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第14 章 整式的乘法与因式分解（单元测试·基础卷）
一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求)
1．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25七年级上·上海·期中）若 ，则 的值是（ ）
A．0 B．1 C． D．2
3．（24-25八年级上·四川内江·期末）已知多项式 与 的乘积展开式中不含 的一次项，
则 的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25八年级上·广西南宁·期中）下列各式中，能应用平方差公式进行计算的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（24-25八年级上·河南周口·期中）若n为正整数，且 则 的值 ( )
A．837 B．2891 C．3283 D．1225
6．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）当n为自然数时， 一定能（ ）
A．被5整除 B．被6整除 C．被7整除 D．被8整除
7．（24-25九年级上·四川绵阳·期中）若代数式 可化为 ，则 是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．8
8．（23-24七年级下·广东深圳·期末）小周学习完“平方差公式和完全平方公式”后，发现这两个公式能
使计算变得简便，例如计算“ ”，运用公式，可得 ，请运用
所学知识求得“ ”的值为（ ）
A． B． C．0 D．19．（24-25八年级上·四川遂宁·期中）观察下列图形由左到右的变化，写出相应的代数恒等式为（ ）
A． B．
C． D．
10．（24-25八年级上·山东淄博·期中）如图，爱思考的小颖看到课本《因式分解》一章中这样写道：
形如 的式子称为完全平方式
小颖思考，如果一个多项式不是完全平方式，我们对其作如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出
现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，那么是否可以由此解决一些新的问题．若借助小
颖的思考，可以求得多项式 的最大值，则该最大值为（ ）
A． B． C．5 D．13
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（上海市崇明区九校联考（五四制）2024-2025学年七年级上学期期中考试数学试题）计算： ，
，则 ．
12．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）若 则 的值为
13．（2024七年级上·上海·专题练习）计算： ．
14．（24-25八年级上·北京·期中）若 ，则 ．
15．（24-25八年级上·福建漳州·期中）若 ，则 的值为 ．
16．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）若关于 的整式 是某个关于 的整式的平方，则
．17．（24-25八年级上·全国·期中）如图 是一个棱长为 的正方体中挖去一个棱长为 的小正方体
，将剩余部分进行切割得到如图 所示的三个长方体．通过计算剩余部分的体积，可对多项式
进行因式分解，即 ．
18．（22-23七年级下·山西太原·阶段练习）如图，我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中
提出“杨辉三角”，如图揭示了 （n为非负整数）展开式中各项系数的有关规律，请你猜想
的展开式中含 项的系数是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（本小题满分8分）（24-25八年级上·重庆九龙坡·期中）计算
(1) ； (2) ．
20．（本小题满分8分）（24-25八年级上·湖北武汉·期中） 先化简， 再求值
，其中 ．21．（本小题满分10分）（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）因式分解：
(1) (2)
22．（本小题满分10分）（24-25八年级上·河南南阳·期中）观察下列等式，并回答问题．
，
，
，
……
(1)将36写成两个正整数平方差的形式：
______=______ ______；
(2)观察、归纳，得出猜想：
用含有字母 的整数）的等式表示上述的规律为：______；
并用已学的知识验证这一规律．
