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第5 章 一元一次方程（单元测试·基础卷）
一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求)
1．（23-24七年级上·全国·期末）若 是关于x的一元一次方程，则m的值是（ ）
A．1 B． C．2 D．1或2
2．（23-24七年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，已知相同形状的物体的质量是相等的，其中最左边的天
平是平衡的，则右边三个天平中仍然平衡的是( )
A．①②③ B．①③ C．①② D．②③
3．（23-24七年级下·福建泉州·期中）张明同学的家庭作业中有这样一道题： ， 处被墨水
覆盖了，张明打电话问李晓同学，李晓告诉张明这个方程的解是 ，那么 处应该是数字（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
4．（24-25七年级上·北京·期中）若关于x的一元一次方程 的解为 ，则关于y的
一元一次方程 的解为（ ）
A． B． C． D．
5．（22-23七年级上·广东惠州·阶段练习）已知 为常数，且关于 的方程 ，无论
为何值，方程的根总为 ，则 的值分别为（ ）
A． B．
C． D．
6．（23-24七年级上·贵州贵阳·开学考试）如图，等量关系不成立的是（ ）
A． B． C．7．（21-22七年级下·吉林长春·期末）已知 ．当 时， ；当 时，
．则方程 的解可能是（ ）
A．1.45 B．1.64 C．1.92 D．2.05
8．（23-24七年级上·河南郑州·期末）2023年12月18日23时59分在甘肃积石山发生 级地震，河南
某本土企业紧急加工大号、中号帐篷若干顶支援灾区．现有100台机器可用于加工帐篷，每台机器每天
可加工大号帐篷15顶或加工中号帐篷20顶，已知需用的大号帐篷的数量是中号帐篷数量的一半．设用x
台机器加工大号帐篷，则下面所列方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（23-24七年级上·四川泸州·开学考试）小聪说：“我的体重是36千克”．根据下面哪位同学的描述，
方程 可以计算出他的体重．（ ）
A．小明说：“小聪的体重正好是我体重的 ”
B．小智说：“我的体重比小聪的体重轻 ”
C．小慧说：“小聪比我重 ”
D．小真说：“我的体重比小聪的重 ”
10．（湖北省武汉外国语学校2024-2025学年上学期七年级期中考试数学试卷）在求一个两位数的平方时，
可以用“列竖式”的方法进行算，求解过程如图1~4所示，现仿照这几个图，用“列竖式”的方法计算
一个两位数的平方，部分过程如图5所示，若这个两位数的个位数字为 ，则这个两位数为
（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）若关于x的方程 的解是 ，则代数式的值为 ．
12．（23-24七年级下·山西吕梁·阶段练习）如果 的值的一半比 的值大1，那么x的值是
．
13．（23-24七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）对于有理数a，b定义一种新运算，规定 ．若
，则 的值为 ．
14．（2024七年级上·全国·专题练习）已知关于x的方程 的解是整数，且k也是整数，则
满足条件的所有k值的和为 ．
15．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）若关于x的方程 有无数解，则 的值为
．
16．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）如图为某计算机程序示意图，现规定“输入－判断是否正数”为
一次操作，若输出结果为4且运行了两次操作，则输入的数值为 ．
17．（23-24七年级上·浙江宁波·开学考试）老鼠每次跳3格，猫每次跳4 格，猫和老鼠同时跳，猫到第
格就可以抓住老鼠．
18．（2024七年级上·全国·专题练习）如图是小明从网上买的两个玻璃水杯，甲水杯是由两个圆柱拼接而
成，乙水杯是一个圆柱．小明分别往两个杯内倒水，水杯内水的高度相同时水的体积记录如下表：
