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七年级下册数学《第七章 平面直角坐标系》
专题：平面直角坐标系中点的规律探究
一、选择题(共10题)
1．（2022秋•定远县期中）如图，在平面直角坐标系中，点 A（﹣1，0），点A第1次向上跳动1个单位
至点A （﹣1，1），紧接着第2次向右跳动2个单位至点A （1，1），第3次向上跳动1个单位，第4
1 2
次向左跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向右跳动4个单位，…依此规律跳动下去，
点A第2022次跳动至点A 的坐标是（ ）
2022
A．（505，1009） B．（﹣506，1010）
C．（﹣506，1011） D．（506，1011）
【分析】设第n次跳动至点A ，根据部分点A 坐标的变化找出变化规律“A （﹣n﹣1，2n），A
n n 4n 4n+1
（﹣n﹣1，2n+1），A （n+1，2n+1），A （n+1，2n+2）（n为自然数）”，依此规律结合2022
4n+2 4n+3
＝505×4+2即可得出点A 的坐标．
2022
【解答】解：设第n次跳动至点A ，
n
观察，发现：A（﹣1，0），A （﹣1，1），A （1，1），A （1，2），A （﹣2，2），A （﹣2，
1 2 3 4 5
3），A （2，3），A （2，4），A （﹣3，4），A （﹣3，5），…，
6 7 8 9
∴A （﹣n﹣1，2n），A （﹣n﹣1，2n+1），A （n+1，2n+1），A （n+1，2n+2）（n为自然
4n 4n+1 4n+2 4n+3
数）．
∵2022＝505×4+2，
∴A （506，1011）．
2022
故选：D．
【点评】本题考查了规律型中点的坐标，根据部分点A 坐标的变化找出变化规律是解题的关键．
n2．（2022秋•古田县期中）在平面直角坐标系中，设一质点 M自P （1，0）处向上运动1个单位至P
0 1
（1，1），然后向左运动2个单位至P 处，再向下运动3个单位至P 处，再向右运动4个单位至P 处
2 3 4
再向上运动5个单位至P 处，…如此继续运动下去．设P （x ，y ），n＝1，2，3…，则x +x +…+x
5 n n n 1 2 2017
的值为（ ）
A．2016 B．2017 C．﹣2016 D．2015
【分析】根据给定的平移规律，可得x ＝1，x ＝﹣1，x ＝﹣1，x ＝3，进一步可得x +x +x +x ＝1+
1 2 3 4 1 2 3 4
（﹣1）+（﹣1）+3＝2，同理可得x +x +x +x ＝3+（﹣3）+（﹣3）+5＝2，再根据2017÷4＝504...1，
5 6 7 8
进一步计算即可．
【解答】解：根据题意，可得x ＝1，x ＝﹣1，x ＝﹣1，x ＝3，
1 2 3 4
∴x +x +x +x ＝1+（﹣1）+（﹣1）+3＝2，
1 2 3 4
同理可得x +x +x +x ＝3+（﹣3）+（﹣3）+5＝2，
5 6 7 8
∵2017÷4＝504...1，
∴x ＝2×504+1＝1009，
2017
∴x +x +…+x ＝504×2+1009＝2017，
1 2 2017
故选：B．
【点评】本题考查了坐标与平移，找出点坐标之间的规律是解题的关键．
3．（2022秋•李沧区期末）如图，在平面直角坐标系中，A （1，﹣2），A （2，0），A （3，2），A
1 2 3 4
（4，0），…根据这个规律，点A 的坐标是（ ）
2023A．（2022，0） B．（2023，0） C．（2023，2） D．（2023，﹣2）
【分析】由图形得出点的横坐标依次是1、2、3、4、…、n，纵坐标依次是﹣2、0、2、0、﹣2、0、
2、…，四个一循环，继而求得答案．
【解答】解：观察图形可知，
点的横坐标依次是1、2、3、4、…、n，纵坐标依次是﹣2、0、2、0、﹣2、0、2、…，四个一循环，
2023÷4＝505……3，
所以点A 坐标是（2023，2）．
2023
故选：C．
【点评】本题考查了规律型：点的坐标，学生的观察图形的能力和理解能力，解题的关键是根据图形得
出规律．
4．（2021春•浉河区期末）如图，在平面直角坐标系上有点 A（1，0），点A第一次跳动至点A （﹣1，
1
1），第二次向右跳动3个单位至点A （2，1），第三次跳动至点A （﹣2，2），第四次向右跳动5个
2 3
单位至点A （3，2），…，以此规律跳动下去，点A第2021次跳动至点A 的坐标是（ ）
4 2021
A．（﹣1009，1009） B．（﹣1010，1010）
C．（﹣1011，1011） D．（﹣1012，1012）
【分析】根据点的坐标、坐标的平移寻找规律即可求解．
【解答】解：因为A （﹣1，1），A （2，1），
1 2
A （﹣2，2），A （3，2），
3 4
A （﹣3，3），A （4，3），
5 6
A （﹣4，4），A （5，4），
7 8
…
A 2n﹣1 （﹣n，n），A 2n （n+1，n）（n为正整数），
所以2n﹣1＝2021，
n＝1011，
所以A （﹣1011，1011），
2020故选：C．
【点评】本题考查了点的坐标、坐标的平移，解决本题的关键是寻找点的变化规律．
5．（2021秋•九江期末）如图，长方形 BCDE的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙都从点 A
（2，0）同时出发，沿长方形BCDE的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以 1个单位/秒匀速运动，
物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2022次相遇点的坐标是（ ）
