文档内容
专题强化二：角各类考点一遍过必刷题
一、单选题
1．（2022·山东德州·七年级期末）岛P位于岛Q的正西方，由岛P、Q分别测得船R位于南偏东30°和南偏西45°
方向上．符合条件的示意图是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·河南周口·七年级期末）如图，若AB，CD相交于点O，∠AOE＝90°，则下列结论不正确的是( )
A．∠EOC与∠BOC互为余角 B．∠EOC与∠AOD互为余角
C．∠AOE与∠EOC互为补角 D．∠AOE与∠EOB互为补角
3．（2022·河南信阳·七年级期末）如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中 与 互余的是
（ ）
A．图① B．图② C．图③ D．图④
4．（2021·全国·七年级专题练习）如图，已知 ， 在 内部且 ，则 与
一定满足的关系为（ ）．
A． B．
C． D．
5．（2022·湖南·永州市剑桥学校七年级）如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分 ， ，若，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·全国·七年级）如图所示，已知∠AOB=64°，OA 平分∠AOB，OA 平分∠AOA，OA 平分∠AOA，
1 2 1 3 2
OA 平分∠AOA，则∠AOA 的大小为（ ）
4 3 4
A．1° B．2° C．4° D．8°
7．（2022·全国·七年级课时练习）如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分
线，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ACD=（ ）
A．75° B．80° C．85° D．90°
8．（2020·湖北武汉·七年级期末）如图， 分别平分 平分 ，
下列结论:① ；② ；③ ；④
其中正确的个数有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2022·浙江·七年级专题练习）如图，直线 与 相交于点 ，一直角三角尺 的直角顶点
与点 重合， 平分 ，现将三角尺 以每秒 的速度绕点 顺时针旋转，同时直线 也以每秒 的
速度绕点 顺时针旋转，设运动时间为 秒（ ），当 平分 时， 的值为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
10．（2022·福建福州·七年级期末）已知三条不同的射线OA、OB、OC有下列条件：①∠AOC=∠BOC
②∠AOB=2∠AOC ③∠AOC+∠COB=∠AOB ④∠BOC= ∠AOB，其中能确定OC平分∠AOB的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题
11．（2020·全国·七年级）如图， ，OC是 的平分线， 是 的平分线， 是的平分线…… 是 的平分线，则 的度数为________．
12．（2022·广西梧州·七年级期末）如图，过直线AB上一点O作射线OC，∠BOC=29°18′，则∠AOC的度数为
_____．
13．（2022·全国·七年级）如图，点O是直线AD上一点，射线OC，OE分别平分∠AOB、∠BOD．若∠AOC＝
28°，则∠BOE＝_____．
14．（2022·江苏·南通市新桥中学七年级）如图，已知点A是射线BE上一点，过A作AC⊥BF，垂足为C，
CD⊥BE，垂足为D，给出下列结论：①∠1是∠ACD的余角；②图中互余的角共有3对；③∠1的补角只有
∠DCF；④与∠ADC互补的角共有3个．其中正确结论有_____．
15．（2019·北京·临川学校七年级）如图，OM，ON分别是∠BOC和∠AOC的平分线，∠AOB＝84°.
(1)∠MON=_____；
(2)当OC在∠AOB内绕点O转动时，∠MON的值____改变．(填“会”或“不会”)
16．（2022·全国·七年级）将两个形状、大小完全相同的含有30°、60°的三角板PAB与PCD如图放置，A、P、C
三点在同一直线上，现将三角板PAB绕点P沿顺时针方向旋转一定角度，如图，若PE平分∠APD，PF平分∠BPD，则∠EPF的度数是_________°.
