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第 29 章 投影与视图（知识清单+典型例题）
【知识导图】
【知识清单】
一、中心投影
1）投影：物体在光线的照射下，会在地面或其他平面上留下它的影子，这就是投影现象，影子所在的平
面称为投影面。
2）中心投影：手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一个点发出的，这样的光线所形成的投影称为中
心投影。
3）作一物体中心投影的方法：过投影中心与物体顶端作直线，直线与投影面的交点与物体的底端之间的线段即为物体的影子。
【例1】（2023下·全国·九年级专题练习）如图，假如晚上你从A处走到B处，你在路灯C下的影子在地
面上的变化情况是（ ）
A．逐渐变长 B．先变短后变长 C．逐渐变短 D．先变长后变短
【答案】B
【分析】根据中心投影的特点，由A处径直走到路灯下时，影长逐渐变短，由路灯下到B处的过程中，影
长逐渐变长．
【详解】解：晚上由A处径直走到B处的过程中，在路灯C下的影长先变短，然后影长逐渐变长．
故选：B．
【点睛】本题考查了中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．如物体在灯光
的照射下形成的影子就是中心投影．中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的
投影是放大（即位似变换）的关系．
【变式】（2023下·全国·九年级专题练习）如图，球在灯泡的照射下形成了影子，当球竖直向下运动时，
球的影子的大小变化是（ ）
A．越来越小 B．越来越大 C．大小不变 D．不能确定
【答案】A
【分析】根据中心投影的性质求解．
【详解】解：根据中心投影的性质，当球竖直向下运动时，球的影子会越来越小，
故选：A．
【点睛】本题考查了中心投影，掌握中心投影的性质是解题的关键．二、视点、视线和盲区
1）观测点的位置称为视点
2）由视点发出的观测线称为视线
3）视线不能穿过障碍物，若视线遇到障碍物，则会有观测不到的地方，就称为盲区。
【例2】如图，在房子屋檐E处安有一台监视器，房子前有一面落地的广告牌，那么监视器的盲区是（
）
A． B． C． D．四边形
【答案】C
【分析】解答此题首先要了解盲区的定义，视线覆盖不到的地方即为该视点的盲区，由图知， 是视点，
找到在 点处看不到的区域即可．
【详解】解：由图知：在视点 的位置，看不到 段，因此监视器的盲区在 所在的区域，
故选：C．
【点睛】本题考查了投影和视图的概念，解答此类问题，首先要确定视点，然后再根据盲区的定义进行判
断．
【变式】如图1为五角大楼的示意图，图2是它的俯视图，小红站在地面上观察这个大楼，若想看到大楼
的两个侧面，则小红应站的区域是（ ）
A．A区域 B．B区域 C．C区域 D．三区域都可以
【答案】C【分析】根据视点，视角和盲区的定义，观察图形，选出答案．
【详解】由图可知，A区域可以看到一个侧面，B区域可以看到三个侧面，C区域可以看到两个侧面.故选
C.
【点睛】本题考查的是视点，视角和盲区在实际中的应用，比较基础，难度不大．
三、平行投影及应用
1）平行投影的定义
太阳光线可以看成是平行光线，平行光线所形成的投影称为平行投影
当平行光线与投影面垂直，这种投影称为正投影
2）平行投影的应用：
等高的物体垂直地面放置时，太阳光下的影长相等。等长的物体平行于地面放置时，太阳下的影长相等。
3）作物体的平行投影：由于平行投影的光线是平行的，而物体的顶端与影子的顶端确定的直线就是光线，
故根据另一物体的顶端可作出其影子。
【例3】（2023·安徽淮北·统考三模）一个矩形木框在地面上形成的投影不可能是（ ）
A． B．
B．C． D．
【答案】A
【分析】根据投影的特点进行判断即可．
【详解】解：一个矩形木框在地面上形成的投影可能是一条线段、一个矩形、一个平行四边形，而不可能
是一个梯形，故A符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了投影与视图，解题的关键是熟练掌握投影的特点．
【变式】如图， 和 是直立在地面上的两根立柱，某一时刻 在阳光下的影子是 ．
(1)请你在图中画出此时 在阳光下的影子 ；(2)请用符号表示出图中相似的三角形，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2) ，理由见解析
【分析】（1）连结 ，过点 作 ，交直线 与点 ，即可解答；
（2）利用太阳光线是一组平行光，证明 ，据此得出比例式，即可求出 的长．
【详解】（1）解：如图所示 为所求．
（2）
理由是：∵ 和 是直立
在地面上的两根立柱
∴
又∵
∴
∴ ．
【点睛】本题考查相似变换的实际应用、相似三角形的判定，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
四、视图
1）常见几何体的三视图
2）三视图的排列规则：俯视图放在主视图的下面，长度与主视图的长度一样；左视图放在主视图的右面，
高度与主视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样，可简记为“长对正；高平齐；宽相等”。注意：在画物体的三视图时，对看得见的轮廓线用实线画出，而对看不见的轮廓线要用虚线画出。在三种
视图中，主视图反映的是物体的长和高、俯视图反映的是物体的长和宽、左视图反映的是物体的宽和高.
