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第14 章 整式的乘法与因式分解（单元测试·拔尖卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2021·河北·中考真题）不一定相等的一组是（ ）
A． 与 B． 与
C． 与 D． 与
2．（21·22七年级下·山东菏泽·期中）计算正确的是
A． B．
C． D．
3．（22·23七年级下·江苏宿迁·期中）方程 ， ，则 （ ）
A．1 B．0 C．1.5 D．2
4．（22·23九年级下·河北衡水·阶段练习）化简 的结果为（ ）
A．1 B． C． D．
5．（22·23八年级上·福建厦门·期中）计算 得到的多项式不含x、y的一次项，
其中a，b是常数，则 的值为（ ）
A．1 B． C． D．7
6．（22·23七年级下·湖南永州·期末）关于多项式 的值说法正确的是（ ）
A．非负数 B．不少于1 C．不大于1 D．不低于
7．（2022·河北石家庄·模拟预测）若整式 是完全平方式，下列不满足要求的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·台湾·模拟预测）利用乘法公式判断，下列等式何者成立？（ ）A． B．
C． D．
9．（21·22七年级下·浙江宁波·期末）下列各数中，不能整除 的是（ ）
A．78 B．79 C．80 D．81
10．（22·23七年级下·安徽宿州·期中）已知， ， ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2022七年级·江苏·专题练习）满足：（ ﹣1）2012＜33018的最大正整数n是 ．
12．（2022七年级上·上海·专题练习）已知 ，用含x，y的代数式表示 为
；
13．（21·22七年级下·贵州铜仁·阶段练习）
14．（2021·湖南永州·中考真题）若x，y均为实数， ， ，则
； ．
15．（22·23七年级下·山东青岛·期中）小亮在计算 的值
时，把 的值看错了，其结果等于25，细心的小敏把正确的 的值代入计算， 其结果也是25．为了探究
明白，她又把 代入，结果还是25．则 的值为 ．
16．（22·23七年级下·浙江湖州·期末）两块能够完全重合的特制直角三角板如图所示放置，其中
，且A，O，C三点在同一直线上，连结 ， ．若 ，阴影部分两个三角
形面积之和等于 ，则一块直角三角板的面积为 ．17．（22·23下·随州·一模）设 ，可以这样求 和
的值：令 ，则 ；令 ，则
，这种求代数值的方法叫“赋值法”．运用这种方法，可求得式子
的值为 ．
18．（22·23七年级下·河北邯郸·期中）如图，将边长为 的大正方形分成四部分．
探究：
（1）请用不同的方法表示这个大正方形的面积，从而得到的等量关系是 ．
应用：
（2）利用（1）中的结论计算 ；若x满足 ，则
．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（23·24上·东城·期中）计算：（1） ； （2） ．
20．（8分）（23·24八年级上·湖北武汉·阶段练习）计算：
（1） ； （2） ．
21．（10分）（23·24八年级上·山东烟台·期中）把下列各式因式分解：
（1） ； （2） ．
22．（10分）（2023上·广东广州·七年级广州华侨外国语学校校考期中）先化简，再求值：
（1） ，其中 ．
（2） ，其中 ．
23．（10分）（23·24八年级上·吉林长春·期中）在分解因式时，小彬和小颖对同一道题产生了分歧，
下面是他们的解答过程，请认真阅读并完成相应的任务．
题目：将 分解因式
小彬的解法： 小颖的解法：= 第1步
= 第1步
= 第2步
= 第2步
= 第3步
= 第3步
任务：
（1）经过讨论，他们发现两人中只有一人的解答正确，你认为解答正确的同学是______；
而另一位同学的解答是从第______步开始出错的，你认为这位同学解答过程错误的原因是______．
（2）按照做错同学的思路，写出正确的解答过程；
24．（12分）（23·24九年级上·湖北荆州·阶段练习）阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式
变形为 的形式，然后由 就可求出多项式 的最小值．
例：求多项式 的最小值．
解： ．因为 所以
当 时， ，因此 有最小值，最小值为1，即 的最小值为1．
通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题：
（1）【理解探究】已知代数式 ，求A的最小值；（2）【类比应用】张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是 米、
米，乙菜地的两边长分别是 米、 米，试比较这两块菜地的面积 和 的大小，并
说明理由；
（3）【拓展升华】如图， 中， ， cm， cm，点M，N分别是线段AC和
BC上的动点，点M从A点出发以 的速度向C点运动；同时点N从C点出发以 的速度向B点运
