文档内容
九年级数学上学期期中测试卷 02
本试卷由选择题、填空题和解答题三大题组成，共22题，满分150分。考试时间120分钟。
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考试号、考场号、座位号，用0.5毫米黑色墨水
签字笔填写在答题卷相对应的位置上，并认真核对；
2．答题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卷指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效，
不得用其他笔答题；
3．考生答题必须答在答题卷上，保持卷面清洁，不要折叠，不要弄破，答在试卷和草稿纸上一律无效。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。每小题只有一个选项是正确的，把正确选项前的
字母填涂在答题卷相应位置上）
1.若 是一元二次方程，则m的值是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．±1
【解答】解：由题意得：
解得，m＝1．
故选：C．
【知识点】一元二次方程的定义
2.若 x＝﹣1 是关于 x 的一元二次方程 ax2+bx﹣2＝0（a≠0）的一个根，则 2019﹣2a+2b 的值等于
（ ）
A．2015 B．2017 C．2019 D．2022
【解答】解：将x＝﹣1代入方程，得：a﹣b﹣2＝0，
则a﹣b＝2，
所以原式＝2019﹣2（a﹣b）
＝2019﹣2×2
＝2019﹣4
＝2015，
故选：A．
【知识点】一元二次方程的解
3.要得到抛物线y＝（x﹣1）2+3，可以将y＝x2（ ）
A．向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度
B．向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度
C．向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度
D．向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度
【解答】解：将y＝x2的图象向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度可得抛物线y＝（x﹣1）
2+3，
故选：C．
【知识点】二次函数图象与几何变换4.若关于x的一元二次方程x2+7x+4＝0的两根是x
1
、x
2
，则 + 的值为（ ）
A．﹣ B． C． D．
【解答】解：根据题意得x+x＝﹣7，xx＝4，
1 2 1 2
所以 + ＝ ＝﹣ ．
故选：A．
【知识点】根与系数的关系
5.二次函数y＝x2+bx的对称轴为直线x＝1，若关于x的方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围
内有实数解，则t的取值范围是（ ）
A．t≥﹣1 B．﹣1≤t＜3 C．﹣1≤t＜8 D．t＜3
【解答】解：二次函数y＝x2+bx的对称轴为直线x＝1，
则x＝﹣ ＝﹣ ＝1，解得：b＝﹣2，
二次函数的表达式为y＝x2﹣2x，顶点为：（1，﹣1），
x＝﹣1时，y＝4，x＝4时，y＝8，
t的取值范围为顶点至y＝8之间的区域，即﹣1≤t＜8；
故选：C．
【知识点】二次函数的性质、抛物线与x轴的交点
6.在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和 6个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机
摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是 0.3，则估计
盒子中大约有红球（ ）
A．16个 B．14个 C．20个 D．30个
【解答】解：由题意可得： ＝0.3，
解得：x＝14，
故选：B．
【知识点】利用频率估计概率
7.已知⊙O 的半径为 1，点 P 到圆心 O 的距离为 d，若关于 x 的方程 x2﹣2x+d＝0 有实根，则点 P
（ ）
A．在⊙O的内部 B．在⊙O的外部
C．在⊙O上 D．在⊙O上或⊙O的内部
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+d＝0有实根，
∴根的判别式△＝（﹣2）2﹣4×d≥0，
解得d≤1，
∴点在圆内或在圆上，故选：D．
【知识点】点与圆的位置关系、根的判别式
8.如图，四边形ABCD的顶点A，B，C在圆上，且边CD与该圆交于点E，AC，BE交于点F．下列角中，
弧AE所对的圆周角是（ ）
A．∠ADE B．∠AFE C．∠ABE D．∠ABC
【解答】解：弧AE所对的圆周角为∠ABE和∠ACE．
