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第10讲 全等三角形核心考点及2022中考真题链接（解析版）
第一部分 知识梳理
一、全等三角形的性质
能够完全重合的两个图形叫全等图形，能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.
性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.
几何符号语言：
∵ △ABC≌△DEF
∴ AB=DE，BC=EF，AC=DF
∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F
二、三角形全等的判定方法
三边分别相等的两个三角形全等.
(“边边边”或“SSS”)
几何符号语言：
AB=A BC=B
{ ′B′ ¿{ ′C′ ¿¿¿¿
在△ABC和△A′B′C′中，
∴ △ABC≌△A′B′C′(SSS)
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”).
几何符号语言：
AB=A A=
{ ′B′ ¿{∠ ∠A′ ¿¿¿¿
在△ABC和△A′B′C′中，
∴ △ABC≌△A′B′C′(SAS)
两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全 等(可
以简写成“角边角”或“ASA”).
几何符号语言：
A= AB=A
{∠ ∠A′ ¿{ ′B′ ¿¿¿¿
在△ABC和△A′B′C′中，
∴ △ABC≌△A′B′C′(ASA)
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三
角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”).
定理应用格式：
A= B=
{∠ ∠A′ ¿{∠ ∠B′ ¿¿¿¿
在△ABC和△A′B′C′中，
∴ △ABC≌△A′B′C′(AAS)
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形 全等
(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”).
注意：
(1)“HL”定理是仅适用于Rt△的特殊方法. 因此，判定两个直角三角形全等的方法除了可
以使用“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”外还可以使用“HL”.
(2)应用HL定理时，虽只有两个条件，但必须先有两个
Rt△. 书写格式为：
{AB=A′B′¿¿¿¿
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，
∴ Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL)
三、角平分线的性质与判定第二部分 典例剖析+针对训练
考点一 全等三角形的性质
典例1（钦州期末）如图，已知△ACE≌△DBF．CE＝BF，AE＝DF，AD＝8，BC＝2．
（1）求AC的长度；
（2）试说明CE∥BF．
思路引领：（1）直接利用全等三角形的性质得出对应点相等进而得出AC的长；
（2）利用全等三角形的性质得出对应角相等，进而利用平行线的判定方法得出答案．
解：（1）∵△ACE≌△DBF，
∴AC＝BD，则AB＝DC，
∵BC＝2，
∴2AB+2＝8，
解得：AB＝3，
故AC＝3+2＝5；
（2）∵△ACE≌△DBF，
∴∠ECA＝∠FBD，
∴CE∥BF．
解题秘籍：此题主要考查了全等三角形的性质，正确掌握全等三角形的性质是解题关键．
方法总结
两个全等三角形的长边与长边，短边与短边分别是对应边，大角与大角，小角与小角
分别是对应角.有对顶角的，对顶角一定为一对对应角.有公共边的，公共边一定是对应边.
有公共角的，公共角一定是对应角.
