN=∠BEN=x，∠CFG=∠MFG= y，由“猪蹄模型”得
∠AEM+∠MFC=∠EMF，再利用平行线和三角形内角和计算即可．
【详解】（1）证明：如图，过M作MN∥AB．
∵AB∥CD
，
∴AB∥MN∥CD，
∴∠B=∠BMN，∠D=∠BMN，
∴∠B+∠D=∠BMN+∠DMN=∠BMD．
1
（2）解：∠B、∠C、∠M三者之间的数量关系： ∠BMN=∠B−∠C．
3
理由如下：
如图：过N作NE∥AB．
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学科网（北京）股份有限公司由（1）∠B+∠MNE=∠M①．
∵AB∥CD，
∴EN∥CD，
∴∠ENC=∠C②，
①+②得∠B+∠MNE+∠ENC=∠M+∠C，
即∠B+∠MNC=∠M+∠C，
∵2∠BMN=3∠MNC，
2
∴∠MNC= ∠BMN，
3
1
∴ ∠BMN=∠B−∠C．
3
1
答：∠B、∠C、∠M三者之间的数量关系： ∠BMN=∠B−∠C．
3
（3）证明：∵EN、FG分别平分∠BEM和∠CFM，
∴∠MEN=∠BEN=x，∠CFG=∠MFG= y，
由（1）结论得：∠AEM+∠MFC=∠EMF，
∴180°−2x+2y=α，
1
∴x−y=90°− α．
2
∵MG∥EN，
∴∠GMF+∠EMF+∠MEN=180°，
∴∠GMF=180°−α−x，
由三角形内角和得：
1 1
∠MGF=180°−∠GMF−∠GFM=180°−(180°−α−x)−y=α+x−y=α+(90°− α)=90°+ α．
2 2
1
答：∠MGF等于90°+ α．
2
9．（23-24七年级·全国·单元测试）如图1，直线l ∥l ，点A，B在直线l 上，点C、D在l 上，线段AD交
1 2 1 2
线段BC于点E，且∠BED=60°．
16
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学科网（北京）股份有限公司(1)求证：∠ABE+∠EDC=60°；
(2)如图2，当F，G分别在线段AE、EC上，且∠ABF=2∠FBE，∠EDG=2∠GDC，标记∠BFE为
∠1，∠BGD为∠2．
①若∠1−∠2=16°，求∠ADC的度数；
②当k为何值时，(k∠1+∠2)为定值，并求此定值．
【答案】(1)证明见解析
(2)①36°；②当k=2时，k∠1+∠2为定值，此时定值为140°．
【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．
（1）利用平行线的性质解答即可；
（2）①设∠FBE=a，∠GDC=b，则∠ABF=2a，∠EDG=2b，结合平行线的性质，利用方程的思
想方法，依据已知条件列出方程组即可求解；
②利用①中的方法，设∠FBE=a，∠GDC=b，则∠ABF=2a，∠EDG=2b，通过计算k∠1+∠2，
令计算结果中的a的系数为0即可求得结论．
【详解】（1）证明：如图，作EF∥l ，
2
∴∠FED=∠EDC，
∵l ∥l ，
1 2
∴EF∥l ，
1
∴∠ABE=∠BEF，
∵∠BED=60°，
∴∠ABE+∠EDC=∠BEF+∠FED=∠BED=60°
（2）设∠FBE=a，∠GDC=b，
∵∠ABF=2∠FBE，∠EDG=2∠GDC，
∴∠ABF=2a，∠EDG=2b，
17
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学科网（北京）股份有限公司∵l ∥l ，
1 2
∴∠BAD=∠ADC=3b，∠ABC=∠BCD=3a，
由（1）可得：
∠1=2a+3b，∠2=3a+b，∠BED=3a+3b=60°，
∴a+b=20°，
∴∠1=60°−a，∠2=20°+2a，
①∵∠1−∠2=16°，
∴60°−a−(20°+2a)=16°，
∴a=8°，b=12°，
∴∠ADC=3b=36°；
②k=2，定值为140°，理由如下：
k∠1+∠2
=k(60°−a)+(20°+2a)
=60°k−ka+20°+2a
=(2−k)a+60°k+20°
当k=2时，k∠1+∠2=140°，
∴当k=2时，k∠1+∠2为定值，此时定值为140°．
10．（23-24七年级·北京·期中）如图，已知AB∥CD，E、F分别在AB、CD上，点G在AB、CD之间，
连接GE、GF．
(1)当∠BEG=40°，EP平分∠BEG，FP平分∠DFG时：
①如图1，若EG⊥FG，则∠P的度数为 ；
18
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学科网（北京）股份有限公司②如图2，在CD的下方有一点Q，EG平分∠BEQ，FD平分∠GFQ，求∠Q+2∠P的度数；
(2)如图3，在AB的上方有一点O，若FO平分∠GFC．线段GE的延长线平分∠OEA，则当
