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期末测试压轴题考点模拟训练（一）
一、单选题
1．已知有理数a，c，若 ，且 ，则所有满足条件的数c的和是
（ ）
A．﹣6 B．2 C．8 D．9
【答案】D
【分析】根据绝对值的代数意义对 进行化简， 或 ，解得
或 有两个解，分两种情况再对 进行化简，继而有两个不同的绝对
值等式， 和 ，每个等式同样利用绝对值的代数意义化简，分别得
到c的值有两个，故 共有四个值，再进行相加，得到所有满足条件的数的和．
【详解】 ，
或 ，
或 ，
当 时， 等价于 ，即 ，
或 ，
或 ；
当 时， 等价于 ，即 ，
或 ，
或 ，
故 或 或 或 ，
所有满足条件的数 的和为： ．
故答案为：D
【点睛】本题主要考查了绝对值的代数意义，负数的绝对值是它的相反数，正数的绝对值
是它本身，0的绝对值是0，解题的关键在于经过两次分类讨论， 的值共有4种可能，不
能重复也不能遗漏．
2．如图，点 、 、 在数轴上表示的数分别为 、 、 ，且 ，则下列结
论中① ；② ；③ ；④ .其中错误的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B【分析】根据图示，可得c＜a＜0，b＞0，|a|+|b|=|c|，据此逐项判定即可．
【详解】解：∵c＜a＜0，b＞0，
∴abc＞0，
∴选项①错误；
∵c＜a＜0，b＞0，|a|+|b|=|c|，
∴b-c＞0，
∴-a（b-c）＞0，
∴选项②正确；
∵c＜a＜0，b＞0，|a|+|b|=|c|，
∴-a+b=-c，
∴a-c=b，
∴选项③正确；
∵ ，
选项④错误；
∴错误的有2个：①和④；
故选择：B.
【点睛】此题主要考查了数轴的特征和应用，以及绝对值的含义和求法，要熟练掌握．
3．已知∠AOB=30°，∠BOC=45°，则∠AOC等于（ ）
A．15° B．75° C．15°或75° D．不能确定
【答案】C
【分析】根据题意，由于没有图形，所以位置不确定，应分两种情况讨论：①∠AOB在
∠BOC的内部②∠AOB在∠BOC的外部，求解即可.
【详解】如图：
当∠AOB在∠BOC的内部时，∠AOC=∠BOC–∠AOB=45°–30°=15°；
当∠AOB在∠BOC的外部时，∠AOC=∠BOC+∠AOB=45°+30°=75°.故选C．
【点睛】此题主要考查了角的运算与比较，关键是要明确题意，分情况画图解题.
4．我们把 称为有理数 的差倒数，如：2的差倒数是 ，-2的差倒数是
．如果 ， 是 的差倒数， 是 的差倒数， 是 的差倒数，…，依此类推，那么 的值是（ ）
A．− B．−3 C． D．
【答案】D
【分析】根据“差倒数”的定义，写出前几个数，从而可以发现数字的变化规律，然后即
可求得所求式子的值．
【详解】解：由题意可得，
，
，
，
，
…，
则 这列数每三个数一个循环．
∵2020÷6=336……4，
∴
．
故选：D．
【点睛】本题考查数字类的变化规律，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，
求出所求式子的值．
5．一套仪器由一个A部件和三个B部件构成. 用1 m3钢材可以做40个A部件或240个B
部件. 现要用6 m3钢材制作这种仪器，应用多少钢材做A部件，多少钢材做B部件，恰好
配成这种仪器多少套？( )
A．4套 B．40套 C．160套 D．120套
【答案】C
【分析】设应用作A部件、B部件钢材分别为x m3，y m3，再根据共有6m3钢材，一套仪器
由一个A部件和三个B部件构成的等量关系，列方程组求解即可.
【详解】解：设应用作A部件、B部件钢材分别为x m3，y m3，根据题意得：
解得：x=4，y=2
所以恰好配成这种仪器套数为：40×4=160套
故答案为C.
【点睛】本题考查了一元一次方程组的应用，解答的关键在于掌握配套问题的解法.