针对训练1
1．（商水县期末）如图所示，△ABD≌△ACD，∠BAC＝90°．
（1）求∠B；（2）判断AD与BC的位置关系，并说明理由．
思路引领：（1）先根据全等三角形的性质得出∠A与∠B的关系，再根据∠BAC的度数
求得∠B的度数；
（2）先根据全等三角形的性质得出∠BDA与∠CDA的关系，再根据∠BDC为平角，求
得∠BDA的度数，即可得出结论．
解：（1）∵△ABD≌△ACD，
∴∠B＝∠C，
又∵∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠C＝45°；
（2）AD⊥BC．
理由：∵△ABD≌△ACD，
∴∠BDA＝∠CDA，
∵∠BDA+∠CDA＝180°，
∴∠BDA＝∠CDA＝90°，
∴AD⊥BC．
解题秘籍：本题主要考查了全等三角形的性质以及垂线的定义．解题时注意，全等三角
形的对应角相等，对应边也相等．
考点二 全等三角形的判定
典例 2（2021•越秀区校级三模）已知，∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC，求证：
△ABC≌△DCB．
思路引领：根据ASA证明△ABC≌△DCB即可．
证明：在△ABC与△DCB中，
{∠ABC=∠DCB
)
BC=CB ，
∠ACB=∠DBC
∴△ABC≌△DCB（ASA）．
解题秘籍：本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，要注意BC是两个三角形的公共边．
针对训练2
2．（2019 秋•尚志市期末）在下列条件中，不能作为判断△ABC≌△DEF 的条件是
（ ）
A．AB＝DE，AC＝DF，∠A＝∠D B．∠A＝∠D，∠B＝∠E，AC＝DF
C．AB＝DE，BC＝EF，∠C＝∠F D．AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF
思路引领：根据全等三角形的判定定理（SAS、ASA、AAS、SSS、直角三角形还有HL）
判断即可．
解：A中可用SAS定理可判定△ABC≌△DEF；
B中可根据AAS定理判定△ABC≌△DEF；
C中AB＝DE，BC＝EF，∠C＝∠F，不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；
D中可根据SSS定理判定△ABC≌△DEF．
故选：C．
解题秘籍：本题考查了对全等三角形的判定定理的理解，熟练地运用全等三角形的判定
定理进行说理是解此题的关键，注意对应相等．
3．（2020 秋•宽城区期末）如图，AB 与 CD 相交于点 O，OC＝OD．若要得到
△AOC≌△BOD，则应添加的条件是 ．（写出一种情况即可）
思路引领：全等三角形的判定方法有SAS，ASA，AAS，SSS，只要添加一个符合的条件
即可．
解：已知OC＝OD，∠AOC＝∠BOD，
添加OA＝OB，利用SAS可得△AOC≌△BOD，
添加∠A＝∠B，利用AAS可得△AOC≌△BOD，
添加∠C＝∠D，利用ASA可得△AOC≌△BOD，
故答案为：OA＝OB（或∠A＝∠B或∠C＝∠D）．
解题秘籍：本题考查了全等三角形的判定，解此题的关键是求出满足三角形全等的三个
条件．
考点三 全等三角形的性质与判定的综合应用
典例3如图，已知，AD为ABC的角平分线，CE⊥AD于点O，CE交AB于E，EF∥BC，
求证：∠DEC＝∠FEC．思路引领：根据ASA推出△EOA≌△COA，推出EO＝CO，根据线段垂直平分线性质求
出DE＝DC，根据等腰三角形性质推出∠DEC＝∠DCE，根据平行线的性质得出∠FEC
＝∠DCE即可．
证明：∵CE⊥AD，
∴∠EOA＝∠COA＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠CAD，
在△EOA和△COA中，
{∠EOA=∠COA
)
AO=AO ，
∠EAO=∠CAO
∴△EOA≌△COA（ASA），
∴EO＝CO，
∵CE⊥AD，
∴DE＝DC，
∴∠DEC＝∠DCE，
∵EF∥BC，
∴∠FEC＝∠DCE，
∴∠DEC＝∠FEC．
解题秘籍：本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和
判定，平行线的性质的应用，解此题的关键是求出∠DEC＝∠DCE，难度适中．
方法总结
利用全等三角形证明角相等，首先要找到两个角所在的两个三角形，看它们全等的条
件够不够；有时会用到等角转换，等角转换的途径很多，如：余角，补角的性质、平行线
的性质等，必要时要想到添加辅助线.
