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第7 章 平面直角坐标系（单元测试·培优卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．根据下列表述，不能确定一点的具体位置的是（ ）
A．东经122°，北纬43.6° B．礼堂6排22号
C．西安市高新路 D．港口南偏东60°方向上距港口10海里
2．已知 ， 是平面直角坐标系上的两个点， 轴，且点B在点A的右侧．
若 ，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
3．已知 ，则点 在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．如图，已知点 ，点 在线段 上运动，当 时， 的取
值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．若 ，则点 在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6． 平移后得到 ，点 对应的点是 ，则点 对应的
点 、点 对应的点 的坐标分别是（ ）．
A． B． C． D．7．如图，在平面直角坐标系中，将四边形ABCD平移得到四边形ABC D，点E，E 分别是
1 1 1 1 1
两个四边形对角线的交点．已知E（3，2），E（﹣4，5），C（4，0），则点C 的坐标为
1 1
（ ）
A．（﹣3，3） B．（1，7） C．（﹣4，2） D．（﹣4，1）
8．如图，在 中，顶点A在x轴的负半轴上，且 ，顶点B的坐标为 ，
P为AB边的中点，将 沿x轴向右平移，当点A落在 上时，点P的对应点 的坐
标为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，将边长为1的正方形 沿 轴正方向连续翻转2014次，点 依次落在点
、 的位置，则点 的横坐标为（ ）
A．1343 B．1510 C．1610 D．2014
10．蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中
全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P，Q， ， ， ，……均为正六边形的顶点．若点P，Q的坐标分别为 ， ，则点 的坐标
为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．如图，若“帅”位于点 ，“马”位于点 ，则“兵”位于点 ．
12．已知点 在x轴上，点 在y轴上，则 的中点C的坐标是
．
13．若点 在第二象限，则a的取值范围 ．
14．在平面直角坐标系内，以点P（1，1）为圆心、 为半径作圆，则该圆与y轴的交点坐
标是 ．
15．如图，在平面直角坐标系 中，已知点 ， ， ， ，
， ．将线段 ， ， 沿 轴或 轴方向平移后，恰好组成一个首尾相
接的三角形．若点 与点 平移后的对应点均为点 ，则线段 需先向左平移 个单
位长度，再向上平移 个单位长度．16．如图，点O，M，A，B，C在同一平面内．若规定点A的位置记为 ，点B的位置
记为 ，则点C的位置应记为 ．
17．枫枫刚自学了直角坐标系，他按某种方法在坐标系上找点，已知第一个点的坐标为
，第 个点的坐标为 （ 为自然数，且 ），其中
， ，其中 表示非负实数 的整数部分．
按照这样的方法，第 个点的坐标为 ．
18．定义：在平面直角坐标系xOy中，把从点P出发沿纵或横方向到达点 至多拐一次弯
的路径长称为P，Q的“实际距离” 如图，若 ， ，则P，Q的“实际距离”为
5，即 或 环保低碳的共享单车，正式成为市民出行喜欢的交通工具 设
A，B两个小区的坐标分别为 ， ，若点 表示单车停放点，且满足M到
A，B的“实际距离”相等，则 ．三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）在平面直角坐标系中，已知点 ．
（1）若点M在x轴上，求m的值；
（2）若点 ，且直线 轴，求线段 的长．