∠EOF+∠EGF=100°时，请直接写出∠OEA与∠OFC的数量关系．
【答案】(1)①45°；②120°
(2)∠OEA+2∠OFC=160°
【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义，掌握平行线的性质是解题的关键．
（1）①如图，分别过点G、P作GN∥AB,PM∥AB，根据平行线的性质、角平分线的定义求解即可；
②如图，过点Q作QR∥CD，根据平行线的性质、角平分线的定义求解即可；
（2）如图，过点O作OT∥AB，则OT∥CD，设∠OFC=∠OFG=β，∠OEH=∠HEA=α可得
∠EOF=β−2α，进而说明∠G=α+180°−2β，根据平行线的性质求得α+β=80°，进而根据
∠OEA=2α，∠OFC=β得到∠OEA+2∠OFC=160°．
【详解】（1）解：①如图，分别过点G、P作GN∥AB,PM∥AB，
∴∠BEG=∠EGN
，
∵AB∥CD，
∴NG∥CD
∴∠NGF=∠GFD，
∴∠EGF=∠BEG+∠GFD，
同理可得: ∠EPF=∠BEP+∠PFD，
∵EG⊥FG，
∴∠EGF=90°，
∵EP平分∠BEG,FP平分∠DFG；
1 1
∴∠BEP= ∠BEG，∠PFD= ∠GFD，
2 2
1 1
∴∠EPF= (∠BEG+∠GFD)= ∠EGF=45°．
2 2
故答案为：45°．
②如图，过点Q作QR∥CD，
19
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学科网（北京）股份有限公司∵EG平分∠BEQ,FD平分∠GFQ，
∴∠GEQ=∠BEG=40°，∠GFD=∠QFD，
设∠GFD=∠QFD=α，
∵QR∥CD，AB∥CD，
∴∠EQR=180°−∠QEB=180°−2∠QEG=100°，
∵QR∥CD，
∴∠DFQ+∠FQR=180°，
∴a+∠FQR=180°，
∴a+∠FQE=80°，
∴∠FQE=80°−α，
由（1）可知∠G=2∠P=∠BEG+∠GFD=40°+α，
∴∠FQE+2∠P=80°−α+40°+α=120°．
（2）解：如图，在AB的上方有一点O，若FO平分∠GFC，线段GE的延长线平分∠OEA，
设H为线段GE的延长线上一点，则∠OFC=∠OFG，∠OEH=∠HEA，
设∠OFC=∠OFG=β，∠OEH=∠HEA=α,，
如图，过点O作OT∥AB，则OT∥CD，
∴∠TOF=∠OFC=β，∠TOE=∠OEA=∠OEH+∠AEH=2α，
∴∠EOF=∠TOF−∠TOE=β−2α，
20
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学科网（北京）股份有限公司∵∠BEG=∠HEA=α，∠GFD=180°−∠OFC−∠OFG=180°−2β
由（1）可知：∠G=∠BEG+∠GFD=α+180°−2β，
∵∠EOF+∠EGF=100°，
∴β−2α+α+180°−2β=100°，即α+β=80°，
∴2α+2β=160°，
∵∠OEA=2α，∠OFC=β，
∴∠OEA+2∠OFC=160°．
11．（24-25七年级·重庆·开学考试）如图，AB∥CD，点A，E，B，C不在同一条直线上．
(1)如图1，求证：∠E+∠C−∠A=180°；
1 1
(2)如图2，直线FA，CP交于点P，且∠BAF= ∠BAE，∠DCP= ∠DCE，
4 4
①试探究∠E与∠APC的数量关系；
②如图3，延长CE交射线PA于点Q，若AE∥PC，∠BAQ=α(0°<α<12°)，求∠PQC的度数（用含α
的式子表示）．
【答案】(1)证明见解析
(2)①∠E=180°−4∠APC；②180°−15α
【分析】本题考查平行线的性质，平行公理的推论，角的计算，
（1）如图1，过E作EF∥AB，根据平行线的性质即可得到结论；
（2）①设∠BAF=x，∠BAE=4x，∠DCP= y，∠DCE=4 y，由（1）知：
∠E=180°−∠DCE+∠BAE=180°−4(y−x)，如图2，过P作PG∥CD，根据平行线的性质即可得
到结论；
②如图3，过E作EG∥QP，根据平行线的性质即可得到结论；
熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：如图1，过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD，
∴∠A=∠AEF，∠FEC+∠C=180°，
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学科网（北京）股份有限公司∴∠AEC=∠AEF+∠FEC=∠A+180°−∠C，
∴∴∠AEC+∠C−∠A=180°
∴∠AEC+∠C−∠A=180°，
即∠E+∠C−∠A=180°；