针对训练3
4．（2021•青龙县一模）已知，如图，D是△ABC的边AB上一点，AB∥FC，DF交AC
于点E，DE＝EF．求证：AE＝CE．思路引领：根据ASA证明即可；
证明：∵AB∥FC，
∴∠ADE＝∠F，
在△ADE和△CFE中，
{
∠ADE=∠F
)
DE=EF
∠AED=∠CEF
∴△ADE≌△CFE，
∴AE＝CE．
解题秘籍：本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质、整式的除法等知识，解
题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
考点四 利用全等三角形解决实际问题
典例4（2021春•定边县期末）如图，两根长12m的绳子，一端系在旗杆上的同一位置，另
一端分别固定在地面上的两个木桩上（绳结处的误差忽略不计），现在只有一把卷尺，
如何来检验旗杆是否垂直于地面？请说明理由．
思路引领：用卷尺测量出BD＝CD，然后利用“SSS”证明△ABD和△ACD全等，根据
全等三角形对应角相等可得∠ADB＝∠ADC，再求出∠ADB＝∠ADC＝90°，即可进行
判定．
解：用卷尺测量出BD、CD，看它们是否相等，若BD＝CD，则AD⊥BC．
理由如下：∵在△ABD和△ACD中，
{AB=AC
)
BD=CD ，
AD=AD
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠ADB＝∠ADC，
又∵∠ADB+∠ADC＝180°，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，即AD⊥BC．
解题秘籍：本题考查了全等三角形的应用，比较简单，关键在于利用全等三角形对应角
相等判断∠ADB＝∠ADC＝90°．
针对训练4
5．（2021春•永登县期末）如图，有一湖的湖岸在A、B之间呈一段圆弧状，A、B间的距
离不能直接测得．你能用已学过的知识或方法设计测量方案，求出A、B间的距离吗？
思路引领：过点B作AB的垂线BF，在BF上取两点C、D，使CD＝BC，再定出BF的
垂线DE，使A、C、E在一条直线上，可证△EDC≌△ABC，即可证明DE＝BA．
解：要测量A、B间的距离，可用如下方法：
过点B作AB的垂线BF，在BF上取两点C、D，使CD＝BC，
再作出BF的垂线DE，使A、C、E在一条直线上，
∵∠ACB＝∠ECD，CB＝CD，∠ABC＝∠EDC，
∴△EDC≌△ABC（ASA）．
∴DE＝BA．
答：测出DE的长就是A、B之间的距离．
解题秘籍：本题考查了全等三角形在实际生活中的应用，全等三角形的证明，全等三角
形对应边相等的性质，本题中求证△EDC≌△ABC是解题的关键．
方法总结
利用全等三角形可以测量一些不易测量的距离和长度，还可对某些因素作出判断，一
般采用以下步骤：
(1)先明确实际问题；
(2)根据实际抽象出几何图形；
(3)经过分析，找出证明途径；
(4)书写证明过程.
考点五 角平分线的性质与判定
典例5（2021秋•宿城区校级月考）如图，已知∠1＝∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于
F，PA＝PC．
（1）求证：∠PCB+∠BAP＝180°．（2）写出BA+BC与BF之间的等量关系，并说明理由．
思路引领：（1）过点P作PE⊥BA于E，由角平分线的性质可得PE＝PF，由“HL”可
证Rt△PEA≌Rt△PFC，可得∠PAE＝∠PCB，即可得结论；
（ 2 ） 由 Rt△ PAE≌ Rt△ PCF 可 得 出 AE ＝ CF ， 结 合 PB ＝ PB 即 可 证 出
Rt△PBE≌Rt△PBF，进而得出 BE＝BF，再根据边与边之间的关系即可得出 2BF＝
AB+AC．
解：（1）作PE⊥BA于E，
∵∠1＝∠2，PF⊥BC，
∴PE＝PF，
在Rt△APE和Rt△CPF中，
AP＝PC，PE＝PF，
∴Rt△APE≌Rt△CPF（HL），
∴∠EAP＝∠PCF，
∵∠EAP+∠BAP＝180°，
∴∠PCF+∠BAP＝180°，
∴∠PCB+∠BAP＝180°，
（2）∵∠1＝∠2，BP＝BP，∠BEP＝∠BFP，
∴△BPE≌△BPF（AAS），
∴BF＝BE，
∴BF＝BE，
＝AB+AE
＝AB+FC
＝AB+BC﹣BF，
∴2BF＝AB+BC，
解题秘籍：本题考查了全等三角形的判定于性质、角平分线的性质以及邻补角，解题的关 键 是 ： （ 1 ） 利 用 HL 证 明 Rt△ PAE≌ Rt△ PCF ； （ 2 ） 利 用 HL 证 明
Rt△PBE≌Rt△PBF．
针对训练5
6．（2016秋•西城区校级期中）已知：如图，∠1＝∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于
F，PA＝PC，