A．（2，0） B．（﹣1，1） C．（﹣2，0） D．（﹣1，﹣1）
【分析】根据两个物体运动速度和矩形周长，得到两个物体的相遇时间间隔，进而得到两个点相遇的位
置规律．
【解答】解：由已知，矩形周长为12，
∵甲、乙速度分别为1单位/秒，2单位/秒，
12
则两个物体每次相遇时间间隔为 = 4秒，
1+2
则两个物体相遇点依次为（﹣1，1）、（﹣1，﹣1）、（2，0），
∵2022＝3×673…3，
∴第2022次两个物体相遇位置为（2，0），
故选：A．
【点评】本题为平面直角坐标系内的动点坐标规律探究题，解答关键是找到两个物体相遇的位置的变化
规律．
6．（2022春•启东市期中）如图，在平面直角坐标系 xOy中，点A坐标是（1，1）．若记点A坐标为
（a ，a ），则一个点从点A出发沿图中路线依次经过B（a ，a ），C（a ，a ），D（a ，a ）…，每
1 2 3 4 5 6 7 8
个点的横纵坐标都是整数，按此规律一直运动下去，则a +a +a 的值为（ ）
2020 2021 2022A．2021 B．2022 C．1011 D．1012
【分析】观察已知点的坐标可得，所有数列奇数个都是从1开始逐渐递增的，且都等于所在的个数加上
1再除以2，则a ＝1011，偶数列等于所在的个数除以4，能够整除的，结果的相反数就是所求出的数，
2021
不能整除的，等于结果的整数部分加1，且符号为正，进而可得结果．
【解答】解：由直角坐标系可知A（1，1），B（2，﹣1），C（3，2），D（4，﹣2），
……，
即a ＝1，a ＝1，a ＝2，a ＝﹣1，a ＝3，a ＝2，a ＝4，a ＝﹣2，
1 2 3 4 5 6 7 8
……，
所有数列奇数个都是从1开始逐渐递增的，且都等于所在的个数加上1再除以2，则a ＝1011，
2021
偶数列等于所在的个数除以4，能够整除的，结果的相反数就是所求出的数，不能整除的，等于结果的
整数部分加1，且符号为正，
∴a ＝﹣505，2023÷4＝505……3，
2021
∴a ＝506，
2022
故 a +a +a ＝1012，
2020 2021 2022
故选：D．
【点评】本题主要考查了规律型：点的坐标，探索数字与字母规律是解题关键．
7．（2022•浉河区校级开学）如图，在平面直角坐标系中，A （2，0），B （0，1），A B 的中点为C ；
1 1 1 1 1
A （0，3），B （﹣2，0），A B 的中点为C ；A （﹣4，0），B （0，﹣3），A B 的中点为C ；A
2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4
（0，﹣5），B （4，0），A B 的中点为C ；…；按此做法进行下去，则点C 的坐标为（ ）
4 4 4 4 20222023 2023
A．（﹣1012，− ） B．（﹣1011， ）
2 2
2023 2021
C．（﹣1011，− ） D．（﹣1012，− ）
2 2
【分析】根据题意得点 的位置按4次一周期的规律循环出现，可求得点C 在第二象限，从而可求
n 2022
得该题结果． ∁
【解答】解：由题意可得，点 的位置按4次一周期的规律循环出现，
n
∵2022÷4＝505……2， ∁
∴点C 在第二象限，
2022
3
∵位于第二象限内的点C 的坐标为（﹣1， ），
2 2
7
点C 的坐标为（﹣3， ），
6 2
11
点C 的坐标为（﹣5， ），
10 2
……
n n+1
∴点 的坐标为（− ， ），
n 2 2
∁
n 2022 n+1 2022+1 2023
∴当n＝2022时，− =− =−1011， = = ，
2 2 2 2 2
2023
∴点C 的坐标为（﹣1011， ），
2022 2故选：B．
【点评】此题考查了点的坐标方面规律性问题的解决能力，关键是能根据题意确定出该点的出现规律．
8．（2022春•冷水滩区校级期中）如图，已知A （1，2）A （2，2）A （3，0）A （4，﹣2）A （5，﹣
1 2 3 4 5
2）A （6，0）……，按这样的规律，则点A 的坐标为（ ）
6 2021
A．（2021，2） B．（2020，2） C．（2021，﹣2） D．2020，﹣2）
【分析】观察发现，每6个点形成一个循环，再根据点A 的坐标及2021÷6所得的整数及余数，可计算
6
出点A 的横坐标，再根据余数对比第一组的相应位置的数可得其纵坐标．
2021
【解答】解：观察发现，每6个点形成一个循环，
∵A （6，0），
6
∴OA ＝6，
6
∵2021÷6＝336…5，
∴点A 的位于第337个循环组的第5个，
2021
∴点A 的横坐标为6×336+5＝2021，其纵坐标为：﹣2，
2021
∴点A 的坐标为（2021，﹣2）．
2021
故选：C．
【点评】本题考查了平面直角坐标系中的点的规律问题，发现题中的规律并正确计算出点 A 所处的
2021
循环组是解题的关键．
9．（2022春•宣化区期末）如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O 、O 、
1 2
π
O ，…组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒 个单位长度，则
3 2
第2022秒时，点P的坐标是（ ）A．（2021，0） B．（2021，﹣1） C．（2022，1） D．（2022，0）
【分析】根据图象可得移动4次图象完成一个循环，从而可得出点A 的坐标．
2015
1
【解答】解：半径为1个单位长度的半圆的周长为： ×2π×1=π，
2
π
∵点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒 个单位长度，
