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第 21 章 一元二次方程能力提升测试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一．单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。）
1．用配方法将方程x2﹣4x+3＝0化成（x+a）2＝b的形式，则a﹣b的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．﹣3 D．﹣7
【答案】C
【解答】解：∵x2﹣4x+3＝0，
∴（x﹣2）2＝1，
∴a＝﹣2，b＝1，
∴a﹣b＝﹣2﹣1＝﹣3，
故选：C．
2．已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx﹣4m+5＝0有两个相等的实数根，则m的值为（
）
A．m＝﹣5 B．m＝1 C．m＝﹣5或m＝1 D．m＝﹣1或m＝5
【答案】C
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2mx﹣4m+5＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣2m）2﹣4×1×（﹣4m+5）＝0，即m2+4m﹣5＝0，
∴m＝﹣5或m＝1．
故选：C．
3．要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，
赛程计划安排3天，每天安排12场比赛，设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的
关系式为（ ）
A． B．
C．x（x+1）＝3×12 D．x（x﹣1）＝3×12
【答案】B
【解答】解：根据题意得： x（x﹣1）＝3×12．
故选：B．
4．小明在研学实践中发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是21，则这种植物每个支干长出的小分支个数是
（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】D
【解答】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，
由题意得：1+x+x2＝21，
整理得：x2+x﹣20＝0，
解得：x ＝﹣5（不符合题意，舍去），x ＝4，
1 2
故选：D．
5．若（a2+b2+1）（a2+b2﹣1）＝15，则a2+b2＝（ ）
A．4 B．5 C．±4 D．±5
【答案】A
【解答】解：设 a2+b2＝y，则原方程换元为 （y+1）（y﹣1）＝15，
∴y2＝16，
解得：y ＝4，y ＝﹣4，
1 2
即 a2+b2＝4或 a2+b2＝﹣4（不合题意，舍去），
∴a2+b2＝4．
故选：A．
6．在一幅长70cm、宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边制成一幅矩形挂图，如果
要使整个挂图的面积是4500cm2，设金色纸边的宽为x cm，那么满足的方程是（ ）
A．x2+60x﹣250＝0 B．x2﹣60x﹣250＝0
C．x2+120x﹣1000＝0 D．x2﹣120x﹣1000＝0
【答案】A
【解答】解：由题意得：
（70+2x）（50+2x）＝4500，
整理得：x2+60x﹣250＝0，
故选：A．
7．若m是方程x2﹣3x﹣2＝0的根，则 的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3
【答案】B【解答】解：
＝
＝
＝
＝
＝ ，
∵m2﹣3m＝2，
∴ ，
故选：B．
8．若M＝2x2+x，N＝x2﹣3x﹣2，则M与N的大小关系为（ ）
A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．无法确定
【答案】D
【解答】解：由题意，作差：M﹣N＝（2x2+x）﹣（x2﹣3x﹣2）
＝x2+4x+2
＝（x+2）2﹣2．
令M﹣N＝0，
∴（x+2）2﹣2＝0．
∴x＝﹣2± ．
考察函数y＝（x+2）2﹣2，
∵a＝1＞0，
∴当x＜2﹣ 或x＞2+ 时，y＞0；
当x＝﹣2± 时，y＝0；当2﹣ ＜x＜2+ 时，y＜0．
∴当x＜2﹣ 或x＞2+ 时，M＞N；
当x＝﹣2± 时，M＝N；
当2﹣ ＜x＜2+ 时，M＜N．
故选：D．
9．已知a，b是方程x2+6x﹣2＝0的两个实数根，则a2+7a+b的值为（ ）
A．﹣4 B．﹣9 C．0 D．9
【答案】A
【解答】解：因为a，b是方程x2+6x﹣2＝0的两个实数根，
所以a+b＝﹣6，
将x＝a代入方程得，
a2+6a﹣2＝0，
即a2+6a＝2，
所以a2+7a+b＝a2+6a+a+b＝2+（﹣6）＝﹣4．