因此，在画三视图时，对应部分的长要相等。
3）由三视图还原几何体一般分为两种情况：
由三种视图判断几何体的形状；给出三种视图，求搭成该几何体的小正方体的个数。
【例4】如图是由4个大小相同的正方体搭成的几何体，其主视图是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查三视图，主视图即从正面看到的图形，对应选项即可求解，具备空间想象能力是解题的
关键．
【详解】解：从正面看到的图形有两行，最下面一行有3个正方形，上面一行有1个正方形在最左侧，
故选：A.
【变式1】（2023·重庆南岸·九年级校考阶段练习）如图，该空心圆柱体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【详解】解：从上边看是三个水平边较短的矩形，中间矩形的左右两边是虚线，
故选：A．
【点睛】本题考查了三视图，俯视图是指从上往下看得到的图形。注意：看的见的线画实线，看不见的线
画虚线．【变式2】（2022·陕西咸阳·九年级统考期末）如图所示的物体是一个实心几何体，请画出该几何体的三视
图．
【答案】见解析
【分析】画物体的三视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．依此画出该几
何体的三视图．
【详解】解：三视图如图所示．
【点睛】本题考查了作图-三视图，具体画法及步骤：①确定主视图位置，画出主视图；②在主视图的正下
方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；③在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”、
与俯视图“宽相等”．要注意几何体看得见部分的轮廓线画成实线，被其他部分遮挡而看不见的部分的轮
廓线化成虚线．
核心素养提升
1. 数形结合思想
1．（2021·辽宁抚顺·统考一模）某工厂要加工一批上下底密封纸盒，设计者给出了密封纸盒的三视图，如
图1．（1）由三视图可知，密封纸盒的形状是__________；
（2）根据该几何体的三视图，在图2中补全它的表面展开图；
（3）请你根据图1中数据，计算这个密封纸盒的表面积．（结果保留根号）
【答案】（1）（正）六棱柱；（2）见解析；（3）
【分析】（1）通过三视图，发挥想象力可以得到答案；
（2）由（1）得到的答案可以得到表面展开图；
（3）分别计算出侧面积和上下底面积即可得到答案 ．
【详解】解：（1）根据该几何体的三视图知道它是一个（正）六棱柱；
（2）由（1）可以得到六棱柱的表面展开图如图：
（3）由图中数据可知：六棱柱的高为12 ，底面边长为5 ，
∴六棱柱的侧面积为 ．
又∵密封纸盒的底面面积为： ，
∴六棱柱的表面积为： ．
【点睛】本题考查三视图与展开图的综合应用，充分发挥想象力是解题关键．
2．（2023·江苏泰州·九年级校考阶段练习）我国宋代就发明了立式风车，它是一种由风力驱动使轮轴旋转
的机械，风力发电不但减污节能，而且可再生永不枯竭．如图是风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直于叶片 ， 照射，各叶片
形成的影子为线段 ，且测得 ， ，若此时垂直于地面的木棒 与影子 的比为
(1)求叶片 的长；
(2)为了安全，风车转动时，要求风车叶片外端离地面的最低高度要高于12米，此风车是否符合要求？
【答案】(1)
(2)符合要求
【分析】（1）过点O作 ，交 于P，过P作 于N，则 ，根据平行线分线段
成比例定理可知 ，由 与影子 的比为 ，可得 ，由等角的正弦可得 的长，从
而得结论．
（2）由（1）知 ， 与影子 的比为 ，可得 的长，即可判断是否符合要求．
【详解】（1）解：如图，过点O作 ，交 于P，过P作 于N，则 ，
，
，
，
， ，
，
，，
，
，
设 ， ，则 ，
，
，
，
；
（2）解：由（1）知 ，
，
，
，
，
，则 ，
，
当风车转动时，风车叶片转动到于 重合时，此时风车叶片外端离地面的高度为： ，
，
此风车符合要求
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关
键．
2. 转化思想
3．一个零件的主视图、左视图、俯视图如下图所示（尺寸单位：厘米），求一下这个零件的体积和表面