2
1
∴点P1秒走 个半圆，
2
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为1秒时，点P的坐标为（1，1），
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为2秒时，点P的坐标为（2，0），
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为3秒时，点P的坐标为（3，﹣1），
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为4秒时，点P的坐标为（4，0），
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为5秒时，点P的坐标为（5，1），
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为6秒时，点P的坐标为（6，0），
…，
∵2022÷4=505余2，
∴P的坐标是（2022，0），
故选：D．
【点评】此题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律，解决问题．
10．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，
0），（2，1），（3，1），（3，0），（3，﹣1）…根据 这个规律探索可得，第100个点的坐标（
）A．（ 14，0 ） B．（ 14，﹣1） C．（ 14，1 ） D．（ 14，2 ）
【分析】观察图形可知，横坐标相等的点的个数与横坐标相同，根据求和公式求出第100个点的横坐标
以及在这一横坐标中的所有点中的序数，再根据横坐标是奇数时从上向下排列，横坐标是偶数时从下向
上排列，然后解答即可．
【解答】解：由图可知，横坐标是1的点共有1个，
横坐标是2的点共有2个，
横坐标是3的点共有3个，
横坐标是4的点共有4个，
…，
横坐标是n的点共有n个，
n(n+1)
1+2+3+…+n= ，
2
13×(13+1)
当n＝13时， =91，
2
14×(14+1)
当n＝14时， =105，
2
所以，第100个点的横坐标是14，
∵100﹣91＝9，
∴第100个点是横坐标为14的点中的第9个点，
14
∵第 = 7个点的纵坐标是0，
2
∴第9个点的纵坐标是2，
∴第100个点的坐标是（14，2）．
故选：D．
【点评】本题是对点的变化规律的考查，观察得到横坐标相等的点的个数与横坐标相同是解题的关键，
还要注意横坐标为奇数和偶数时的排列顺序不同．
二、填空题（共10题）
11．（2022春•东洲区期末）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点
运动到点（﹣1，1），第2次接着运动到点（﹣2，0），第3次接着运动到点（﹣3，2），…，按这样
的运动规律，经过第2022次运动后，动点P的坐标是 ．A．（2022，0） B．（﹣2022，0） C．（﹣2022，1） D．（﹣2022，2）
【分析】观察图形可知：每4次运动为一个循环，并且每一个循环向左运动4个单位，用2022÷4可判
断出第2022次运动时，点P在第几个循环第几次运动中，进一步即可计算出坐标．
【解答】解：动点P的运动规律可以看作每运动四次为一个循环，每个循环向左运动4个单位，
∵2022÷4＝505……2，
∴第2022次运动时，点P在第506次循环的第2次运动上，
∴横坐标为﹣（505×4+2）＝﹣2022，纵坐标为0，
∴此时P（﹣2022，0）．
故答案为：（﹣2022，0）．
【点评】本题考查规律型：点坐标，解答时注意探究点的运动规律，又要注意动点的坐标的象限符号．
12．（2022秋•肃州区校级期末）如图，已知A （1，0），A （1，﹣1），A （﹣1，﹣1），A （﹣1，
1 2 3 4
1），A （2，1），…则点A 的坐标是 ．
5 2022
【分析】根据题意可以发现规律：A （﹣n，n），A （n+1，n），A （n+1，﹣n﹣1），A （﹣
4n 4n+1 4n+2 4n+3n﹣1，﹣n﹣1），根据规律求解即可．
【解答】解：根据题意可以发现规律：A （1，0），A （1，﹣1），A （﹣1，﹣1），A （﹣1，1），
1 2 3 4
A （2，1），A （2，﹣2），A （﹣2，﹣2），A （﹣2，2），…，
5 6 7 8
∴A （﹣n，n），A （n+1，n），A （n+1，﹣n﹣1），A （﹣n﹣1，﹣n﹣1），
4n 4n+1 4n+2 4n+3
∵2022＝4×505+2，
∴点A 的坐标为（506，﹣506），
2022
故答案为：（506，﹣506）．
【点评】本题主要考查规律性：点的坐标，读懂题意，找出点的坐标规律是解答此题的关键．
13．（2021秋•同安区期末）如图，点A（0，1），点A （2，0），点A （3，2），点A （5，1）…，按
1 2 3
照这样的规律下去，点A 的坐标为 ．
2021
【分析】观察图形得到奇数点的规律为，A
1
（2，0），A
3
（5，1），A
5
（8，2），…，A
2n﹣1
（3n﹣1，n
﹣1），由2021是奇数，且2021＝2n﹣1，则可求A
2n﹣1
（3032，1010）．
【解答】解：观察图形可得，A
1
（2，0），A
3
（5，1），A
5
（8，2），…，A
2n﹣1
（3n﹣1，n﹣1），
A （3，2），A （6，3），A （9，4），…，A （3n，n+1），
2 4 6 2n
∵2021是奇数，且2021＝2n﹣1，
∴n＝1011，
∴A
2n﹣1
（3032，1010），
故答案为（3032，1010）．