（1）求证：∠PCB+∠BAP＝180°；
（2）线段BF、线段BC、线段AB之间有何数量关系？写出你的猜想及证明思路．
思路引领：（1）过P点作PE⊥BA于点E，由∠1＝∠2利用角平分线的性质即可得出
PE＝PF，结合PA＝PC即可利用全等三角形的判定定理 HL证出Rt△PAE≌Rt△PCF，
由此可得出∠PCF＝∠PAE，再根据邻补角互补可得出∠PAE+∠BAP＝180°，将∠PAE
替换成∠PCB即可证出结论；
（ 2 ） 由 Rt△ PAE≌ Rt△ PCF 可 得 出 AE ＝ CF ， 结 合 PB ＝ PB 即 可 证 出
Rt△PBE≌Rt△PBF，进而得出 BE＝BF，再根据边与边之间的关系即可得出 2BF＝
AB+AC．
（1）证明：过P点作PE⊥BA于点E，如图所示．
∵∠1＝∠2，PF⊥BC，
∴PE＝PF．
{PA=PC)
在Rt△PAE与Rt△PCF中， ，
PE=PF
∴Rt△PAE≌Rt△PCF（HL），
∴∠PCF＝∠PAE．
∵∠PAE+∠BAP＝180°，
∴∠PCB+∠BAP＝180°．
（2）解：2BF＝AB+BC．
证明：∵Rt△PAE≌Rt△PCF，
∴AE＝CF．
{PB=PB)
在Rt△PBE和Rt△PBF中， ，
PE=PF
∴Rt△PBE≌Rt△PBF（HL），
∴BE＝BF．
∴2BF＝BE+BF＝AB+AE+BF＝AB+FC+BF＝AB+AC．解题秘籍：本题考查了全等三角形的判定于性质、角平分线的性质以及邻补角，解题的
关 键 是 ： （ 1 ） 利 用 HL 证 明 Rt△ PAE≌ Rt△ PCF ； （ 2 ） 利 用 HL 证 明
Rt△PBE≌Rt△PBF．
能力提升
12．（2021•香洲区校级模拟）在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上的一点（不与点
B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连
接CE．
（1）如图，点D在线段BC上，若∠BAC＝90°，则∠BCE等于 度；
（2）设∠BAC＝ ，∠BCE＝ ．
①如图，若点D在线段BC上移动，则 与 之间有怎样的数量关系？请说明理由；
α β
②若点D在直线BC上移动，则 与 之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
α β
α β
思路引领：（1）可以证明△BAD≌△CAE，得到∠B＝∠ACE，证明∠ACB＝45°，即可
解决问题．
（2）证明△BAD≌△CAE，得到∠B＝∠ACE， ＝∠ABC+∠ACB，即可解决问题．
（3）证明△BAD≌△CAE，得到∠ABD＝∠ACE，借助三角形外角性质即可解决问题．
β
解：（1）如图1，∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE；
{
AB=AC
)
在△BAD与△CAE中， ∠BAD=∠CAE ，
AD=AE
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠B＝∠ACE，
∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，
故答案为90．
（2）如图2， + ＝180°；理由如下：
∵∠BAC＝∠DAE，
α β
∴∠BAD＝∠CAE；在△BAD与△CAE中，
{
AB=AC
)
∠BAD=∠CAE ，
AD=AE
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠B＝∠ACE， ＝∠ABC+∠ACB，
∴ + ＝180°．
β
（3）①∵∠DAE＝∠BAC，
α β
∴∠DAB＝∠EAC；
在△BAD与△CAE中，
{
AB=AC
)
∠BAD=∠CAE ，
AD=AE
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠B＝∠ACE，
∴∠ABD＝∠ACE；而∠ABD＝∠ACB+ ， ＝∠ACE﹣∠ACB，
∴ ＝∠ACB+ ﹣∠ACB，
α β
∴ ＝ ．
β α
②当D在CB的延长线时， ＝ ．
α β
当D在BC的延长线上或线段BC上时， + ＝180°．
α β
α β
解题秘籍：该题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及其性质等几何
知识点及其应用问题；应牢固掌握等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及其性质
等几何知识点．
第三部分 2022 中考真题链接
1．（2022•扬州）如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块．
