文档内容
专题强化：平行的判定和性质各类综合性问题高分必刷题（30道）
一、单选题
1．（2022春·山东淄博·七年级统考期中）如图，直线 ，将一个含 角的三角尺按如图所示的位置放置，若
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022春·广东湛江·七年级校考期中）下列图形中，由AB∥CD，能得到∠1=∠2的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023春·七年级单元测试）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的 ，第二
次拐的 ，第三次拐的 ，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则 是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021春·辽宁葫芦岛·七年级校考阶段练习）已知，如图， ，则 、 、 之间的关系为
（ ）
A． B．
C． D．5．（2021春·浙江杭州·七年级校联考期中）如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．
如果∠1=20°，那么∠2的度数是（ ）
A．30° B．25° C．20° D．15°
6．（2021秋·重庆·七年级期末）如图， ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．（2022春·山东枣庄·七年级校考期中）已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板（∠BAC＝30°）按如图所
示方式放置，并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若∠1＝22°，则∠2的度数是（ ）
A．38° B．45° C．58° D．60°
8．（2021春·全国·七年级河南省淮滨县第一中学校考期末）如图所示， ，OE平分∠AOD，
， ，则∠BOF为（ ）
A． B． C． D．
9．（2021春·浙江杭州·七年级期中）如图， 则 与 的数量关系
是( )A． B．
C． D．
10．（2022春·广东广州·七年级广州大学附属中学校联考期末）如图，E在线段BA的延长线上，∠EAD=∠D，
∠B=∠D，EF HC，连FH交AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K为线段BC上一点，连CG，使
∠CKG=∠CGK，在∠AGK内部有射线GM，GM平分∠FGC，则下列结论：①AD BC；②GK平分∠AGC；
③∠DGH=37°；④∠MGK的角度为定值且定值为16°，其中正确结论的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题
11．（2021春·北京·七年级期中）如图，已知AB CD， ， ，则 ____．
12．（2023春·七年级课时练习）一大门的栏杆如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE，则∠ABC
＋∠BCD＝_____．13．（2023春·七年级课时练习）如图，AB∥CD，FE⊥DB，垂足为E，∠1＝50°，则∠2的度数是_____．
14．（2022春·河南驻马店·七年级驻马店市第二初级中学校考期中）珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点
拐弯后与原来相同，如图，若∠ABC=120°，∠BCD=80°，则∠CDE=__________度．
15．（2022春·安徽滁州·七年级校考期末）如图： ， ， ， ，
则 __．
16．（2022春·广东肇庆·七年级统考期末）如图，已知直线l∥l，∠A＝125°，∠B＝85°，且∠1比∠2大4°，那么
1 2
∠1＝______．
17．（2021春·全国·七年级专题练习）如图，已知 平分 平分 ，
，则 ______°．三、解答题
18．（2021春·广东肇庆·七年级统考期末）如图，已知BE∥FG，∠1＝∠2，∠ABC＝40°，试求∠ADE的度数．
19．（2022春·广东深圳·七年级校考期中）如图，点D、E在AB上，点F、G分别在BC、CA上，且DG∥BC，
∠1＝∠2．
（1）求证：DC∥EF；
（2）若EF⊥AB，∠1＝55°，求∠ADG的度数．