1 1
（2）解：①∵∠BAF= ∠BAE，∠DCP= ∠DCE，
4 4
∴设∠BAF=x，∠BAE=4x，∠DCP= y，∠DCE=4 y，
由（1）可知：∠E+∠DCE−∠BAE=180°，
∴∠E=180°−∠DCE+∠BAE=180°−4(y−x)，
如图2，过P作PG∥CD，
∵AB∥CD，
∴PG∥AB∥CD，
∴∠GPA=∠BAF=x，∠GPC=∠DCP= y，
∴∠APC=∠GPC−∠GPA= y−x，
∴∠E=180°−4∠APC，
∴∠E与∠APC的数量关系为∠E=180°−4∠APC；
②如图3，
1
∵∠BAQ=α，∠BAF= ∠BAE，
4
∴∠QAE=∠BAE−∠BAQ=4α−α=3α，
∵AE∥PC，
∴∠APC=∠QAE=3α，
由①知：∠AEC=180°−4∠APC=180°−12α，
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学科网（北京）股份有限公司过E作EG∥QP，
∴∠AEG=∠QAE=3α，∠PQC=∠GEC，
∴∠PQC=∠GEC=∠AEC−∠AEG=180°−12α−3α=180°−15α，
∴∠PQC的度数为180°−15α．
12．（23-24七年级·全国·单元测试）已知直线AB∥CD，点E在AB、CD之间，点P、Q分别在直线AB、
CD上，连接PE、EQ
(1)如图1，试探究∠PEQ与∠APE+∠CQE之间的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，当∠PEQ=130°时，求出∠PFQ的度数；
(3)如图3，若点E在CD的下方，PF平分∠BPE，QH平分∠EQD，QH的反向延长线交PF于点F，当
∠PEQ=80∘时，请求出∠PFQ的度数．
【答案】(1)∠PEQ=∠APE+∠CQE，理由见解析
(2)∠PFQ=115∘
(3)∠PFQ=140∘
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学
会探究规律，利用规律解决问题．
（1）如图1，过点E作EH∥AB，根据平行线的性质得到∠APE=∠PEH，∠CQE=∠QEH，等量代
换即可得到结论；
（2）如图2，过点E作EM∥AB，根据平行线的性质得到
1
∠BPE+∠EQD=360∘−(∠APE+∠CQE)=230∘，根据角平分线的定义得到BPF= ∠BPE，
2
23
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学科网（北京）股份有限公司1 1
∠DQF= ∠EQD，得到∠BPF+∠DQF= (∠BPE+∠EQD)=115∘，作NF∥AB，于是得到结论；
2 2
（3）如图3，过点E作EM∥CD，设∠QEM=α，根据平行线的性质得到∠DQE=180∘−α，根据角平
1 1
分线的定义得到∠DQH= ∠DQE=90∘− α，∠BPE=180∘−∠PEM=180∘−(60∘+α)=120∘−α，
2 2
1 1
根据角平分线的定义得到∠BPF= ∠BPE=60∘− α，作NF∥AB，于是得到结论．
2 2
【详解】（1）解：∠PEQ=∠APE+∠CQE，
理由如下：
如图1，过点E作EH∥AB，
∴∠APE=∠PEH，
∵EH∥AB，AB∥CD，
∴EH∥CD，
∴∠CQE=∠QEH，
∵∠PEQ=∠PEH+∠QEH，
∴∠PEQ=∠APE+∠CQE；
（2）解：如图2，过点E作EM∥AB，
同理（1）可得，∠PEQ=∠APE+∠CQE=130∘，
∵∠BPE=180∘−∠APE，∠EQD=180∘−∠CQE，
∴∠BPE+∠EQD=360∘−(∠APE+∠CQE)=230∘，
∵PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，
24
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∴∠BPF= ∠BPE，∠DQF= ∠EQD，
2 2
1
∴∠BPF+∠DQF= (∠BPE+∠EQD)=115∘ ，
2
作NF∥AB，同理（1）可得，∠PFQ=∠BPF+∠DQF=115∘；
（3）解： 如图3，过点E作EM∥CD，
设∠QEM=α，
∴∠DQE=180∘−α，
∵QH平分∠DQE，
1 1
∴∠DQH= ∠DQE=90∘− α，
2 2
1
∴∠FQD=180∘−∠DQH=90∘+ α，
2
∵EM∥CD，AB∥CD，
∴AB∥EM，
∴∠BPE=180∘−∠PEM=180∘−(80∘+α)=100∘−α，
∵PF平分∠BPE，
1 1
∴∠BPF= ∠BPE=50∘− α，
2 2
1 1
作NF∥AB，同理可得，∠PFQ=∠BPF+∠DQF=(90°+ α)+(50− α)=140∘ ．