【点评】本题考查点的坐标规律；熟练掌握平面内点的坐标，能够根据图形的变化得到点的坐标规律是
解题的关键．
14．（2022•嘉峪关一模）如图，平面直角坐标系xOy内，动点P按图中箭头所示方向依次运动，第1次从
点（0，1）运动到点（1，0），第二次运动到点（2，﹣2），第3次运动到点（3，0），……按这样的
运动规律，动点P第2022次运动到的点的坐标是 ．【分析】根据图形分析点P的运动规律：第n次运动到的点的横坐标为n，纵坐标每四次为一个循环，
即可得到答案．
【解答】解：∵第 1次运动到点（1，0），第二次运动到点（2，﹣2），第 3次运动到点（3，
0），…，
∴第n次运动到的点的横坐标为n，纵坐标每四次一个循环，从第一次运动到的纵坐标开始，分别为
0、﹣2、0、1、…，
∵2022÷4＝505⋯2，
∴动点P第2022次运动到的点的坐标是（2022，﹣2），
故答案为：（2022，﹣2）．
【点评】此题考查了图形坐标的规律，正确理解图形运动坐标变化规律，得到点P的坐标是解题的关键．
15．（2022秋•涡阳县校级月考）如图，一动点在第一象限内及x轴，y轴上运动，第一分钟，它从原点运
动到（1，0），第二分钟，从（1，0）运动到（1，1），而后它接着按图中箭头所示在与x轴，y轴平
行的方向来回运动，每分钟运动1个单位长度．第30分钟，动点所在的位置的坐标是 ．
【分析】根据移动次数与点的坐标的所呈现的规律进行计算即可．
【解答】解：根据移动的方向，距离所呈现的规律可得，
当移动到点（1，0）时，对应的移动次数为1次，
当移动到点（2，0）时，对应的移动次数为4+2×2＝8次，当移动到点（3，0）时，对应的移动次数为8+1＝9次，
当移动到点（4，0）时，对应的移动次数为9+3×2+1+4×2＝24次，
当移动到点（5，0）时，对应的移动次数为24+1＝25次，
所以移动30次，所对应的点的坐标为（5，5），
故答案为：（5，5）．
【点评】本题考查点的坐标，发现移动次数与点的坐标所呈现的规律是正确解答的关键．
16．（2022•绥化三模）如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为 1个单位长度，点P ，
1
P ，P ，…均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：P （0，0），P （0，1），P （1，1），
2 3 1 2 3
P （1，﹣1），P （﹣1，﹣1），P （﹣1，2），…，根据这个规律，点P 的坐标为 ．
4 5 6 2022
【分析】根据各个点的位置关系，可得出下标为4的倍数的点在第四象限，被4除余1的点在第三象限
的角平分线上，被4除余2的点在第二象限，被4除余3的点在第一象限的角平分线上，点P 的在第
2022
三象限，且横纵坐标的绝对值＝2022÷4的商，纵坐标是2022÷4的商+1，再根据第三项象限内点的符号
得出答案即可．
【解答】解：∵2022÷4＝505…2，
∴点P 在第二象限，
2022
∵P （﹣1，2），P （﹣2，3），P （﹣3，4），…，
6 10 14
6÷4＝1…2，10÷4＝2…2，14÷2＝3..2，…，
∴P （﹣505，506）．
2022
故答案为：（﹣505，506）．
【点评】本题考查了规律型：点的坐标，是一个阅读理解，猜想规律的题目，解答此题的关键是首先确
定点所在的大致位置，所在正方形，然后就可以进一步推得点的坐标．17．（2022秋•杏花岭区校级期中）在平面直角坐标系 xOy中，对于点P（x，y），我们把点P （﹣y+1，
1
x+1）叫做点P的伴随点．已知点A 的伴随点为A ，点A 的伴随点为A ，点A 的伴随点为A ，…，这
1 2 2 3 3 4
样依次得到点A
1
，A
2
，A
3
，⋯，A
n
，若点A
1
的坐标为（3，1），则点A
2022
的坐标为 ．
【分析】根据“伴随点”的定义依次求出各点，不难发现，每4个点为一个循环组依次循环，用2022
除以4，根据商和余数的情况确定点A 的坐标即可．
2022
【解答】解：∵A 的坐标为（3，1），
1
∴A （0，4），A （﹣3，1），A （0，﹣2），A （3，1），
2 3 4 5
…，
依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，
∵2022÷4＝505余2，
∴点A 的坐标与A 的坐标相同，为（0，4）；
2022 2
故答案为：（0，4）．
【点评】此题考查点的坐标规律，读懂题目信息，理解“伴随点”的定义并求出每4个点为一个循环组
依次循环是解题的关键．
18．（2022春•长安区校级期中）如图1，弹性小球从点P（0，3）出发，沿图中所示方向运动，每当小球
碰到长方形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到长方形的边时，记为点
P ，第2次碰到长方形的边时，记为点P ，…，第n次碰到长方形的边时，记为点P ，则点P 的坐标
1 2 n 3
是 ；点P 的坐标是 ．
2022
【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2022除以
6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可．
【解答】解：如图，根据图形知点P 的坐标是（8，3），
3
根据图形可以得到：每6次反弹为一个循环组依次循环，经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），
∵2022÷6＝337，
当点P第2021次碰到矩形的边时为第337个循环组的第6次反弹，点P的坐标为（0，3），故答案为：（8，3），（0，3）．
