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七年级下册数学《第七章 平面直角坐标系》
专题：平面直角坐标系中点的规律探究
一、选择题(共10题)
1．（2022秋•定远县期中）如图，在平面直角坐标系中，点 A（﹣1，0），点A第1次向上跳动1个单位
至点A （﹣1，1），紧接着第2次向右跳动2个单位至点A （1，1），第3次向上跳动1个单位，第4
1 2
次向左跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向右跳动4个单位，…依此规律跳动下去，
点A第2022次跳动至点A 的坐标是（ ）
2022
A．（505，1009） B．（﹣506，1010）
C．（﹣506，1011） D．（506，1011）
2．（2022秋•古田县期中）在平面直角坐标系中，设一质点 M自P （1，0）处向上运动1个单位至P
0 1
（1，1），然后向左运动2个单位至P 处，再向下运动3个单位至P 处，再向右运动4个单位至P 处
2 3 4
再向上运动5个单位至P 处，…如此继续运动下去．设P （x ，y ），n＝1，2，3…，则x +x +…+x
5 n n n 1 2 2017
的值为（ ）
A．2016 B．2017 C．﹣2016 D．20153．（2022秋•李沧区期末）如图，在平面直角坐标系中，A （1，﹣2），A （2，0），A （3，2），A
1 2 3 4
（4，0），…根据这个规律，点A 的坐标是（ ）
2023
A．（2022，0） B．（2023，0） C．（2023，2） D．（2023，﹣2）
4．（2021春•浉河区期末）如图，在平面直角坐标系上有点 A（1，0），点A第一次跳动至点A （﹣1，
1
1），第二次向右跳动3个单位至点A （2，1），第三次跳动至点A （﹣2，2），第四次向右跳动5个
2 3
单位至点A （3，2），…，以此规律跳动下去，点A第2021次跳动至点A 的坐标是（ ）
4 2021
A．（﹣1009，1009） B．（﹣1010，1010）
C．（﹣1011，1011） D．（﹣1012，1012）
5．（2021秋•九江期末）如图，长方形 BCDE的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙都从点 A
（2，0）同时出发，沿长方形BCDE的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以 1个单位/秒匀速运动，
物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2022次相遇点的坐标是（ ）
A．（2，0） B．（﹣1，1） C．（﹣2，0） D．（﹣1，﹣1）6．（2022春•启东市期中）如图，在平面直角坐标系 xOy中，点A坐标是（1，1）．若记点A坐标为
（a ，a ），则一个点从点A出发沿图中路线依次经过B（a ，a ），C（a ，a ），D（a ，a ）…，每
1 2 3 4 5 6 7 8
个点的横纵坐标都是整数，按此规律一直运动下去，则a +a +a 的值为（ ）
2020 2021 2022
A．2021 B．2022 C．1011 D．1012
7．（2022•浉河区校级开学）如图，在平面直角坐标系中，A （2，0），B （0，1），A B 的中点为C ；
1 1 1 1 1
A （0，3），B （﹣2，0），A B 的中点为C ；A （﹣4，0），B （0，﹣3），A B 的中点为C ；A
2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4
（0，﹣5），B （4，0），A B 的中点为C ；…；按此做法进行下去，则点C 的坐标为（ ）
4 4 4 4 2022
2023 2023
A．（﹣1012，− ） B．（﹣1011， ）
2 2
2023 2021
C．（﹣1011，− ） D．（﹣1012，− ）
2 28．（2022春•冷水滩区校级期中）如图，已知A （1，2）A （2，2）A （3，0）A （4，﹣2）A （5，﹣
1 2 3 4 5
2）A （6，0）……，按这样的规律，则点A 的坐标为（ ）
6 2021
A．（2021，2） B．（2020，2） C．（2021，﹣2） D．2020，﹣2）
9．（2022春•宣化区期末）如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O 、O 、
1 2
π
O ，…组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒 个单位长度，则
3
2
第2022秒时，点P的坐标是（ ）
A．（2021，0） B．（2021，﹣1） C．（2022，1） D．（2022，0）
10．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，
0），（2，1），（3，1），（3，0），（3，﹣1）…根据 这个规律探索可得，第100个点的坐标（
）