2 2
【题型3 分类讨论思想求角】
13．（24-25七年级·广东佛山·阶段练习）已知∠AOB=90°，直线CD与OA交于点C，与OB交于点D，
点C，D均不与点O重合，CE平分∠DCO，DE平分∠CDO,
25
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学科网（北京）股份有限公司(1)如图1，当∠OCD=40°时，求∠CED的度数；
(2)如图2，延长CE与BO交于点F，过E作射线EG与CD交于点G，且满足∠CFO−∠GED=45°．求
证：¿∥DO；
(3)如图3，过点C作CM⊥CN，MN是∠COD的外角平分线所在直线，与射线CE交于点N，与CM交于
点M．在△CMN中，如果有一个角的度数是另一个角的3倍，请直接写出∠CDE的度数．
【答案】(1)135°
(2)证明见解析
(3)22.5°或30°
【分析】本题考查了角平分线定义，三角形内角和定理，平行线的判定，三角形外角的性质，准确识别各
角之间的关系是解题的关键．
（1）先求出∠CDO=50°，再根据角平分线定义求出∠DCE和∠CDE，然后利用三角形内角和定理计
算即可；
（2）根据角平分线定义求出∠DCE+∠EDF=45°，利用三角形外角的性质可得∠CFO=∠EDF+45°，
结合已知证明∠EDF=∠GED，再根据平行线的判定得出结论；
（3）由题意可知，分两种情况：①当∠M=3∠N时，②当∠MCN=3∠N=90°时，先分别求出∠N，
再利用三角形外角的性质求出∠NCO，然后根据角平分线定义计算即可．
【详解】（1）∵ ∠AOB=90°,∠OCD=40°，
∴ ∠CDO=90°−∠ODD=90°−40°=50°，
∵ CE平分∠DCO，DE平分∠CDO,
1 1
∴∠DCE= ∠DCO=20°，∠CDE= ∠CDO=25°，
2 2
∴ ∠CED=180°−∠DCE−∠CDE=180°−20°−25°=135°，
（2）证明：∵ CE平分∠DCO，DE平分∠CDO,
1 1
∴∠DCE= ∠DCO，∠EDF= ∠CDO，
2 2
26
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学科网（北京）股份有限公司∵∠DCO+∠CDO=90°，
∴∠DCE+∠EDF=45°，
∵∠CFO=∠DCF+∠CDO=∠DCF+2∠EDF=∠EDF+45°，
∴∠EDF=∠CFO−45°，
∵∠CFO−∠GED=45°，
∴∠GED=∠CFO−45°，
∴∠EDF=∠GED，
∴ ¿∥DO；
（3）分情况讨论：①当∠M=3∠N时，
∵CM⊥CN，即∠MCN=90°，
∴∠M+∠N=90°，
1
∴∠N= ×90°=22.5°，
4
∵MN是∠COD的外角平分线所在直线，
1
∴∠COM= ×90°=45°，
2
1
∴∠COM= ×90°=45°，
2
∵CE平分∠DCO，
∴∠DCO=2∠NCO=45°，
∴∴∠ADO=90°−45°=45°，
∵DE平分∠CDO,
1
∴∠CDE= ∠ADO=22.5°；
2
②当∠MCN=3∠N=90°时，
∴∠N=30°，
∵MN是∠COD的外角平分线所在直线，，
1
∴∠COM= ×90°=45°，
2
∴∠NCO=∠COM−∠N=15°，
∵CE平分∠DCO，
∴∠DCO=2∠NCO=30°，
∴∠ADO=90°−30°=60°，
27
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学科网（北京）股份有限公司∵DE平分∠CDO，
1
∴∠CDE= ∠ADO=30°；
2
综上，∠CDE的度数为22.5°或30°．
14．（24-25七年级·全国·阶段练习）如图1，已知AB∥CD，P是直线AB，CD外的一点，PF⊥CD于
点F，PE交AB于点E，满足∠FPE=60°．
(1)求∠AEP的度数；
(2)如图2，射线PN从PE出发，以每秒10°的速度绕P点按逆时针方向匀速旋转，当PN到达PF时立刻返
回至PE，然后继续按上述方式旋转；射线EM从EA出发，以每秒9°的速度绕E点按顺时针方向旋转至
EP后停止运动，此时射线PN也停止运动．若射线PN、射线EM同时开始运动，设运动时间为t秒．
①当射线PN平分∠EPF时，求∠AEM的度数；
②当直线EM与直线PN平行时，求t的值．
【答案】(1)∠AEP=150°；
270
(2)①27°或81°或135°；② ．
19
【分析】此题考查了平行线的性质，三角形外角的性质．
（1）根据平行线的性质及三角形外角可得答案；
（2）①由角平分线的定义得∠EPN=30°，据此求出运动时间，即可求出∠AEM的度数；
②由平行可得∠EPN=∠PEM，再根据动点表示出∠PEM=150°−(9t)°和∠EPN，然后列方程求解
即可，注意分类讨论即可．
【详解】（1）解：如图1，