故选：A．
10．对于任意4个实数 a，b，c，d定义一种新的运算 ＝ad﹣bc，例如： ＝4×6
﹣2×1＝22，则关于x的方程 ＝0的根的情况为（ ）
A．只有一个实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．没有实数根
【答案】C
【解答】解：根据题意得x•（x﹣k）﹣2×4＝0，
整理得x2﹣kx﹣8＝0，
∵Δ＝（k）2﹣4×1×（﹣8）＝k2+32＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：C．11．如图，M是△ABC三条角平分线的交点，过M作DE⊥AM，分别交AB、AC于D，E
两点，设BD＝a，DE＝b，CE＝c，关于x的方程ax2+bx+c＝0（ ）
A．一定有两个相等实根
B．一定有两个不相等实根
C．有两个实根，但无法确定是否相等
D．无实根
【答案】A
【解答】解：∵AM平分∠BAC，DE⊥AM，
∴∠ADM＝∠AEM，MD＝ME＝ DE＝ b，
∴∠BDM＝∠MEC＝90°+ ∠BAC，
∴∠BMC＝90°+ ∠BAC，
∴∠BDM＝∠MEC＝∠BMC，
∵M是△ABC的内角平分线的交点，
∴△DBM∽△MBC，
同理可得出：△BMC∽△MEC，
∴△DBM∽△EMC，
∴ ，
∴BD•EC＝MD•ME，
即：ac＝ b2，
即Δ＝b2﹣4ac＝0，
故选：A．
12．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；
②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；
③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；
④若x 是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则
0
⑤存在实数m、n（m≠n），使得am2+bm+c＝an2+bn+c；
其中正确的（ ）
A．只有①②④ B．只有①②④⑤ C．①②③④⑤ D．只有①②③
【答案】B
【解答】解：①若a+b+c＝0，则x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，
由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知Δ＝b2﹣4ac≥0，故①正确；
②∵方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，
∴Δ＝0﹣4ac＞0，
∴﹣4ac＞0，
则方程ax2+bx+c＝0的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，故②正确；
③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，
则ac2+bc+c＝0，
∴c（ac+b+1）＝0
若c＝0，等式仍然成立，
但ac+b+1＝0不一定成立，故③不正确；
④若x 是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，
0
则由求根公式可得：
x ＝ 或x ＝
0 0
∴2ax +b＝ 或2ax +b＝﹣
0 0
∴
故④正确．
⑤令y＝ax2+bx+c，则存在实数m、n（m≠n），使得am2+bm+c＝an2+bn+c；正确．
故选：B．二．填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．已知关于x的一元二次方程2x2+mx﹣6＝0的一个根是3，则m的值是 ﹣ 4 ．
【答案】﹣4．
【解答】解：将x＝3代入方程2x2+mx﹣6＝0得：2×32+3m﹣6＝0，
解得：m＝﹣4．
故答案为：﹣4．
14．关于x的一元二次方程x2+2x＝1﹣m有实数根，则m的取值范围是 m ≤ 2 ．
【答案】m≤2．
【解答】解：∵方程x2+2x＝1﹣m有实数根，
∴Δ≥0，
∴4﹣4×1×（m﹣1）≥0，
∴4﹣4m+4≥0，
∴m≤2，
故答案为：m≤2．
15．若a，b是一元二次方程x2﹣5x﹣2＝0的两个实数根，则 的值为 5 ．
【答案】5．
【解答】解：∵a，b是一元二次方程x2﹣5x﹣2＝0的两个实数根，
∴a+b＝5，a2﹣5a﹣2＝0，即：a2＝5a+2，
∴ ，
故答案为：5．
16．已知a，b是方程x2﹣3x+2＝0的两个根，则数据：4，a，b，7的平均数是 ．
【答案】 ．
【解答】解：∵a，b是方程x2﹣3x+2＝0的两个根，
∴a+b＝ ，
则 ，即4，a，b，7的平均数是 ．
故答案为： ．
17．已知（a2+b2+1）（a2+b2﹣2）＝0，则a2+b2的值是 2 ．
【答案】2．
【解答】解：设x＝a2+b2（x≥0），则原方程转化为（x+1）（x﹣2）＝0．
所以x+1＝0或x﹣2＝0．