积（写清计算过程）【答案】体积为1800立方厘米, 表面积为900平方厘米
【分析】易得该几何体为长10，宽12，高15的长方体，长方体的体积=长×宽×高；表面积=2（长×宽+长×
高+宽×高），把相关数值代入计算即可．
【详解】解：∵有2个视图为长方形，
∴该几何体为柱体，
∵第3个视图为长方形，
∴几何体为长方体，
∴长方体的体积为10×15×12=1800立方厘米；
表面积为2×（10×15+10×12+15×12）=900平方厘米．
【点睛】考查由视图判断几何体；用到的知识点为：有2个视图为长方形的几何体是柱体；得到该几何体
长，宽，高是解决本题的突破点．
3. 分类讨论思想
4．（2023·浙江杭州·九年级校联考期中）由若干个相同的小立方体搭成的几何体的三视图如图所示，则搭
成这个几何体的小立方体的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出每一层小正方体的层数和
个数，从而算出总的个数．
【详解】解：从俯视图中可以看出最底层小正方体有3个，从主视图看第一列两个正方体，说明俯视图中
的左边一列有两个正方体，所以此几何体共有四个正方体．
故选B．
【点睛】本题考查由三视图想象立体图形．做这类题时要借助三种视图表示物体的特点，从主视图上弄清物体的上下和左右形状；从俯视图上弄清物体的左右和前后形状；从左视图上弄清楚物体的上下和前后形
状，综合分析，合理猜想，结合生活经验描绘出草图后，再检验是否符合题意．
5．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）小明用大小相等的正方体摆出了一个立体图形，这个立体图形从主视
图、俯视图、左视图看都只能看见4个方块，则小明至少用了（ ）正方体．
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【答案】C
【分析】先分别思考从其中两个面看，都能看到4个小正方体如何用最少的小正方体，然后再考虑最少添
加几个小正方体就能使从主视图、俯视图、左视图看都只能看见4个方块，最后数一共用了几块小正方体
即可．
【详解】解：这个立体图形从主视图看，就是从正面看，看见4个方块，从俯视图看，就是从上往下看，
也看见4个方块，从左视图看，就是从左面看，也看见4个方块，
要想从三个面都能看到4个小方块，可以这样摆，
第一列第一排，摆3个三层的小正方体，形成一栋3层的小正方体组成的图形，
这样，从正面和左面看都是3个小正方体，从上面看，是1个小正方体，然后在这栋小正方体其中3个面
各摆1个正方体，与原来这栋小正方体拼成一个“田”字，从上面看就是一个“田”字，可以看到4个小
正方体，从前面看，可以看到一栋3层的小正方体和右侧的1个小正方体，共4个小正方体，从左面看，
也可以看到一栋3层的小正方体和左侧的1个小正方体，共4个小正方体从样，从主视图、俯视图、左视
图看都只能看见4个方块，
所以一共需要： （个），
即小明至少用了6个小正方体．
故选：C
【点睛】本题主要考查了简单几何体的三视图，熟练掌握简单几何体的三视图是解题的关键．
4. 方程思想
6．（2023·陕西西安·九年级高新一中校考阶段练习）如图，亮亮和同伴想测量一个亭子的高度．在一个阳
光明媚的周末，某一时刻亭子顶端 的影子位于点 处，亮亮站在点 处，测得他的影长 为 米，
同时他的同伴在点 处测得亭子顶端 的仰角为 ．已知亮亮的身高 米， 米，且点 、
、 、 在同一条水平直线上，求亭子的高 ．（结果保留整数）（参考数据：
）【答案】亭子的高 约为12米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，平行投影；在 中，利用锐角三角函数
的定义求出 的长，再利用同一时刻物高与影长成正比可得 ，代入数据进行计算，即可解答．
【详解】解：在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 米，
∴ 米，
又∵ ，
∴ ，
解得： ，
答：亭子的高 约为12米．
7．（2023·广东茂名·九年级校联考阶段练习）如图， 和 是直立在地面上的两根立柱． ，某
一时刻 在阳光下的投影 ， 在阳光下的投影长为 ．
