文档内容
第23 章 旋转（单元测试·基础卷）
一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求)
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图， 是由 绕点 旋转得到的， ， ，则旋转角的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，将 绕点 顺时针旋转，点 的对应点为点 ，点 的对应点为点 ，当旋转角为90°，
， ， 三点在同一直线上时，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在 中， 将 绕点C 按逆时针方向旋转 得到 ，
此时点 恰好在AB边上，则点 与点 B 之间的距离为（ ）
A．12 B．6 C． D．5．如图，将 绕点D顺时针旋转，旋转角为 ，得到 ，则下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，将 先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度再绕原点O旋转 ，得到
，则点 A的对应点 的坐标是（ ）
A．(0,4) B． C． D．
7．将 绕点 旋转一定的角度后使点 落在点 处，点 在落在点 处，且 、 、 在同一直线
上， 、BD交于点 ，CD、 交于点 ， 、BD交于点 ，连接AB、 则下列结论错误的是
（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，等腰 的顶点 在 轴上，顶点 在 轴上，已知 ，将
绕点 顺时针旋转，每次旋转 ，若旋转后点 的对应点 的坐标为 ，则旋转的次数可能是
（ ）A．71 B．72 C．73 D．74
9．如图是某公司设计的一款酒杯的设计平面图，为求出酒杯平面图中的杯子这部分面积，小明找到了设
计图纸上的部分数据： 是抛物线 与 轴交于点A、B时的 轴上方的部分，且点 ，
将 绕点B旋转 得 ， 与 轴交于另一点C，将 绕点C旋转 得 ，且 ，则图中阴影
部分的面积为（ ）
A．24 B． C．28 D．32
10．四边形具有不稳定性，教材是在平行四边形概念的基础上学习矩形定义的，教材提出的情景问题是：
“在这些平行四边形中，有没有一个面积最大的平行四边形”，因此通过平行四边形变形可以得到矩形．
某同学将平行四边形 的 边与 边分别绕点A、点 逆时针旋转，得到矩形 ，若此时
、 、 恰好共线， cm， cm，那么边 扫过的面积为（ ）
A． B． C． D．8二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．若点 ， 关于原点对称，则 ．
12．将点 绕点 逆时针旋转 ，所得点 的坐标是 ．
13．如图，平面直角坐标系中，点 ， ， ， ，连接 、 ．将线段 绕
着某一点旋转一定角度，使其与线段 重合（点 与点 重合，点 与点 重合），则这个旋转中心的
坐标为 ．
14．如图，在 中， ， ，将 绕点 逆时针旋转 角度 得
到 ，若 ，则 度．
15．如图，正方形 的边长为 ， 为 边上一点， ． 绕着点 逆时针旋转后与
重合，连结 ，则 ．
16．如图， 绕点A按逆时针方向旋转 后与 重合，则 ．17．直线 与x轴、y轴分别交于点A、B，点B绕点A旋转60°后对应点的纵坐标是
．
18．如图， 是等边三角形 内一点，将 绕点 顺时针旋转 得到 ，连接 ，若
，则四边形 的面积为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（本小题满分8分）如图， 与 关于O点成中心对称，点E、F在线段 上，且
．
求证： ．20．（本小题满分8分）如图， 是等边三角形 内一点，将线段AD绕点 顺时针旋转60°，得到线
段 ，连接 ．
(1)求证： ；
(2)连接DE，若 ，求 的度数．
21．（本小题满分10分）如图，在 中， ，将 绕点 逆时针旋转 ，得到 ，
连接 ， ．
(1)判断 的形状；(2)求证： 平分 ．
22．（本小题满分10分） 中， ， ，将 绕点A逆时针旋转 后至
．
(1)求 的度数；(2)若 ，线段 与 ， 分别交于 、 ，求 的长．
23．（本小题满分10分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，D为BC边上一点（不与点B，
C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，连接EC，则：
(1)①∠ACE的度数是 ；②线段AC，CD，CE之间的数量关系是 ．
拓展探究：
(2) 如图2，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD
绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，请写出∠ACE的度数及线段AD，BD，CD之间的数量关系，
并说明理由；
24．（本小题满分12分）（1）如图①， 与 都是等腰直角三角形，且 ， ，
将 绕点A旋转到图②的位置时，连接 ， 相交于点P．
①求证： ．②连接 ，猜想线段 、 、 之间有怎样的数量关系？并加以证明；