17．（2018·四川南充·七年级期末）如果∠A和∠B互补，且∠A＞∠B，给出下列四个式子：①90°﹣∠B；②∠A﹣
90°；③ （∠A+∠B）④ （∠A﹣∠B）其中表示∠B余角的式子有_____．（填序号）
三、解答题
18．（2022·新疆昌吉·七年级期末）如图，O，D，E三点在同一直线上，∠AOB=90°．
（1）图中∠AOD的补角是_____，∠AOC的余角是_____；
（2）如果OB平分∠COE，∠AOC=35°，请计算出∠BOD的度数．
19．（2022·黑龙江大庆·七年级期末）如图，已知A、O、B三点共线，∠AOD=42°，∠COB=90°．
（1）求∠BOD的度数；
（2）若OE平分∠BOD，求∠COE的度数．
20．（2022·湖南岳阳·七年级期末）已知：O是直线AB上的一点， 是直角，OE平分 ．
（1）如图1．若 ．求 的度数；
（2）在图1中， ，直接写出 的度数（用含a的代数式表示）；
（3）将图1中的 绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，探究 和 的度数之间的关系．写出你的
结论，并说明理由．21．（2018·江苏无锡·七年级期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分 ， ，
图中 的余角是______ 把符合条件的角都填出来 ；
如果 ，那么根据______可得 ______度；
如果 ，求 和 的度数．
22．（2020·浙江·七年级期中）如图，已知∠AOB=120°，射线OP从OA位置出发，以每秒2°的速度顺时针向射线
OB旋转；与此同时，射线OQ以每秒6°的速度，从OB位置出发逆时针向射线OA旋转，到达射线OA后又以同样
的速度顺时针返回，当射线OQ返回并与射线OP重合时，两条射线同时停止运动. 设旋转时间为t秒．
（1）当t=2时，求∠POQ的度数；（2）当∠POQ=40°时，求t的值；
（3）在旋转过程中，是否存在t的值，使得∠POQ= ∠AOQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
23．（2022·江苏·七年级专题练习）已知∠AOB和∠COD均为锐角，∠AOB＞∠COD，OP平分∠AOC，OQ平分
∠BOD，将∠COD绕着点O逆时针旋转，使∠BOC=α（0≤α＜180°）
（1）若∠AOB=60°，∠COD=40°，
①当α=0°时，如图1，则∠POQ= ；
②当α=80°时，如图2，求∠POQ的度数；
③当α=130°时，如图3，请先补全图形，然后求出∠POQ的度数；
（2）若∠AOB=m°，∠COD=n°，m＞n，则∠POQ= ，（请用含m、n的代数式表示）．
24．（2022·全国）一个问题解决往往经历发现猜想——探索归纳——问题解决的过程，下面结合一道几何题来体
验一下.
【发现猜想】（1）如图①，已知∠AOB＝70°，∠AOD＝100°，OC为∠BOD的角平分线，则∠AOC的度数为
；.
【探索归纳】（2）如图①，∠AOB＝m，∠AOD＝n，OC为∠BOD的角平分线. 猜想∠AOC的度数（用含m、n
的代数式表示），并说明理由.【问题解决】（3）如图②，若∠AOB＝20°，∠AOC＝90°，∠AOD＝120°.若射线OB绕点O以每秒20°逆时针旋
转，射线OC绕点O以每秒10°顺时针旋转，射线OD绕点O每秒30°顺时针旋转，三条射线同时旋转，当一条射
线与直线OA重合时，三条射线同时停止运动. 运动几秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的角平分线？
25．（2022·河北唐山·七年级期末）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC＝60°．将一直
角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）将图1中的三角板绕点O处逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部．且恰好平分∠BOC，求∠CON
的度数．
（2）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究：∠AOM与∠NOC之间的数量