20．（8分）如图在直角梯形 中， ， ， ， ．
（1）求点 、 、 的坐标；
（2）求 的面积．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中， ， ，若点C在y轴右侧，
轴且 ．
（1）求点C的坐标；
（2）在图中画出 ，并求 的面积：
（3）若点P在x轴上运动，连接AP，当线段AP长度最小时，点P的坐标为_____依据是
_______．22．（10分）如图，在平面直角坐标系 中，已知点 ， ，将线段 先向
右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，使得点 平移到点 ，点 平移到点 ．
（1）直接写出点A和点 的坐标，并证明 ；
（2）连接 ，求三角形 的面积；
（3）在坐标轴上是否存在点 ，使三角形 的面积等于三角形 的面积的一半？若存
在，求出点 的坐标，若不存在，请说明理由．
23．（10分）在平面直角坐标系中， 为原点，点 ， ， ．
（1）如图①，则三角形 的面积为______；
（2）如图②，将点 向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点 坐标
为（______， ______）．①求 的面积；
②点 是一动点，若 的面积等于 的面积，直接写出点 坐标．
24．（12分）如图 ，在平面直角坐标系中，点 ， 的坐标分别为 ， ，且 ，
满足 ，现将线段 先向上平移 个单位长度，再向右平移 个单位
长度得到线段 ，其中点 对应点为 ，点 对应点为 ，连接 ， ．
（1）请直接写出 ， 两点的坐标；
（2）如图 ，点 是线段 上的一个动点，点 是线段 的一个定点，连接 ， ，
当点 在线段 上移动时（不与 ， 重合），探究 ， ， 之间的数
量关系，并说明理由；
（3）在坐标轴上是否存在点 ，使三角形 的面积与三角形 的面积相等？若存在，
请求出点 的坐标；若不存在，试说明理由．参考答案：
1．C
【解析】略
2．B
【分析】本题考查了坐标与图形，点到坐标轴的距离以及数轴上两点的距离，由 轴可知， 、 两
点纵坐标相同，即可得到 的值，再利用数轴上两点的距离公式，即可求出 的值．
【详解】解： ， 是平面直角坐标系上的两个点，且 轴，
，
点B在点A的右侧，且 ，
，
，
故选：B．
3．B
【分析】本题考了非负数的性质和各象限内点坐标的特征，求出a，b的值是解题的关键．
根据非负数的性质求出a，b的值，结合各象限内点坐标的特征即可得出答案．
【详解】 ， ，
而 ，
， ，
， ，
点 在第二象限
故选：B．
4．C
【分析】本题考查了点关于轴对称，求坐标，结合 ，利用数形结合思想解答即可．
【详解】根据题意，得 ，
故点关于轴的对称点 ，且 ，∵ ，
∴ ，
故点一定在点的下方，且最低端与点重合，
∴ ，
故选C．
5．B
【分析】本题考查了点所在的象限：第一象限： ，第二象限： ，第三象限： ，第四象限：
，据此即可作答．
【详解】解：∵
∴
∴点 在第二象限，
故选：B
6．A
【分析】本题考查了平移的性质，先根据点 对应的点是 判断出平移的方式，再根据
平移的方式求出 对应的点 、点 对应的点 的坐标即可．
【详解】解： 点 向右平移4个单位，向上平移5个单位得到 ，
则 ．故选：A．
7．A
【分析】由E（3，2），E（﹣4，5），确定平移方式，再根据平移方式可得点C 的坐标，从而可得答案.
1 1
【详解】解：E（3，2），E（﹣4，5），且它们是对应点，
1
向左边平移了7个单位，再向上平移了3个单位，
C（4，0），
点C 的坐标为 即
1
故选A
【点拨】本题考查的是由坐标变化确定平移方式，再利用平移方式确定对应点的坐标，掌握“平移的坐标
变化规律”是解题的关键.
8．D
【分析】先求出点A的坐标，然后利用中点坐标公式求出点P的坐标，将点P和点A向右平移相同的单位
长度即可．
【详解】解：过点B作 轴，垂足为D，如图，
∵B ， ，
为等腰直角三角形，
，
，
，
∵P为AB边的中点，
，即 ，
当点A落在 上时，相当于将A水平向右平移了5个单位长度，将 向右平移5个单位长度后 ，即 ，
故选：D．
【点拨】本题考查了坐标与图形中的点的平移，等腰直角三角形的性质，中点坐标公式等，得到 是由P