小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为△ABC，提
供下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（ ）A．AB，BC，CA B．AB，BC，∠B C．AB，AC，∠B D．∠A，∠B，BC
思路引领：直接利用全等三角形的判定方法分析得出答案．
解：A．利用三角形三边对应相等，两三角形全等，三角形形状确定，故此选项不合题
意；
B．利用三角形两边、且夹角对应相等，两三角形全等，三角形形状确定，故此选项不
合题意；
C．AB，AC，∠B，无法确定三角形的形状，故此选项符合题意；
D．根据∠A，∠B，BC，三角形形状确定，故此选项不合题意；
故选：C．
解题秘籍：此题主要考查了全等三角形的应用，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关
键
2．（2022•成都）如图，在△ABC 和△DEF 中，点 A，E，B，D 在同一直线上，
AC∥DF，AC＝DF，只添加一个条件，能判定△ABC≌△DEF 的是（ ）
A．BC＝DE B．AE＝DB C．∠A＝∠DEF D．∠ABC＝∠D
思路引领：先根据平行线的性质得到∠A＝∠D，加上AC＝DF，则可根据全等三角形的
判定方法对各选项进行判断．
解：∵AC∥DF，
∴∠A＝∠D，
∵AC＝DF，
∴当添加∠C＝∠F时，可根据“ASA”判定△ABC≌△DEF；
当添加∠ABC＝∠DEF时，可根据“AAS”判定△ABC≌△DEF；
当添加AB＝DE时，即AE＝BD，可根据“SAS”判定△ABC≌△DEF．
故选：B．
解题秘籍：本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的 5种判定方法是解决问
题的根据，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
3（2022•云南）如图，OB平分∠AOC，D、E、F分别是射线OA、射线OB、射线OC上的
点，D、E、F与O点都不重合，连接ED、EF．若添加下列条件中的某一个，就能使△DOE≌△FOE．你认为要添加的那个条件是（ ）
A．OD＝OE B．OE＝OF C．∠ODE＝∠OED D．∠ODE＝∠OFE
思路引领：由 OB 平分∠AOC，得∠DOE＝∠FOE，由 OE＝OE，可知∠ODE＝
∠OFE，即可根据AAS得△DOE≌△FOE，可得答案．
解：∵OB平分∠AOC，
∴∠DOE＝∠FOE，
又OE＝OE，
若∠ODE＝∠OFE，则根据AAS可得△DOE≌△FOE，故选项D符合题意，
而增加OD＝OE不能得到△DOE≌△FOE，故选项A不符合题意，
增加OE＝OF不能得到△DOE≌△FOE，故选项B不符合题意，
增加∠ODE＝∠OED不能得到△DOE≌△FOE，故选项C不符合题意，
故选：D．
解题秘籍：本题考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形判定定理并会应
用．
4．（2022•金华）如图，AC与BD相交于点O，OA＝OD，OB＝OC，不添加辅助线，判
定△ABO≌△DCO的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
思路引领：根据题目中的条件和全等三角形的判定方法，可以得到判定△ABO≌△DCO
的依据．
解：在△AOB和△DOC中，
{
OA=OD
∠ADB=∠DOC，
OB=OC∴△AOB≌△DOC（SAS），
故选：B．
解题秘籍：本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，写出△AOB和
△DOC全等的证明过程．
5．（2022•梧州）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，过点D分别作
DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是点 E，F，则下列结论错误的是（ ）
A．∠ADC＝90° B．DE＝DF C．AD＝BC D．BD＝CD
思路引领：由等腰三角形的性质可得AD⊥BC，BD＝CD，∠B＝∠C，由“AAS”可证
△BDE≌△CDF，可得DE＝DF．
解：∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，BD＝CD，∠B＝∠C，
∴∠ADC＝90°，
在△BDE和△CDF中，
{
∠B=∠C
∠BED=∠CFD，
BD=CD
∴△BDE≌△CDF（AAS），
∴DE＝DF，
故选：C．
解题秘籍：本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握等腰三角形
的性质是解题的关键．