20．（2022春·河南漯河·七年级校考期末）如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠6，求证：CE BF．21．（2021春·全国·七年级专题练习）如图，已知 ，∠B=∠D，AE交BC的延长线于点E．
（1）求证： ；
（2）若∠1=∠2=60°，∠BAC=2∠EAC，求∠DCE的度数．
22．（2022春·北京·七年级校考期中）如图，已知 ， ．
（1）试判断DE与BC的位置关系，并说明理由．
（2）若DE平分 ， ，求 的度数．
23．（2021春·黑龙江齐齐哈尔·七年级统考期末）如图，直线 和直线 相交于点 ，连接 ，点 分
别在 、 、 上，连接 、 ， 是 上一点，已知（1）求证： ；
（2）若 平分 ， ，求 的度数．（用 表示）
24．（2022春·重庆荣昌·七年级校考阶段练习）如图，点D、F在线段AB上，点E、G分别在线段BC和AC上，
， ．
(1)求证： ；
(2)若DG是角 的平分线， ，且 ，请说明AB和CD怎样的位置关系？
25．（2021春·河南安阳·七年级统考期末）已知：AB CD．点E在CD上，点F，H在AB上，点G在AB，CD之
间，连接FG，EH，GE，∠GFB＝∠CEH．（1）如图1，求证：GF EH；
（2）如图2，若∠GEH＝α，FM平分∠AFG，EM平分∠GEC，试问∠M与α之间有怎样的数量关系（用含α的
式子表示∠M）？请写出你的猜想，并加以证明．
26．（2021春·新疆乌鲁木齐·七年级新疆农业大学附属中学校考阶段练习）已知，直线 ，点 为平面上
一点，连接 与 ．
（1）如图1，点 在直线 、 之间，当 ， 时，求 ．
（2）如图2，点 在直线 、 之间 左侧， 与 的角平分线相交于点 ，写出 与
之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，点 落在 下方， 与 的角平分线相交于点 ， 与 有何数量关系？并说
明理由．27．（2022春·北京西城·七年级校考阶段练习）（1）如图1，已知直线 ，且 和 ， 分别交于 ， 两点，
点 在 上，则 ， ， 之间的等量关系是______；如图2，点 在 处北偏东 方向，在 处的北偏西
方向，则 _____ ．
（2）如图3， 和 的平分线交于 ， 交 于点 ， ，试在说明： ；并探究
与 的数量关系．
28．（2022春·湖北十堰·七年级校联考期中）已知，AB∥DE，点C在AB上方，连接BC、CD．
（1）如图1，求证：∠BCD＋∠CDE＝∠ABC；
（2）如图2，过点C作CF⊥BC交ED的延长线于点F，探究∠ABC和∠F之间的数量关系；
（3）如图3，在（2）的条件下，∠CFD的平分线交CD于点G，连接GB并延长至点H，若BH平分∠ABC，求
∠BGD﹣∠CGF的值．
29．（2020春·四川成都·七年级校考期中）已知 ，点 、 分别是 、 上的点，点 在 、
之间，连接 、 ．
（1）如图1，若 ，求 的度数．（2）在（1）的条件下，分别作 和 的平分线交于点 ，求 的度数．
（3）如图2，若点 是 下方一点， 平分 ， 平分 ，已知 ．则判断以下两个结
论是否正确，并证明你认为正确的结论．① 为定值；② 为定值．
30．（2020·浙江金华·七年级期中）已知：如图1直线 、 被直线 所截， ．
（1）求证： ；
（2）如图2，点E在 ， 之间的直线 上，P、Q分别在直线 、 上，连接 、 ， 平分
， 平分 ，则 和 之间有什么数量关系，请直接写出你的结论；
（3）如图3，在（2）的条件下，过P点作 交 于点H，连接 ，若 平分 ，
，求 的度数．参考答案：
1．C
【分析】根据平行线的性质求解，找出图中 ，进而求出∠3，再根据平行线性质求出∠2即可．
【详解】解：如图，作 ，
三角尺是含 角的三角尺，
，
，
，
，
， ，
，
，
故选：C．
【点睛】此题考查平行线的性质，利用平行线性质求角，涉及到直角三角形两个余角的关系．
2．B
【分析】根据平行线的性质逐项判断即可.
【详解】A、∵AB//CD，
∴∠1+∠2=180°．故本选项不符合题意；
B、如图，∵AB//CD，
∴∠1=∠3．
∵∠2=∠3，
∴∠1=∠2．故本选项正确．
C、∵AB//CD，
∴∠BAD=∠CDA，不能得到∠1=∠2．故本选项不符合题意；
D、当梯形ABDC是等腰梯形时才有，∠1=∠2．故本选项不符合题意．
故选：B．【点睛】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答的关键.