【点评】本题考查了矩形的性质、点的坐标的规律；作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循
环是解题的关键．
19．（2022春•五华区校级期中）如图，在直角坐标系中，长方形 OABC的长为2，宽为1，将长方形
OABC沿x轴翻转1次，点A落在A 处，翻转2次，点A落在A 处，翻转3次，点A落在A 处（点A
1 2 3 3
与点A 重合），翻转4次，点A落在A 处，以此类推…，若翻转2022次，点A落在A 处，则A
2 4 2022 2022
的坐标为 ．
【分析】探究规律，利用规律解决问题即可．
【解答】解：由题意A （3，2），A （A ）（5，0），A （6，1），•••，
1 2 3 4
发现4次一个循环，
∵2022÷4＝505.....2，
∴A 的纵坐标与A 相同，
2022 2
横坐标＝505×6+5＝3035，
∴A （3035，0），
2022
故答案为：（3035，0）．
【点评】本题考查坐标与图形的变化﹣对称，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中
考填空题中的压轴题．
20．（2022春•江岸区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标，纵坐标均为整数的点．
其顺序按图中“→”方向依次排列：（1，0）→（2，0）→（2，1）→（1，1）→（1，2）→（2，2）
→…根据这个规律，第87个点的坐标为 ，第2022个点的坐标为 ．【分析】观察图形可知，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标
的平方，并且右下角的点的横坐标是奇数时最后以横坐标为该数，纵坐标为0结束，当右下角的点横坐
标是偶数时，以横坐标为1，纵坐标为右下角横坐标的偶数减1的点结束，根据此规律解答即可．
【解答】解：根据图形，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标
的平方，并且右下角的点的横坐标是奇数时最后以横坐标为该数，纵坐标为0结束，当右下角的点的横
坐标是偶数时，以横坐标为1，纵坐标为右下角横坐标的偶数减1的点结束．
例如：右下角的点的横坐标为1，共有1个，1＝12，
右下角的点的横坐标为2时，共有4个，4＝22，
右下角的点的横坐标为3时，共有9个，9＝32，
右下角的点的横坐标为4时，共有16个，16＝42，
......，
右下角的点的横坐标为9时，共有92＝81个，
9是奇数，以横坐标为9，纵坐标为0的点结束，
故第87个点的坐标为（10，5），
右下角的点的横坐标为n时，共有n2个，
∵452＝2025，45是奇数，
∴第2025个点是（45，0），
∴第2020个点的坐标为（45，3）
故答案为：（10，5），（45，3）．
【点评】本题考查了点的坐标的规律变化，观察出点的个数按照平方数的规律变化是解题的关键．
三、解答题（共10题）21．（2022秋•无为市月考）在平面直角坐标系中，一个动点 A从原点O出发，按向上、向右、向下、向
右的方向依次不断移动，每次只移动1个单位长度，其行走路线如图所示．
（1）填写下列各点的坐标：A ，A ，A ，A ．
4 6 12 14
（2）按此规律移动，n为正整数，则点A 的坐标为 ，点A 的坐标为 ．
4n 4n+2
（3）动点A从点A 到点A 的移动方向是 ．（填“向上”、“向右”或“向下”）
2022 2023
【分析】（1）根据点的坐标变化即可填写各点的坐标；
（2）根据（1）发现规律即可写出点A 的坐标（n为正整数）；
4n
（3）根据（2）发现的规律，每四个点一个循环，进而可得蜗牛从点A 到点A 的移动方向．
2020 2021
【解答】解：（1）根据点的坐标变化可知：
各点的坐标为：A （2，0），A （3，1），A （6，0），A （7，1）；
4 6 12 14
故答案为：（2，0），（3，1），（6，0），（7，1）；
（2）根据（1）发现：
点A 的坐标（n为正整数）为（2n，0）；点A 的坐标为 （2n+1，1）；
4n 4n+2
故答案为：（2n，0），（2n+1，1）；
（3）因为每四个点一个循环，
所以2023÷4＝505…3．
所以从点A 到点A 的移动方向是向下．
2022 2023
故答案为：向下．
【点评】本题考查了规律型﹣点的坐标，解决本题的关键是根据点的坐标变化发现规律，总结规律，运
用规律．
22．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点 O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得
到点P （0，1），P （1，1），P （1，0），P （1，﹣1），P （2，﹣1），P （2，0）…
1 2 3 4 5 6
（1）填写下列各点的坐标：P （ 、 ），P （ 、 ），P （ 、 ）
9 12 15
（2）写出点P 的坐标（n是正整数）；
3n
（3）点P 的坐标是（ 、 ）；
60
（4）指出动点从点P 到点P 的移动方向．
210 211【分析】由题意可以知道，动点运动的速度是每次运动一个单位长度，（0，1）→（1，1）→（1，0）
→（1，﹣1）……通过观察找到有规律的特殊点，如P 、P 、P 、P ，发现其中规律是脚标是3的倍
3 6 9 12
数的点，依次排列在x轴上，且相距1个单位，明确这个规律即可解决以上所有问题．
【解答】解：（1）由动点运动方向与长度可得P （1，0），P （2，0），
3 6
可以发现脚标是3的倍数的点，依次排列在x轴上，且相距1个单位，