（2）将 绕点A旋转到图③的位置时，连接 ， 相交于点P，连接 ，猜想线段 、 、
之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A C D A B C D D A
1．D
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后
可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 度后与自身重合．
【详解】解：A．该图形是轴对称图形但不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．该图形是轴对称图形但不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．该图形是轴对称图形但不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
2．A
【分析】本题主要考查了求旋转角，三角形内角和定理，先根据三角形内角和定理求出 ，再结
合图形可知，旋转角即为 的度数，据此可得答案．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ 是由 绕点 旋转得到的，
∴旋转角的度数是 ，
故选：A．
3．C
【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，根据旋转的性质可知 ，
，即可得出答案．
【详解】由旋转可知 ， ，
∴ ．
故选：C．
4．D
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，旋转性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，先
由旋转性质得 ， 证明 和 是等边三角形．再运用勾
股定理列式计算，即可作答．
【详解】解：如图，连接∵将 绕点C 按逆时针方向旋转 得到 ，
∴ ，
和 是等边三角形．
∴ ，
∵
∴
∴
∴
．
故选：D．
5．A
【分析】根据旋转的性质即可解答．
【详解】解：∵ 绕点D顺时针旋转，旋转角为 ，得到 ，
∴ ， ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ 和 不平行．
故A不正确，符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，解题的关键是掌握旋转前后对应角相等，对应边相等．
6．B
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转和平移，根据“上加下减，左减右加”的平移规律先求出
平移后点A对应点的坐标，再根据绕原点旋转180度即相当于点A与点 关于原点对称即可得到答案．
【详解】解；由题意得，点A的坐标为 ，
∴将 先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度后点A对应点坐标为(0,4)，∴再绕原点O旋转 ，点 A的对应点 的坐标是 ，
故选；B．
7．C
【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于
旋转角；旋转前、后的图形全等．
先根据旋转的性质得到 ， ， ，则可对 、 选项进行判断；再利用三角
形内角和定理证明 ，则可对 选项进行判断；由于 ， ，只有当
时， 与 全等，即 时， ，从而可对 选项进行判断．
【详解】解： 绕点 旋转一定的角度后得到 ，
， ， ，所以 、 选项不符合题意；
，
，
，
，所以 选项不符合题意；
在 和 中，
， ，
当 时， 与 全等，此时 ，但是已知中无此条件，所以 选项符合题
意．
故选： ．
8．D
【分析】本题考查了旋转的性质，规律探索，循环节的计算，根据题意，第一次旋转落在第一象限，第二
次旋转落在第四象限，第三次旋转落在第三象限，第四次回到启动点，由此得到旋转的图形按照循环节为
4进行规律旋转，除以4看余数即可．
【详解】根据题意，第一次旋转落在第一象限，第二次旋转落在第四象限，第三次旋转落在第三象限，第
四次回到启动点，由此得到旋转的图形按照循环节为4进行规律旋转，除以4看余数即可，
∵ 在第四象限，
∴除以4后的余数为2，
∵ ，
故选D．．
9．D
【分析】根据旋转可知，AB=BC=CD=4，得出点B的坐标，把点A、B的坐标代入函数关系式，得出二次
函数关系式，从而求出二次函数的顶点坐标，即可求阴影部分的面积．
【详解】∵根据旋转可知，AB=BC=CD=4，点A的坐标为（-3，0），
∴点B的坐标为（1，0），
把点A、B的坐标代入 得：
，
解得： ，
∴函数关系式为：
，
∴顶点坐标为（-1，4），
∵根据旋转可知， 与x轴围成的图形面积等于 与x轴围成的图形面积，
∴图中阴影部分的面积为： ，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质和二次函数的性质，熟练掌握图形的变换是解题的关键．
10．A
【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
连接 ， ，以A为圆心， 的长为半径，作 ,以B为圆心， 的长为半径，作 ,平行四边形 的面积就是 扫过的面积.
