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专题 01 二次根式的计算
目录
A题型建模・专项突破
题型一、 二次根式的加减...........................................................................................................1
题型二、 二次根式的乘除...........................................................................................................2
题型三、 二次根式的混合运算..................................................................................................4
题型四、 分母有理化...................................................................................................................8
题型五、 化简求值.....................................................................................................................14
B综合攻坚・能力跃升
题型一、二次根式的加减
1．计算： ．
2．计算
3．化简： ．
4．化简 的结果是 ．
5．计算： ．
6．计算：
(1) ；
(2) ．
7．计算
(1)计算： ；
(2)解方程组 ．
8．计算：
(1) ；
(2) ．
9．计算：
(1) ；(2) ．
10．计算：
(1) ；
(2) ．
11．计算：
(1)
(2)
12．计算
(1) ；
(2)解方程组：
题型二、二次根式的乘除
13．计算 的值为（ ）
A． B． C． D．
14．计算 的结果是（ ）
A．6 B．12 C．18 D．36
15．对于任意的正数 ，定义运算为： ，计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
16．估计 的值应在 （ ）
A． 和 之间 B． 和 之间 C． 和 之间 D． 和 之间
17．下列运算中，错误的是（ ）
A． B． C． D．
18．下列运算正确的是（ ）A． B． C． D．
19．计算 的结果是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
20．计算 的结果是（ ）
A．3 B．6 C．2 D．
21．计算： ．
22． ．
23．计算 的结果为 ．
24．计算： ．
25．计算： ．
26．计算： ．
27．计算：
(1) ；
(2) ．
28．计算： ．
29．计算：
(1) ；
(2) ．
30．计算： ．
31．计算： ．
32．计算下列各式：
(1) ；(2) ．
33．计算下列各式：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
34．计算下列各式：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
35．计算： ．
题型三、二次根式的混合运算
36．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
37．计算 的结果是（ ）．
A． B． C． D．
38．2025年5月4日，第八届数字中国建设峰会在福州圆满落幕．本次峰会讨论了多种数据加密方式，若
以下运算为数据加密方式： ，那么 的值为（ ）
A．1 B．4 C． D．9
39．下列运算正确的是（）
A． B．
C． D．40．下列计算结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
41．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
42．下列各式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
43．下列计算正确的是（）
A． B．
C． D．
44．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
45．若 ， ，则代数式 的值等于（ ）
A． B． C． D．2
46．已知 ， ，则代数式 ．
47．如果 ， ，那么 ．
48．设实数 的整数部分为a，小数部分为b．则 的值为 ．
49．计算 = ．
50．对于任意两个正数m，n，定义运算※为：m※n＝ ，计算 的结果为
．
51．老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给第一
位同学，他完成第一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算，规则是每人只能看到前一人传过来的式子．在接力中，自己负责的式子出现错误的两位同学是 ．
52．斐波那契数列是按某种规律排列的一列数，这列数中的每个正整数都可以用无理数的形式表示，如第
为正整数 个数 可表示为 表示．通过计算求出斐波那契数列中的第1个数
为 ，第2个数为 ．
53．若 ，则 的值为 ．
54．已知 ，n是m的小数部分，求 的值 ．
55．已知 ， ，则 的值为 ．
56．计算
(1)
(2)
57．计算：
(1) ；
(2) ．
58．计算： ．
59．计算：
(1)
(2)
60．计算：
61．计算：
(1) ；(2) ；
(3) ．
62．计算：
(1) ；
(2)
63．计算：
(1) ；
(2) ．
64．计算：
(1)
(2)
(3)
65．计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
66．计算：
(1)
(2)
(3)(4)
67．计算：
(1) ．
(2) ．
68．计算： ．
69．计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
70．计算：
(1) ；
(2) ；
题型四、分母有理化
71．阅读下面材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的是分母有理化以及应用，其实，还有一个方法叫做“分子有理化”，与分
母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：
，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处
理一些二次根式的最值问题．例如：比较 和 的大小可以先将它们分子有理化如下：
， ，因为 ，所以 ．再例如：求
的最大值．做法如下：
解：由 ， 可知 ，而 ，当 时，分母
有最小值2，所以y的最大值是2．解决下述问题：
(1)由材料可知， ；
(2)比较 和 的大小；
(3)式子 的最大值是________．
72． “双剑合璧，天下无敌”，意思是两人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相
辅相成的“对子”，像 、 、 （ ），两
个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如 与 ，
与 ， 与 等都是互为有理化因式．
在进行二次根式计算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号，例如： ；
．
解答下列问题：
(1) 与________互为有理化因式，将 分母有理化得________， 可以化简为________．
(2)已知有理数 、 满足 ，求 、 的值．
(3)若 ，求 的值．
73．阅读材料：像 ， ， 两个含有二
次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如 与 与
与 等都是互为有理化因式．
在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．把分母中的根号化去叫分母有理化．
例如： ，
解答下列问题：