即动点运动三次与横轴相交，
故答案为P （ 3，0），P （4、0 ），P （5、0 ）．
9 12 15
（2）由（1）可归纳总结点P 的坐标为P （n，0），（n是正整数）；
3n 3n
（3）根据（2），∵60＝3×20，∴点P 的横坐标是20
60
故点P 的坐标是（20、0 ）
60
故答案为（20、0 ）．
（4）∵210＝3×70，符合（2）中的规律
∴点P 在x轴上，
210
又由图象规律可以发现当动点在x 轴上时，偶数点向上运动，奇数点向下运动，
而点P 是在x轴上的偶数点
210
所以动点从点P 到点P 的移动方向应该是向上．
210 211
【点评】本题是一个阅读理解，猜想规律的题目，解答此题的关键是首先确定动点移动的数字与方向上
的规律，然后再进一步按规律解决要求的点的位置．
23．（2021秋•长丰县期末）如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平行，从内到外，
它们的边长依次为2、4、6、8、…，顶点依次用A 、A 、A 、A 、…表示．
1 2 3 4
（1）请直接写出A 、A 、A 、A 的坐标；
5 6 7 8
（2）根据规律，求出A 的坐标．
2022【分析】（1）看图观察即可直接写出答案；
（2）根据正方形的性质找出部分A 点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“A （﹣n﹣1，﹣n﹣
n 4n+1
1），A （﹣n﹣1，n+1），A （n+1，n+1），A （n+1，﹣n﹣1）（n为自然数）”，依此即可
4n+2 4n+3 4n+4
得出结论．
【解答】解：（1）A （﹣2，﹣2），A （﹣2，2），A （2，2），A （2，﹣2）；
5 6 7 8
（2）观察发现：A （﹣1，﹣1），A （﹣1，1），A （1，1），A （1，﹣1），A （﹣2，﹣2），A
1 2 3 4 5 6
（﹣2，2），A （2，2），A （2，﹣2），A （﹣3，﹣3），…，
7 8 9
∴A （﹣n﹣1，﹣n﹣1），A （﹣n﹣1，n+1），A （n+1，n+1），A （n+1，﹣n﹣1）（n为
4n+1 4n+2 4n+3 4n+4
自然数），
∵2022＝505×4+2，
∴A （﹣506，506）．
2022
【点评】本题考查了规律型：点的坐标，解题的关键是找出变化规律“A （﹣n﹣1，﹣n﹣1），A
4n+1 4n+2
（﹣n﹣1，n+1），A （n+1，n+1），A （n+1，﹣n﹣1）（n为自然数）”．本题属于基础题，难
4n+3 4n+4
度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标的变化找出变化规律是关键．
24．一个质点在第一象限及x轴、y轴移动，在第一秒时，它从原点移动到（0，1），然后按着下列左图
中箭头所示方向移动，即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→…，且每秒移动1个单位．
（1）该质点移动到（1，1）的时间为 秒，移动到（2，2）的时间为 秒，移动到（3，
3）的时间为 秒，…，移动到（n，n）的时间为 秒．
（2）该质点移动到（7，4）的时间为 秒．【分析】（1）根据图形可得出质点移动到（1，1），（2，2），（3，3）的时间，根据规律可得出质
点移动（n，n）的时间；
（2）现有（1）的结论得出（7，7）的时间，再加上3即可得出移动到（7，4）的时间．
【解答】解：（1）由图可知移动到（1，1）的时间为2秒，
移动到（2，2）的时间为6秒，
移动到（3，3）的时间为12秒，
根据变化规律可得移动到（n，n）的时间为n（n+1），
故答案为：2，6，12，n（n+1）；
（2）由（1）可得移动到（7，7）的时间为7×8＝56，56+3＝59，
∴移动到（7，4）的时间为59秒，
故答案为59．
【点评】本题主要考查点的坐标的变化规律，关键是要能找到质点移动到（n，n）的时间的规律．
25．（2022•马鞍山一模）如图，某小区绿化区的护栏是由两种大小不等的正方形间隔排列组成，将护栏
的图案放在平面直角坐标系中．已知小正方形的边长为 1，A 的坐标为（2，2），A 的坐标为（5，
1 2
2）．
（1）A 的坐标为 ，A 的坐标为 用含n的代数式表示；
3 n
（2）若护栏长为2020，则需要小正方形 个，大正方形 个．
【分析】（1）根据已知条件与图形可知，大正方形的对角线长为2，由此可得规律：A ，A ，A ，…，
1 2 3
A 各点的纵坐标均为2，横坐标依次大3，由此便可得结果；
n
（2）先求出一个小正方形与一个大正方形所构成的护栏长度，再计算2020米包含多少这样的长度，进
而便可求出结果．【解答】解：（1）∵A 的坐标为（2，2）、A 的坐标为（5，2），
1 2
∴A ，A ，A ，…，A 各点的纵坐标均为2，
1 2 3 n
∵小正方形的边长为1，
∴A ，A ，A ，…，A 各点的横坐标依次大3，
1 2 3 n
∴A （5+3，2），A （2
+3+3+⋅⋅⋅+3
，2），
3 n
¿
即A （8，2），A （3n﹣1，2），
3 n
故答案为（8，2）；（3n﹣1，2）；
（2）∵2020÷3＝673…1，
∴需要小正方形674个，大正方形673个．
【点评】本题是点的坐标的规律题，首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通
过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决
这类问题．
26．如图，在直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA B ，第二次将△OA B 变成△OA B ，第三次将