甲水杯（ ） 16 32 36 58 67 130
乙水杯（ ） 36 72 81 108 117 180
甲水杯底部圆柱的容积为 ；当乙水杯内水的体积为 时，要使两水杯内水的高度相同，
甲水杯中水的体积为 ．三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（本小题满分8分）（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）解方程：
(1) ； (2) ．
20．（本小题满分8分）（24-25七年级上·全国·单元测试）解方程：
(1) ； (2) ．
21．（本小题满分10分）（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）已知关于x的方程 ，解
答下列问题：
(1)如果方程的解是 时，求字母a的值．
(2)如果某同学在解此方程去分母时，方程右边的 没有乘以6，结果求得解是 ，求字母a的值．
(3)如果方程无解，请你直接写出字母a的值．22．（本小题满分10分）（22-23七年级上·广西南宁·期中）【阅读理解】规定符号 表示两个数中较
大的一个．规定符号 表示 ， 两个数中较小的一个．例如 ， ．请计算：
的值．
【尝试应用】若 ，求 的值．
【拓展探究】若 ，试求代数式 的值．
23．（本小题满分10分）（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）某超市第一次用 元购进甲、乙两种
商品，其中甲商品的件数是乙商品件数的2倍，甲、乙两种商品的进价和售价如表：（注：获利 售价
进价）
甲 乙
进价/（元/件）
售价/（元/件）
(1)该超市将第一次购进的甲、乙两种商品各多少件？
(2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一
次的3倍．甲商品按原价销售，乙商品降价销售，第二次两种商品都售完以后获得的总利润比第一次获
得的总利润多 元，求第二次乙商品的售价是多少？
24．（本小题满分12分）（24-25七年级上·安徽亳州·期中）阅读可理解为数轴上表示a所对应的点与b所对应的点之间的距离；如 可理解为数轴上表示8所对
应的点与4所对应的点之间的距离； 可以看作 ，可理解为数轴上表示8所对应的点与 所
对应的点之间的距离；
【探索】
回答下列问题：
(1) 可理解为数轴上表示x所对应的点与_________所对应的点之间的距离．
(2)若方程 ，则满足条件的x的整数解有：____________
(3)如图所示，在数轴上，若点A表示的数记为a， A、B两点的距离为15，且点B在点A的右侧，现有
一点P以每分钟4个单位长度的速度从点A向右出发，点Q以每分钟3个单位长度的速度从点B向右出
发，当 的距离为5个单位长度时，求时间t的值．参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B B C D B B B C B
1．A
【分析】本题主要考查的是一元一次方程的定义及解绝对值方程，掌握一元一次方程的未知数的次数为1
是解题的关键，同时关注一次项系数不为0．依据一元一次方程的未知数的次数为1且系数不为零求解即
可．
【详解】解： 是关于x的一元一次方程，
且 ，
，
解得： ，
故选：A．
2．B
【分析】本题的实质是考查等式的性质，先根据最左边的天平判断出2个球的重量 4个圆柱的重量，由
等式的性质可得出答案．
【详解】解：因为最左边的天平是平衡的，所以2个球的重量 4个圆柱的重量；
①中1个球的重量 2个圆柱的重量，根据等式的性质，即可得到①是平衡的；
②中，2个球的重量 2个圆柱的重量，可得到②是不平衡的；
③中，2个球的重量 1个圆柱的重量 5个圆柱的重量，根据等式的性质，即可得到③是平衡的；
综上所述，平衡的是①③，
故选：B．
3．B
【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，引入参数是解题的关键.
先通过设 为k，然后带入x的值，利用等式的性质，进行去分母，最后通过移项合并同类项解决问题.
【详解】解：设 的数字为k，
∵ 是方程的解，
∴ ，
解得： .
故选：B.