故选：C．
【知识点】圆周角定理
9.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD＝160°，则∠BAD的度数是（ ）
A．60° B．80° C．100o D．120°
【解答】解：∵∠BOD＝160°，
∴∠BAD＝ BOD＝80°，
故选：B．
【知识点】圆周角定理、圆内接四边形的性质、圆心角、弧、弦的关系
10.如图，在正方形 ABCD中，顶点A，B，C，D在坐标轴上，且 B（2，0），以AB为边构造菱形
ABEF，将菱形ABEF与正方形ABCD组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转45°，则第2020次旋转
结束时，点F 的坐标为（ ）
2020A．（﹣2，2 ） B．（﹣2，﹣2 ） C．（2 ，﹣2） D．（﹣2 ，﹣2）
【解答】解：∵点B（2，0），
∴OB＝2，
∴OA＝2，
∴AB＝ OA＝2 ，
∵四边形ABEF是菱形，
∴AF＝AB＝2 ，
∴点F（2 ，2），
由题意可得每次8旋转一个循环，
∴2020÷8＝252…4，
∴点F 的坐标与点F坐标关于原点对称，
2020
∴点F 的坐标（﹣2 ，﹣2）
2020
故选：D．
【知识点】规律型：点的坐标、坐标与图形变化-旋转、菱形的性质
11.如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（ ，1），下列结论：其中正
确的个数是（ ）
a＜0；
①b＜0；
②c＜0；
③
④ ＞0；
a+b+c＜0．
⑤
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【解答】解：抛物线开口向下，因此①正确，
对称轴为x＝ ＞0，可知a、b异号，a＜0，则b＞0，因此②不正确；
抛物线与y轴交点在正半轴，因此c＞0，故③不正确；抛物线的顶点坐标为（﹣ ， ），又顶点坐标为（ ，1），因此④正确；
抛物线与x轴的一个交点在x轴的负半轴，对称轴为x＝ ，因此当x＝1时，y＝a+b+c＞0，
因此⑤不正确；
综上所述，正确的结论有2个，
故选：B．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与系数的关系
12.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y＝ax2+bx的对称轴为x＝ ，且经过点（4，10），点A
（n，1）（n＞0）在此抛物线上，点P是抛物线上的动点，P的横坐标为m（0＜m＜n），过点P作
PB⊥x轴，垂足为B，PB交OA于点C，点O关于直线PB的对称点为D，连接CD，AD，则当m＝（
）时，△ACD的周长最小．
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
【解答】解：∵y＝ax2+bx的对称轴为x＝ ，且经过点（4，10），
∴
解得：
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣ x
∴点A（n，1）在此抛物线上
∴1＝n2﹣ n
解得：n＝﹣ 或n＝2
∵n＞0
∴n＝2
∴A（2，1）如图，过点A作AE⊥x轴
∵点O关于直线PB的对称点为D
∴CO＝CD
∵△ACD的周长＝AC+CD+AD
＝AC+CO+AD
＝AO+AD
而AO＝ ＝
∴当AD最小时，△ACD的周长最小
∴此时点D与点E重合
∴m＝1
故选：A．
【知识点】坐标与图形变化-对称、二次函数的性质、轴对称-最短路线问题、二次函数图象上点的坐标特
征
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案直接填在答题卡相应位置上）
13.在一个不透明的布袋中装有黄、白两种颜色的球共40个，除颜色外其他都相同，小王通过多次摸球试
验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.35左右，则布袋中黄球可能有 个．
【解答】解：设袋子中黄球有x个，根据题意，得：
＝0.35，
解得：x＝14，
即布袋中黄球可能有14个，
故答案为：14．
【知识点】利用频率估计概率
14.王老师假期中去参加高中同学聚会，聚会时，所有到会的同学都互相握了一次手，王老师发现共握手
435次，则参加聚会的同学共有多少人？设参加聚会的同学共有 x人，则根据题意，可列方程：
﹣ ．
【解答】解：设参加聚会的同学共有x人，
依题意，得： x（x﹣1）＝435．
故答案为： x（x﹣1）＝435．
【知识点】由实际问题抽象出一元二次方程15.已知点A（﹣5，m）、B（﹣3，n）都在二次函数y＝ x2﹣5的图象上，那么m、n的大小关系是：m
n．（填“＞”、“＝”或“＜”）
【解答】解：二次函数y＝ x2﹣5可知，抛物线开口向上，抛物线的对称轴为y轴，