二、填空题
6．当 ， 时，代数式 ，那么当 ， 时，代数式
的值为 ．
【答案】1998
【分析】先把 ， 代入 ，整理得 ，再把 ，
代入 ，整理得 ，变形为 ，再整
体代入即可求解．
【详解】解：把 ， 代入 得 ，
整理得 ，
把 ， 代入 得
．
故答案为：1998
【点睛】本题考查了求代数式的值，理解题意，根据已知条件得到代数式的值，并能整体
代入是解题关键．
7．如图，点A、B、C在同一条直线上，点D为 的中点，点P为 延长线上一动点
，点E为 的中点，则 的值是 ．
【答案】
【分析】设 ， ， ，分两种情况，当 和 时，分别求
解即可．【详解】解：设 ， ， ，
当 时，如下图：
则 ， ， ，
， ，
则
当 时，如下图：
则 ， ， ，
， ，
则
故答案为：
【点睛】此题考查了线段中点的有关计算，解题的关键是理解题意，正确画出图形，利用
分类讨论的思想求解问题．
8．《庄子．天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”意思是：一根一尺的木
棍，如果每天截取它的一半，永远也取不完，如图．
由图易得： = ．
【答案】
【详解】一根木棍，第一次取其一半，得 =1－ ；
第二次取其一半，得 =1－（ ）；
第三次取其一半，得 =1－（ ）；
……第n次取其一半，得 =1－（ ），
所以 =1－ ．
故答案为1－ ．
9．如图，已知：∠AOB=60°，∠COD=34°，OM为∠AOD的平分线，ON为∠BOC的平分线，
则∠MON的度数为
【答案】47°
【分析】利用角的和差关系分别进行计算即可
【详解】∵ON为∠BOC的平分线，∴∠BOC= ，∵OM为∠AOD的平分线，∴
，又∵ ＋∠AOB=∠MON＋∠BON，∠AOB=60°，∠COD=34°，
∴ ，∴∠MON=47°.
【点睛】此题主要考查了角的计算，正确运用角平分线的性质是解题的关键,
10．已知方程（a＋1）x＋2＝0的解是正整数时，整数a取值为 .
【答案】-2或-3
【分析】先解含a的方程，用a表示x，根据方程的解是正整数，求出a的值.
【详解】解：（a＋1）x＋2＝0，x= ，
∵方程的解是正整数，∴-(a+1)=1或-(a+1)=2，
∴a=-2或a=-3
故答案为-2或-3
【点睛】本题考查的是利用方程解的条件确定字母系数的取值问题，根据解的特征得到含
a的方程是解答此题的关键.
11．绝对值不大于2001的所有整数的积为 ；绝对值不大于7且大于4的非负整数
的和为 ．【答案】 0 18
【分析】根据绝对值的性质，任何数同0相乘都等于0，以及有理数的加法运算法则进行
解答．
【详解】解：∵0的绝对值等于0小于2001，∴绝对值不大于2001的所有整数的积为0；
∵绝对值不大于7且大于4的非负整数有7,6,5,
∴7+6+5=18
∴绝对值不大于7且大于4的非负整数的和为18
【点睛】本题考查了绝对值的性质、有理数的加法、乘法法则，熟练掌握绝对值的性质是
解题的关键，要注意特殊值0．
12．若a、b、c为整数，且|a－b|21＋|c－a|2021＝1，则|a－b|＋|b－c|＋|c－a|＝ ．
【答案】2
【分析】因为 、 、 都为整数，而且 ，所以 与 只能是0
或者1，于是进行分类讨论即可得出．
【详解】解： 、 、 为整数，且 ，
有 ， 或 ， ，
①若 ， ，
则 ， ，
，
，
② ， ，
则 ， ，
，
，
故答案为：2．
【点睛】本题考查的是绝对值的化简，解题的关键是掌握两个相反数的绝对值相等是解题
的重点，灵活对绝对值的化简进行变形．
13．代数式 的最小值是 ．
【答案】8
【分析】由于 表示 到-3，1，5三点的距离和，所以当 =1时，
的值最小．
【详解】解：∵ 表示 到-3，1，5三点的距离和
∴当 =1时， 有最小值，
∴当 =1时， =4+4=8．故答案为：8．
【点睛】本题考查了绝对值的意义，绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离叫
做这个数的绝对值，绝对值用“ | |”来表示， |b-a|或|a-b|表示数轴上表示a的点和表示
b的点的距离．
14．《算法统宗》中记有“李白沽酒”的故事．诗云：今携一壶酒，游春郊外走．逢朋加
一倍，入店饮半斗．相逢三处店，饮尽壶中酒．试问能算士：如何知原有？（古代一斗是
10升）
大意是：李白在郊外春游时，做出这样一条约定：遇见朋友，先到酒店里将壶里的酒增加
一倍，再喝掉其中的5升酒．按照这样的约定，在第3个店里遇到朋友正好喝光了壶中的
酒．则李白的酒壶中原有 升酒．
【答案】4.375
【分析】设原有x升酒，依据题意列出方程解答即可.
