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2025-2026 学年八年级下册数学单元自测
第二十一章 四边形·能力提升
建议用时：60分钟，满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．九边形的外角和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查多边形外角和性质，任意凸多边形的外角和都等于 ，与边数无关，所以九边形的外角
和为 ．
【详解】解：根据多边形外角和定理，任意多边形的外角和等于 ，
九边形的外角和为 ．
故选：B．
2．下列说法不正确的是（ ）
A．平行四边形的对边相等 B．菱形的对角相等
C．矩形的对角线互相垂直 D．正方形的四条边均相等
【答案】C
【分析】本题考查平行四边形的性质，正方形的性质，菱形的性质，矩形的性质，根据平行四边形、菱形、
矩形、正方形的性质，逐一判断各选项的正误
【详解】解：∵平行四边形的对边相等，∴A选项说法正确
∵菱形是特殊的平行四边形，平行四边形对角相等，∴菱形的对角相等，B选项说法正确
∵矩形的对角线相等且互相平分，不一定互相垂直，∴C选项说法不正确
∵正方形的四条边均相等，∴D选项说法正确
故选：C．
3．如图， 两地被房子隔开，小明通过下面的方法估测 间的距离：先在 外选一点 ，然后步测
出 的中点分别为 ，并步测出 的长约为45米，由此可知 间的距离约为（ ）A．22.5米 B．45米 C．85米 D．90米
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，熟练掌握和运用三角形中位线定理是解决本题的关键．
利用三角形中位线定理即可求得．
【详解】解：∵ ， 分别是 ， 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ (米) ．
故选：D．
4．如图，在菱形 中，对角线 与 相交于点 ，垂足为 ，连接 ，若
，则 的长是（ ）
A．4 B．4.8 C．5 D．6
【答案】D
【分析】此题考查菱形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，熟记菱形的性质是解题的关键．
利用菱形的性质得到 ，利用勾股定理求出 ，可得 ，
然后根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解即可．
【详解】解：∵四边形 是菱形，
∴ ，
∴ ，∴ ．
∵ ，
∴ ．
故选D．
5．如图，在 中，点 为 的中点， ， ，则下列说法错误的是（ ）
A．当 时，四边形 是矩形
B．当 时，四边形 是矩形
C．当 时，四边形 是菱形
D．当 时，四边形 是菱形
【答案】B
【分析】本题考查平行四边形性质，菱形判定，矩形判定，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理
等，根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案．
【详解】解：∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴ 是等腰三角形，
∵点 为 的中点，
∴ ，即 ，
∴四边形 是矩形，故选项A正确；
当 时，则 ，
∴ ，
若四边形 是矩形，则 ，
∴ （不满足三角形内角和定理），故选项B错误；
当 时，
∵点 为 的中点，∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴四边形 是菱形，故选项C正确；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
当 时，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点 为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是菱形，故选项D正确．
故选：B．
6．如图，菱形 的面积为30，点E，F，G，H分别为 ， ， ， 的中点，则四边形
的面积为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
【答案】B
【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形中位线定理，矩形的性质与判定，连接 交于点O，
根据菱形的性质可得 ， ，再由三角形中位线定理可得 ，
则可证明四边形 是矩形，据此根据矩形面积计算公式求解即可．
【详解】解：如图所示，连接 交于点O，∵四边形 是菱形，
∴ ，
又∵菱形 的面积为30，
∴ ，即 ；
∵点 分别为 的中点，
∴ 分别是 的中位线，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴平行四边形 是矩形，
∴ ．
故选：B．
7．如图，在 中，点 是 中点，连接 并延长，交 的延长线于点 ，点 在边 上，且
，连接 ，若 的面积为2，则四边形 的面积为（ ）
A．5 B． C．6 D．
【答案】A
【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的中线，三角形全等的判定和性质，以及三角形的面积；
根据题意证明 ，从而得到 ， ，再根据 ，
，即可求得四边形 的面积．
【详解】解：如图所示，连接 ，∵在 中，点 是 中点，
∴ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
8．如图，矩形 中，点 是 延长线上一点，且 ，点 是 中点，若 ， ，
则 的长度是（ ）
A．4 B．5 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，连接、 ，由矩形的性质可得 ， ， ，求出 ，得
到 ，由勾股定理可得 ，由等腰三角形的性质可得 ，由直角三角形的性质可得
，从而得出 ，再证明 ，即可得出结果，熟练掌
握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，连接 、 ，
∵四边形 为矩形，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，点 是 中点，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
9．如图，正方形 的边长为3，在 边上取一点 ，连接 ，将 沿直线 翻折到正方形
所在的平面内，得 ，延长 交 于点 ，作 ，垂足为 ．若 ，则