关系，并说明理由；
（3）将图1中的三角板绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过 程中，第t秒时．直线ON
恰好平分锐角∠AOC，则t的值为________秒（直接写出结果）
26．（2021·四川·石室中学七年级期中）已知： 是 内的射线．
（1）如图1，若 平分 平分 ．当射线 绕点O在 内旋转时， _______度．
（2） 也是 内的射线，如图2，若 平分 平分 ，当 绕点O在
内旋转时，求 的大小．
（3）在（2）的条件下，若 ，当 在 内绕O点以每秒 的速度逆时针旋转t秒，如图3，
且 ，求t的值．参考答案：
1．D
【详解】解：根据文字语言，画出示意图，如下：
故选D．
【点睛】本题考查方向角的概念，掌握概念正确作图是解题关键．
2．C
【分析】直接利用垂直的定义结合互余以及互补的定义分析得出答案．
【详解】解：∵∠AOE=90°，
∴∠BOE=90°，
∵∠AOD=∠BOC，
∴∠EOC+∠BOC=90°，∠EOC+∠AOD=90°，∠AOE+∠EOB=180°，
故A、B、D选项正确，C错误．
故选C．
【点睛】此题主要考查了垂直的定义、互余以及互补的定义，正确把握相关定义是解题关键．
3．A
【分析】根据平角的定义，同角的余角相等，等角的补角相等和邻补角的定义对各小题分析判断即可得解．
【详解】解：图①，∠α+∠β=180°﹣90° 互余；
图②，根据同角的余角相等，∠α=∠β；
图③，根据等角的补角相等∠α=∠β；
图④，∠α+∠β=180°，互补．
故选A．
【点睛】本题考查了余角和补角，是基础题，熟记概念与性质是解题的关键．
4．D
【分析】根据角的和差，可得∠AOD＋∠COB＝∠AOC＋∠COD＋∠COD＋∠DOB＝∠AOB＋∠COD，再代入
计算即可求解．
【详解】∵∠AOD＝∠AOC＋∠COD，∠COB＝∠COD＋∠DOB，
∴∠AOD＋∠COB＝∠AOC＋∠COD＋∠COD＋∠DOB，
＝∠AOC＋∠COD＋∠DOB＋∠COD
＝∠AOB＋∠COD
∵∠AOB＝120°，∠COD＝60°，∴∠AOD＋∠COB＝120°＋60°＝180°．
故选：D．
【点睛】本题考查了角的计算．解题的关键是利用了角的和差关系求解．
5．C
【分析】由 和射线OM平分 ，可求∠MOC=30°；再根据 ，即可求得∠CON．
【详解】解：∵ ，射线OM平分 ，
∴∠MOC=
∵
∴ =∠MON-∠MOC=90°-30°=60°，故选：C
【点睛】本题考查了角平分线和角的和差的知识，正确运用角的和差是解答本题的关键．
6．C
【分析】根据角平分线定义求出∠AOA= ∠AOB=32°，同理即可求出答案．
1
【详解】∵∠AOB=64°，OA 平分∠AOB，
1
∴∠AOA = ∠AOB=32°，
1
∵OA 平分∠AOA，
2 1
∴∠AOA = ∠AOA =16°，
2 1
同理∠AOA=8°，
3
∠AOA =4°，
4
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的应用，掌握角平分线的定义是关键．
7．A
【分析】依据AD是BC边上的高，∠ABC=60°，即可得到∠BAD=30°，依据∠BAC=50°，AE平分∠BAC，即可得
到∠DAE=5°，再根据△ABC中，∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=70°，可得∠EAD+∠ACD=75°．
【详解】∵AD是BC边上的高，∠ABC=60°，
∴∠BAD=30°，
∵∠BAC=50°，AE平分∠BAC，
∴∠BAE=25°，
∴∠DAE=30°﹣25°=5°，
∵△ABC中，∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=70°，
∴∠EAD+∠ACD=5°+70°=75°，
故选：A．
【点睛】本题考查了角平分线的定义和三角形内角和定理，解决问题的关键是三角形外角性质以及角平分线的定
义的运用．8．C
【分析】根据角平分线的性质得出∠BOM=∠AOM= ∠AOB，∠BON=∠CON= ∠COB，∠COH=∠AOH=
∠AOC，再根据角度之间的等量关系式进行等量代换即可得出答案.