【详解】解：连接 ， ，以A为圆心， 的长为半径，作 ,以B为圆心， 的长为半径，作
,
扫过的面积为 , 及 ， 围成的面积，
即平行四边形 的面积就是 扫过的面积.
由旋转可知， ， ，
是平行四边形，
中， ，
，
，
故答案为：A．
11．
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，代数式求值，根据关于原点对称的点横纵坐标互为相
反数求出 的值，再代入代数式求值即可求解，掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键．
【详解】解：∵点 ， 关于原点对称，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
12．
【分析】本题考查了坐标与图形变化 旋转．过点 作 轴，点 和点 分别作 的垂线，垂足分别为 和 ，得到 ， ，再证明 ，得到 ， ，然
后写出点 的坐标即可．
【详解】解：过点 作 轴，点 和点 分别作 的垂线，垂足分别为 和 ，如图，
∴ ，
∵点 ，点 ，
∴ ， ，
∵点 绕点 逆时针旋转 ，得到点 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴点 的坐标是 ，即 ，
故答案为： ．
13．(2,0)
【分析】本题考查坐标与图形变化 旋转．根据图形旋转的性质即可解决问题．
【详解】解：因为线段 由线段 旋转得到，且点 与点 重合，点 与点 重合，
所以 的垂直平分线和 的垂直平分线都经过旋转中心．如图所示，旋转中心的坐标为 ．
故答案为： ．
14．60
【分析】本题考查了旋转的性质、平行线的性质．先根据旋转的性质可得 ，再根据平行线
的性质可得 ，然后根据角的和差可得 ，由此即可得．
【详解】解：由旋转的性质得： ，
，
，
，
，即旋转角为 ，
，
故答案为：60．
15．
【分析】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、勾股定理，根据正方形的性质、勾股定理，计算
，根据旋转的性质，得出 ， ，推出 ，
根据勾股定理计算 即可，熟练掌握旋转的性质、正方形的性质、勾股定理是解题的关键．
【详解】解：∵正方形 的边长为 ， 为 边上一点， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 绕着点 逆时针旋转后与 重合，∴ ， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
故答案为： ．
16． /62度
【分析】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，熟知旋转角的定义与旋转后对应边相等是解题的关
键．
根据旋转的性质知 ， ，然后利用三角形内角和定理进行求解．
【详解】∵ 绕点 按逆时针方向旋转 后与 重合，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
17． 或
【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征及坐标与图形变化 旋转．根据题意画出示意图，结合所
画图形对顺时针旋转和逆时针旋转进行分类讨论即可解决问题．
【详解】解：将 代入一次函数解析式得，
，
所以点 的坐标为 ．
将 代入一次函数解析式得，
，
解得 ，
所以点 的坐标为 ．
当点 绕点 逆时针旋转 时，如图所示，因为点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
所以 ， ，
在 中，
，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
又因为 ，
所以点 和点 关于 轴对称，
所以点 的纵坐标为 ．
当点 绕点 顺时针旋转 时，如图所示，
在 中，
，
由旋转可知，
， ，
所以 ，
即 轴，
所以点 的纵坐标为 ．综上所述，点 绕点 旋转 后对应点的纵坐标是 或 ．
故答案为： 或 ．
18．
【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，旋转的性质以及勾股定理及其逆定理，连接 ，过点P作
于点D，先证 是等边三角形，求出 的面积，再证 ，求出 的面积，
最后利用 即可求解．
【详解】解：如图，连接 ，过点P作 于点D，
∵ 绕点 顺时针旋转 得到 ，
∴ ， ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
19．见解析
【分析】依据题意， 与 关于O点成中心对称，证出 ， ，再根据条件
AF=CE，推出OF=OE，最后证出四边形 是平行四边形，从而证出结论．
【详解】证明：如图，连接 、 ，
∵ 与 关于O点成中心对称，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ， ．
【点睛】此题考查了中心对称图形的性质，平行四边形的判定及性质，熟练掌握中心对称图形的性质是解