23．（本小题满分10分）（23-24七年级下·河北石家庄·期中）“以形释数”是利用数形结合思想证明代
数问题的一种体现，做整式的乘法运算时利用几何直观的方法获取结论，在解决整式运算问题时经常运
用．
例1：如图1，可得等式： ；
例2：由图2，可得等式： ．(1)如图3，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为 的正方形．从中你发现的结论
用等式表示为__________．
(2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知 ．求 的值．
24．（本小题满分12分）（23-24八年级上·山西临汾·期末）阅读思考： 年 月 日，中国共产党
第二十次全国代表大会在北京人民大会堂胜利闭幕．某校以学习二十大精神为主题开展了黑板报评比活
动．八年级 班的数学课代表王华看着教室里的黑板报，出了一道题：已知黑板的周长为 米，设黑板的
高为 米，宽为 米，且 ，求黑板的面积．下面是小慧同学的解法：
解：∵黑板的周长为 米，
由已知可得 ，……第一步
∴ ，……第二步
∵ ， ，
∴ ， ，∴ ，联立方程组： ，……第三步
∴解得， ……第四步
∴黑板的面积为 （平方米）……第五步
(1)请你判断上述小慧同学的解答是否正确．若不正确，请指出错误之处，并改正．
(2)由第一步到第二步等式左边的变形属于_____________；（填：整式乘法或因式分解）
(3)因式分解： ．
(4)拓展：已知 为 的三边长，若 ，试判断 的形状．参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B C D B D A B C D
1．C
【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，掌握幂的运算法则是解答本题
的关键．根据合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方法则分别计算即可．
【详解】解：A． 不能合并，故错误，本选项不合题意；
B． ，故错误，本选项不合题意；
C． ，故正确，本选项符合题意；
D． ，故错误，本选项不合题意；
故选：C．
2．B
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先求出 ，再根据多项式乘以多项式的计算法则求出
，据此代值计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴
，
故选：B．
3．C
【分析】本题考查了整式的乘法，整式中不含某项的计算，掌握多项式乘以多项的计算法则，不含某项则
该项系数为0的知识是解题的关键．
根据整式的乘法运算法则展开，再将含 的一次项的系数为0，即可求解．【详解】解：
，
∵不含 的一次项，
∴ ，
解得，a=2，
故选：C ．
4．D
【分析】本题主要考查了平方差公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同
项的平方减去相反项的平方．
平方差公式是 ，看看每个选项是否符合公式即可．
【详解】解：A、 ，不能用平方差公式，故本选项不合题意；
B、 ，不能用平方差公式，故本选项不合题意；
C、 ，不能用平方差公式，故本选项不合题意；
D、 ，能用平方差公式，故本选项符合题意；
故选：D．
5．B
【分析】本题主要考查了幂的乘方和积的乘方计算，幂的乘方的逆运算，把所求式子变形为
，据此代值计算即可得到答案．
【详解】解：∵
∴，
故选：B．
6．D
【分析】本题考查的是利用平方差公式分解因式，掌握“ ”是解题的关键．先把
分解因式可得结果为： ，从而可得答案．
【详解】解：
为自然数
所以 一定能被8整除，
故选D
7．A
【分析】本题考查完全平方公式，代数式求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．利用完全平方公式
将 变形为 ，与 对比，即可求出 ，即可求解．
【详解】解： ，
而代数式 可化为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
8．B
【分析】本题考查的是平方差公式的应用，把原式化为 ，再利用平方差公式计
算即可；
【详解】解：；
故选B
9．C
【分析】本题考查整式乘法与几何的应用，理解题意，能用代数式表示图中阴影部分的面积是解答的关键．
【详解】解：左图中阴影部分的面积为 ，
右图中阴影部分的面积为 ，
∴相应的代数恒等式为 ，
故选：C．
10．D
【分析】本题考查了完全平方公式，完全平方公式的应用，将 化为 ，即可求解．
【详解】解：
，
∵
∴ ，即 的最大值为
故选：D．
11．128