向右平移5个单位长度得到的是解决这题的关键．
9．D
【分析】本题考查了探究规律，利用规律即可解决问题，涉及坐标与图形变化-对称、规律型：点的坐标，
先根据题意写出已知点的坐标，再找到规律为次数是2的奇数倍的偶数，位于x轴上，横坐标为这个翻转
次数；次数是2的偶数倍的偶数，位于x轴的上方，横坐标为这个翻转次数加上1；据此作答即可．
【详解】解：由题意 ， ， ， ，
次数是2的奇数倍的偶数，位于x轴上，横坐标为这个翻转次数；次数是2的偶数倍的偶数，位于x轴的
上方，横坐标为这个翻转次数加上1；
∵ ，是奇数，
点 的横坐标为2014，
故选：D．
10．D
【分析】本题考查了图形与坐标，解题的关键是仔细观察、找出点与点之间的位置关系．
根据点坐标的含意并结合几何图形的性质即可求解．
【详解】过点P作 轴，垂足为R；过点 作x轴的垂线，垂足为S．连接 ．如图．
∵点P、Q的坐标分别为 ，
∴ ， ．
由题意可知，所有正六边形都是全等的，且 平行于x轴．∴ ，
考虑到点 位于第四象限，横坐标为正，纵坐标为负，
∴点 的坐标为 ．
故选：D．
11．（-2，2）
【分析】根据“帅”和“马”的位置，可确定原点O的位置，即可得答案．
【详解】解：如下图，
∵“帅”位于点(0，−1)，“马”位于点(3，−1)，
∴原点O的位置如上图，
∴“兵”位于点（-2，2），
故答案为：（-2，2）．
【点拨】本题考查了平面上物体位置的确定，解题的关键是确定原点O的位置．
12．
【分析】根据坐标轴上点的坐标特点求出A、B坐标，再根据线段中点坐标公式，即可得到答案．
【详解】∵ 在x轴上， 在y轴上
∴
又∵点C为线段 的中点
∴
则故答案为：
【点拨】本题考查的是坐标轴上点的坐标特点以及线段中点坐标公式，解题的关键是熟记线段中点坐标公
式．
13．
【分析】根据第二象限点的坐标特征进行解答即可．
【详解】解：∵第二象限点的坐标特征是横坐标小于0，纵坐标大于0，
，
．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了平面直角坐标系各象限点的坐标特征，第二象限点的坐标特征是横坐标小于0是解题
关键．
14．（0，3），（0，﹣1）．
【详解】试题分析：以（1，1）为圆心， 为半径画圆，与y轴相交，构成直角三角形，用勾股定理计算
得另一直角边的长为2，则与y轴交点坐标为（0，3）或（0，﹣1）．故答案为（0，3），（0，﹣1）．
考点：坐标与图形性质．
15． 3 2
【分析】先根据点B与点C平移后的对应点均为点O，得到线段AB，CD的平移规律，得出点A、D平移
后的坐标，即为点F、E平移后坐标，再利用平移的规律得出线段EF的平移单位．
【详解】解：设EF平移后的线段为 ，如图所示：
∵点B与点C平移后的对应点均为点O，
∴线段AB沿y轴向下平移了2个单位长度，点A平移后的坐标为（1，2），
线段CD沿x轴向右平移了3个单位长度，点D平移后的坐标为（2，−1），
∵平移后，恰好组成一个首尾相接的三角形，E（5，−3），F（4，0），∴点E需平移到（2，−1），点F需平移到（1，2），
∵5−3＝2，4−3＝1，−3＋2＝−1，0＋2＝2，
∴线段EF需先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度．
故答案为：3；2．
【点拨】本题主要考查了平移变换，正确掌握平移的规律，是解题关键．
16．
【分析】根据已知点的坐标意义得出横坐标为线段长度，纵坐标为其与 夹角的度数即可解答．
【详解】解：∵定点A的位置记为 ，点B的位置记为 ．
∴图中点C的位置应记为 ．
故选： ．
【点拨】本题主要考查了用坐标确定位置，理解已知得出点的坐标意义是解题关键．
17．
【分析】本题考查了坐标位置的确定，根据题目条件找出横坐标和纵坐标的规律是解题的关键，规律性强，
难度较大，根据规律性找出横坐标和纵坐标的规律公式，然后把 代入进行计算即可求解．
【详解】解：当n为偶数时， ；
当n为奇数时， ．
∴ 依次为1，2，1，2，…； 依次为1，1，2，2，3，3，…．
∴ ，
∴第 个点的坐标为 ．
18． ．
【分析0 】根据两点间的距离公式可求m的值.