【详解】设酒壶中原有x升酒，由题意得：
，
解得：x=4.375，
答：酒壶中原有4.375升酒.
故填：4.375
【点睛】此题考查一元一次方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系列出方程是解
题的关键.
15．桌子上若有5只杯口朝上的茶杯，每次翻转3只，经过至少3次翻转可使所有杯子的
杯口全部朝下；若有6只杯口朝上的茶杯，每次翻转3只，经过至少2次翻转可使所有杯
子的杯口全部朝下；若有7只杯口朝上的茶杯，每次翻转3只，经过至少3次翻转可使所
有杯子的杯 口全部朝下； ……；若有2023只杯口朝上的茶杯，每次翻转3只，经过至少
次翻转可使所有杯子的杯口朝下．
【答案】
【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，根据题意推出当杯子数n满足 （k为正整
数），则翻转次数最少为k次，当杯子数n满足 （k为正整数），则翻转次数最少为
次，当杯子数n满足 （k为正整数），则翻转次数最少为 次，是解题的
关键．
【详解】解：∵每次只翻转3个杯子，且翻转的次数要最小，
∴在杯子足够的情况下，每次尽可能的需要把杯口朝上的杯子进行翻转，
当杯子数n满足 （k为正整数），则翻转次数最少为k次，
当杯子数n满足 （k为正整数），则前面每次翻转3个杯口朝上的杯子，一共翻转
次，再翻转一个杯口朝下，两个杯口朝上的杯子，共1次，则剩下3个杯口朝上的
杯子，最后再把3个杯口朝上的杯子翻转一次即可，即此时翻转次数最少为次，
当杯子数n满足 （k为正整数），则前面每次翻转3个杯口朝上的杯子，一共翻转
次，则还剩下5个杯子的杯口朝上，最少需要翻转3次，即此时翻转次数最少
次，∵ ，
∴有2023只杯口朝上的茶杯，每次翻转3只，经过至少 次翻转可使所有杯子
的杯口朝下，故答案为： ．
三、解答题
16．如图1，射线 在 的内部，图中共有3个角： ， 和 ，
若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线 是 的奇妙线．
（1）如图1，在 的内部， 有_________条奇妙线；
（2）如图2，若 ，射线 绕点 从 位置开始，以每秒 的速度逆时针
旋转，当 首次等于 时停止旋转，设旋转的时间为 ．
①直接写出当 为何值时，射线 是 的奇妙线？
②若射线 同时绕点 以每秒 的速度逆时针旋转，并与 同时停止旋转．请求出当
射线 是 的奇妙线时 的值．
【答案】（1）3；（2）①t为4.5或6或9 ；② 或 或
【分析】（1）根据奇妙线的定义，若OC是射线 是 的奇妙线，有
∠AOB=2∠AOC、∠AOC=2∠BOC、∠BOC=2∠AOC三种情况；
（2）①表达出∠QPN、∠QPM=20°t-60°，再分三种情况，根据奇妙线的定义列出方程即可
求解；
②表达出∠QPN、∠M’PN、∠M’PQ，再分三种情况，根据奇妙线的定义列出方程即可求解；
【详解】解：（1）若∠AOB=2∠AOC，则OC是射线 是 的奇妙线，
若∠AOC=2∠BOC，则OC是射线 是 的奇妙线
若∠BOC=2∠AOC，则OC是射线 是 的奇妙线
∴在 的内部， 有3条奇妙线，
故答案为：3．
（2）①∵∠QPN=20°t，∠MPN=60°
∴∠QPM=20°t-60°当∠QPN=2∠MPN时，即20°t=120°，解得t=6s，
当∠QPM=2∠MPN时，即20°t-60°=120°，解得t=9s，
当∠MPN=2∠QPM时，即60°=2（20°t-60°），解得t=4.5s，
故答案为：t为4.5或6或9．
②由题意得：∠QPN=20°t，∠M’PN=60°+12°t，∠M’PQ=60°-8°t
当 时
∴
∴
当 时，
∴
∴
当 时，
∴
∴
综上所述，当 或 或 时，射线 是 的奇妙线．
【点睛】本题考查了角度计算中的新定义问题，解题的关键是理解题目中给出的奇妙线的
定义，再列出方程解答．
17．贵阳市人民广场某超市第一次用6000元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲
商品件数的 倍多15件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表：（注：获利＝售价－进
价）
甲 乙
进价（元/件） 22 30