1 1 1 1 2 2
△OA B 变成△OA B ，已知A（1，5），A （2，5），A （4，5），A （8，5）；B（2，0），B （4，
2 2 3 3 1 2 3 1
0），B （8，0），B （16，0）．
2 3
（1）观察每次变换前后三角形有何变化，找出规律．按此规律将△OA B 变成△OA B ，则A 的坐标是
3 3 4 4 4
，B 的坐标是 ．
4
（2）若按第（1）题中找到的规律将△OAB进行n次变换，得到△OA B ，比较每次变换中三角形顶点
n n
的坐标有何变化，找出规律，推测A 的坐标是 ，B 的坐标是 ．
n n
【分析】（1）对于A ，A ，A 坐标找规律可将其写成竖列，比较从而发现A 的横坐标为2n，而纵坐标
1 2 n n
都是5，同理B ，B ，B 也一样找规律．
1 2 n
（2）根据第一问得出的A 的坐标和B 的坐标，再此基础上总结规律即可知A 的坐标是（2n，5），B
4 4 n n
的坐标是（2n+1，0）．
【解答】解：（1）因为A（1，5），A （2，5），A （4，5），A （8，5）…纵坐标不变为5，
1 2 3同时横坐标都和2有关，为2n，那么A （16，5）；
4
因为B（2，0），B （4，0），B （8，0），B （16，0）…纵坐标不变，为0，
1 2 3
同时横坐标都和2有关为2n+1，那么B的坐标为B （32，0）；
4
故答案为：（16，5），（32，0）；
（2）由上题第一问规律可知A 的纵坐标总为5，横坐标为2n，B 的纵坐标总为0，横坐标为2n+1，
n n
∴A 的坐标是（2n，5），B 的坐标是（2n+1，0）．
n n
故答案为：（2n，5），（2n+1，0）．
【点评】本题考查了学生观察图形及总结规律的能力，涉及的知识点为：平行于x轴的直线上所有点纵
坐标相等，x轴上所有点的纵坐标为0．
27．小明在学习了平面直角坐标系后，突发奇想，画出了这样的图形（如图），他把图形与 x轴正半轴的
交点依次记作A （1，0），A （5，0），…A ，图形与y轴正半轴的交点依次记作B （0，2），B
1 2 n 1 2
（0，6），…B ，图形与x轴负半轴的交点依次记作C （﹣3，0），C （﹣7，0），… ，图形与y轴
n 1 2 n
负半轴的交点依次记作D （0，﹣4），D （0，﹣8），…D ，发现其中包含了一定的数学∁ 规律．
1 2 n
请根据你发现的规律完成下列题目：
（1）请分别写出下列点的坐标：A ，B ，C ，D ；
3 3 3 3
（2）请分别写出下列点的坐标：A ，B ， ，D ；
n n n n
（3）请求出四边形A B C D 的面积． ∁
5 5 5 5
【分析】（1）根据点的坐标规律解答即可；
（2）根据点的坐标规律解答即可；
（3）根据四边形A B C D 的面积=S +S +S +S 计算即可．
5 5 5 5 △A OB △B OC △C OD △D OA
5 5 5 5 5 5 5 5
【解答】解：（1）A （9，0），B （0，10），C （﹣11，0），D （0，﹣12）．
3 3 3 3
（2）A （4n﹣3，0），B （0，4n﹣2）， （﹣4n+1，0），D （0，﹣4n）．
n n n n
∁（3）∵A （17，0），B （0，18），C （﹣19，0），D （0，﹣20）．
5 5 5 5
1 1 1
∴ 四 边 形 A B C D 的 面 积 =S +S +S +S = ×17×18+ ×18×19+ ×19×20
5 5 5 5 △A 5 OB 5 △B 5 OC 5 △C 5 OD 5 △D 5 OA 5 2 2 2
1
+ ×20×17＝684．
2
故答案为：A （9，0），B （0，10），C （﹣11，0），D （0，﹣12）．
3 3 3 3
A （4n﹣3，0），B （0，4n﹣2）， （﹣4n+1，0），D （0，﹣4n）．
n n n n
【点评】此题考查点的坐标，关键是∁根据图形得出点的坐标的规律进行分析．
28．（2021春•自贡期末）综合与实践
问题背景：
（1）已知A（1，2），B（3，2），C（1，﹣1），D（﹣3，﹣3）．在平面直角坐标系中描出这几个
点，并分别找到线段AB和CD中点P 、P ，然后写出它们的坐标，则P ，P ．
1 2 1 2
探究发现：
（2）结合上述计算结果，你能发现若线段的两个端点的坐标分别为（x ，y ），（x ，y ），则线段的
1 1 2 2
中点坐标为 ．
拓展应用：
（3）利用上述规律解决下列问题：已知三点E（﹣1，2），F（3，1），G（1，4），第四个点H（x，
y）与点E、点F、点G中的一个点构成的线段的中点与另外两个端点构成的线段的中点重合，求点 H
的坐标．
【分析】（1）根据坐标的确定方法直接描点，：分别读出各点的纵横坐标，即可得到各中点的坐标；
（2）根据（1）中的坐标与中点坐标找到规律；
（3）利用（2）中的规律进行分类讨论即可答题．
【解答】解：（1）如图：A（1，2），B（3，2），C（1，﹣1），D（﹣3，﹣3）．在平面直角坐标系
中描出它们如下：线段AB和CD中点P 、P 的坐标分别为（2，2）、（﹣1，﹣2）
1 2
故答案为：（2，2）、（﹣1，﹣2）．
（2）若线段的两个端点的坐标分别为（x ，y ），（x ，y ），则线段的中点坐标为
1 1 2 2
x +x y + y
( 1 2， 1 2 )．
2 2
x +x y + y
故答案为：( 1 2， 1 2 )．
2 2
（3）∵E（﹣1，2），F（3，1），G（1，4），
3 5
∴EF、FG、EG的中点分别为：（1， ）、（2， ）、（0，3）
2 2
3 x+1 y+4 3
∴①HG过EF中点（1， ）时， =1， =
2 2 2 2