3．D
【分析】过点B作直线BD与第一次拐弯的道路平行，由题意可得 ，进而可得 ，然
后问题可求解．
【详解】解：过点B作直线BD与第一次拐弯的道路平行，如图所示：
∵第三次拐的 ，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，
∴直线BD与第三次拐弯的道路也平行，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
故选D．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
4．C
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补以及内错角相等即可解答，此题在解答过程中，需添加辅助线．
【详解】解：过点E作EF∥AB，则EF∥CD．
∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD，
∴∠α+∠AEF=180°，∠FED=∠γ，
∴∠β=∠AEF+∠γ，即∠AEF=∠β-∠γ，
∴∠α+∠β-∠γ=180°．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．5．B
【详解】∵直尺的对边互相平行，
∴∠1=∠3，
∵∠3+∠2=45°，
∴∠1+∠2=45°，
∵∠1=20°，
∴∠2=45°﹣∠1=25°，
故选：B．
6．D
【分析】过点E作 ，先根据平行线的判定可得 ，再根据平行线的性质分别可得 和 的
度数，然后根据角的和差即可得．
【详解】如图，过点E作 ，
，
，
又 ，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．
7．A
【分析】过点 作 ，根据平行线的性质求得 ，进而根据 即可求解
【详解】如图，过点 作 ，则
∠BAC＝30°
故选A
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，掌握平行线的性质是解题的关键．
8．B
【分析】由平行线的性质和角平分线的定义，求出 ， ，然后即可求出∠BOF的度数．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
∵OE平分∠AOD，
∴ ，
∴ ；
∴ ；
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，以及角的和差关系，解题的关键是熟练掌握所学的知识，
正确的求出角的度数．
9．D
【分析】先设角，利用平行线的性质表示出待求角，再利用整体思想即可求解．
【详解】设
则
∵
∴∴
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，关键是熟练掌握平行线的性质，注意整体思想的运用．
10．B
【分析】根据平行线的判定定理得到AD∥BC，故①正确；由平行线的性质得到∠AGK=∠CKG，等量代换得到
∠AGK=∠CGK，求得GK平分∠AGC；故②正确；根据题意列方程得到∠FGA=∠DGH=37°，故③正确；设
∠AGM=α，∠MGK=β，得到∠AGK=α+β，根据角平分线的定义即可得到结论．
【详解】解：∵∠EAD=∠D，∠B=∠D，
∴∠EAD=∠B，
∴AD∥BC，故①正确；
∴∠AGK=∠CKG，
∵∠CKG=∠CGK，
∴∠AGK=∠CGK，
∴GK平分∠AGC；故②正确；
∵∠FGA的余角比∠DGH大16°，
∴90°-∠FGA-∠DGH=16°，
∵∠FGA=∠DGH，
∴90°-2∠FGA=16°，
∴∠FGA=∠DGH=37°，故③正确；
设∠AGM=α，∠MGK=β，
∴∠AGK=α+β，
∵GK平分∠AGC，
∴∠CGK=∠AGK=α+β，
∵GM平分∠FGC，
∴∠FGM=∠CGM，
∴∠FGA+∠AGM=∠MGK+∠CGK，
∴37°+α=β+α+β，
∴β=18.5°，
∴∠MGK=18.5°，故④错误，故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，对顶角性质，一元一次方程，正确的识别图形是解
题的关键．
11．95°
【分析】过点E作EF∥AB，可得∠BEF+∠ABE=180°，从而得到∠BEF=60°，再由AB//CD，可得∠FEC=∠DCE，
从而得到∠FEC=35°，即可求解．
【详解】解：如图，过点E作EF∥AB，
∵EF//AB，
∴∠BEF+∠ABE=180°，
∵∠ABE=120°，
∴∠BEF=180°-∠ABE=180°-120°=60°，
∵EF//AB，AB//CD，
∴EF//CD，
∴∠FEC=∠DCE，
∵∠DCE=35°，
∴∠FEC=35°，
∴∠BEC=∠BEF+∠FEC=60°+35°=95°．
故答案为：95°