A．（ 14，0 ） B．（ 14，﹣1） C．（ 14，1 ） D．（ 14，2 ）二、填空题（共10题）
11．（2022春•东洲区期末）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点
运动到点（﹣1，1），第2次接着运动到点（﹣2，0），第3次接着运动到点（﹣3，2），…，按这样
的运动规律，经过第2022次运动后，动点P的坐标是 ．
A．（2022，0） B．（﹣2022，0） C．（﹣2022，1） D．（﹣2022，2）
12．（2022秋•肃州区校级期末）如图，已知 A （1，0），A （1，﹣1），A （﹣1，﹣1），A （﹣1，
1 2 3 4
1），A （2，1），…则点A 的坐标是 ．
5 202213．（2021秋•同安区期末）如图，点A（0，1），点A （2，0），点A （3，2），点A （5，1）…，按
1 2 3
照这样的规律下去，点A 的坐标为 ．
2021
14．（2022•嘉峪关一模）如图，平面直角坐标系xOy内，动点P按图中箭头所示方向依次运动，第1次从
点（0，1）运动到点（1，0），第二次运动到点（2，﹣2），第3次运动到点（3，0），……按这样的
运动规律，动点P第2022次运动到的点的坐标是 ．
15．（2022秋•涡阳县校级月考）如图，一动点在第一象限内及x轴，y轴上运动，第一分钟，它从原点运
动到（1，0），第二分钟，从（1，0）运动到（1，1），而后它接着按图中箭头所示在与x轴，y轴平
行的方向来回运动，每分钟运动1个单位长度．第30分钟，动点所在的位置的坐标是 ．16．（2022•绥化三模）如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为 1个单位长度，点P ，
1
P ，P ，…均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：P （0，0），P （0，1），P （1，1），
2 3 1 2 3
P （1，﹣1），P （﹣1，﹣1），P （﹣1，2），…，根据这个规律，点P 的坐标为 ．
4 5 6 2022
17．（2022秋•杏花岭区校级期中）在平面直角坐标系 xOy中，对于点P（x，y），我们把点P （﹣y+1，
1
x+1）叫做点P的伴随点．已知点A 的伴随点为A ，点A 的伴随点为A ，点A 的伴随点为A ，…，这
1 2 2 3 3 4
样依次得到点A
1
，A
2
，A
3
，⋯，A
n
，若点A
1
的坐标为（3，1），则点A
2022
的坐标为 ．
18．（2022春•长安区校级期中）如图1，弹性小球从点P（0，3）出发，沿图中所示方向运动，每当小球
碰到长方形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到长方形的边时，记为点
P ，第2次碰到长方形的边时，记为点P ，…，第n次碰到长方形的边时，记为点P ，则点P 的坐标
1 2 n 3
是 ；点P 的坐标是 ．
202219．（2022春•五华区校级期中）如图，在直角坐标系中，长方形 OABC的长为2，宽为1，将长方形
OABC沿x轴翻转1次，点A落在A 处，翻转2次，点A落在A 处，翻转3次，点A落在A 处（点A
1 2 3 3
与点A 重合），翻转4次，点A落在A 处，以此类推…，若翻转2022次，点A落在A 处，则A
2 4 2022 2022
的坐标为 ．
20．（2022春•江岸区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标，纵坐标均为整数的点．
其顺序按图中“→”方向依次排列：（1，0）→（2，0）→（2，1）→（1，1）→（1，2）→（2，2）
→…根据这个规律，第87个点的坐标为 ，第2022个点的坐标为 ．
三、解答题（共10题）
21．（2022秋•无为市月考）在平面直角坐标系中，一个动点 A从原点O出发，按向上、向右、向下、向
右的方向依次不断移动，每次只移动1个单位长度，其行走路线如图所示．
（1）填写下列各点的坐标：A ，A ，A ，A ．
4 6 12 14
（2）按此规律移动，n为正整数，则点A 的坐标为 ，点A 的坐标为 ．
4n 4n+2
（3）动点A从点A 到点A 的移动方向是 ．（填“向上”、“向右”或“向下”）
2022 202322．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点 O出发，沿着箭头所示方向，每次移动 1个单位，依次得
到点P （0，1），P （1，1），P （1，0），P （1，﹣1），P （2，﹣1），P （2，0）…
1 2 3 4 5 6
（1）填写下列各点的坐标：P （ 、 ），P （ 、 ），P （ 、 ）
9 12 15
（2）写出点P 的坐标（n是正整数）；
3n
（3）点P 的坐标是（ 、 ）；
60
（4）指出动点从点P 到点P 的移动方向．
210 211
23．（2021秋•长丰县期末）如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平行，从内到外，
它们的边长依次为2、4、6、8、…，顶点依次用A 、A 、A 、A 、…表示．