4．C【分析】本题主要考查了解一元一次方程和一元一次方程的解等知识点，根据已知条件得出方程 ，
求出方程的解即可，能熟记一元一次方程的解的定义是解此题的关键．
【详解】解：∵关于x的一元一次方程 的解为 ，
∴关于y的一元一次方程 中的 ，
解得： ，
故选：C．
5．D
【分析】先根据原方程推出 ，再由无论 为何值，方程的根总为 进行求解即可．
【详解】解：∵
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵无论 为何值，方程的根总为 ，
∴ ，
∴ ，
故选D．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，正确推出 是解题的关键．
6．B
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，关键是先求出等量关系方程式，再把它移项变换进行
对比．由图可列出方程等量关系式， ，再把等量关系式进行移项变换．
【详解】解：由图列出方程等量关系式， ，A： ，把左边的x移到右边，就变为 ，故不符合题意；
B： ，把左边的x移到右边，就变为 ，等量关系不成立，故符合题意；
C： ，把左边的2x移到右边，右边x移到左边，就变为 ，故不符合题意．
故选：B．
7．B
【分析】由题意估算得出方程的解的取值范围在1.5与1.8之间，据此即可求解．
【详解】解：对于 来说，
∵当x=1.5时， ＞0；
当x=1.8时， ＜0；
∴方程 的解的取值范围在1.5与1.8之间，
观察四个选项，1.64在此范围之内，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，关键是根据题意得出方程 的解的取值
范围在1.5与1.8之间．
8．B
【分析】本题考查了列一元一次方程，正确找出等量关系是解题关键．设用x台机器加工大号帐篷，则用
台机器加工大号帐篷，根据大号帐篷的数量是中号帐篷数量的一半列方程求解即可．
【详解】解：设用x台机器加工大号帐篷，则用 台机器加工中号帐篷，
根据题意可得：
故选：B．
9．C
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意，找出相等关系是解题的关键，根据各选项列出
方程比较即可得解．
【详解】解∶ 、设小明的体重为 千克，根据小聪的体重正好是我体重的 ．可列方程 ，
解答求出小明的体重，故本选项不符合题意；、设小智的体重为 千克，根据我的体重比小聪的体重轻 列方程得 ，故本选项不符合
题意；
、设小慧的体重为 千克，根据小聪比我重 可列方程 解答求出小慧的体重故本选项不
符合题意；
、设小真的体重为 千克，根据我的体重比小聪的重 可列方程 ，故本选项不符合题意．
故选∶C．
10．B
【分析】本题是对数字变化规律的考查．仔细观察图形，观察出前两行的数与两位数的十位和个位上的数
字的关系是解题的关键．
观察图象可知，第一行从右向左分别为个位数和十位数字的平方，每个数的平方占两个空，平方是一位数
的前面的空用0填补，第二行从左边第2个空开始向右是这个两位数的两个数字的乘积的2倍，然后相加
即为这个两位数的平方，根据此规律求解．设这个两位数的十位数字为b，根据图3，利用十位数字与个位
数字的乘积的2倍的关系列出方程求出b，然后写出答案即可．
【详解】解：设这个两位数的十位数字为b，
由题意得， ，
解得 ，
∴这个两位数是 ．
故选：B．
11．
【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，代数式求值，一元一次方程的解是使方程左右两边相
等的未知数的值，据此把 代入原方程求出 的值即可得到答案．
【详解】解：∵关于x的方程 的解是 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
12． /0.5【分析】本题主要考查了解一元一次方程，根据题意可得方程 ，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵ 的值的一半比 的值大1，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ．
13． /
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，新定义，根据新定义得到方程 ，解方程即可
得到答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
14．2
【分析】本题考查解一元一次方程，方程的整数解．先求解方程 ，解得 ，再根据
x为整数，且k是整数，即可求出所有k值的和．
【详解】解：解方程 得： ，∵x为整数，且k是整数，
∴k的值为0或1或3或 ，
∴所有k值的和为 ，
故答案为：2．
15．
【分析】本题主要考查了解一元一次方程的拓展，先解方程得到 ，再根据方程有无数解
得到 ，据此求出 ，然后代值计算即可．
【详解】解：
去分母得： ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并同类项得： ，
∵关于x的方程 有无数解，
∴关于x的方程 有无数解，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
16．
【分析】本题一元一次方程的应用和学生分析题目的能力． 先分析题目中的程序计算图，然后根据程序
求出第一次输出的结果，再根据程序求出原数即可．