动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为t，则当t的值为多少时， 的面
积最大，最大值为多少？
参考答案：
1．D
【分析】分别根据加法交换律、合并同类项、同底数幂的乘法以及去括号法则计算各项后，再进行判
断即可得到结论．
解：A. = ，故选项A不符合题意；
B. ，故选项B不符合题意；
C. ，故选项C不符合题意；
D. ，故选项D符合题意，
故选：D．【点拨】此题主要考查了加法交换律、合并同类项、同底数幂的乘法以及去括号法则，熟练掌握相关
运算法则是解答此题的关键．
2．D
【分析】根据科学记数法、单项式乘法、积的乘方、合并同类项的法则分解判断即可得解．
解：A． ，故A项错误；
B． ，故B项错误；
C． ，故C项错误；
B． ，故D项正确；
故选；D．
【点拨】本题主要考查了科学记数法、单项式乘法、积的乘方、合并同类项，熟记同类项的定义及合
并同类项的法则是解题的关键．
3．A
【分析】由题意可得： ， ，进而可得 ， ，求出 ， ，代
入式子求解即可．
解：∵ ， ，即： ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
故选：A．
【点拨】本题考查幂得乘方的逆运用，将方程变形为： ， 是解决问题的关
键．
4．D
【分析】根据乘方的性质，同底数幂乘除法的运算，求解分子和分母，然后化简求解即可．
解：
故选：D【点拨】此题考查了同底数幂乘除法的运算，解题的关键是熟练掌握相关运算法则．
5．B
【分析】先利用多项式与多项式乘法法则，展开后合并同类项，再令含x、y的一次项的系数均为零，
列方程组求解即可得到答案．
解：
=
=
展开后多项式不含x、y的一次项，
，
，
，
故选B．
【点拨】此题考查了多项式与多项式的乘法，熟练掌握多项式与多项式乘法法则、合并同类项、“不
含某一项则某一项的系数为零”的性质，是解答此题的关键．
6．D
【分析】利用完全平方公式将多项式变形，再根据平方的非负性，即可求出答案．
解：
，
， ，
，即多项式 的值不低于 ，
故选：D．
【点拨】本题考查了完全平方公式，非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解题关键．
7．D
【分析】根据完全平方公式的要求进行判断即可．
解：∵ ，
∴ = ，是完全平方式，
∴A不符合题意；
∵ ，
∴ = ，是完全平方式，
∴B不符合题意；
∵ ，
∴ = ，是完全平方式，
∴C不符合题意；
∵ ，
∴ = ，不是完全平方式，
∴D符合题意；
故选D．
【点拨】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的要求是解题的关键．
8．C
【分析】根据完全平方公式的特征进行判断，然后根据公式特点进行计算．
解： A、 不符合完全平方公式的特征且计算错误，完全平方公式的中间一项为
，所以不符合题意；
B、 不符合完全平方公式特征且计算错误，最后一项应为 ，所以不符合题意；
C、 ，所以符合题意；
D、 不符合完全平方公式特征且计算错误，最后一项应为 ，所以不符合题意．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了完全平方公式的特征，识记且熟练运用完全平方公式：
是解答问题的关键．
9．A
【分析】直接利用提取公因式以及平方差公式分解因式，进而得出答案．
解：803﹣80
＝80×（802﹣1）
＝80×（80+1）×（80﹣1）
＝80×81×79，
故不能整除803﹣80的是78，
故选：A．
【点拨】本题主要考查了提取公因式以及平方差公式分解因式，正确运用公式法分解因式是解题关键．
10．B
【分析】第一个等式左边利用平方差公式分解因式，把 代入求出 的值，联立求出
与 值，即可求出答案．
解： ， ，
，
联立 解得： ，
解得 ， ，
．
故选：B．
【点拨】此题考查了因式分解的应用，，以及解二元一次方程组，熟练掌握公式是解本题的关键．
11．12
【分析】由幂的乘方的逆运算进行计算，再根据无理数的估算，即可求出答案．
解：∵（ ﹣1）2012＜33018，即（ ﹣1）2012＜ ，
∴（ ﹣1）2012＜（ ）2012，
即（ ﹣1）2012＜ 2012，
∵5＜ ＜6，
∴ ≤5，
∴n≤12；
故答案为：12．
【点拨】本题考查了无理数的估算，幂的乘方逆运算法则，以及解不等式，解题的关键是掌握所学的
知识，正确地进行解题．
12．
【分析】根据有理数乘方的逆运算、幂的乘方的逆用、积的乘方与幂的乘方法则即可得．
解： ，
，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了有理数乘方的逆运算、幂的乘方的逆用、积的乘方与幂的乘方，熟练掌握各运算
法则是解题关键．
13．【分析】根据题目所给的信息得 表示 ， 表示 ，在进行单项式乘
以单向式的运算即可．
解：根据题意，得 表示 ， 表示 ，则
= × = ．
故答案为： ．