28
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学科网（北京）股份有限公司∵PF⊥CD，
∴∠CFP=90°，
∵AB∥CD，
∴∠AMP=∠CFP=90°，
∵∠FPE=60°，
∴∠AEP=∠AMP+∠FPE=60°+90°=150°；
（2）解：∵射线EM从EA出发，以每秒9°的速度绕E点按顺时针方向旋转至EP后停止运动，此时射线
PN也停止运动．
50
∴t≤150°÷9°= ，
3
∵射线PN从PE出发，以每秒10°的速度绕P点按逆时针方向匀速旋转，当PN到达PF时立刻返回至PE，
然后继续按上述方式旋转；
60° 50
∴当t= =6时，PN第一次到达PF，当t=6×2=12时，PN第一次返回到PE，t= 时射线PN停止
10° 3
运动；
①当PN平分∠EPF时，∠EPN=30°时，∠AEM=9°×t=(9t)°，
当0≤t≤6时，PN未到达PF之前，∠EPN=10°t=30°，运动时间t=3（秒），
∴∠AEM=3×9°=27°；
当66，不合题意；
19
29
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学科网（北京）股份有限公司当690°,β>90°，即可求解．
n
【详解】（1）解：∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠DFE=180°，
∵点G恰为∠BEF和∠DFE的角平分线的交点，
∴∠EBF=2∠FEG，∠DFE=2∠EFG，
∴∠EBF+∠DFE=90°，
46
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学科网（北京）股份有限公司∴EGF=90°；
故答案为：90°
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠DFE=180°，
2 2
当∠FEG= ∠BEF，∠EFG= ∠EFD时，
3 3
2
∠FEG+∠EFG= (∠BEF+∠EFD)=120°，
3
∴∠EGF=60°，
∴∠EGF不一定为钝角；∠EGF可能为60°；
故①错误；②正确；
若∠EGF为直角，则∠FEG+∠EFG=90°，
2 1 1 2
∴∠FEG= ∠BEF,∠EFG= ∠DFE或∠FEG= ∠BEF,∠EFG= ∠DFE，
3 3 3 3
2 1
当∠FEG= ∠BEF,∠EFG= ∠DFE时，
3 3
2 1
∴ ∠BEF+ ∠DFE=90°，即2∠BEF+∠DFE=270°，
3 3
∴∠DFE=270°-2∠BEF，
∵∠BEF+∠DFE=180°，
∴∠BEF=90°，即EF⊥AB，
∵AB∥CD，
∴EF⊥CD，
1 2
当∠FEG= ∠BEF,∠EFG= ∠DFE时，
3 3
同理得∠DFE=90°，即EF⊥CD，
∴若∠EGF为直角，则EF⊥CD．故③正确；
故答案为：②③
（3）解：不存在某一正整数n，使得∠EP F=90°．
n
理由如下：∵EM为∠AEG最接近EG的n等分线，FN是∠CFG最接近CF的n等分线，
n−1 1
∴∠AEM= α,∠CFN= β．
n n
当G在EF左侧，此时α<90°,β<90°,P 必在EF左侧，如图1所示，
n
47
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学科网（北京）股份有限公司过P 作P Q∥AB，
n n
∵AB∥CD，
∴P Q∥CD．
n
∴∠EP F=∠EP Q+∠QP F=∠AEP +∠CFP
n n n n n
n−1 1 n−1 1
= α+ β< ×90°+ ×90°
n n n n
即∠EP F<90°．
n
当G在EF右侧，此时α>90°,β>90°，
n−1
若 α<90°，则P 在EF左侧，如图2所示，
n n
n−1 1
同理可得∠EP F= α+ β，此时∠EP F>90°．
n n n n
n−1
若 α=90°，则P 与F重合，不存在∠EP F，舍去．
n n n
n−1
若 α>90°，则P 在EF右侧，如图3所示，
n n
48
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学科网（北京）股份有限公司过P 作P Q∥AB，
n n
∵AB∥CD，
∴P Q∥CD
n
∴∠EP F=∠EP Q−∠QP F
n n n
=(180°−∠AEP )−∠CFN
n
( n−1 ) 1
= 180°− α − β
n n
n−1 1
∵ α>90°, β>0°，
n n
( n−1 ) 1
∴ 180°− α − β<90°，
n n
即∠EP F<90°．
n
综上所述，不存在某一正整数n，使得∠EP F=90°．