【详解】解：∵输出结果为4且运行了两次操作，
∴第一次输出结果为x，
则 ，
解得 （舍去）或 ，
设原数为y，则 ，
解得 ，
故答案为： ．
17．16
【分析】读懂题意，先设跳 次，猫追上鼠，求出跳的次数，再计算出猫调到第几格，利用有理数的混合
运算计算．本题考查了实际问题与一元一次方程，解题的关键是读懂题意，掌握方程思想解决实际问题，
有理数的混合运算．
【详解】解：设猫跳了 次后追上鼠，根据题意列方程：
，
，
（格），
所以猫到第16格就可以抓住鼠．
故答案为：16．
18． 40 100
【分析】本题考查了正比例关系，一元一次方程的实际应用，根据当乙水杯内水的容积为 时，得甲
水杯内水的容积；再观察当甲水杯内水的容积在 以下时，可得出乙水杯增长 ，甲就增长 ，设
甲水杯底部圆柱的容积 ，依题意得： ，当甲水杯底部圆柱的水满（为 ）时，乙水杯
水的容积为 ，此时甲乙两个水杯内水的容积差为 ，据此列出方程得 ，解此方
程求出x即可得甲水杯底部圆柱容积．
【详解】解：∵ ，
∴当甲水杯内水的容积为 及以上时，甲乙两个水杯内水的容积差为 不变，
∴当乙水杯内水的容积为 时，则甲水杯内水的容积为 ，
∵ ，
∴当甲水杯内水的容积在 以下时，乙水杯增长 ，甲就增长 ，
设甲水杯底部圆柱的容积 ，依题意得： ，
当甲水杯底部圆柱的水满（为 ）时，乙水杯水的容积为： ，此时甲乙两个水杯内水的容积差为 ，
即： ，
解得： ，
∴甲水杯底部圆柱容积为 ，
故答案为：40；100．
19．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解一元一次方程：
（1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可；
（2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项的步骤解方程即可．
【详解】（1）解：
去括号得： ，
移项得： ，
合并同类项得： ，
系数化为1得： ；
（2）解：
去分母得： ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并同类项得： ．
20．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法步骤是解题关键．
（1）先去括号，然后移项、合并同类项、系数化为1，计算即可；
（2）先化简、再去分母、移项、合并同类项、系数化为1，计算即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
21．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查的是一元一次方程的解的含义，及方程的解法，理解题意，正确运算是解本题的关键；
（1）把 代入 ，再解方程即可；
（2）按题意原方程去分母可得 ，把 代入再解方程即可；
（3）先把方程去分母整理为 ，由方程无解可得 ，再解方程即可.
【详解】（1）解：把 代入方程 ，得：
，
∴ ，解得， ；
（2）∵ ，
∴ （去分母时 漏乘），
把 代入可得：
，
整理得： ，
解得： ；
（3） ，
∴ ，
整理得： ，
当 时，方程无解，
∴ ；
22．阅读理解： ；尝试应用： ；拓展探究：8
【分析】阅读理解：根据题干提供的信息进行解答即可；
尝试应用：根据题意列出关于a的方程，解方程即可；
拓展探究：根据 ，得出 ，求出 ，代入
求出结果即可．
【详解】解：阅读理解：由题意可知，
；尝试应用：∵ ，
，
解得： ；
拓展探究：∵ ，
∴ ，
整理得： ，
即 ，
∴
．
【点睛】本题主要考查了新定义运算，解一元一次方程，代数式求值，解题的关键是理解题意，列出相应
的方程或算式，准确计算．
23．(1)购进甲商品 件，购进乙商品 件
(2)第二次乙商品的售价为 元
【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，商品的打折销售问题，掌握利用一元一次方程解决商品的打
折销售问题是解题的关键．
（1）设第一次购进甲种商品x件，则购进乙种商品 件，利用第一次购进甲、乙两种商品的总价为
元，可得 ，再解方程可得结论；
（2）设第二次购进乙种商品是按原价打y折销售，可得： ，
解方程后可得答案．
【详解】（1）设购进甲商品x件，则购进乙商品 件，
，
解得： ，∴ ，
∴购进甲商品 件，购进乙商品 件．
（2）第二次购进甲商品 件，
第二次购进乙商品 （件），
第一次利润为 （元）
设第二次乙商品售价为y元，
，
解得：
第二次乙商品的售价为 元．
24．(1)4
(2)
(3) 或
【分析】（1）结合题意，即可得到答案；
（2）根据题意， 表示x到 的距离与x到3的距离和为4，得到 ，即可求出结果；
（3）用代数式表示出P点和Q点表示的数，根据路程=速度 时间表示出P点和Q点运动的距离，最后用
绝对值表示出两点之间的距离并化简即可．
本题考查了一元一次方程、绝对值和代数式在数轴上的应用，关键根据题意列出代数式和方程，再根据正
负去掉绝对值符号来解答．
【详解】（1）根据题意： 可理解为数轴上表示x所对应的点与4所对应的点之间的距离，
故答案为：4；
（2）根据题意： 表示x到 的距离与x到3的距离和为4
∴
满足条件的x的整数解有： ，
故答案为： ．
（3）∵点A表示的数记为a， A、B两点的距离为15∴点B表示的数为：
所以t分钟后，点P对应的数为∶ ，
点Q对应的数为∶ ，
所以点P与点Q的距离为∶
，
整理：
解得： 或 ．