1 2 3 4
（1）请直接写出A 、A 、A 、A 的坐标；
5 6 7 8
（2）根据规律，求出A 的坐标．
2022
24．一个质点在第一象限及x轴、y轴移动，在第一秒时，它从原点移动到（0，1），然后按着下列左图
中箭头所示方向移动，即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→…，且每秒移动1个单位．
（1）该质点移动到（1，1）的时间为 秒，移动到（2，2）的时间为 秒，移动到（3，
3）的时间为 秒，…，移动到（n，n）的时间为 秒．（2）该质点移动到（7，4）的时间为 秒．
25．（2022•马鞍山一模）如图，某小区绿化区的护栏是由两种大小不等的正方形间隔排列组成，将护栏
的图案放在平面直角坐标系中．已知小正方形的边长为 1，A 的坐标为（2，2），A 的坐标为（5，
1 2
2）．
（1）A 的坐标为 ，A 的坐标为 用含n的代数式表示；
3 n
（2）若护栏长为2020，则需要小正方形 个，大正方形 个．
26．如图，在直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA B ，第二次将△OA B 变成△OA B ，第三次将
1 1 1 1 2 2
△OA B 变成△OA B ，已知A（1，5），A （2，5），A （4，5），A （8，5）；B（2，0），B （4，
2 2 3 3 1 2 3 1
0），B （8，0），B （16，0）．
2 3
（1）观察每次变换前后三角形有何变化，找出规律．按此规律将△OA B 变成△OA B ，则A 的坐标是
3 3 4 4 4
，B 的坐标是 ．
4
（2）若按第（1）题中找到的规律将△OAB进行n次变换，得到△OA B ，比较每次变换中三角形顶点
n n
的坐标有何变化，找出规律，推测A 的坐标是 ，B 的坐标是 ．
n n27．小明在学习了平面直角坐标系后，突发奇想，画出了这样的图形（如图），他把图形与 x轴正半轴的
交点依次记作A （1，0），A （5，0），…A ，图形与y轴正半轴的交点依次记作B （0，2），B
1 2 n 1 2
（0，6），…B ，图形与x轴负半轴的交点依次记作C （﹣3，0），C （﹣7，0），… ，图形与y轴
n 1 2 n
负半轴的交点依次记作D （0，﹣4），D （0，﹣8），…D ，发现其中包含了一定的数学∁ 规律．
1 2 n
请根据你发现的规律完成下列题目：
（1）请分别写出下列点的坐标：A ，B ，C ，D ；
3 3 3 3
（2）请分别写出下列点的坐标：A ，B ， ，D ；
n n n n
（3）请求出四边形A B C D 的面积． ∁
5 5 5 5
28．（2021春•自贡期末）综合与实践
问题背景：
（1）已知A（1，2），B（3，2），C（1，﹣1），D（﹣3，﹣3）．在平面直角坐标系中描出这几个
点，并分别找到线段AB和CD中点P 、P ，然后写出它们的坐标，则P ，P ．
1 2 1 2
探究发现：
（2）结合上述计算结果，你能发现若线段的两个端点的坐标分别为（x ，y ），（x ，y ），则线段的
1 1 2 2
中点坐标为 ．
拓展应用：
（3）利用上述规律解决下列问题：已知三点E（﹣1，2），F（3，1），G（1，4），第四个点H（x，
y）与点E、点F、点G中的一个点构成的线段的中点与另外两个端点构成的线段的中点重合，求点 H
的坐标．29．（2022•包河区二模）如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（1，0）、点A 的坐标为（2，
1 2
0）、点A 的坐标为（3，0）、…，过点A 、A 、A 、…分别作x轴垂线，交直线y＝x于点B 、B 、
3 1 2 3 1 2
B 、…，△OA B 覆盖的整点（横、纵坐标均为整数的点）的个数记为 P ，面积的值记为S ；△OA B
3 1 1 1 1 2 2
覆盖的整点的个数记为P ，面积的值记为S ；△OA B 覆盖的整点的个数记为P ，面积的值记为S ；…
2 2 3 3 3 3
1 9
（1）由题意可知：P ＝3、S = ；P ＝6、S ＝2；P ＝10、S = ；则P ＝ 、S ＝ ；
1 1 2 2 3 3 4 4
2 2
（2）P ﹣S ＝ ；
7 7
（3）P ﹣S 的值是否会等于2022？若能，请求出n的值，若不能，请说明理由．
n n
x(x+1)
【注：连续x个正整数和的计算公式：1+2+3+…+x﹣1+x= 】
2
30．（2022春•西城区校级期末）对于任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，即整数部分，{a}表示a的小数部分．例如：[1.3]＝1，{﹣2.6}＝0.4．
（1）[√2]＝ ，{−√3}＝ ；
（2）在平面直角坐标系中，有一序列点P （[1]，{1}），P （[√2]，{√2}），P （[√3]，{√3}），P
1 2 3 4
（[2]，{2}），P （[√5]，{√5}），…
5
请根据这个规律解决下列问题：
①点P 的坐标是 ；
10
②横坐标为10的点共有 个；
③在前2022个点中，纵坐标相等的点共有 个，并求出这些点的横坐标之和．