的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查正方形的性质、翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识．关键是
利用翻折性质和全等三角形得到线段相等，再通过勾股定理求出未知线段长度，最后用面积法求出 的
长．
【详解】解：如图，连接 ．
∵正方形 的边长为3， ，
∴ ， ， ；
∵将 沿直线 翻折得 ，∴ ， ， ，
∴ ；
在 和 中 ，
∴ ，
∴ ；
设 ，则 ， ；
在 中，由勾股定理得： ，
即 ，
解得 ；
在 中， ．
∵ ， ，
∴ ，
解得 ；
故选：B．
10．如图，矩形 中， 为 中点，过点 的直线分别与 、 交于点 、 ，连结 交
于点 ，连结 、 ．若 ， ，则下列结论中正确结论的是（ ）
① ；②四边形 是菱形；③ ； ④ ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，线
段垂直平分线的性质，含30度直角三角形的性质等一系列知识，灵活运用是解题的关键．判定 是
等边三角形，得 ， ；由 得 ， 进而可得 垂直平分 ，求得
；再证明 ，可得四边形 是平行四边形，由平行四边形的性质
得 是等边三角形，从而可判断①；由平行的性质得 是等边三角形，从而有 ，则可判
断②；利用含30度直角三角形的性质得 ，即可判断③；设 的面积为
a，则得 的面积为 ，从而 ，则得矩形面积为 ，从而 ，
则可判断④；最后得到答案．
【详解】解：∵四边形 是矩形， O是 中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， 是等边三角形，
∴ ， ；
∵ ，
∴ ， 垂直平分 ，
∴ ， ，
∵四边形 为矩形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ；故①是正确的；∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴四边形 是菱形，故②正确；
∵ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，故③正确，
设 的面积为a，
∵ ，
则 ，
而M为 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故④错误；
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．如图，在 中， ， 是 的中点， ，则 的长为 ．【答案】4
【分析】本题主要考查直角三角形斜边上中线的性质；熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解．
【详解】解：∵ ， 是 的中点， ，
∴ ，
故答案为：4．
12．在四边形 中，对角线 ， 相交于点O．如果 ，请你添加一个条件，使得四边形
成为平行四边形，这个条件可以是 ．（写出一种情况即可）
【答案】 （答案不唯一）
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定方法，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
根据平行四边形的判定方法即可得结论．
【详解】解： 添加 ，
∵ ，
∴四边形 的一组对边平行且相等，故四边形 是平行四边形；
添加 ，
∵ ，
∴四边形 的两组对边分别平行，故四边形 是平行四边形；
添加 ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴四边形 的两组对角分别相等，故四边形 是平行四边形；
添加
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴四边形 的两组对角分别相等，故四边形 是平行四边形．添加 或 ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 的两组对边分别平行，故四边形 是平行四边形；
添加 ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 的对角线互相平分，故四边形 是平行四边形；
添加 ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 的对角线互相平分，故四边形 是平行四边形；
或 ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 的两组对边分别平行，故四边形 是平行四边形；故答案为： 或 或 或 或 或 或
或 或 或 ．
13．如图，在 中， 是 的平分线， ， ，则 ．
【答案】2
【分析】本题考查了平行四边形的性质和角平分线的性质以及等角对等边；
根据平行四边形的性质得到 ， ，从而得到 ，由角平分线的性质得到
，进而推出 ，从而得到 ，即可求解．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 是 的平分线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
14． 图1中的五边形花环是由五个全等等腰三角形组成的．图2是它的示意图，则
．【答案】 /36度
【分析】本题考查等边对等角，正多边形的外角，根据题意易得中间五边形为正五边形， 为其的一
个外角，根据正五边形的每个外角的度数相等，求出 的度数，再根据等边对等角，结合三角形的内
角和定理，进行求解即可．
【详解】解：由题意，中间五边形为正五边形， 为其的一个外角，
∴ ，
由题意和图可知： 为等腰三角形，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ．
15．如图，在菱形 中，点 为对角线 上的动点，若 ， ，当 的最小
值为 时，则 ．
【答案】 / 度
【分析】过 作 于 ，得出 ，根据含30度角的直角三角形的性质勾股定理，求得
，根据 的最小值为 ，得到 点在 上，即可得出 ．
【详解】解：过 作 于 ，
四边形 是菱形， ， ，
， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
即 点在 上时，可有 的值最小，且最小值为 ，
此时 ，
故答案为： ．
16． 如图，在正方形 中， ，点F从点A出发，沿 运动到点C，点E
是边 的中点，连接 ， ， ，当 为等腰三角形时， 的长为 ．
【答案】1或2或
【分析】本题考查的是正方形的性质，等腰三角形的定义，勾股定理的应用，分三种情况再结合勾股定理
建立方程求解即可.