【点拨】此题考查了新定义下的单项式乘以单项式的运算，解题的关键是读懂题意，根据题目所给的
信息写出相应的式子．
14． 2021 1
【分析】根据同底数幂乘法、积的乘方、幂的乘方等计算法则进行等量代换即可．
解：∵ ，
∴ ， ，
，
故答案为：2021；
∵ ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：1．
【点拨】本题主要考查同底数幂乘法、积的乘方、幂的乘方等知识点，熟练掌握以上知识点的运算法
则是解决本题的关键．
15．【分析】先根据整式混合运算的法则化简原式，得出这个结果与n的取值无关，进一步即可求出m．
解：
，
所以这个结果与n的取值无关，是25，
∵ ，
∴ ；
故答案为： ．
【点拨】本题考查了整式的混合运算，正确理解题意、熟练掌握整式混合运算的法则是解题的关键．
16．16
【分析】根据三角形的面积计算公式以及阴影部分两个三角形面积之和等于 得到
，根据两块能够完全重合的特制直角三角板得到 ，故
，根据完全平方公式得到答案．
解：阴影部分两个三角形面积之和等于 ，
，
由于两块能够完全重合的特制直角三角板，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故答案为： ．
【点拨】本题主要考查完全平方公式的应用，掌握完全平方公式是解题的关键．
17．
【分析】根据题意可知 ，令 ，可求出 ，由此即可求解．
解：令 ，则 ，
令 ，则 ，
∴令 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查赋值法求代数式的值，理解题意，掌握赋值法的计算方法，整式的运算法则是
解题的关键．
18．
【分析】（1）由大的正方形的面积的两种不同的计算方法可得公式 ；
（2）把 化为 ，再利用公式进行计算即可；再设设 ， ，可得
， ，则 ，求解 ，从而可得答案．
解：（1）大正方形的面积为 或 ，
∴ ；
故答案为： ，（2） ；
∵ ，
设 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ； ．
【点拨】本题考查的是完全平方公式的几何意义，完全平方公式的灵活应用，理解公式是解本题的关
键．
19．（1） ；（2）
【分析】（1）先计算积的乘方与幂的乘方，再计算整式的乘法即可得；
（2）根据多项式除以单项式法则即可得．
（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
【点拨】本题考查了积的乘方与幂的乘方、整式的乘法、多项式除以单项式，熟练掌握各运算法则是
解题关键．
20．（1） ；（2） ．
【分析】（ ）直接根据多项式乘多项式的运算法则计算即可；
（ ）利用平方差公式，完全平方公式和多项式的乘法法则计算，再合并同类项即可．
（1）解：原式 ，
；（2）解：原式 ，
，
．
【点拨】此题考查了平方差公式，完全平方公式和多项式乘多项式的运算，掌握其运算法则是解题的
关键．
21．（1） ；（2）
【分析】（1）先利用平方差公式，再利用完全平方公式继续分解即可解答；
（2）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．
解：（1）原式 2
；
（2）原式
．
【点拨】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必
须先提公因式．
22．（1） ；（2） ;3
【分析】（1）先把整式进行化简，然后代值计算．
（2）把含 的同类项进行合并，然后代值计算较为方便．
解：（1）
将 代入上式，得：原式
（2）
将 代入上式，
原式
【点拨】此题主要考查了整式的化简求值和整式的混合运算，正确运算法则和平方差公式是解题关键．
23．（1）小彬，1， 没有变号；（2） ，过程见分析
【分析】（1）按照分解因式的正确步骤对计算过程进行逐步检查即可；
（2）根据平方差公式正确写出完整的解答过程即可．
（1）解：小彬的解答正确；
小颖的解法从第1步出错，出错的原因是 没有变号．
（2）解：
；
【点拨】本题考查了因式分解的基本步骤，关键在于熟练掌握因式分解的运算，并对解题过程进行正
确检查．
24．（1） ；（2） ；（3）当t的值为4时， 的面积最大，最大值为
【分析】（1）直接利用完全平方公式可得答案；（2）先求出 ，再利用完全平方公式即可求解；
（3）根据题意表示出 ，再利用完全平方公式即可求解．
（1）解：
∵ ，
∴ ，
∴当 时， 有最小值，最小值为－9
即A的最小值为－9；
（2）解：∵ ， ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴
（3）解：由题意得： ， ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， 有最大值，最大值为16．
即当t的值为4时， 的面积最大，最大值为 ．【点拨】本题考查的是非负数的性质，利用完全平方公式分解因式进而求解代数式的最值，灵活运用
完全平方公式是解本题的关键．