n
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，有关角平分线的计算，三角形的内角和定理等知识，熟练掌握平
行线的性质，有关角平分线的计算，三角形的内角和定理等知识，并利用分类讨论思想解答是解题的关键．
22．（23-24七年级·河南信阳·期末）如图1，直线DE上有一点O，过点O在直线DE上方作射线OC．将
一直角三角板AOB（∠OAB＝30°）的直角顶点放在点O处，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB在
直线DE上方．将直角三角板绕着点O按每秒10°的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒．
（1）当直角三角板旋转到如图2的位置时，OA恰好平分∠COD，此时，∠BOC与∠BOE之间有何数量关
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学科网（北京）股份有限公司系？并说明理由．
（2）若射线OC的位置保持不变，且∠COE＝140°．
①则当旋转时间t＝ 秒时，边AB所在的直线与OC平行？
②在旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OA，OC与OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的
角平分线？若存在，请求出所有满足题意的t的取值．若不存在，请说明理由．
③在旋转的过程中，当边AB与射线OE相交时（如图3），求∠AOC−∠BOE的值．
【答案】（1）∠BOC＝∠BOE，见解析；（2）①7或25；②存在，t的值为2，8，32；③
∠AOC−∠BOE的值为50°
【分析】（1）由∠AOB＝90°知∠BOC+∠AOC＝90°、∠AOD+∠BOE＝90°，根据角平分线的定义得出
∠AOD＝∠AOC，即可得答案；
（2）①由∠COE＝140°知∠COD＝40°，分AB在直线DE上方和下方两种情况，根据平行线的性质分别求
得∠AOD度数，从而求得t的值；
②当OA平分∠COD时∠AOD＝∠AOC、当OC平分∠AOD时∠AOC＝∠COD、当OD平分∠AOC时
∠AOD＝∠COD，分别列出关于t的方程，解之可得；
③由∠AOC=∠COE−∠AOE=140°−∠AOE、∠BOE=90°−∠AOE即可得出∠AOC−∠BOE
的结果．
【详解】解：（1）∠BOC＝∠BOE；
∵∠AOB＝90°，
∴∠BOC+∠AOC＝90°，∠AOD+∠BOE＝90°，
∵OA平分∠COD，
∴∠AOD＝∠AOC，
∴∠BOC＝∠BOE；
（2）①∵∠COE＝140°，
∴∠COD＝40°，
如图1，当AB在直线DE上方时，
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学科网（北京）股份有限公司∵AB∥OC，
∴∠AOC＝∠A＝30°，
∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝70°，
70°
即t= =7（秒）；
10°
如图2，当AB在直线DE下方时，
∵AB∥OC，
∴∠COB＝∠B＝60°，
∴∠BOD=∠BOC−∠COD=20°，
则∠AOD＝90°+20°＝110°，
360°−110°
∴t＝ =25（秒），
10°
故答案为：7或25；
②由题可知∠COD=40°,∠AOD=10t°,
1
当OA平分∠COD时，∠AOD=∠AOC= ∠COD=20°,
2
即10t＝20，解得t＝2；
1
当OC平分∠AOD时，∠AOC=∠COD= ∠AOD=40°，
2
即10t=2×40，解得t＝8；
当OD平分∠AOC时，∠AOD=∠COD=40°，∠AOD=360°−10t°,
即360﹣10t＝40，解得：t＝32；
综上，t的值为2、8、32；
③∵∠AOC=∠COE−∠AOE=140°−∠AOE，
∠BOE=90°−∠AOE，
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学科网（北京）股份有限公司∴∠AOC−∠BOE=(140°−∠AOE)−(90°−∠AOE)=50°，
∴∠AOC−∠BOE的值为50°．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，同角（或等角）的余角相等以及角的计算，根据
题意全面分析，分类讨论是解题关键．
23．（24-25七年级·上海·期中）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图1方式叠放在一起，
其中∠A=60°，∠D=30°，∠E=∠B=45°．