(1) 与__________互为有理化因式，将 分母有理化得__________；(2)计算： ．
74．阅读材料：像 ； ； …两个含有二
次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如 与 ， 与
， 与 等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分
母中的根号．例如： ．
小明利用上述材料内容解决了问题：已知 ，求 值．
∴ ，
∴ ，∴ 即 ，
∴ ，∴ ，
请你利用上述内容，解答下列问题：
(1) 与 互为有理化因式，将 分母有理化得 ；
(2)根据上面的规律，计算下列式子的值：
．
(3)利用上面的规律，比较 与 的大小．
(4) ，求 的值．
75．阅读：由 可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含
有二次根式，我们称这样的两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时
可以化去分母中的根号，
例如； ，请完成下列问题．
(1) 的有理化因式是______ 一个即可 ，化去式子中的根号： ______；
(2)利用你发现的规律计算下列式子的值：
．
76．【知识链接】①有理化因式：两个含有根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做
有理化因式．例如： 的一个有理化因式是 ； 的一个有理化因式是 ．
②分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去．指的是如果代数式中分母
有根号，那么通常将分子、分母同乘以分母的有理化因式，达到化去分母中根号的目的．如：
， ．
【知识理解】（1）将 的分母有理化；
【启发运用】（2）计算：
77．阅读材料：《见微知著》谈到，从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分
到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是开启思想阀门，发现新问题、新
结论的重要方法．例如 ，观察它们的结果，积不含根号，我们称
这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式的除法可以这样解：
如 ．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分
母中的根号化去的过程，叫分母有理化．
解决问题：
(1)将 分母有理化得 ， 分母有理化得 ．
(2)利用上述方法，化简 ．
78．阅读材料：
材料一：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理
化因式．
例如： ， ，我们称 的一个有理化因式是 的一个有理
化因式是 ．
材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中
不含根号，这种变形叫做分母有理化．
例如 ，
．
请你根据以上材料解决下列问题：(1) 的一个有理化因式为____， 的一个有理化因式为____；
(2)利用分母有理化将下列各式化简
① ；
② ；
(3)计算： ．
79．像 、 、 …两个含有二次根式的代
数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如， 和 、 与 、
与 等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母
中的根号．请完成下列问题：
(1)直接写出化简结果： ， ；
① ②
(2)化简： ；
(3)已知有理数 、 满足 ，求 、 的值．
80．阅读材料：像 ，……这种两个含二次根式的代数式相乘，积
不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去
分母中的根号，请你根据上述材料，解决如下问题：
(1)化简： ___________；
(2)① 的有理化因式是___________，
②请利用 的有理化因式化简： ；
(3)比较大小： ___________ ．（填“>”“<”或“=”）
题型五、化简求值
81．先化简，再求值： ，其中 ．
82．先化简，再求值： ，其中 ．83．先化简，再求值：已知 ， ，求 的值．
84．先化简，再求值：已知 ， ，求 的值．
85．先化简，再求值，已知 ， ，求： 的值．
86．化简，求值：已知 ，求 ．
87．先化简，再求值： ，其中 ．
88．先化简，再求值： ，其中 ， ．
89．先化简，再求值： ，其中 ， ．
90．先化简，再求值： ，其中 ， ．
91．先化简再求值： ，其中 ．
92．先化简，再求值：已知 ，求 的值．
93．像 ， ，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全
平方式进行化简．
如： ；
．
请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)化简： ；
(2)化简： ．
1．阅读材料：像 ； ； 两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如 与 ， 与
， 与 等都是互为有理化因式．
在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
例如： ．
解答下列问题：
(1) 与_____互为有理化因式，将 分母有理化得_____；
(2)①比较大小： _____ （填入 ， ， 或 中的一种）；
②计算下列式子的值： ；
(3)已知正整数a，b满足 ，求a，b的值．
2．阅读下列材料：
，像 与 与
这样两个含有根式的代数式，它们的积不含根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，其中
一个是另一个的有理化因式．请运用上面的知识解决下列问题：
(1)指出 的有理化因式；
(2)计算化简， _________， ________， ________；
(3)类比（2）的方法，化简下列式子：
__________；
(4)①已知 ，求 的值；
②若 同时满足以下两个方程： ，求 的值．
3．先阅读，再解答：由 可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，
积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有
时可以化去分母中的根号，例如： ，请完成下列问题：
(1) 的有理化因式是_______；
(2)化去式子分母中的根号： ______．（直接写结果）(3)比较 与 大小，并说明理由；
(4)利用你发现的规律计算下列式子的值：
4．【认识概念】
一、两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化
因式．
如： ； ，我们称 的一个有理化因式为 ， 的一个有理化因
式是 ．
二、如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含
根号，这种变形叫做分母有理化．
如： ．
【理解应用】
（1）填空： 的有理化因式是________；将 分母有理化得________；
（2）化简： ；
【拓展应用】
（3）利用以上解题方法比较 与 的大小，并说明理由；
（4）已知有理数a，b满足 ，求a，b的值．
5．阅读材料：像 ， ，……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不
含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分
母中的根号．
如： ，
请你解决如下问题：
(1) 的有理化因式是______， ______．
(2)化简 ．
(3)数学课上，老师出了一道题“已知 ，求 的值”
聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答：因为 ，所以 ．
所以 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以
利用上述方法：若 ，求 的值．