【详解】∵OM平分∠AOB，ON平分∠COB，OH平分∠AOC
∴∠BOM=∠AOM= ∠AOB，∠BON=∠CON= ∠COB，∠COH=∠AOH= ∠AOC
∴∠MON= ∠AOC，∠HOC= ∠AOC
∴∠MON=∠HOC，故①正确；
2∠MOH=2(∠BOM-∠BOH)=2∠BOM-2∠BOH=∠AOB-∠BOH-∠BOH=∠AOH-∠BOH，故②正确；
2∠MON=2(∠NOB+∠BOH+∠MOH)=∠AOC≠∠AOC+∠BOH，故③正确；
2∠NOH=2∠NOB+2∠BOH=∠BOC+2∠BOH=∠COH+∠BOH，故④正确；
故答案选择C.
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，难度适中，熟练进行不同角度之间的等量关系的转换是解决本题的关键.
9．D
【分析】分两种情况进行讨论：当转动较小角度的 平分 时， ；当转动较大角度的 平分
时， ；分别依据角的和差关系进行计算即可得到 的值．
【详解】解：分两种情况：
①如图 平分 时， ，
即 ，
解得 ；
②如图 平分 时， ，即 ，
解得 ．
综上所述，当 平分 时， 的值为2.5或32.5．
故选： ．
【点睛】本题考查角的动态问题，理解题意并分析每个运动状态是解题的关键．
10．D
【详解】如图，
根据角平分线的意义，可由∠AOC=∠BOC，知OC是∠AOB的平分线；
如图，
此时，∠AOB=2∠BOC，∠BOC= ∠AOB，但OC不是∠AOB的平分线；
由于∠AOC+∠COB=∠AOB，但是∠AOC与∠COB不一定相等，所以OC不一定是∠AOB的平分线.
所以只有①能说明OC是∠AOB的角平分线.
故选D.
11．
【分析】首先利用角平分线的性质求出 的角度，然后根据规律即可得出答案．
【详解】∵ ，OC是 的平分线，
．同理， ，
，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查角平分线的定义，找到规律是解题的关键．
12．150°42′
【分析】直接利用互为邻补角的和等于180°得出答案．
【详解】详解：∵∠BOC=29°18′，
∴∠AOC=180°-29°18′=150°42′．
故答案为：150°42′．
【点睛】此题主要考查了角的计算，正确理解互为邻补角的和等于180°是解题关键．
13．62°
【分析】先求出∠AOB的度数，然后根据两角互补和是180°求出∠BOD的度数，再利用角平分线的定义求出所求
角的度数．
【详解】解：由题意知：∠AOB＝2∠AOC＝56°
∵∠AOB+∠BOD＝180°
∴∠BOD＝180°﹣56°＝124°
∴∠BOE＝ ∠BOD＝62°
故答案为62°
【点睛】点O是直线AD上一点表明∠AOD是平角，这是本题的关键
14．①④
【分析】根据垂直定义可得∠BCA＝90°，∠ADC＝∠BDC＝∠ACF＝90°，然后再根据余角定义和补角定义进行分
析即可．
【详解】∵AC⊥BF，∴∠BCA＝90°，∴∠ACD+∠1＝90°，∴∠1是∠ACD的余角，故 正确；
∵CD⊥BE，∴∠ADC＝∠CDB＝90°，∴∠B+∠BCD＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°． ①
∵∠BCA＝90°，∴∠B+∠BAC＝90°，∠1+∠ACD＝90°，∴图中互余的角共有4对，故 错误；
∵∠1+∠DCF＝180°，∴∠1的补角是∠DCF． ②
∵∠1+∠DCA＝90°，∠DAC+∠DCA＝90°，∴∠1＝∠DAC．
∵∠DAC+∠CAE＝180°，∴∠1+∠CAE＝180°，∴∠1的补角有∠CAE，故 说法错误；
∵∠ACB＝90°，∠ACF＝90°，∠ADC＝∠BDC＝90°，∴∠BDC，∠ACB，③∠ACF和∠ADC互补，故 说法正确．
正确的是 ． ④
故答案为①④．
【点睛】①本题④考查了余角和补角，关键是掌握两角之和为90°时，这两个角互余，两角之和为180°时，这两个角互补．
15． 42° 不会
【分析】根据角平分线的定义求解即可．
【详解】①∵OM、ON分别是∠BOC和∠AOC的平分线,∠AOB=84°，
∴∠MON=(∠AOC+∠BOC)÷2=84°÷2=42°.