(1)填空：∠1与∠3的数量关系_______；理由是_______；
(2)直接写出∠2与∠ACB的数量关系_______；
(3)如图2，当点E在直线AC的上方时，将三角尺ACD固定不动，改变三角尺BCE的位置，但始终保持两
个三角尺的顶点C重合；探究一下问题：
①当BE∥AD时，画出图形，并求出∠ACE的度数；
②这两块三角尺是否仍存在一组边互相平行？请直接写出此时∠ACE角度所有可能的值并画出对应的图形．
【答案】(1)∠1=∠3，同角的余角相等
(2)∠2+∠ACB=180°
(3)①图见解析，165°；②存在，图见解析，∠ACE的度数为30°或45°或120°或135°
【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，几何图形中的角度计算，余角的性质．数形结合并分类讨
论是解题的关键．
（1）由题意知，∠1+∠2=90°=∠2+∠3，则∠1=∠3，然后作答即可；
（2）由题意知，∠ACB=∠1+90°，∠1+∠2=90°，则∠2+∠ACB=∠2+∠1+90°=180°，然后
作答即可；
（3）①当BE∥AD时，如图1，作CF∥AD，则CF∥BE，∠DCF=∠D=30°，∠ECF=∠E=45°，
根据∠ACE=∠ACD+∠DCF+∠ECF，求解作答即可；②由题意知，分BC∥AD，BE∥AC，
AD∥CE，BE∥CD四种情况求解作答即可．
【详解】（1）解：由题意知，∠1+∠2=90°=∠2+∠3，
∴∠1=∠3，
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学科网（北京）股份有限公司故答案为：∠1=∠3，同角的余角相等；
（2）解：由题意知，∠ACB=∠1+90°，∠1+∠2=90°，
∴∠2+∠ACB=∠2+∠1+90°=180°，
故答案为：∠2+∠ACB=180°；
（3）①解：当BE∥AD时，如图1，作CF∥AD，
∴CF∥BE，
∴∠DCF=∠D=30°，∠ECF=∠E=45°，
∴∠ACE=∠ACD+∠DCF+∠ECF=165°，
∴∠ACE的度数为165°；
②解：由题意知，分BC∥AD，BE∥AC，AD∥CE，BE∥CD四种情况求解；
当BC∥AD时，如图2，
∴∠DCB=∠D=30°，
∴∠ECD=60°，
∴∠ACE=∠ACD−∠ECD=30°；
当BE∥AC时，如图3，
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学科网（北京）股份有限公司∴∠ACE=∠E=45°；
当AD∥CE时，如图4，
∴∠DCE=∠D=30°，
∴∠ACE=∠ACD+∠DCE=120°；
当BE∥CD时，如图5，
∴∠DCE=∠E=45°，
∴∠ACE=∠ACD+∠DCE=135°；
综上所述，存在，∠ACE的度数为30°或45°或120°或135°．
24．（23-24七年级·贵州黔东南·期中）【问题情境】将一副三角板按如图所示的方式叠放在一起，当
0°<∠ACE<90°且点E在直线AC的上方时，解决下列问题（提示：∠A=60°，∠D=30°，
∠B=∠E=45°）：
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学科网（北京）股份有限公司【问题解决】
(1)①若∠DCE=∠D，则∠ACB的度数为______度；
②若∠ACB=130°，则∠DCE的度数为______度；
(2)请猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由；
(3)随着∠ACE的度数的变化，三角板BCE的一边是否能与三角板ACD的一边平行？若存在，请直接写出
∠ACE的度数的所有值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)150，50
(2)∠ACB+∠DCE=180°，理由见详解
(3)存在，∠ACE的度数为：45°或30°，理由见详解
【分析】本题主要考查三角板中角度的计算，平行线的判定和性质，掌握角度的计算，分类讨论，图形结
合分析是解题的关键．
（1）根据三角板的性质，①先计算出∠BCD的度数，再根据∠ACB=∠ACD+∠BCD即可求解；②先
计算出∠BCD的度数，由此即可求解；
（2）根据三角板各角的数量关系，同角的余角相等即可求解；
（3）根据平行线的性质，分类讨论，图形结合分析即可求解．
【详解】（1）解：根据题意，△ACD中，∠A=60°，∠D=30°，∠ACD=90°，△BCE中，
∠B=∠E=45°，∠BCE=90°，
①若∠DCE=∠D=30°时，∠BCD=∠BCE−∠DCE=90°−30°=60°，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°+60°=150°，