题关键．
20．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据等边三角形的性质得出 ，根据旋转的性质得出
，求出 ，证 即可；
（2）求出 ，进而求出 ，即可得出答案．
【详解】（1）证明： 是等边三角形，，
线段AD绕点 顺时针旋转60°，得到线段 ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
；
（2）解：如图，连接DE，
，
为等边三角形，
，
又 ，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、旋转的性质和等边三角形的性质等知识点，能灵活运用性
质定理进行推理是解此题的关键．
21．(1)等边三角形
(2)证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，图形的旋转，旋转前后找到相
应的等量关系是解答本题的关键．
（1）依题意，将 绕点 逆时针旋转 ，得到 ，找到旋转前后等量关系 ，
，即可判断 的形状；
（2）由旋转关系，可以得到 ， ， ，并且 为等边三角形，故可以证明，得到 平分 ．
【详解】（1）解： 绕点 逆时针旋转 ，
， ，
为等边三角形；
（2）证明： 绕点 逆时针旋转 ，
， ，
，
，
为等边三角形，
，
在 和 中，
，
，
，
平分 ．
22．(1)
(2)
【分析】本题考查旋转的性质，三角形内角和，等腰直角三角形的性质，含 角的直角三角形的性质，
勾股定理，熟练掌握特殊角度的直角三角形的三边关系是解题的关键．
（1）利用旋转的性质和三角形内角和直接求解即可；
（2）过点 作 于点 ，作 于点 ，利用等腰直角三角形的性质，含 角的直角三
角形的性质得出 ， ， ，结合 ，求出 ，得
，再利用 和 分别是等腰直角三角形和含 角的直角三角形，利用特殊三边关系即可求解．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
由旋转知： ，
∴ ；
（2）解：如图，过点 作 于点 ，作 于点 ，
由旋转知 ， ， ，
∴ ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
得： ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
23．(1)60°，AC＝DC＋EC；
(2)∠ACE＝45°，
【分析】（1）证明△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质解答；
（2）根据全等三角形的性质得到BD＝CE，∠ACE＝∠B，得到∠DCE＝90°，根据勾股定理计算即可；
【详解】（1）解：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAC−∠DAC＝∠DAE−∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中， ，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ACE＝∠B＝60°，BD＝CE，
∴BC＝BD＋CD＝EC＋CD，
∴AC＝BC＝EC＋CD；
故答案为：60°，AC＝DC＋EC；
（2）∠ACE＝45°， ，
理由如下：
由（1）得，△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE，∠ACE＝∠B＝45°，
∴∠DCE＝90°，
∴ ，
在Rt△ADE中， ，又AD＝AE，
∴ ．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、勾股定理、以及旋转变换的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
24．（1）①见详解；② ，证明见详解（2） ，证明见详解
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，旋转的性质，三角形内角和
定理的应用，勾股定理的应用，作出适当的辅助线构建全等三角形是解本题的关键．
（1）①由 与 都是等腰直角三角形，证明 ，可得 ，再利用
三角形的内角和定理证明 即可；
②在 上截取 ，连接 ，证明 ，可得 是等腰直角三角形，
，从而可得结论；
（2）在 上截取 ，连接 ，证明 ，可得 是等腰直角三角形，
，从而可得结论．
【详解】（1）①证明：∵ 与 都是等腰直角三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
②解：结论： ，
理由：在 上截取 ，连接 ，∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ．
（2）解：结论：
理由：在 上截取 ，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ．