②当OC在∠AOB内绕点O转动时，∠MON的值不会改变.
故答案为42°、不会.
【点睛】本题较为简单，主要考查了角平分线的定义，牢牢掌握角平分线的定义是解答本题的关键.
16．15
【分析】设∠APE＝∠DPE＝x，∠BPF＝∠DPF =y，利用∠EPF＝x-y＝y-(x-30°)，进而求出x-y=15°，即可求解.
【详解】设∠APE＝∠DPE＝x，∠BPF＝∠DPF =y，
∵∠EPF＝∠DPE-∠DPF= x-y
又∠EPF＝∠BPF -∠BPE= y-(x-30°)
∴x-y＝y-(x-30°)，
∴x-y=15°，
故∠EPF=15°，
故填：15°.
【点睛】此题主要考查了角的计算，利用数形结合得出等式是解题关键，还要理清角之间的关系．
17．①②④
【详解】【分析】根据互余、互补的性质，互补两角之和为180°，互余两角之和为90°，可将，①②③④中的式子
化为含有∠A+∠B的式子，再将∠A+∠B=180°代入即可解出此题．
【详解】∵∠A和∠B互补，
∴∠A+∠B=180°，
因为90°-∠B+∠B=90°，所以①正确；
又∠A-90°+∠B=∠A+∠B-90°=180°-90°=90°，②也正确；
（∠A+∠B）+∠B= ×180°+∠B=90°+∠B≠90°，所以③错误；
（∠A-∠B）+∠B= （∠A+∠B）= ×180°=90°，所以④正确，
综上可知，①②④均正确，
故答案为①②④.
【点睛】本题考查了角之间互补与互余的关系，互补两角之和为180°，互余两角之和为90°．
18．（1）∠AOE，∠BOC；（2）125°
【分析】（1）结合图形，根据补角和余角的定义即可求得；
（2）由∠AOC=35°，∠AOB=90°可求得∠BOC的度数，再根据角平分线的定义求得∠BOE的度数，再根据邻补角的定义即可求得∠BOD的度数．
【详解】（1）图中∠AOD的补角是∠AOE，∠AOC的余角是∠BOC，
故答案为 ∠AOE， ∠BOC；
（2）∵∠AOC=35°，∠AOB=90°，
∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=90°-35°=55°，
∵OB平分∠COE，
∴∠BOE=∠BOC=55°，
∴∠BOD=180°-∠BOE=180°﹣55°=125°．
【点睛】本题考查了余角和补角的定义、角平分线的定义等，熟练掌握相关的内容是解题的关键．
19．（1）∠BOD =138°；（2）∠COE=21°．
【分析】（1）根据平角的定义即可得到结论；
（2）根据余角的性质得到∠COD=48°，根据角平分线的定义即可得到结论．
【详解】（1）∵A、O、B三点共线，∠AOD=42°，
∴∠BOD=180°﹣∠AOD=138°；
（2）∵∠COB=90°，
∴∠AOC=90°，
∵∠AOD=42°，
∴∠COD=48°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠DOE= ∠BOD=69°，
∴∠COE=69°﹣48°=21°．
【点睛】本题考查了余角和补角的知识，属于基础题，互余的两角之和为90°，互补的两角之和为180°是需要同学
们熟练掌握的内容．
20．（1） ；（2） ；（3） ，理由见解析.