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等是解题
的关键．
12．270°
【分析】过B作BF∥AE，则CD∥BF∥AE．根据平行线的性质即可求解．
【详解】过B作BF∥AE，
∵CD∥ AE，
则CD∥BF∥AE，∴∠BCD+∠1=180°，
又∵AB⊥AE，
∴AB⊥BF，
∴∠ABF=90°，
∴∠ABC+∠BCD=90°+180°=270°．
故答案为：270．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补．正确作出辅助线是解题的关键．
13．40°
【分析】由EF⊥BD，∠1=50°，结合三角形内角和为180°，即可求出∠D的度数，再由“两直线平行，同位角相
等”即可得出结论．
【详解】解：在△DEF中，∠1=50°，∠DEF=90°，
∴∠D=180°-∠DEF-∠1=40°．
∵AB∥CD，
∴∠2=∠D=40°．
故答案为40°．
【点睛】本题考查平行线的性质以及三角形内角和为180°，解题关键是求出∠D=40°．解决该题型题目时，根据平
行线的性质，找出相等或互补的角是解题技巧．
14．20
【分析】由已知珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点拐弯后与原来相同，得AB∥DE，过点C作CF∥AB，
则CF∥DE，由平行线的性质可得，∠BCF+∠ABC=180°，所以能求出∠BCF，继而求出∠DCF，又由CF∥DE，所
以∠CDE=∠DCF．
【详解】解：过点C作CF∥AB，
已知珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点拐弯后与原来相同，
∴AB∥DE，
∴CF∥DE，
∴∠BCF+∠ABC=180°，
∴∠BCF=60°，
∴∠DCF=20°，
∴∠CDE=∠DCF=20°．故答案为：20．
【点睛】此题考查的知识点是平行线的性质，关键是过C点先作AB的平行线，由平行线的性质求解．
15．
【分析】利用两直线平行，同旁内角互补，垂直的定义，方程的思想求解即可．
【详解】解：连接 ，设 ， ， ， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，方程的思想，熟练应用平行线的性质，科学引入未知数是解题
的关键．
16．
【分析】延长AB，交两平行线与C、D，根据平行线的性质和领补角的性质计算即可；
【详解】延长AB，交两平行线与C、D，∵直线l∥l，∠A＝125°，∠B＝85°，
1 2
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵∠1比∠2大4°，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案是 ．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质应用，准确计算是解题的关键．
17．60°
【分析】由AB∥CD，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠ABC和∠ADC的度数，结合角平分线的定义可求
出∠ABE和∠CDE的度数，过点E作EF∥AB，则EF∥CD，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠BEF和
∠DEF的度数，再结合∠BED=∠BEF+∠DEF，即可求出∠BED的度数．
【详解】解：∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠BCD=40°，∠ADC=∠BAD=80°．
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴ ，
过点E作EF∥AB，则EF∥CD，如图所示．
∵EF∥AB，EF∥CD，
∴ ，
∴ ，
故答案为：60°．
【点睛】本题考查了平行线的性质以及角平分线的有关证明．利用平行线的性质及角平分线的定义，求出∠BEF
和∠DEF的度数是解题的关键．18．40°
【分析】根据平行线的性质可得∠EBC＝∠1，根据等量关系和平行线的判定可得DE∥BC，即可；
【详解】由题知： BE∥FG，∴∠EBC＝∠1，
∵∠1＝∠2，
∴∠EBC＝∠2，
∴DE∥BC，
∴∠ADE＝∠ABC＝40°；
【点睛】本题主要考查平行线的性质，关键在图形中寻找和构造平行线；
19．（1）见解析（2）35°
【分析】（1）由 知∠1=∠DCF，则∠2=∠DCF，即可证明 ；
（2）由 得∠B=90°-∠2=35°，再根据（1） 可知 的度数.
【详解】∵
∴∠1=∠DCF，
∵
∴∠2=∠DCF，
∴ ；
（2）∵ ，∴∠BEF=90°，
∴∠B=90°-∠2=35°，
又∵
∴ =∠B=35°.
【点睛】此题主要考察平行线的性质与判定.