售价（元/件） 29 40
（1）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？
（2）该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品．其中甲种商品的件数不变，乙
种商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售，乙商品打折销售．第二次两种商品都
销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多180元，求第二次乙种商品是按原价打
几折销售？
【答案】（1）1950（元）；（2）第二次乙商品是按原价打8.5折销售．
【分析】（1）设第一次购进甲种商品 件，则购进乙种商品（ ）件，根据单价×数量=总价，即可得出关于x的一元一次方程，可求得甲、乙两种商品得数量；根据总利润=
单件利润×销售数量，列式计算即可求出结论；
（2）设第二次乙种商品是按原价打y折销售，根据总利润=单件利润×销售数量，即可得出
关于y的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：（1）设第一次购进甲种商品x件，则购进乙种商品（ ）件，
根据题意得：
解得： ，
∴ （件）．
∴（29-22）×150+（40-30）×90=1950（元）．
答：该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得利润1950元．
（2）设第二次乙种商品是按原价打y折销售，
根据题意得： ，
解得：y=8.5．
答：第二次乙商品是按原价打8.5折销售．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元
一次方程.
18．如图所示，OA，OB，OC是以直线EF上一点O为端点的三条射线，且 ，
， ，以点O为端点作射线OP，OQ分别与射线OF，OC重合．射
线OP从OF处开始绕点O逆时针匀速旋转，转速为 ，射线OQ从OC处开始绕点O顺
时针匀速旋转，（射线OQ旋转至与射线OF重合时停止），两条射线同时开始旋转、（旋
转速度＝旋转角度 旋转时间）
（1）当射线OP平分 时，求它旋转的时间．
（2）若射线OQ的转速为 ，请求出当 时，射线OP旋转的时间．
（3）若 当时，射线OQ旋转到的位置恰好将 分成度数比为1：2的
两个角，求此时射线OQ的旋转速度．
【答案】（1）55s；（2）5秒或70秒；（3） 或 或 或 ．
【分析】(1) ∠AOC=∠AOB+∠BOC=60°+10°=70°，当射线OP平分∠AOC时，∠AOP=∠POC=35°，此时OP旋转的度数为：∠AOF+∠ AOP=20°+35°=55°，即可计算旋转的
时间，
(2)求出∠FOC=90°，设射线OP旋转的时间为t秒，由题意列方程求出t的值，根据射线OQ
旋转至射线OF重合时停止，得到射线OQ最多旋转30秒，当射线OQ旋转30秒与射线OF
重合停止，此时∠POQ=∠FOP=30°，之后射线 OP继续旋转40s，则∠POQ=∠FOP=70°，求
出此时t的值，即可求解．
(3)当∠POA=2∠POB时，根据OP和OQ，分类进行讨论.①当射线OP在∠AOB内部时，②
当射线OP在∠EOB内部时，分情况分别求出OQ的旋转速度．
【详解】（1） ，
当射线OP平分时 ，
，
此时OP旋转的度数为： ，
旋转的时间为： ．
（2）
设射线OP旋转的时间为t秒，
由题意可得： 或 ，
解得： 或 ，
射线OQ旋转至射线OF重合时停止，
射线OQ最多旋转30秒，
当射线OQ旋转30秒与射线OF重合停止，
此时 ，
之后射线OP继续旋转 ，
则 ，此时 ，
故经过5秒或70秒， ．
（3）①当射线OP在 内部时，
， ，
， ，
故射线OP旋转的时间为60s，
若 ，则 ， ，
此时射线OQ的旋转速度为： ，若 时，则 ， ，
此时射线OQ的旋转速度为 ；
②当射线OP在 内部时，
， ，
， ，
故射线OP旋转时间为140秒，
若 时，则 ， ，
此时射线OQ的旋转速度为： ，
若 时，则 ， ，
此时旋转速度为： ，
综上，符合条件的旋转速度为： 或 或 或 ．
【点睛】本题主要是考查了角的计算，能够根据题目，进行分类讨论，熟悉角的和差倍分
运算，是解答此题的关键.