【分析】（1）先根据补角的定义求出∠BOC的度数，再由角平分线的性质得出∠COE的度数，根据
∠DOE=∠COD-∠COE即可得出结论；
（2）同（1）可得出结论；
（3）先根据角平分线的定义得出∠COE=∠BOE= ∠BOC，再由∠DOE=∠COD-∠COE即可得出结论．
【详解】（1）∵ 是直角， ，
，
，
∵OE平分 ，，
．
（2） 是直角， ，
，
，
∵OE平分 ，
，
．
（3） ，
理由是： ，OE平分 ，
，
，
，
，
即 ．
【点睛】本题考查的是角的计算，熟知角平分线的定义、补角的定义是解答此题的关键．
21．（1）∠BOC、∠AOD（2）对顶角相等，160（3）26°
【详解】试题分析：（1）根据互余两角和为90°，结合图形找出即可；
（2）从图形中可知∠AOC和∠DOB为对顶角，直接可求解；
（3）根据角平分线可求∠AOD的度数，然后根据对顶角和邻补角可求解.
试题解析：（1）图中∠AOF的余角是∠BOC、∠AOD（把符合条件的角都填出来）；
（2）如果∠AOC=160°，那么根据对顶角相等可得∠BOD=160度；
（3）∵OE平分∠AOD，
∴∠AOD=2∠1=64°，
∴∠2=∠AOD=64°，∠3=90°﹣64°=26°．
22．（1）∠POQ =104°；（2）当∠POQ=40°时，t的值为10或20；（3）存在，t=12或 或 ，使得∠POQ=
∠AOQ．
【解析】当OQ，OP第一次相遇时，t=15；当OQ刚到达OA时，t=20；当OQ，OP第二次相遇时，t=30；
（1）当t=2时，得到∠AOP=2t=4°，∠BOQ=6t=12°，利用∠POQ =∠AOB-∠AOP-∠BOQ求出结果即可；（2）分三种情况：当0≤t≤15时，当15＜t≤20时，当20＜t≤30时，分别列出等量关系式求解即可；
（3）分三种情况：当0≤t≤15时，当15＜t≤20时，当20＜t≤30时，分别列出等量关系式求解即可．
【详解】解：当OQ，OP第一次相遇时，2t+6t=120，t=15；
当OQ刚到达OA时，6t=120，t=20；
当OQ，OP第二次相遇时，2t6t=120+2t，t=30；
（1）当t=2时，∠AOP=2t=4°，∠BOQ=6t=12°，
∴∠POQ =∠AOB-∠AOP-∠BOQ=120°-4°-12°=104°.
（2）当0≤t≤15时，2t +40+6t=120， t=10；
当15＜t≤20时，2t +6t=120+40， t=20；
当20＜t≤30时，2t =6t-120+40， t=20（舍去）；
答：当∠POQ=40°时，t的值为10或20.
（3）当0≤t≤15时，120-8t= (120-6t），120-8t=60-3t，t=12；
当15＜t≤20时，2t –(120-6t）= (120 -6t），t= .
当20＜t≤30时，2t –(6t -120）= (6t -120），t= .
答：存在t=12或 或 ，使得∠POQ= ∠AOQ.