6．（2022•黑龙江）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，
请你添加一个条件 ，使△AOB≌△COD．
思路引领：此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即
可．
解：添加的条件是OB＝OD，理由是：在△AOB和△COD中，
{
AO=CO
∠AOB=∠COD，
BO=DO
∴△AOB≌△COD（SAS），
故答案为：OB＝OD（答案不唯一）．
解题秘籍：本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题
的关键，注意：全等三角形的判定定理是 SAS，SAS，AAS，SSS，两直角三角形全等还
有HL等．7．（2022•株洲）如图所示，点 O在一块直角三角板 ABC上（其中∠ABC＝30°），
OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N，若OM＝ON，则∠ABO＝ 度．
思路引领：根据 OM⊥AB，ON⊥BC，可知∠OMB＝∠ONB＝90°，从而可证
Rt△OMB≌Rt△ONB（HL），根据全等三角形的性质可得∠OBM＝∠OBN，即可求出
∠ABO的度数．
解：∵OM⊥AB，ON⊥BC，
∴∠OMB＝∠ONB＝90°，
在Rt△OMB和Rt△ONB中，
{OM=ON
，
OB=OB
∴Rt△OMB≌Rt△ONB（HL），
∴∠OBM＝∠OBN，
∵∠ABC＝30°，
∴∠ABO＝15°，
故答案为：15．
解题秘籍：本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握判定直角三角形全等特有的
方法（HL）是解题的关键．
8．（2022•云南）已知△ABC是等腰三角形．若∠A＝40°，则△ABC的顶角度数是
．
思路引领：分∠A是顶角和底角两种情况讨论，即可解答．
解：当∠A是顶角时，△ABC的顶角度数是40°；
当∠A是底角时，则△ABC的顶角度数为180°﹣2×40°＝100°；
9．（2022•铜仁市）如图，点C在BD上，AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，AB＝CD．求证：
△ABC≌△CDE．思路引领：根据一线三垂直模型利用AAS证明△ABC≌△CDE即可．
证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，
∴∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，
∴∠DCE+∠DEC＝90°，∠BCA+∠DCE＝90°，
∴∠BCA＝∠DEC，
在△ABC和△CDE中，
{∠BCA=∠DEC
∠B=∠D ，
AB=CD
∴△ABC≌△CDE（AAS）．
解题秘籍：本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握一线三垂直模型是解题的关键．
10．（2022•长沙）如图，AC平分∠BAD，CB⊥AB，CD⊥AD，垂足分别为B，D．
（1）求证：△ABC≌△ADC；
（2）若AB＝4，CD＝3，求四边形ABCD的面积．
思路引领：（1）由AC平分∠BAD，得∠BAC＝∠DAC，根据CB⊥AB，CD⊥AD，得
∠B＝90°＝∠D，用AAS可得△ABC≌△ADC；
1
（2）由（1）△ABC≌△ADC，得BC＝CD＝3，S△ABC ＝S△ADC ，求出S△ABC =
2
AB•BC
＝6，即可得四边形ABCD的面积是12．
（1）证明：∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，
∵CB⊥AB，CD⊥AD，
∴∠B＝90°＝∠D，
在△ABC和△ADC中，
{
∠B=∠D
∠BAC=∠DAC，
AC=AC
∴△ABC≌△ADC（AAS）；
（2）解：由（1）知：△ABC≌△ADC，
∴BC＝CD＝3，S△ABC ＝S△ADC ，
1 1
∴S△ABC =
2
AB•BC =
2
×4×3＝6，
∴S△ADC ＝6，
∴S四边形ABCD ＝S△ABC +S△ADC ＝12，
答：四边形ABCD的面积是12．
11．（2022•乐山）如图，B 是线段 AC 的中点，AD∥BE，BD∥CE．求证：
△ABD≌△BCE．
思路引领：根据ASA判定定理直接判定两个三角形全等．
证明：∵点B为线段AC的中点，
∴AB＝BC，
∵AD∥BE，
∴∠A＝∠EBC，
∵BD∥CE，
∴∠C＝∠DBA，
在△ABD与△BCE中，
{∠A=∠EBC
AB=BC ，
∠DBA=∠C
∴△ABD≌△BCE．（ASA）．解题秘籍：本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题