19．如图，直线 上有两条可以左右移动的线段 和 ，线段 在线段 的左边，
， ，且 ，运动过程中，点 、 始终分别是线段 、
的中点．
(1)求线段 ， 的值；
(2)若线段 以每秒4个单位长度的速度向右运动，同时，线段 以每秒1个单位长度的
速度也向右运动，且线段 运动6秒时， ，求运动前点 、 之间的距离；
(3)设 ，且线段 不动，将线段 以每秒4个单位长度的速度向右运动．在
向右运动的某一个时间段内，是否存在 的值为定值，若存在，请直接写出这个定
值，并直接写出这个时间段；若不存，请说明理由．
【答案】(1)m＝8，n＝16；
(2)运动前点B、C之间的距离为10或2；
(3)当9≤t≤12时，MN＋AD＝12为定值．
【分析】（1）根据非负数的性质即可求得答案；
（2）若6秒后，M′在点N′左边时，若6秒后，M′在点N′右边时，根据题意列方程即可得
到结论；（3）根据题意分类讨论于是得到结果．
【详解】（1）∵|m−8|＋（n−16）2＝0，
∴m−8＝0，n−16＝0，
解得：m＝8，n＝16；
（2）由（1）可得：AB＝8，CD＝16，
∵点M、N始终分别是线段AB、CD的中点，
∴AM＝BM＝ AB＝4，CN＝DN＝ CD＝8，
①若6秒后，M′在点N′左边时，
由MN＋NN′＝MM′＋M′N′，
即4＋8＋BC＋6×1＝6×4＋4，
解得：BC＝10，
②若6秒后，M′在点N′右边时，
则MM′＝MN＋NN′＋M′N′，
即6×4＝4＋BC＋8＋6×1＋4，
解得BC＝2，
综上，运动前点B、C之间的距离为10或2；
（3）存在．
运动t秒后：MN＝|36−4t|，AD＝|48−4t|，
当0≤t＜9时，MN＋AD＝84−8t，
当9≤t≤12时，MN＋AD＝12，
当t＞12时，MN＋AD＝8t−84，
∴当9≤t≤12时，MN＋AD＝12为定值．
【点睛】本题主要考查了非负数的性质，一元一次方程的应用以及数轴和两点间的距离等
知识，解答本题的关键是掌握两点间的距离公式，解答第三问注意分类讨论思想．
20．数轴上有两点A，B， 点C，D分别从原点O与点B出发，沿BA方向同时向左运动.
（1）如图，若点N为线段OB上一点，AB=16，ON=2，当点C，D分别运动到AO，BN的中
点时，求CD的长；
（2）若点C在线段OA上运动，点D在线段OB上运动，速度分别为每秒1cm, 4cm，在点
C，D运动的过程中，满足OD=4AC，若点M为直线AB上一点，且AM-BM=OM，求 的
值.【答案】（1）9；（2） 或1.
【分析】（1）根据C，D分别为AO，BN的中点，可得ND= BN，CO= AO，再根据
CD=CO+ON+DN，将ND，CO代入可得出结果；
（2）根据OD=4AC，BD=4CO,可得出OA:OB=1：4. 由点M为直线AB上一点，且AM-
BM=OM，分两种情况求解：①当点M在线段AB上，先由已知等量关系得出AO=BM，设
AO=x，再用x表示出AB，OM即可得出结果；②当点M在B点右侧时，由. AM-BM=AB=OM
可得出结果.
【详解】解：（1）当点C，D分别运动到AO，BN的中点时，得
ND= BN，CO= AO，
∴CD=CO+ON+DN= AO+ON+ BN= (AO+BN)+ON= (AB-ON)+ON，
又AB=16，ON=2，
∴CD= ×（16-2）+2=9.
（2）∵C,D两点运动的速度比为1:4，∴BD=4CO.
又OD=4AC，∴BD+OD=4（CO+AC）,
∴OB=4OA，即OA:OB=1：4.
若点M为直线AB上一点，且AM-BM=OM，
①点M在线段AB上时，如图，
∵AM-BM=OM，∴AO+OM-BM=OM，
∴AO=BM，
设AO=x，则BM=x，
由OA:OB=1：4，得BO=4x，AB=5x
∴OM=BO-BM=3x，
∴ .
②当点M在B点右侧时，如图，
∵AM-BM=OM，
∴AB=OM，
∴综上所述： 的值为 或1.
【点睛】本题考查了数轴上的动点问题以及线段中点、线段和差的运算问题，解题的关键
是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系
