文档内容
专题 9.2 平面直角坐标系中的面积问题【八大题型】
【人教版2024】
【题型1 与两坐标轴围成的图形面积】..................................................................................................................1
【题型2 一边在坐标轴上的图形面积】..................................................................................................................2
【题型3 平行于坐标轴的图形的面积】..................................................................................................................3
【题型4 各边都不在坐标轴上的图形的面积】.....................................................................................................3
【题型5 由面积之间的关系求坐标】......................................................................................................................5
【题型6 直线分面积求值】......................................................................................................................................5
【题型7 新定义问题中的面积】..............................................................................................................................6
【题型8 面积中的规律问题】..................................................................................................................................8
【题型1 与两坐标轴围成的图形面积】
【例1】（24-25七年级·吉林长春·期中）已知A（a，0）和B点（0，10）两点，且AB与坐标轴围成的三
角形的面积等于20，则a的值为（ ）
A．2 B．4 C．0或4 D．4或﹣4
【变式1-1】（24-25七年级广东清远·七年级统考期末）已知A(0，4)，点B在x轴上，AB与坐标轴围成的
三角形面积为2，则点B的坐标为( )
A．(1，0) B．(1，0)或(－1，0) C．(－1，0) D．(0，－1)或(0，1)
【变式1-2】（24-25七年级上·安徽安庆·期末）平面直角坐标系中，我们把点P(x,y)的横坐标与纵坐标的
绝对值之和叫做点P(x,y)的勾股值，记为：「 P」，即「 P」=|x)+|y).
（1）求点A(−1,3)的勾股值「 A」；
（2）若点B在第一象限且满足「 B」=3，求满足条件的所有B点与坐标轴围成的图形的面积.
【变式1-3】（24-25七年级·江苏南通·阶段练习）已知点A(a，0)和点B(0，5)，且直线AB与两坐标轴
围成的三角形的面积等于10，则a的值是（ ）
A．4 B．4或−4 C．−4 D．2
【题型2 一边在坐标轴上的图形面积】
【例2】（24-25七年级·江西南昌·期中）如图是一块不规则的四边形地皮ABCO，各顶点坐标分别为
A(−2,6)，B(−5,4)，C(−7,0)，O(0,0)（图上一个单位长度表示10米），则这块地皮的面积是（ ）
1
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学科网（北京）股份有限公司m2．
A．25 B．250 C．2500 D．2200
【变式2-1】（24-25七年级·安徽亳州·阶段练习）如图，已知三角形ABC如图所示放置在平面直角坐标系
中，其中C(−4,4)．则三角形ABC的面积是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【变式2-2】（24-25七年级·海南省直辖县级单位·期中）如图，已知：A(4,3)，B(6,0)，E(5,2)，求
△AOE的面积（ ）
A．3.5 B．2.5 C．6 D．7
【变式2-3】（24-25七年级·安徽亳州·阶段练习）已知点A(1,0)，B(0,2)，点P在x轴上，且三角形PAB的
面积是3，则点P的坐标是（ ）
A．(0，−4) B．(−2，0) C．(0，−4)或(0,8) D．(4，0)或(−2，0)
2
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学科网（北京）股份有限公司【题型3 平行于坐标轴的图形的面积】
【例3】（24-25七年级·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，平行四边形ABCD的四个顶点
A，B，C，D是整点（横、纵坐标都是整数），则四边形ABCD的面积是（ ）个平方单位．
15
A． B．15 C．10 D．无法计算
2
【变式3-1】（24-25七年级·北京顺义·阶段练习）由坐标平面内的三点A(1,1),B(3,1),C(1,−3)构成的
△ABC的面积是 ．
【变式3-2】（24-25七年级·福建龙岩·期末）在平面直角坐标系中，由点
A(a，2)，B(a-2，2)，C(b，-2)组成的三角形ABC的面积是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【变式3-3】（24-25七年级·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2,n+2)，
B(k,n+2)，C(4,n+4)，D(2,n+k)．则四边形ABCD的面积= （用含有k的式子表示）
【题型4 各边都不在坐标轴上的图形的面积】
【例4】（24-25七年级·上海静安·周测）如图，三角形ABC的面积等于（ ）
3