(1)请你在图中画出此时 在阳光下的投影 ．(2)根据题中信息，求出立柱 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了投影作图与相似三角形的判定与性质，熟记相关几何结论是解题关键．
（1）连接 ，过D作 即可完成作图；
（2）证 ，根据对应线段成比例即可求解．
【详解】（1）解：连接 ，过D作 交 延长线于F，
如图， 即为 在阳光下的投影：
（2）解：∵ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
解得： ，
中考热点聚焦
热点1.投影
1．（2022·广西·中考真题）数学兴趣小组通过测量旗杆的影长来求旗杆的高度，他们在某一时刻测得高为
2米的标杆影长为1.2米，此时旗杆影长为7.2米，则旗杆的高度为 米．【答案】12
【分析】根据同时、同地物高和影长的比不变，构造相似三角形，然后根据相似三角形的性质解答．
【详解】解：设旗杆为AB，如图所示：
根据题意得： ，
∴
∵ 米， 米， 米，
∴
解得：AB=12米．
故答案为：12．
【点睛】本题考查了中心投影、相似三角形性质的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应
边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
2．（2022·浙江温州·统考中考真题）如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点
M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片 ，此时各叶片影子在点M右侧
成线段 ，测得 ，垂直于地面的木棒 与影子 的比为2∶3，则点O，M之间的
距离等于 米．转动时，叶片外端离地面的最大高度等于 米．【答案】 10
【分析】过点O作AC、BD的平行线，交CD于H，过点O作水平线OJ交BD于点J，过点B作BI⊥OJ，
垂足为I，延长MO，使得OK＝OB，求出CH的长度，根据 ，求出OM的长度，证明
，得出 ， ，求出IJ、BI、OI的长度，用勾股定理求出OB的长，即可算出
所求长度．
【详解】如图，过点O作AC、BD的平行线，交CD于H，过点O作水平线OJ交BD于点J，过点B作
BI⊥OJ，垂足为I，延长MO，使得OK＝OB，
由题意可知，点O是AB的中点，
∵ ，
∴点H是CD的中点，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵由题意可知： ，
∴ ，解得 ，
∴点O、M之间的距离等于 ，
∵BI⊥OJ，
∴ ，
∵由题意可知： ，又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴四边形OHDJ是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ， ，
∵在 中，由勾股定理得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴叶片外端离地面的最大高度等于 ，
故答案为：10， ．
【点睛】本题主要考查了投影和相似的应用，及勾股定理和平行四边形的判定与性质，正确作出辅助线是
解答本题的关键．热点2.几何体的三视图
3．（2023·四川甘孜·统考中考真题）以下几何体的主视图是矩形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据主视图的定义，从正面看到的图形是主视图，即可解决问题．
【详解】解：几何体的主视图是矩形的是：
．
故选：D．
【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，解决本题的关键是掌握三视图的定义．
4．（2023·山东青岛·统考中考真题）一个正方体截去四分之一，得到如图所示的几何体，其左视图是（
）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】运用三种视图的空间方位进行解题．
【详解】解：A、选项不符合三种视图，不符合题意；
B、选项是主视图，不符合题意；
C、选项是右视图，不符合题意；
D、选项是左视图，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力．热点3.由三视图还原几何体