所以x＝﹣1（舍去）或x＝2．
所以a2+b2＝2．
故答案为：2．
18．新定义：关于x的一元二次方程 与 称为“同族二次
方程”．例如：5（x﹣6）2+7＝0与6（x﹣6）2+7＝0是“同族二次方程”．现有关于x
的一元二次方程（m+2）x2+（n﹣4）x+8＝0与2（x﹣1）2+1＝0是“同族二次方程”，
则代数式mx2+nx+2029的最小值是 202 4 ．
【答案】2024．
【解答】解：∵（m+2）x2+（n﹣4）x+8＝0与2（x﹣1）2+1＝0是“同族二次方程”，
∴（m+2）x2+（n﹣4）x+8＝（m+2）（x﹣1）2+1，
∴（m+2）x2+（n﹣4）x+8＝（m+2）x2﹣2（m+2）x+m+3，
∴ ，
解得 ，
∴mx2+nx+2029
＝5x2﹣10x+2029
＝5（x﹣1）2+2024，
则代数式mx2+nx+2024能取的最小值是2024．
故答案为：2024．
三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（8分）解一元二次方程：
（1）5x（x+1）＝3x+3；（2）3x2+6x﹣4＝0．
【答案】（1）x ＝﹣1，x ＝ ；
1 2
（2）x ＝﹣1+ ，x ＝﹣1﹣ ．
1 2
【解答】解：（1）∵5x（x+1）＝3x+3，
∴5x（x+1）﹣3（x+1）＝0，
则（x+1）（5x﹣3）＝0，
∴x+1＝0或5x﹣3＝0，
解得x ＝﹣1，x ＝ ；
1 2
（2）∵3x2+6x﹣4＝0，
∴3x2+6x＝4，
则x2+2x＝ ，
∴x2+2x+1＝ +1，即（x+1）2＝ ，
∴x+1＝± ，
∴x ＝﹣1+ ，x ＝﹣1﹣ ．
1 2
20．（8分）关于x的一元二次方程x2﹣6x+k﹣1＝0．
（1）如果方程有实数根，求k的取值范围；
（2）如果x ，x 是这个方程的两个根，且 ，求k的值．
1 2
【答案】（1）k≤10；
（2）k＝﹣11．
【解答】解：（1）∵方程有实数根，
∴Δ＝（﹣6）2﹣4（k﹣1）≥0，
解得：k≤10；
（2）∵x ，x 是这个方程的两个根，
1 2
∴x +x ＝6，x x ＝k﹣1，
1 2 1 2
∵ ，∴（x +x ）2+x x ＝24，
1 2 1 2
62+k﹣1＝24，
解得：k＝﹣11．
21．（8分）根据等式和不等式的性质，可以得到：若a﹣b＞0，则a＞b；若a﹣b＝0，则
a＝b；若a﹣b＜0，则a＜b．这是利用“作差法”比较两个数或两个代数式的值的大小．
（1）若a﹣b+2＞0，则a+1 ＞ b﹣1．（填“＞”“＝”或“＜”）
（2）已知A＝5m2﹣7m+2，B＝7（m2﹣m）+4，试比较A，B的大小．
【答案】（1）＞；
（2）B＞A．
【解答】解：（1）∵a﹣b+2＞0，
∴a+1＞b﹣1，
故答案为：＞；
（2）∵A＝5m2﹣7m+2，B＝7（m2﹣m）+4，
∴B﹣A＝7m2﹣7m+4﹣5m2+7m﹣2
＝2m2+2，
∵2m2+2≥2＞0，
∴B＞A．
22．（10分）某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了33m的铁栅栏，准备用这些
铁栅栏为贫困户靠墙（墙长15m）围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如图所示）．
（1）若要建的矩形养鸡场面积为90m2，求鸡场的长（AB）和宽（BC）；
（2）该扶贫单位想要建一个100m2的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由．
【答案】（1）鸡场的长（AB）为15m，宽（BC）为6m．
（2）该扶贫单位不能建成一个100m2的矩形养鸡场．
【解答】解：（1）设BC＝x m，则AB＝（33﹣3x）m，
依题意，得：x（33﹣3x）＝90，
解得：x ＝6，x ＝5．
1 2
当x＝6时，33﹣3x＝15，符合题意，当x＝5时，33﹣3x＝18，18＞15，不合题意，舍去．
答：鸡场的长（AB）为15m，宽（BC）为6m．
（2）不能，理由如下：
设BC＝y m，则AB＝（33﹣3y）m，
依题意，得：y（33﹣3y）＝100，
整理，得：3y2﹣33y+100＝0．
∵△＝（﹣33）2﹣4×3×100＝﹣111＜0，
∴该方程无实数根，即该扶贫单位不能建成一个100m2的矩形养鸡场．
23．（10分）（1）下面是小李探索 的近似值的过程，请补充完整：
我们知道面积是2的正方形的边长是 ，且 ，设 ，可画出示意图．
由面积公式，可得x2+2x+1＝2．
略去x2，得方程2x+1＝2．
解得x＝0.5，即 1. 5 ．
上述过程中，主要运用的数学思想是 数形结合思想 ．
（2）容易知道 ，设 ，请类比（1）的方法，探究 的近似值．
（要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程）
【答案】（1）1.5，数形结合思想；
（2）1.75．