【详解】依题意有 ，
解得 ，故答案为0．
【点拨】考查了坐标确定位置，正确理解实际距离的定义是解题关键．
19．(1)
(2)6
【分析】本题考查了点的坐标的特点，根据特点，列式计算即可．
（1）根据点M在x轴上，得到 求m的值即可．
（2）根据点 ，且直线 轴，得到 ，求线段 的长．
【详解】（1）∵点M在x轴上，
∴ ，
解得 ．
（2）∵点 ，且直线 轴，
∴ ，
解得 ．
故 ，
∴线段 的长为 ．
20．(1) ， ， ；
(2) ．
【分析】（ ）由点 作 轴于 ，可得四边形 是正方形， 是等腰直角三角形，则
，可容易得解；
（ ）可根据直角三角形的面积计算公式直接计算；
此题考查了简单的坐标与图形的知识，解题的关键是运用坐标系确定几何图形的顶点坐标，会结合坐标图
形读出相关信息，求出几何图形的面积．
【详解】（1）∵四边形 是直角梯形， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴点 在 轴上且 、 有相同的纵坐标， ， ，∴点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
如图，过点 作 于点 ，
∵ ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵点 在 轴上， ，点 的坐标为 ，
∴ ，点 的坐标为 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵点 的坐标为 ， ，
∴点 的坐标为 ；
（2）由（ ）可知 ，
∵ ， ，
∴ 的面积 ．
21．(1)
(2)见解析， 的面积6
(3)见详解
【分析】（1）因为 轴，点C与点 纵坐标相等，点C在y轴右侧，且 ，即可求出横坐标；
（2）利用三角形面积求解即可；（3）利用“垂线段最短”，解答即可．
【详解】（1）解： 轴， ，点C在y轴右侧，且 ．
∴点C的坐标为： ；
故答案为： ；
（2）如图：
的面积：（3）
当线段AP长度最小时，点P的坐标为 ，依据是直线外一点与直线上各点连线中垂线段最短．
【点拨】本题考查了作图-复杂作图，坐标与图形性质，解答本题的关键是准确作图．
22．(1)点 ，点 ，证明见解析
(2)
(3)存在， 或 或 或
【分析】本题主要考查了平移的性质、平行线的性质、三角形的面积、坐标与图形等知识，熟练掌握平移
的性质是解此题的关键，同时注意分类讨论思想的运用．
（1）本题主要考查利用平移的性质证明两条直线平行，再利用平行线的性质证明 ，对于点
A和点 的坐标，
直接利用平移性质求解即可．
（2）本题主要考查利用坐标来求三角形的面积，由于A，B，C都是定点，直接利用三角形的面积定义法
求解即可．
（3）本题考查面积存在性问题，利用方程思想解决，由于点 在坐标轴上，长度转化成坐标时，坐标有正
负，注意分类讨论的思想求解，做到不重不漏．
【详解】（1）解：点 ，点 ，
由平移的性质可得， ， ，
∵ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ．
（2）∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴三角形 的面积为
（3）∵三角形 的面积为10，
∴三角形 的面积为5，
①若点 在 轴上，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 的坐标为 或
②若点 在 轴上，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 的坐标为 或 ，
综上所述，点 的坐标为 或 或 或 ．
23．(1)6
(2)5，4；①9；② 或
【分析】本题考查了坐标与图形、点的平移、绝对值方程等知识，掌握运用数形结合的思想分析解决问题是解题关键．
（1）根据题意得出 ， ， ，然后根据三角形面积公式直接计算即可；
（2）由平移的性质可得点 坐标；①连接 ，过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，
根据 进行计算即可得到答案；②根据 的面积等于 的面积，求解即
可．
【详解】（1）解：∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：6；
（2）将点 向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点 坐标为
故答案为：5，4；
①连接 ，过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，
∵ ，
∴ ， ，
∴
；②如下图，
根据题意，点 ，且 ，
即有 ，
解得 ，
∴ 点坐标为 或 ．
24．(1) ， ；
(2) ，见解析；
(3) 或 或 或 ．
【分析】（ ）根据非负数的性质求出 ， ，即可求出答案；
（ ）过点 作直线 ，则 ，再判断出 ，即可得出结论；
（ ）先求出 的面积，再分点 在 轴和 轴上两种情况，根据三角形面积公式建立方程求解，即
可得出答案．
【详解】（1）∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ；
（2） ，
理由：如图 ，过点 作直线 ，，
线段 由线段 平移得到，
，
，
，
，
，
，
∴ ；
（3）如图，依题意可得 ， ， ， ，
， ， ，
，
当点 在 轴上时，设点 ，
则 ，
，
，
或 ；②当点 在 轴上时，设点 ，
则 ，
，
，
或 ，
综上所述，存在点 ，使三角形 的面积与三角形 的面积相等，点 的坐标为 或 或
或 ．
【点拨】此题考查了非负数的性质，平行线的性质，三角形的面积公式，坐标两点的距离公式，坐标平移
的特征，用分类讨论的思想解决问题是解题的关键．