【分析】本题考查了角的和差关系及列方程解实际问题，解决本题的关键是分好类，列出关于时间的方程．
23．（1）①50°；②50°；③130°；（2） m°+ n°或180°- m°- n°
【分析】（1）根据角的和差和角平分线的定义即可得到结论；
（2）根据角的和差和角平分线的定义即可得到结论．
【详解】解：（1）①∵∠AOB=60°，∠COD=40°，OP平分∠AOC，OQ平分∠BOD，
∴∠BOP= ∠AOB=30°，∠BOQ= ∠COD=20°，
∴∠POQ=50°，
故答案为：50°；
②解：∵∠AOB=60°，∠BOC=α=80°，
∴∠AOC=140°，
∵OP平分∠AOC，
∴∠POC= ∠AOC=70°，
∵∠COD=40°，∠BOC=α=80°，
且OQ平分∠BOD，
同理可求∠DOQ=60°，∴∠COQ=∠DOQ-∠DOC=20°，
∴∠POQ=∠POC-∠COQ=70°-20°=50°；
③解：补全图形如图3所示，
∵∠AOB=60°，∠BOC=α=130°，
∴∠AOC=360°-60°-130°=170°，
∵OP平分∠AOC，
∴∠POC= ∠AOC=85°，
∵∠COD=40°，∠BOC=α=130°，
且OQ平分∠BOD，
同理可求∠DOQ=85°，
∴∠COQ=∠DOQ-∠DOC=85°-40°=45°，
∴∠POQ=∠POC+∠COQ=85°+45°=130°；
（2）当∠AOB=m°，∠COD=n°时，如图2，
∴∠AOC= m°+ °，
∵OP平分∠AOC，
∴∠POC= (m°+ °)，
同理可求∠DOQ= (n°+ °)，
∴∠COQ=∠DOQ-∠DOC= (n°+ °)- n°= (-n°+ °)，
∴∠POQ=∠POC-∠COQ= (m°+ °)- (-n°+ °)= m°+ n°，
当∠AOB=m°，∠COD=n°时，如图3，
∵∠AOB=m°，∠BOC=α，
∴∠AOC=360°-m°- °，
∵OP平分∠AOC，
∴∠POC= ∠AOC=180° (m°+ °)，
∵∠COD=n°，∠BOC=α，
且OQ平分∠BOD，
同理可求∠DOQ= (n°+ °)，
∴∠COQ=∠DOQ-∠DOC= (n°+ °)-n°= (-n°+ °)，
∴∠POQ=∠POC+∠COQ=180° (m°+ °)+ (-n°+ °)
=180°- m°- n°，
综上所述，若∠AOB=m°，∠COD=n°，则∠POQ= m°+ n°或180°- m°- n°．
故答案为： m°+ n°或180°- m°- n°．
【点睛】本题考查了角的计算，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．
24．（1）85°；（2）∠AOC＝ ；理由见解析；（3）经过 ， ，4秒时，其中一条射线是另外两条射线
夹角的平分线.
【分析】（1）根据∠AOD、∠AOB、∠BOD之间的关系，求出∠BOD的度数，然后根据角平分线的性质算出
∠BOC的度数，再计算∠AOC即可解决问题.
（2）根据∠AOD、∠AOB、∠BOD之间的关系，用m、n表示出∠BOD的度数，然后根据角平分线的性质用
m、n的代数式表示出∠BOC，最后再表示出∠AOC即可解决问题.
（3）根据各角之间存在的数量关系，设经过x秒时，分别用x将∠DOA、∠COA、∠BOA表示出来，然后分四类
情况讨论，根据角平分线的性质列出方程，解决即可.
【详解】（1）85°；
（2）∵∠AOB＝m，∠AOD＝n
∴∠BOD＝n－m
∵OC为∠BOD的角平分线∴∠BOC＝
∴∠AOC＝ +m＝
（3）设经过的时间为x秒，
则∠DOA＝120°－30x；∠COA＝90°－10x；∠BOA＝20°+20x；
①当在x＝ 之前，OC为OB，OD的角平分线；30－20x＝70－30x，x＝4（舍）；
1
②当x在 和2之间，OD为OC，OB的角平分线；－30+20x＝100－50x，x＝ ；
2
③当x在2和 之间，OB为OC，OD的角平分线；70－30x＝－100+50x，x＝ ；
3
④当x在 和4之间，OC为OB，OD的角平分线；－70+30x＝－30+20x，x＝4.