【分析】本题考查了同底数幂相乘法则，逆用同底数幂相乘法则计算即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴
，
故答案为：128．12．
【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式是解题的关键．
根据 ，求解作答即可．
【详解】解：由题意知， ，
∵ ，
∴ ，
．
故答案为： ．
4 1
13． /1
3 3
【分析】本题主要考查了积的乘方的逆运算和同底数幂乘法的逆运算，先把原式变形为 ，
再利用积的乘方的逆运算法则计算即可．
【详解】解：
，
故答案为： ．
14．1
【分析】本题考查绝对值的非负性，完全平方公式，熟练掌握相关计算法则是解题的关键；
根据题意可得 ， ，求解 ， 的值即可求解；
【详解】解： ，即 ，
故 ， ，
故 ， ，
即 ，
故答案为：
15．15
【分析】本题考查的是利用平方差公式分解因式，把 化为 ，再代入计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ；
故答案为：
16． 或
【分析】本题主要考查了完全平方式，根据题意可知两平方项为 ，则一次项为 ，据此求解即
可．
【详解】解：∵关于 的整式 是某个关于 的整式的平方，
，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，
故答案为： 或 ．
17．
【分析】本题考查了因式分解的应用，提公因式法分解因式等知识点，正确表示出三块长方体的体积之和
是解题的关键．
根据正方体和长方体的体积公式及体积关系即可求解．
【详解】解：根据题意可得：
图 的体积为： ，图 的体积为： ，
图 的体积 图 的体积，
，
故答案为： ．
18．15
【分析】本题考查了数字变化规律．根据图形中的规律，即可求出 的展开式中含 项的系数．
【详解】解：根据题意得： ，
，
所以 的展开式中含 项的系数是15．
故答案为：15．
19．(1)
(2)
【分析】此题主要考查整式运算，直接利用整式的混合运算法则计算得出答案．
（1）利用整式的除法运算法则计算得出答案．
（2）利用完全平方公式、平方差进行分解合并同类项即可．
【详解】（1）解：
（2）解：20． ，
【分析】本题主要考查了整式的化简求值等知识点，根据完全平方公式、平方差公式、合并同类项把原式
化简，然后将 变形后代入原式计算即可，熟练掌握完全平方公式、平方差公式是解决此题的
关键．
【详解】
，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
21．(1)
(2)
【分析】本题考查因式分解，掌握提公因式法和公式法是解题的关键．
（1）先提公因式，再运用公式法求解即可；
（2）先运用完全平方公式，再运用公式法求解即可；
【详解】（1）解：原式 ；
（2）原式 ．
22．(1) ； ；
(2) ，证明见解析【分析】本题考查了找规律，用代数式表示，整式的运算，解题的关键是整理题目给出的规律．
（1）利用题意得到 即可解题；
（2）根据题中等式进行归纳即可表示出该规律，再利用整式的运算法则即可验证．
【详解】（1）解：∵ ，
，
，
……
∴ ；
（2）解： ；
证明： 等式右边
，
等式左边 右边，
．
23．(1)
(2)32
【分析】本题考查了多项式乘以多项式在几何面积中的应用，面积法，求代数式的值；
（1）由整体表示大长方形的面积，分部分表示各个小正方形与长方形的面积，二者相等，即可求解；
（2）将值代入（1）中的等式计算即可求解．
【详解】（1）解：由图得 ；
故答案： ；
（2）解： ， ，
，
解得： ．
24．(1)不正确，错误之处：第四、五步，改正见解析(2)因式分解
(3)
(4) 是等腰直角三角形，证明见解析
【分析】（1）根据整式的混合运算，因式分解的方法，乘法公式即可求解；
（2）根据因式分解的方法即可求解；
（3）运用提公因式，乘法公式进行因式分解即可求解；
（4）根据整式的混合运算，因式分解，几何图形边长的特点即可求解．
【详解】（1）解：不正确，错误之处：第四、五步，改正过程如下，
∵黑板的周长为 米，由已知可得 ，……第一步
∴ ，……第二步
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，联立方程组： ，……第三步
∴解得， ……第四步
∴黑板的面积为 （平方米）……第五步．
（2）解：由已知可得 ，……第一步
∴ ，……第二步
运用的是提公因式法因式分解，
故答案为：因式分解．
（3）解：．
（4）解：∵
∴
∵ ，
∴ ，则 ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形．
【点拨】本题主要考查整式运算与几何图形的综合，掌握整式的混合运算的法则，因式分解，几何图形面
积，周长等知识的综合运用是解题的关键．