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学科网（北京）股份有限公司1 1
A．12 B．12 C．13 D．13
2 2
【变式4-1】（24-25七年级·重庆长寿·期末）已知点A(2,2)，B(1,0)，点C在坐标轴上，且三角形ABC的
面积为2，请写出所有满足条件的点C的坐标 ．
【变式4-2】（24-25七年级·湖北鄂州·期中）如图，直角坐标系中，三角形ABC的顶点都在网格点上，其
中点C的坐标为(1,1)．
(1)写出点A，B的坐标A（______），B（______）；
(2)将三角形ABC先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到三角形A′B′C′，则点A′，B′
，C′的坐标分别是A′（______），B′（______），C′（______）；
(3)计算三角形ABC的面积．
【变式4-3】（24-25七年级·湖北武汉·期中）如图在平面直角坐标系中，点A(2,3)，点B(−3,−2)，点
C(4,−3)，则三角形ABC的面积是（ ）
4
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学科网（北京）股份有限公司A．19 B．20 C．21 D．21.5
【题型5 由面积之间的关系求坐标】
【例5】（24-25七年级·北京西城·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知三角形的三个顶点坐标分别是
A(0,1)，B(1,0)， C(1,2)，点P在y轴上，设三角形ABP和三角形ABC的面积相等，那么点P坐标是
．
【变式5-1】（24-25七年级·江西南昌·期中）已知点A(3,0)，B(0,4)，点C在x轴上，且△BOC的面积是
△ABC的面积的3倍，那么点C的坐标可以为 ．
【变式5-2】（24-25七年级·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A、B、C的坐
标分别为(m−2,n)，(m−2,n+2023)，(5,t+2022)，若△ABO的面积为△ABC面积的2倍，则m的值为
【变式5-3】（24-25七年级·四川达州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，点B在x
轴正半轴上，OA=2，OB=1，点C是第一象限内一点且AC∥x轴，将线段AB经过一定的平移得到线段
CD，点A的对应点为点D，点B的对应点为点C，连接AD，S =6，点P为y轴上一动点，当
△ACD
1
S = S 时，点P的坐标为 ．（注：S 表示△ACD的面积）
△PAB 4 △AOD △ACD
【题型6 直线分面积求值】
【例6】（24-25七年级·湖北十堰·期中）如图，A(−2,0)、B(0,3)、C(2,4)、D(3,0)，点P在x轴上，直
线CP将四边形ABCD的面积分成1:2两部分，则OP的长为 ．
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学科网（北京）股份有限公司【变式6-1】（24-25七年级·辽宁葫芦岛·期中）如图，平面直角坐标系中的图案是由六个边长为1的正方
形组成的，B(3,3)，A(a,0)是x轴上的动点，当AB将图案分成面积相等的两部分时，a等于（ ）
4 3 5
A．1 B． C． D．
3 2 3
【变式6-2】（24-25七年级·四川凉山·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点C在y轴上，
CB∥OA，且OA=12，OC=BC=4．
(1)直接写出点A，B，C的坐标；
(2)若动点P从原点O出发沿x轴以每秒2个单位长度的速度向右运动，当直线PC把四边形OABC分成面积
相等的两部分时，求点P的运动时间；
(3)在（2）的条件下，在y轴上是否存在一点Q，连接PQ，使△CPQ的面积与四边形OABC的面积相等？
若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式6-3】（24-25七年级·北京西城·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知三角形的三个顶点坐标分别
是A(0,1)，B(1,0)， C(1,2)，点P在y轴上，设三角形ABP和三角形ABC的面积相等，那么点P坐标是
．
【题型7 新定义问题中的面积】
【例7】（24-25七年级·广东河源·开学考试）在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C的“矩面
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学科网（北京）股份有限公司积”，给出如下定义：“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”ℎ ：任意两点纵坐标差的最
大值，则“矩面积”S=aℎ ．例如：三点坐标分别为A(1，2)，B(−3，1)，C(2，−2)，则“水平底”
a=5，“铅垂高”
ℎ
=4，“矩面积”S=aℎ =20．若D(1，2)、E(−2，1)、F(0，t)三点的“矩面积”为
18，则t的值为( )
A．−3或7 B．−4或6 C．−4或7 D．−3或6
【变式7-1】（24-25七年级·北京·期中）中国结是一种手工编织工艺品，因为其外观对称精致，可以代表
汉族悠久的历史，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，故命名为中国结，中国结有着复杂曼妙的曲线，
却可以还原成最单纯的二维线条，其中的八字结对应着数学曲线中的双扭线在平面直角坐标系中如图所
示，则下列结论中正确的有（ ）
①双扭线围成的面积小于6；
②双扭线内部（包含边界）包含11个整数点（横坐标、纵坐标都是整数的点）；
③双扭线上任意一点到原点的距离不超过3；
④假设点P为双扭线上的一个点，A，B为双扭线与x轴的交点，则满足三角形PAB的面积等于3的P点有
4个．
A．①②③ B．②③ C．②③④ D．①②③④
【变式7-2】（24-25七年级·福建厦门·期末）在平面直角标系中，将横、纵坐标之和为6的点称为“吉祥
点”，现有以下结论：
①第一象限内有无数个“吉祥点”；
②第三象限内不存在“吉祥点”；
③已知点A(−2,1)，B(−2,−3)，若点P是“吉祥点”且在坐标轴上，则点P到直线AB的距离为8；
④已知点C(−1,−1)，D(3,−1)，若点Q是第一象限内的“吉祥点”三角形QCD的面积记为S，则
2