故答案为：150；
②若∠ACB=130°时，即∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°+∠BCD=130°，
∴∠BCD=130°−90°=40，
∵∠BCE=∠DCE+∠BCD=90°，
∴∠DCE=90−∠BCD=90°−40°=50°，
故答案为：50；
（2）解：∠ACB+∠DCE=180°，理由如下，
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学科网（北京）股份有限公司∵∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°+∠BCD，∠BCD=∠BCE−∠DCE=90°−∠DCE，
∴∠ACB=90°+(90°−∠DCE)=180°−∠DCE，
∴∠ACB+∠DCE=180°；
（3）解：存在，∠ACE的度数为：45°或30°，理由如下，
如图所示，当BE∥AC时，
∵∠E=45°，
∴∠ACE=∠E=45°；
如图所示，当BC∥AD时，
∵∠D=30°，
∴∠BCD=∠D=30°，
∵∠BCD+∠DCE=90°，∠DCE+∠ACE=90°，
∴∠ACE=∠BCD=30°；
如图所示，当CE∥AD时，
∴∠DCE=∠D=30°，
∴∠ACE=∠ACD+∠DCE=90°+30°=120°>90°，
∵0°<∠ACE<90°，
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学科网（北京）股份有限公司∴不符合题意；
如图所示，点E在直线AC的下方，均不符合题意；
综上所述， ∠ACE的度数的变化，存在三角板BCE的一边是否能与三角板ACD的一边平行，∠ACE的
度数为：45°或30°．
25．（23-24七年级·福建厦门·期末）如图，将一个含45°的直角三角板ABC放置在直尺上，使直尺与三角
板的边BC重合，再将一个含60°的直角三角板DEF放置在直尺上，使得三角板的最长边DE在AB所在直
线l上．其中∠ABC=45°，∠≝=60°，MN∥JK．
(1)如图1，当点E与点B重合时，EF与直尺上沿MN交于点H，求∠MHB的度数；
(2)如图2，AB与直尺上沿交于点G，连接FG，在三角板DEF沿直线l运动的过程中，是否存在某个位置，
使得FG与三角板ABC的一条边平行，若存在，请求出此时∠EFG的度数；若不存在，请说明理由；
(3)如图3，小明将直角三角板DEF换成一般三角形卡片DEF，其中∠≝=α(0°<α<45°)．在三角形卡片
DEF沿直线l运动的过程中，请直接写出当∠EFG与α满足怎样的数量关系时，FG与三角板ABC的一条
边平行．
【答案】(1)75°
(2)∠EFG=15°或75°
(3)∠EFG=135°−α或45°−α
【分析】本题考查与三角板有关的计算，平行线的判定和性质：
（1）利用角的和差关系结合平行线的性质进行求解即可；
（2）分FG∥BC和FG∥AC两种情况进行讨论求解即可；
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学科网（北京）股份有限公司（3）同法（2）进行求解即可．
【详解】（1）解：∵∠ABC=45°，∠≝=60°，
∴∠FBC=60°+45°=105°，
∵MN∥JK，
∴∠MHB=180°−∠FBC=75°；
（2）①当FG∥BC时，如图，过点E作EM∥BC，
则：EM∥BC∥FG，
∴∠BEM=∠ABC=45°，∠GFE+∠FEM=180°，
∴∠FEM=∠≝+∠BEM=105°，
∴∠EFG=180°−105°=75°；
②当FG∥AC时，如图：过点E作EM∥AC，
则：EM∥FG∥AC，
∴∠MED=∠CAB=∠ABC=45°，∠EFG=∠FEM，
∴∠FEM=∠≝−∠MED=15°，
∴∠EFG=∠FEM=15°；
综上：∠EFG=15°或75°；
（3）①当FG∥BC时，如图，过点E作EM∥BC，
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学科网（北京）股份有限公司则：EM∥BC∥FG，
∴∠BEM=∠ABC=45°，∠GFE+∠FEM=180°，
∴∠FEM=∠≝+∠BEM=45°+α，
∴∠EFG=180°−45°−α=135°−α；
②当FG∥AC时，如图：过点E作EM∥AC，
则：EM∥FG∥AC，
∴∠MED=∠CAB=∠ABC=45°，∠EFG=∠FEM，
∴∠FEM=∠MED−∠≝=45°−α，
∴∠EFG=∠FEM=45°−α；
综上：∠EFG=135°−α或45°−α．
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