5．（2023·四川泸州·统考中考真题）一个立体图形的三视图如图所示，则该立体图形是（ ）
A．圆柱 B．圆锥 C．长方体 D．三棱柱
【答案】D
【分析】根据三视图进行判断即可．
【详解】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形形可判断出这个几何体应该
是三棱柱．
故选：D．
【点睛】本题主要考查由三视图判断几何体，掌握基本立体图形的三视图是解题的关键．
6．（2022·山东济南·统考中考真题）如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．圆柱 B．球 C．圆锥 D．正四棱柱
【答案】A
【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．
【详解】解：主视图和左视图都是长方形，那么此几何体为柱体，由俯视图为圆，可得此几何体是圆柱．
故选：A．
【点睛】此题考查了由三视图判断几何体，主视图和左视图的大致轮廓为三角形的几何体为锥体．
7．下列几何体中，三视图的三个视图完全相同的几何体是( )A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】找到从物体正面、左面和上面看得到的图形全等的几何体即可．
【详解】解：A.三棱柱的俯视图与主视图和左视图都不同，故此选项错误；
B.圆柱的俯视图与主视图和左视图不同，故此选项错误；
C.圆锥的俯视图与主视图和左视图不同，故此选项错误；
D.球的三视图完全相同，都是圆，故此选项正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三视图的有关知识，注意三视图都相同的常见的几何体有球和正方体．
热点4.由三视图求表面积与体积
8．某几何体的三视图如图所示，已知在△EFG中，FG＝18cm，EG＝12cm，∠EGF＝30°；在矩形ABCD
中，AD＝16cm．
（1）请根据三视图说明这个几何体的形状．
（2）请你求出AB的长；
（3）求出该几何体的体积．
【答案】（1）三棱柱；（2）6cm；（3）864cm3．
【分析】（1）根据三视图，可知这个几何体上下两个底面都是三角形的，侧面是长方形的，因此这个几何体是三棱柱；
（2）AB的长就是俯视图中三角形FG边上的高，
（3）求出俯视图中FG上的高，进而求出三棱柱底面面积，AD＝16，进而求出体积．
【详解】（1）三棱柱；
（2）AB＝sin30°×EG＝ ×12＝6cm，
（3）V＝SH＝ ×18×6×16＝864cm3，
答：该几何体的体积为864cm3，
【点睛】此题考查几何体的体积，三视图，解题的关键掌握计算公式．
9．一几何体的三视图如右所示,求该几何体的体积.
【答案】
【分析】根据三视图可知，该组合体的下方是一个长为10，宽为4，高为5的长方体，在长方体的上方是
一个半径为3，厚度为2的半圆柱体，根据公式即可求得答案.
【详解】解：根据题意，长方体的长为10，宽为4，高为5；半圆柱体的半径为3，高度为2；
∴该几何体的体积为： ；
【点睛】考查了由三视图判断几何体，由三视图想象几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左
视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．
10．（2023·辽宁抚顺·统考二模）（1）计算： ．
（2）如图是一个几何体的三视图（单位：cm）．①这个几何体的名称是 ；
②根据图上的数据计算这个几何体的表面积（结果保留 ）．
【答案】（1） ；（2）①圆锥；②几何体的表面积为
【分析】（1）根据30°角的余弦值 ，绝对值的意义，负指数幂、二次根式的化简，最后再计
算解题．
（2）①根据正视图、左视图的特点，俯视图是圆，即可求解②由三视图可知，底面圆的直径是4，侧面的
母线长为8，根据圆、扇形面积的计算公式即可求解．
【详解】（1）原式
=
（2）①圆锥.
②由三视图知，圆锥底面面积为： ，
圆锥底面周长为： ，圆锥侧面展开扇形面积为：
几何体的表面积为： ．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，三视图，圆、扇形的面积．