解得：x＝1，y＝﹣1，故H（1，﹣1）；
5 −1+x 2+ y 5
②EH过FG中点（2， ）时， =2， =
2 2 2 2
解得：x＝5，y＝3，故H（5，3）；
3+x 1+ y
③FH过EG的中点（0，3）时， =0， =3
2 2
解得：x＝﹣3，y＝5，故H（﹣3，5）．
∴点H的坐标为：（1，﹣1），（5，3），（﹣3，5）．
【点评】本题考查了坐标与图形性质．通过此题，要熟记平面直角坐标系中线段中点的横坐标为对应线
段的两个端点的横坐标的平均数，中点的纵坐标为对应线段的两个端点的纵坐标的平均数．
29．（2022•包河区二模）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（1，0）、点A 的坐标为（2，
1 2
0）、点A 的坐标为（3，0）、…，过点A 、A 、A 、…分别作x轴垂线，交直线y＝x于点B 、B 、
3 1 2 3 1 2
B 、…，△OA B 覆盖的整点（横、纵坐标均为整数的点）的个数记为 P ，面积的值记为S ；△OA B
3 1 1 1 1 2 2
覆盖的整点的个数记为P ，面积的值记为S ；△OA B 覆盖的整点的个数记为P ，面积的值记为S ；…
2 2 3 3 3 31 9
（1）由题意可知：P ＝3、S = ；P ＝6、S ＝2；P ＝10、S = ；则P ＝ 、S ＝ ；
1 1 2 2 2 3 3 2 4 4
（2）P ﹣S ＝ ；
7 7
（3）P ﹣S 的值是否会等于2022？若能，请求出n的值，若不能，请说明理由．
n n
x(x+1)
【注：连续x个正整数和的计算公式：1+2+3+…+x﹣1+x= 】
2
(n+1)(n+2) n2
【分析】（1）根据题意得出规律P = ，S = ，由此解答即可；
n 2 n 2
49
（2）根据规律求出P ＝36，S = ，再进行解答即可；
7 7 2
（3）根据规律求出n的值即可．
12 1 22
【解答】解：（1）∵P ＝1+2＝3、S = = ；P ＝1+2+3＝6、S = =2；P ＝1+2+3+4＝10、S
1 1 2 2 3 3
2 2 2
32 9
= = ...，
2 2
(n+1)(n+2) n2
∴可以发现规律，P ＝1+2+3+……+（n+1）= ，S = ，
n 2 n 2
∴P ＝15，S ＝8，
4 4
故答案为：15，8；
(7+1)(7+2) 72 49
（2）根据规律可知，P = =36，S = = ，
7 2 7 2 2
49 23
∴P ﹣S ＝36− = ，
7 7 2 2
23
故答案为： ；
2(n+1)(n+2) n2 3n+2
（3）∵P ﹣S = − = ，
n n
2 2 2
3n+2
∴2022= ，
2
4042
∴n= ，
3
4042
∵ 不是整数，
3
∴P ﹣S 的值不会等于2022．
n n
【点评】本题主要考查规律型：点的坐标，根据条件准确找出点的坐标规律是解答此题的关键．
30．（2022春•西城区校级期末）对于任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，即整数部分，{a}表
示a的小数部分．例如：[1.3]＝1，{﹣2.6}＝0.4．
（1）[√2]＝ ，{−√3}＝ ；
（2）在平面直角坐标系中，有一序列点P （[1]，{1}），P （[√2]，{√2}），P （[√3]，{√3}），P
1 2 3 4
（[2]，{2}），P （[√5]，{√5}），…
5
请根据这个规律解决下列问题：
①点P 的坐标是 ；
10
②横坐标为10的点共有 个；
③在前2022个点中，纵坐标相等的点共有 个，并求出这些点的横坐标之和．
【分析】（1）根据题意直接求解即可；
（2）①根据题意找出点P 的坐标为P （[√n]，{√n}），然后再求出点P 的坐标即可；
n n 10
②根据[√n]＝10，可推出100≤n＜121，再找出其中的整数即可；
③将前几个点的坐标求出，找出规律：当n的值为平方数时，纵坐标为0，只有纵坐标为0时的点的纵
坐标相等，再根据44＜√2022＜45进行求解即可．
【解答】解：（1）∵1＜2＜4，
∴1＜√2＜2，
∴[√2]＝1，
∵﹣4＜﹣3＜﹣1，
∴﹣2＜−√3＜−1，
∴{−√3}=−√3−（﹣2）＝2−√3，
故答案为：1，2−√3；
（2）∵P （[1]，{1}），P （[√2]，{√2}），P （[√3]，{√3}），P （[2]，{2}），P （[√5]，{√5
1 2 3 4 5}），…
∴可发现点P 的坐标为P （[√n]，{√n}），
n n
①根据规律可知，点P 的坐标为（[√10]，{√10}），
10
∵9＜10＜16，
∴3＜√10＜4，
∴[√10]＝3，{√10}=√10−3，
∴点P 的坐标是（3，√10−3），
10
故答案为：（3，√10−3）；
②∵点P 的坐标为P （[√n]，{√n}），
n n
∴当[√n]＝10时，100≤n＜121，其中的整数共21个，
故答案为：21；
③根据题意可得，P （1，0），P （1，√2−1），P （1，√3−1），P （2，0），P （2，√5−2），
1 2 3 4 5
P （2，√6−2），P （2，√7−2），P （2，2√2−2），P （3，0），P （3，√10−3），…
6 7 8 9 10
可以发现，当n的值为平方数时，纵坐标为0，只有纵坐标为0时的点的纵坐标相等，
∵44＜√2022＜45，
∴在前2022个点中，纵坐标相等的点共有44个，这些点的横坐标之和为1+2+3+...+44＝990，
∴在前2022个点中，纵坐标相等的点共有44个，这些点的横坐标之和为990，
故答案为：44．
【点评】本题主要考查规律型：点的坐标，读懂题意，准确找出点的坐标规律是解答此题的关键．