所以当x＜0时，y随x的增大而减小，
所以m＞n．
故答案为＞．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
16.如图，正方形ABCD中，AB＝4，E，F分别是边AB，AD上的动点，AE＝DF，连接DE，CF交于点
P，过点P作PK∥BC，且PK＝2，若∠CBK的度数最大时，则BK长为 ．
【解答】解：∵正方形ABCD中，AD＝CD，∠A＝∠CDA＝90°，
∵AE＝DF，
∴△ADE≌△DCF（SAS），
∴∠ADE＝∠DCF，
∵∠ADE+∠CDE＝90°，
∴∠DCF+∠CDE＝90°，
∴∠CPD＝90°，
∴点P在以CD为直径的半圆上运动，
取CD的中点O，过O作OM⊥CD，且点M在CD的右侧，MO＝2，
连接OP，KM，
∵PK∥BC，BC⊥CD，
∴PK⊥CD，
∴PK∥OM，PK＝OM＝2，
∴四边形POMK是平行四边形，
∵CD＝AB＝4，
∴OP＝ CD＝2，
∴OP＝OM，
∴四边形POMK是菱形，
∴点K在以M为圆心，半径＝2的半圆上运动，
当BK与⊙M相切时，∠CBK最大，
∴∠BKM＝90°，
∵BM＝ ＝2 ，
∴BK＝ ＝6，故答案为：6．
【知识点】切线的性质、菱形的判定与性质、正方形的性质
三、解答题（本大题共6小题，共70分。把解答过程写答题卡相应位置上，解答时应写
出必要的计算过程、推演步骤或文字说明。作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔）
17.已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣ ）＝0．
（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长a＝3，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求k值多少？
【解答】（1）证明：∵△＝（2k+1）2﹣4×4（k﹣ ）＝4k2﹣12k+9＝（2k﹣3）2≥0，
∴该方程总有实数根；
（2）x＝
∴x＝2k﹣1，x＝2，
1 2
∵a、b、c为等腰三角形的三边，
∴2k﹣1＝2或2k﹣1＝3，
∴k＝ 或2．
【知识点】一元二次方程的解、根的判别式、三角形三边关系、等腰三角形的性质
18.某旅馆有客房120间，每间房的日租金为160元，每天都客满．经市场调查发现，每天房间的出租率
不低于60%，客房每天的出租数量y（间）与每间房的日租金x（元）的关系如下表：
客房日租金x（元） 160 170 180 190
客房出租数量y（间） 120 114 108 102
（1）观察表格中的数据，求出客房每天的出租数量 y（间）与每间房的日租金x（元）之间的函数关
系式，并求出自变量x的取值范围．
（2）设客房的日租金总收入为W（元），不考虑其它因素，旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时，
客房的日租金总收入最高？最高总收入为多少？
【解答】解：（1）由已知图表可知：客房日租金每增加10元，则客房每天少出租6间，
∴设y＝kx+b（k≠0），
把（160，120），（170，114）代入得 ，解得： ，
∴每间房日租金x（元）与客房每天的出租数量y（间）的函数关系式为y＝﹣ x+216，
∵0≤y≤120，
∴0≤﹣ x+216≤120，
∴160≤x≤360；
（2）由已知图表可知：客房日租金每增加10元，则客房每天少出租6间，
∴设每间客房的日租金提高10x元，则每天客房出租数会减少6x间．
则W＝（160+10x）（120﹣6x），
即W＝﹣60（x﹣2）2+19440．
∵x≥0，且120﹣6x≥0，
∴0≤x≤20．
当x＝2时，y ＝19440．
最大
这时每间客房的日租金为160+10×2＝180（元）．
答：每间客房的日租金提高到180元时，客房日租金的总收入最高；
【知识点】二次函数的应用
19.一项答题竞猜活动，在6个式样、大小都相同的箱子中有且只有一个箱子里藏有礼物．参与选手将回
答5道题目，每答对一道题，主持人就从6个箱子中去掉一个空箱子．而选手一旦答错，即取消后面
的答题资格，从剩下的箱子中选取一个箱子．
（1）一个选手答对了4道题，求他选中藏有礼物的箱子的概率；
（2）已知一个选手选中藏有礼物的箱子的概率为 ，则他答对了几道题？
【解答】解：（1）∵共6个箱子，答对了4道取走4个箱子，
∴还剩2个箱子，
∴一个选手答对了4道题，求他选中藏有礼物的箱子的概率 ；
（2）∵一个选手选中藏有礼物的箱子的概率为 ，
∴他从5个箱子中选择一个箱子，
∴则他答对了1道题；
【知识点】概率公式
20.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ABC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥BC，交BC
的延长线于点 E．
（1）求证：ED为⊙O的切线；
（2）若AB＝10，ED＝2CE，求BC的长．【解答】证明：（1）连接OD，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBE，
∴∠ODB＝∠DBE，
∴OD∥BE，
∴∠ODE+∠E＝180°，
∴∠ODE＝90°，
即OD⊥DE，且OD是半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）过点O作OM⊥BE于M，且OD⊥DE，∠E＝90°，
∴四边形ODEM是矩形，
∴DE＝OM，OD＝EM，
∵AB＝10，
∴OD＝EM＝5＝OB，
∴CM＝5﹣CE，
∵OM⊥BC，
∴CM＝BM＝5﹣CE，
∵OB2＝OM2+BM2，
∴25＝4CE2+（5﹣CE）2，
∴CE＝2，CE＝0（不合题意舍去）
∴BC＝2BM＝6．
【知识点】圆周角定理、切线的判定与性质
21.某超市为了销售一种新型饮料，对月销售情况作了如下调查，结果发现每月销售量 y（瓶）与销售单
价x（元）满足一次函数关系．所调查的部分数据如表：（已知每瓶进价为4元，每瓶利润＝销售单价
﹣进价）
单价x（元） 5 6 7 …
销售量y（瓶） 150 140 130 …（1）求y关于x的函数表达式．
（2）该新型饮料每月的总利润为w（元），求w关于x的函数表达式，并指出单价为多少元时利润最
大，最大利润是多少元？
（3）由于该新型饮料市场需求量较大，厂家进行了提价．此时超市发现进价提高了 a元，每月销售量
与销售单价仍满足第（1）问函数关系，当销售单价不超过14元时，利润随着x的增大而增大，求a
的最小值．
【解答】解：（1）设y关于x的函数表达式为y＝kx+b（k≠0）
由题意得：
解得：
∴y关于x的函数表达式为y＝﹣10x+200．
（2）由题意得：
w＝（x﹣4）（﹣10x+200）
＝﹣10x2+240x﹣800
＝﹣10（x﹣12）2+640
∵﹣10＜0
∴当x＝12时，w有最大值640元．
∴w关于x的函数表达式为w＝﹣10x2+240x﹣800，单价为12元时利润最大，最大利润是640
元．
（3）由题意得：
w＝（x﹣4﹣a）（﹣10x+200）
＝﹣10x2+（240+10a）x﹣800
二次函数的对称轴为：x＝12+
∵﹣10＜0，当销售单价不超过14元时，利润随着x的增大而增大
∴12+ ≥14
∴a≥4
∴a的最小值为4．
【知识点】二次函数的应用
22.如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，AD＝6cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向终点B匀速
运动，同时点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向终点C匀速运动，P、Q中有一点到达终点时，另
一点随之停止运动．
（1）几秒后，点P、D的距离是点P、Q的距离的2倍；
（2）几秒后，△DPQ是直角三角形；
（3）在运动过程中，经过 秒，以P为圆心，AP为半径的⊙P与对角线BD相切．【解答】解：（1）设t秒后点P、D的距离是点P、Q距离的2倍，
∴PD＝2PQ，∴PD2＝4 PQ2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，
∴PD2＝AP2+AD2，PQ2＝BP2+BQ2，
∵PD2＝4 PQ2，
∴62+（2t）2＝4[（8﹣2t）2+t2]，
解得：t＝ ，t＝ ；
1 2
∵0≤t≤4，
∴t＝ ，
答： 秒后，点P、D的距离是点P、Q的距离的2倍；
（2）∵△DPQ是直角三角形，
∴∠DPQ＝90°或∠DQP＝90°．
当∠DPQ＝90°时，∠ADP＝∠BPQ，
∴tan∠ADP＝tan∠BPQ，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得：t＝ ，或t＝0（舍去）；
当∠DQP＝90°时，∠CDQ＝∠BQP，
∴tan∠CDQ＝tan∠BQP，
∴ ＝ ，
即 ＝ ，
解得：t＝11﹣ ，或t＝11+ （舍去），
综上所述，当运动时间为 秒或（11﹣ ）秒时，△DPQ是直角三角形．
（3）设经过x，秒以P为圆心，AP为半径的⊙P与对角线BD相切于点E，连接PE、PD，
如图所示：
则PE⊥BD，PE＝AP，
在Rt△APD和Rt△EPD中， ，
∴Rt△APD≌Rt△EPD（HL），
∴AD＝ED＝6，∵BD＝ ＝ ＝10，
∴BE＝BD﹣ED＝4，
∵PE＝PA＝2x，则BP＝8﹣2x，
在Rt△BPE中，由勾股定理得：（2x）2+42＝（8﹣2x）2，
解得：x＝ ，
即经过 秒，以P为圆心，AP为半径的⊙P与对角线BD相切，
故答案为： ．
【知识点】一元二次方程的应用、切线的判定、勾股定理