20．见解析．
【分析】根据平行线的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】证明：∵∠3＝∠4，
∴DF BC，
∴∠5＝∠BAF，
∵∠5＝∠6，
∴∠6＝∠BAF，
∴AB CD，
∴∠2＝∠AGE，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠AGE，
∴CE BF．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键．
21．（1）证明见解析；（2） ．【分析】（1）根据平行线的性质和判定定理即可得到结论；
（2））根据AB//CD，∠2=60°，得到∠BAE=∠2=60°，∠BAC=∠ACD，进而得出∠CAE+∠BAC=60°，又根据
∠BAC=2∠EAC，得到∠BAC=∠ACD=40°，根据内角和定理即可求出∠DCE的度数．
【详解】解：（1）∵ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
（2）∵ ， ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴
∵
∴
【点睛】本题考查平行线的性质和判定的应用，能熟练地运用定理进行推理是解答此题的关键．
22．（1）DE∥BC；（2）72°
【分析】（1）先根据已知条件得出∠EFC=∠ADC，故AD∥EF，由平行线的性质得∠DEF=∠ADE，再由
∠DEF=∠B，可知∠B=∠ADE，故可得出结论．
（2）依据DE平分∠ADC，∠BDC=3∠B，即可得到∠ADC的度数，再根据平行线的性质，即可得出∠EFC的度
数．
【详解】解：（1）DE∥BC．
理由：∵∠EFC+∠BDC=180°，∠ADC+∠BDC=180°，
∴∠EFC=∠ADC，
∴AD∥EF，
∴∠DEF=∠ADE，
又∵∠DEF=∠B，
∴∠B=∠ADE，
∴DE∥BC．
（2）∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
又∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，
∵∠BDC=3∠B，∴∠BDC=3∠ADE=3∠CDE，
又∵∠BDC+∠ADC=180°，
3∠ADE+2∠ADE=180°，
解得∠ADE=36°，
∴∠ADF=72°，
又∵AD∥EF，
∴∠EFC=∠ADC=72°．
【点睛】本题考查的是平行线的判定，熟知同位角相等，两直线平行是解答此题的关键．
23．（1）见解析（2）90°＋ α
【分析】（1）根据平行线的判定和性质解答即可；
（2）根据平行线的性质解答即可．
【详解】解：（1）∵∠3＋∠DFE＝180°，∠1＋∠3＝180°
∴∠DFE＝∠1，
∴AB∥EF，
∴∠CEF＝∠EAD；
（2）∵AB∥EF，
∴∠2＋∠BDE＝180°
又∵∠2＝α
∴∠BDE＝180°−α
又∵DH平分∠BDE
∴∠1＝ ∠BDE＝ （180°−α）
∴∠3＝180°− （180°−α）＝90°＋ α．
【点睛】本题考查了角平分线定义，平行线的性质和判定等知识点，注意：①内错角相等，两直线平行，②两直
线平行，同旁内角互补．
24．(1)见解析
(2) ，理由见解析
【分析】（1）根据 可得 ，由 等量代换可得 根据内错角相等，两直线平
行可得 ；
（2）根据平行线的性质可得 ，由 可得 ，根据平行线的
性质可得 ，根据角平分线的性质可得 ，进而可得 ，即 ．
【详解】（1）证明∵ ，
∴ ，又∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2） ，理由如下：
由（1 ）知 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵DG是 的平分线，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，垂直的定义，掌握平行线的性质是解题的关键．
25．（1）见解析；（2） ，证明见解析．
【分析】（1）由平行线的性质得到 ，等量代换得出 ，即可根据“同位角相等，两直线
平行”得解；
（2）过点 作 ，过点 作 ，根据平行线的性质及角平分线的定义求解即可．
【详解】（1）证明： ，
，
，
，
；
（2）解： ，理由如下：
如图2，过点 作 ，过点 作 ，
，，
， ，
，
同理， ，
平分 ， 平分 ，
， ，
，
由（1）知， ，
，
，
，
，
．
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质及作出合理的辅助线是解题的关键．
26．（1） ；（2） ，见详解；（3） ，见详解