的关键．
12．（2022•陕西）如图，在△ABC中，点D在边BC上，CD＝AB，DE∥AB，∠DCE＝
∠A．求证：DE＝BC．
思路引领：利用平行线的性质得∠EDC＝∠B，再利用ASA证明△CDE≌△ABC，可得
结论．
证明：∵DE∥AB，
∴∠EDC＝∠B，
在△CDE和△ABC中，
{∠EDC=∠B
CD=AB ，
∠DCE=∠A
∴△CDE≌△ABC（ASA），
∴DE＝BC．
解题秘籍：本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全
等三角形的判定与性质是解题的关键
13．（2022•怀化）如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点
N，使CN＝AM，连接MN交AC于点P，MH⊥AC于点H．
（1）求证：MP＝NP；
（2）若AB＝a，求线段PH的长（结果用含a的代数式表示）．思路引领：（1）过点M作MQ∥BC，交AC于点Q，根据等边三角形的性质以及平行
线的性质可得∠AMQ＝∠AQM＝∠A＝60°，可得△AMQ 是等边三角形，易证
△QMP≌△CNP（AAS），即可得证；
（2）根据等边三角形的性质可知 AH＝HQ，根据全等三角形的性质可知 QP＝PC，即
可表示出HP的长．
（1）证明：过点M作MQ∥BC，交AC于点Q，如图所示：
在等边△ABC中，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，
∵MQ∥BC，
∴∠AMQ＝∠B＝60°，∠AQM＝∠ACB＝60°，∠QMP＝∠N，
∴△AMQ是等边三角形，
∴AM＝QM，
∵AM＝CN，
∴QM＝CN，
在△QMP和△CNP中，{∠QPM=∠CPN
∠QMP=∠N ，
QM=CN
∴△QMP≌△CNP（AAS），
∴MP＝NP；
（2）解：∵△AMQ是等边三角形，且MH⊥AC，
∴AH＝HQ，
∵△QMP≌△CNP，
∴QP＝CP，
1
∴PH＝HQ+QP= AC，
2
∵AB＝a，AB＝AC，
1
∴PH= a．
2
解题秘籍：本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，平行线的
性质等，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
14．（2022•黑龙江）△ABC和△ADE都是等边三角形．
（1）将△ADE绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与
点A重合），有PA+PB＝PC（或PA+PC＝PB）成立（不需证明）；
（2）将△ADE绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想
线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；
（3）将△ADE绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想
线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．
思路引领：（2）证明△ABD≌△ACE（SAS）和△BAF≌△CAP（SAS），得AF＝AP，∠BAF＝∠CAP，再证明△AFP是等边三角形，最后由线段的和可得结论；
（3）如图③，在PC上截取CM＝PB，连接AM，同理可得结论．
解：（2）PB＝PA+PC，理由如下：
如图②，在BP上截取BF＝PC，连接AF，
∵△ABC、△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠CAD+∠DAE，
即∠DAB＝∠EAC，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵AB＝AC，BF＝CP，
∴△BAF≌△CAP（SAS），
∴AF＝AP，∠BAF＝∠CAP，
∴∠BAC＝∠PAF＝90°，
∴△AFP是等边三角形，
∴PF＝PA，
∴PB＝BF+PF＝PC+PA；
（3）PC＝PA+PB，理由如下：
如图③，在PC上截取CM＝PB，连接AM，同理得：△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵AB＝AC，PB＝CM，
∴△AMC≌△APB（SAS），
∴AM＝AP，∠BAP＝∠CAM，
∴∠BAC＝∠PAM＝60°，
∴△AMP是等边三角形，
∴PM＝PA，
∴PC＝PM+CM＝PA+PB．
解题秘籍：本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握
等边三角形的性质，证明△ABD≌△ACE是解题的关键，属于中考常考题型．