【详解】解：根据题意，可知：在正方形 中， ，点E是边 的中点，
∴ ， ， ．
当 时，设 ，
∴ ．
， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
当 时，
∴ ，∴ ，
当 时，
∴ ，
∴ ，
综上所述， 的长为1或2或 ．
故答案为：1或2或
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；
共9小题，共72分）
17．（6分）如图，将两块完全相同的含有 角的直角三角尺 、 在同一平面内按如图方式摆放，
其中点 、 、 、 在同一直线上，连接 、 ．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)已知 ，若四边形 是菱形，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行四边形的证明，菱形的性质，含 度角的直角三角形的性质．
（1）由题意得： ，推出 ，得 ，即可求证；
（2）由题意得 ，推出 ，得到 ， ，推出
，据此计算即可求解．
【详解】（1）证明：由题意得： ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形；
（2）解：∵四边形 是菱形，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
18．（6分）如图是 正方形网格，已知格点A，B，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图．
(1)在图1中，以 为一边，作一个周长为 的矩形；
(2)在图2中，以 为对角线，作一个菱形 ，使其面积为4．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了网格作图，菱形、矩形的性质，勾股定理等知识．熟练掌握菱形、矩形的性质是解题
的关键．
（1）由矩形的周长为 ，则两邻边之和为 ，根据勾股定理可得 ，所以矩形另一条直角边
的长度为 ，由此作图即可；
（2）根据菱形的面积等于对角线之积的一半，易求得菱形另一条对角线的长为2，由此作图即可．
【详解】（1）解：如图所示，矩形 即为所求．（2）解：如图所示，菱形 即为所求．
19．（6分）如图，四边形 的内角 的平分线与外角 的平分线相交于点F．
(1)若 ， ，求 的度数；
(2)已知四边形 中， ， ，求 的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了平行线的性质、多边形内角和外角，熟练掌握四边形的内角和是 是解题的关键．
（1）根据题意可得 ，根据角平分线的定义可得 ，根据两直线平行，同位
角相等可得 ；
（2）根据角平分线的定义可得 ， ，根据四边形内角和定理可得
，结合三角形的外角等于不相邻的两个内角之和即可求解．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）解：∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∵ ， ， ，
∴ ，
即 ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，
∴ ．
20．（6分）如图，在四边形 中， ， ，E为边 上一点， ，连接 、
．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)若 平分 ， ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析；
(2)4．
【分析】本题考查了直角梯形，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握矩形的判定和性质定理是解题的
关键．
（1）根据平行四边形的判定定理得到四边形 是平行四边形，根据矩形的判定定理得到四边形
是矩形；
（2）由（1）知，四边形 是矩形，求得 ，根据平行线的性质得到
，根据角平分线的定义得到 ，等量代换得到 ，求得
，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴四边形 是矩形；
（2）解：由（1）知，四边形 是矩形，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
21．（8分）如图，在四边形 中， ， ，对角线 交于点 ， 平分
，过点 作 交 的延长线于点 ，连接 ．
(1)求证：四边形 是菱形；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（ ）先证明四边形 是平行四边形，进而即可求证；
（ ）利用菱形的性质和勾股定理求出 ，再根据直角三角形的性质即可求解；
本题考查了等腰三角形的判定，菱形的判定和性质，直角三角形的性质等，掌握菱形的判定和性质是解题
的关键．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
又∵ ，
∴平行四边形 是菱形；
（2）解：∵四边形 是菱形， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
22．（8分）如图， ， ， 平分 ， 平分 ， ， ，
.
(1)求证：四边形 是正方形．
(2)连接 ，若 ，求线段 的长度．
【答案】(1)答案见解析(2)
【分析】本题考查平行四边形的性质，正方形的性质和判定，勾股定理，含 角直角三角形的性质；
（1）由四边形 是平行四边形， 平分 ， 平分 ，得到 ，再由 ，
， ，可得四边形 是菱形，进而得证四边形 是正方形；
（2）过点E作 ，由（1）可得 是等腰直角三角形， 是含 角直角三角形，设
，利用 ，可求出 ，进而求出 .
【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴四边形 是菱形，
又∵ ，
∴菱形 是正方形.
即四边形 是正方形.
（2）解：过点E作 ，如图所示，
∵四边形 是正方形，
∴ ，∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴在 中，设 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ .
23．（8分）综合与实践
如图，在长方形纸片 中， ，P为长方形纸片 边 上的一动点，连接 ，将
沿 折叠，点B落在点 处．(1)如图1，当点 落在边 上时， 的长为________．
(2)如图2，连接 ，当点 落在 上时，求 的长．
(3)如图3，当点P与点C重合时， 与 交于点E，求 的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定，灵活运用勾股定理列
方程是解决问题的关键．
（1）根据折叠的性质与勾股定理即可求解；
（2）根据折叠的性质得 ， ， ，再设 ，则
，由勾股定理列方程即可求解；
（3）根据折叠的性质得出 ，再由长方形可得 ，则可得 ，设
，则 ，由勾股定理列方程求解出 ，即可求出 的面积．
【详解】（1）解：∵四边形 是长方形，
∴ ， ， ，
由折叠可得， ， ，
∴在 中， ，
∴ ．
故答案为： ．
（2）解：∵四边形 是长方形，
∴ ， ,
由折叠可得， ， ， ，
∴ ， ，
设 ，则 ，
在 中， ，即 ，解得 ，
∴ 的长为 ．
（3）解：由折叠可得 ，
∵四边形 是长方形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中， ，即 ，
解得 ，即 ，
∴ ，
∴ 的面积为 ．
方法总结
1. 抓折叠本质：折叠即轴对称，对应线段相等、对应角相等，折痕垂直平分对应点连线。
2. 利用矩形性质：结合矩形四个角为直角、对边平行的性质，寻找全等或直角三角形。
解题技巧
1. 标等量：在图上清晰标注折叠前后的对应边、对应角，以及由折叠产生的新等量关系。
2. 设元列方程：常设未知线段长为x，在直角三角形中利用勾股定理建立方程求解。
24．（12分）【问题解决】
（1）如图 ，在矩形 中，点 ， 分别在边 上， ，垂足为点 ．求证：
．【拓展提升】
（2）如图 ，在正方形 中，点 ， 分别在边 上， ，延长 到点 ，使
，连接 ，求证： ．
【类比迁移】
（3）如图 ，在菱形 中，点 ， 分别在边 上， ， ， ，求
的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】（1）由矩形的性质可得 则 ，再由 ，可得 ，
则 ，根据等角的余角相等得 ，即可；
（2）利用“ ”证明 ，可得 ，由 ，可得 ，利用“ ”证明
，则 ，由正方形的性质可得 ，根据平行线的性质，即可得证；
（3）延长 到点 ，使 ，连接 ，由菱形的性质可得 ， ，则
，推出 ，由全等的性质可得 ， ，进而推
出 是等边三角形，再根据线段的和差关系计算求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）证明： 四边形 是正方形，
， ， ，
，，
，
又 ，
，
点 在 的延长线上，
，
，
，
，
，
，
∴ ；
（3）解：如图，延长 到点 ，使 ，连接 ，
四边形 是菱形，
， ，
，
，
， ，
，
，
是等边三角形，
，
．
25． （12分）在菱形 中， ，点 在对角线 上运动（点 不与点 ，点 重合）， ，以点 为顶点作菱形 ，且菱形 与菱形 的形状、
大小完全相同，即 ，在菱形 绕点 旋转的过程中， 与边 交于点
与边 交于点 ．
特例感知】
（1）如图1，当 ， 时，则 ， ， 之间满足的数量关系是_____；
【类比探究】
（2）如图2，菱形的边长为8， ，求 的值（用含 的代数式表示）；
【拓展应用】
（3）在（2）的条件下，连接 ，求 的长度．
【答案】（1） ；（2） ；（3） 的长度为 或 ．
【分析】（1）连接 ，当 ， 时，四边形 和 均为正方形，且 为 的中
点，可证得 （ ），得出 ，即可求得答案；
（2）过点 作 ，交 于 ，可证得 、 、 均为等边三角形，得出
，再证得 （ ），即可得出答案；
（3）连接 交 于 ，运用勾股定理求得 ，分两种情况：当点 在线段 上时，当点 在
线段 上时，分别求得 即可．
【详解】解：（1）当 ， 时，
四边形 和 均为正方形，且 为 的中点，如图1，连接 ，则 ， ， ，
，
（ ），
，
，
；
故答案为： ；
（2）如图2，过点 作 ，交 于 ，
四边形 和四边形 是形状、大小完全相同的菱形，且边长为
8， ，
， ，
、 均为等边三角形，
， ，
，
，
是等边三角形，
，
，，
（ ），
，
，
；
（3）连接 交 于 ，
四边形 是菱形，
，即 ，
，
，
，
当点 在线段 上时，如图2，过点 作 于 ，则 ，
，
由（2）知： ，
，
，
；
当点 在线段 上时，如图3，则 ，
，
，
；
综上所述， 的长度为 或 ．