【分析】（1）过点P作 ，根据平行线的性质得到 ，再根据
计算即可；
（2）过K作 ，根据平行线的性质和角平分线的定义可得出 与 的数量关系；
（3）过K作 ，根据平行线的性质和角平分线的定义可得出 与 的数量关系．
【详解】（1）（如图1，过点P作
∵
∴
（2）如图2，过K作
∵
∴
过点P作
同理可得
与 的角平分线相交于点K
（3）
如图3，过K作
∵
∴
过点P作
同理可得
与 的角平分线相交于点K【点睛】本题考查了平行线的性质和角平分线的定义，解题的关键是作出平行线构造内错角相等计算．
27．（1）∠1+∠2=∠3，85°；（2）证明见解析，∠2+∠3=90°
【分析】（1）在图1中，作PM∥AC，利用平行线性质即可证明；利用①结论即可求得∠BAC的度数．
（2）根据BE、DE平分∠ABD、∠BDC，且∠1+∠2=90°，可得∠ABD+∠BDC=180°，根据同旁内角互补，可得
两直线平行．根据∠1+∠2=90°，即∠BED=90°；那么∠3+∠FDE=90°，将等角代换，即可得出∠3与∠2的数量关
系．
【详解】解：（1）如图1中，作PM∥AC，
∵AC∥BD，
∴PM∥BD，
∴∠1=∠CPM，∠2=∠MPD，
∴∠1+∠2=∠CPM+∠MPD=∠CPD=∠3．
由题可知：∠BAC=∠B+∠C，
∵∠B=40°，∠C=45°，
∴∠BAC=40°+45°=85°．
故答案为：∠1+∠2=∠3，85°．
（2）证明：∵BE、DE平分∠ABD、∠BDC，
∴∠1= ∠ABD，∠2= ∠BDC，
∵∠1+∠2=90°，
∴∠ABD+∠BDC=180°；
∴AB∥CD；（同旁内角互补，两直线平行）
∵DE平分∠BDC，
∴∠2=∠FDE；
∵∠1+∠2=90°，
∴∠BED=∠DEF=90°；
∴∠3+∠FDE=90°；
∴∠2+∠3=90°．【点睛】此题主要考查了角平分线的性质以及平行线的判定，正确添加辅助线是解决问题的关键．
28．（1）证明见解析；（2） ；（3） ．
【分析】（1）过点 作 ，先根据平行线的性质可得 ，再根据平行公理推论可得
，然后根据平行线的性质可得 ，由此即可得证；
（2）过点 作 ，同（1）的方法，先根据平行线的性质得出 ，
，从而可得 ，再根据垂直的定义可得 ，由此即可得出
结论；
（3）过点 作 ，延长 至点 ，先根据平行线的性质可得 ， ，从而
可得 ，再根据角平分线的定义、结合（2）的结论可得 ，
然后根据角的和差、对顶角相等可得 ，由此即可得出答案．
【详解】证明：（1）如图，过点 作 ，
，
，
，
，即 ，
，
；
（2）如图，过点 作 ，
，
，
，
，即 ，，
，
，
，
；
（3）如图，过点 作 ，延长 至点 ，
，
，
，
，
平分 ， 平分 ，
，
由（2）可知， ，
，
又 ，
．
【点睛】本题考查了平行线的性质、对顶角相等、角平分线的定义等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
29．（1） （2） （3）②是正确的，证明见解析
【分析】（1）过点G作GE∥AB，然后利用平行线性质即可得到结果；
（2）分别过G和H作GE∥AB，FH∥AB，然后利用平行线的性质得到对应的边角关系，进而∠MHN的具体值；
（3）根据角平分线性质，设 ，然后利用平行线的基本性质，分别推导出 和
的值即可判断．
【详解】（1）如图所示，过点 作 ，
∵ ， ，
∴ ，∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ .
（2）如图所示，过点 作 ，过点 作 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ .
（3）如图所示，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∵ 平分 ，
∴ ，
设 ，
则 ，
∴
，
∴ ，
，
∴②中 的值为定值.
故②是正确的.
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，做题的关键是能够找到辅助线，构造辅助线．
30．（1）证明见解析；（2） ，理由见解析；（3） ．
【分析】（1）只需要证明 即可证明 ；
（2）作 ．由平行线的性质即可证明 ，同理可证明 ，由此再根据
角平分线的定义和平角的性质可得 ；
（3）设 ， ． ，则 ，想办法构建方程即可解决问题；
【详解】解：（1）如图1中，
， ，，
．
（2）结论：如图2中， ．
理由：作 ．
， ，
，
， ，
，
，
同理可证： ，
∵ 平分 ， 平分 ，
， ，
∵ ， ，
；
（3）设 ， ． ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
，
，
，
平分 ，
，
，平分 ，
，
，
，
，
，
．