4
答：经过 ， ，4秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线.
【点睛】本题考查了角平分线的性质，一元一次方程的应用，解决本题的关键是熟练掌握角平分线的性质，理清
各个角之间存在的数量关系，根据数量关系列出方程.
25．（1） ；（2）∠AOM-∠NOC=30°；（3）30或12
【分析】（1）先根据角平分线的定义求出∠BOM的度数，继而根据平角的定义求得 ，继而根据
求解即可；
（2）结论：∠AOM-∠NOC=30°，理由如下：根据平角定义先求出∠AOC的度数，继而根据角的和差得到90°-
∠AOM=60°-∠NOC，由此求解即可；
（3）设三角板绕点O旋转的时间是x秒，分ON的反向延长线OF平分∠AOC和ON的平分∠AOC两种情况分别
画出图形进行解答即可.
【详解】（1） ，
∠BOC=120°，
∵OM恰好平分∠BOC，
∴∠BOM= ∠BOC=120°÷2=60°，
，
∠CON= ；
（2）∠AOM-∠NOC=30°，
理由如下：如图，∵∠BOC=120°，
∴∠AOC=180°-∠BOC=60°，
∵∠AON=∠MON-∠AOM=90°-∠AOM，
∠AON=∠AOC-∠NOC=60°-∠NOC，
∴90°-∠AOM=60°-∠NOC，
∴∠AOM-∠NOC=30°；
（3）设三角板绕点O旋转的时间是x秒，
∵∠BOC=120°，
∴∠AOC=60°，
如图，当ON的反向延长线OF平分∠AOC时，∠AOF= ∠AOC=30°，
∴∠BON=∠AOF=30°，
∴ON旋转的角度是90°+180°+30°=300°，
∴10x=300，
∴x=30；
如图，当ON平分∠AOC时，∠CON= ∠AOC=30°，∴ON旋转的角度是90°+30°=120°，
∴10x=120，
∴x=12，
综上，x=30或x=12，
即此时三角板绕点O旋转的时间是30或12秒．
故答案为：30或12．
【点睛】本题考查了角的和差，三角板的性质，旋转的性质，一元一次方程的应用等，综合性较强，熟练掌握和
灵活运用相关知识是解题的关键，注意分类思想的运用.
26．（1）79；（2）70.5°；（3）47秒
【分析】（1）依据OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，即可得到∠MON=∠BOM+∠BON= （∠AOB+∠BOD）=
∠AOD；
（2）依据OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，即可得到∠MOC= ∠AOC，∠BON= ∠BOD，再根据
∠MON=∠MOC+∠BON-∠BOC进行计算即可；
（3）依据∠AOM= （11°+t+17°），∠DON= （158°-11°-t），∠AOM：∠DON=3：4，即可得到方程，进而得
出t的值．
【详解】解：（1）∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，
∴∠BOM= ∠AOB，∠BON= ∠BOD，
∴∠MON=∠BOM+∠BON
= （∠AOB+∠BOD）
=∠AOD
=79°，
故答案为：79；（2）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
∴∠MOC= ∠AOC，∠BON= ∠BOD，
即∠MON=∠MOC+∠BON-∠BOC
= ∠AOC+ ∠BOD-∠BOC
= （∠AOC+∠BOD）-∠BOC
= （∠AOB+∠BOC+∠BOD）-∠BOC
= （∠AOD+∠BOC）-∠BOC
= ×(159°-17°)
=70.5°；
（3）∵∠AOM= （11°+t+17°），∠DON= （158°-11°-t），
又∵∠AOM：∠DON=3：4，
∴4（11°+t+17°）=3（158°-11°-t），
得t=47．
答：t为47秒．
【点睛】本题考查的是角平分线的定义，从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的
平分线，有一定难度．