【解答】解：（1）由题意知 1.5，主要运用的数学思想是数形结合思想；
故答案为：1.5，数形结合思想；（2）如图，设 ，则（2﹣x）2＝3，
根据图中面积可得：22﹣2x﹣2x+x2＝3，
∴4﹣4x+x2＝3，
略去x2得方程 4﹣4x＝3，
∴x＝0.25，
∴ ．
24．（10分）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m，n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，
∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0，
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，
∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，
∴n＝4，m＝4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知△ABC的三边长a，b，c，且a，b满足a2﹣2ab+2b2﹣4b+4＝0，若△ABC的
周长为偶数，求△ABC的周长；
（2）已知a2b2+a2+9b2﹣8ab+1＝0，求a2+b2的值．
【答案】（1）6；
（2） ．
【解答】解：（1）∵a2﹣2ab+2b2﹣4b+4＝0，
∴（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣4b+4）＝0，
∴（a﹣b）2+（b﹣2）2＝0，
∴a﹣b＝0，b﹣2＝0，
∴a＝2，b＝2，∴0＜c＜4，
∵△ABC的周长为偶数，
∴c＝2，
∴△ABC的周长为：a+b+c＝2+2+2＝6；
（2）∵a2b2+a2+9b2﹣8ab+1＝0，
∴（a2+9b2﹣6ab）+（a2b2﹣2ab+1）＝0，
∴（a﹣3b）2+（ab﹣1）2＝0，
∴（a﹣3b）2＝0，（ab﹣1）2＝0，
∴a＝3b，ab＝1，即3b2＝1，
∴ ，
综上，a2+b2的值为 ．
25．（10分）2023年10月26日，神舟十七号发射升空，与空间站构成三船三舱构型．某
纪念品商店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已知该模型
每件成本40元，当商品售价为70元时，十月售出256件，十一月、十二月销量持续走
高，十二月售出400件．
（1）求十一、十二这两个月的月平均增长率．
（2）为了让利于爱好者，商店决定在每月售出400件的基础上降价销售，若模型单价
每降低1元，可多售出5件，要使商店仍能获利9000元，每件模型应降价多少元？
【答案】当商品降价10元时，商场获利9000元．
【解答】解：（1）设十一、十二这两个月的月平均增长率为x，根据题意可得：
256（1+x）2＝400，
解得：x ＝0.25＝25%，x ＝﹣ （不合题意舍去）．
1 2
答：二、三这两个月的月平均增长率为25%；
（2）设当商品降价m元时，商品获利9000元，根据题意可得：
（70﹣40﹣m）（400+5m）＝9000，
解得：m ＝10，m ＝﹣70（不合题意舍去）．
1 2
答：当商品降价10元时，商场获利9000元．
26．（10分）已知x ，x 是关于x的一元二次方程（m+2）x2+2（m﹣2）x+m+10＝0的两
1 2实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）已知等腰△ABC的底边BC＝4，若x ，x 恰好是△ABC另外两边的边长，求这个
1 2
三角形的周长．
（3）阅读材料：若△ABC三边的长分别为a，b，c，那么可以根据秦九韶﹣海伦公式可
得：S△ABC ＝ ，其中p＝ ，在（2）的条件下，若∠BAC
和∠ABC的角平分线交于点I，根据以上信息，求△BIC的面积．
【答案】（1）m≤﹣1且m≠﹣2；
（2）10；
（3） ．
【解答】解：（1）由题意得：△＝b2﹣4ac＝[2（m﹣2）]2﹣4（m+2）（m+10）≥0，
且m+2≠0，
化简得：64m≤﹣64，
解得：m≤﹣1且m≠﹣2；
（2）由题意知：x ，x 恰好是等腰△ABC的腰长，
1 2
∴x ＝x ，
1 2
∵x ，x 是关于x的一元二次方程（m+2）x2+2（m﹣2）x+m+10＝0的两实数根，
1 2
∴△＝b2﹣4ac＝[2（m﹣2）]2﹣4（m+2）（m+10）＝0，
解得m＝﹣1，
∴x2﹣6x+9＝0，
解得x ＝x ＝3，
1 2
∵BC＝4，
∴△ABC的周长为：3+3+4＝10；
（3）由（2）知：△ABC的三边长为3，3，4，∴p＝ ＝5，
∴S△ABC ＝ ＝ ＝ ，
过I分别作IF⊥AB，ID⊥BC，IE⊥AC，垂足分别为F，D，E，
∵I是△ABC角平分线的交点，
∴IF＝ID＝IE，
∴S△ABC ＝ ＝ ＝ ＝
，
解得ID＝ ，
∴S△BIC ＝ ．
