文档内容
第12章 全等三角形 单元检测
一、单选题
1．如图所示，亮亮课本上的三角形被墨迹涂抹了一部分，但他根据所学知识很快画出
了一个完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
【答案】D
【解析】【解答】解：由图可知，三角形两角及夹边还存在，
∴可以根据三角形两角及夹边作出图形，
所以，依据是ASA.
故答案为：D.
【分析】图中三角形没被污染的部分有两角及夹边，根据全等三角形的判定方法解答
即可.
2．如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BE平分∠ABC,ED⊥AB于点D,若AC=5cm,则AE+DE
等于（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【答案】C
【解析】【解答】∵BE平分∠ABC，∠ACB=90°，ED⊥AB，
∴EC=ED，
∴AE+DE=AE+CE=AC=5cm，
故答案为：C
【分析】根据角平分线的性质得到EC=ED，计算即可．
3．全等图形是指两个图形（ ）
A．能够重合 B．形状相同 C．大小相同 D．相等
【答案】A
【解析】【解答】解：全等图形是指两个图形能够重合，
故选：A．
【分析】根据能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案．4．如图，已知 △OAC ≌ △OBD ，若 OC=13 ， OB=7 ，则 AD 的长为
（ ）.
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【解析】【解答】解：∵△OAC ≌ △OBD ，
∴OC=OD ， OB=OA ，
∵OC=13 ， OB=7 ，
∴AD=OD-OA=OC-OB=13-7=6 .
故答案为：B.
【分析】根据全等三角形的对应边相等得出OD=13，OA=7，进而根据线段的和差，由
AD=OD-OA即可得到结论.
5．如图所示，AC=CD，∠B=∠E=90°，AC⊥CD，则不正确的结论是（ ）
A．AC=BC+CE B．∠A=∠2
C．△ABC≌△CED D．∠A与∠D互余
【答案】A
【解析】【解答】解：∵∠B=∠E=90°，
∴∠A+∠1=90°，∠D+∠2=90°，
∵AC⊥CD，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠A=∠2，故B正确；
∴∠A+∠D=90°，故D正确；
在△ABC和△CED中，
{∠A=∠2
∠B=∠E ，
AC=CD
∴△ABC≌△CED（AAS），故C正确；∴AB=CE，DE=BC，
∴BE=AB+DE，故A错误．
故选：A．
【分析】利用同角的余角相等求出∠A=∠2，再利用“角角边”证明△ABC和△CDE
全等，根据全等三角形对应边相等，对应角相等，即可解答．
6．如图，请仔细观察用直尺和圆规作一个角 ∠A'O'B' 等于已知角 ∠AOB 的示意
图，请你根据所学的图形的全等这一章的知识，说明画出 ∠A'O'B'=∠AOB 的依
据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
【答案】D
【解析】【解答】由作法易得OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，依据SSS可判定
△COD≌△C'O'D'，则∠A′O′B′=∠AOB．
故答案为：D．
【分析】利用用尺规作图作一个角等于已知角的方法，可知利用的是SSS证明
△COD≌△C'O'D'。
7．如图，在△ACE和△BDF中，AE＝BF，CE＝DF，要利用“SSS”证△ACE≌△BDF
时，需添加一个条件是( )
A．AB＝BC B．DC＝BC C．AB＝CD D．以上都
不对
【答案】C
【解析】【解答】要利用“SSS”证明 △ACE ≌ △BDF 时，需 AC=BD.
∵AC=AB+BC，BD=CD+BC，AC=BD，
∴AB=CD.
故答案为：C.
【分析】要利用“SSS”证明△ACE≌△BDF时，根据有三边对应相等的两个三角形全等结合已知条件可知，需AC=BD即可。
8．如图，AC、BD交于E点，AC=BD，AE=BE，∠B=35°，∠1=95°，则∠D的度数
是（ ）
A．40° B．35° C．60° D．75°
【答案】C
【解析】【解答】解：AC=BD，AE=BE，
∴DE=CE，
在△ADE和△BCE中，
{
AE=BE
∠AED=∠BEC ，
DE=CE
∴△ADE≌△BCE，
∴∠D=∠C，
∵∠B=35°，∠1=95°，
∠C=∠1﹣∠B=60°，
∴∠D=60，
故答案为：C．
【分析】由已知可得△ADE≌△BCE，再利用全等性质转化∠D=∠C，由三角形内角和
定理求出∠D=60°.
9．下列能判定两个三角形全等的是（ ）
①三条边对应相等；②三个角对应相等；③两边和一个角对应相等；
④两角和它们的夹边对应相等；⑤两角和一个角的对边对应相等．
A．①②③ B．①③⑤ C．②③④ D．①④⑤
【答案】D
【解析】【解答】解：①三条边对应相等可利用SSS判定两个三角形全等；②三个角
对应相等不能判定两个三角形全等；③两边和一个角对应相等不能两个三角形全等；
④两角和它们的夹边对应相等，可利用ASA判定两个三角形全等；⑤两角和一个角的
对边对应相等可利用AAS判定两个三角形全等．
故选：D．
【分析】利用全等三角形的判定方法SSS、SAS、ASA、AAS、HL分别进行分析即可．
10．如图，△ABC中，∠C=90°、AD是角平分线，E为AC边上的点，DE=DB，下列1
结论：①∠DEA＋∠B=180°；② ∠CDE=∠CAB；③ AC= (AB＋AE)；④ S =
2 △ADC
1
S ，其中正确的结论个数为( )
2 四边形ABDE
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【解析】【解答】解：在AB上截取AF＝AE，交AB于点F，如图所示：
∵AD是∠CAB的角平分线，
∴∠EAD＝∠FAD,
在△AED和△AFD中，
{
AE=AF
∠EAD＝∠FAD ，
AD=AD
∴△AED≌△AFD（SAS），
∴∠DEA＝∠DFA，DF＝DE，
又∵DE=DB，
∴DF＝DB，
∴∠DFB＝∠B，
又∵∠DFA+∠DFB＝180o，∠DEA＝∠DFA，
∴∠DEA＋∠B=180°(等量代换),
又∵∠CED+∠AED＝180o,
∴∠CED=∠B,
又∵∠C+∠CED+∠CDE＝180o，∠C+∠CAB+∠B＝180o，
∴∠CDE＝∠CAB，
过点D作DG ⊥ AB于点G，如图所示：∵DG＝DB（已证），
∴DG是BF的垂直平分线，
∴FG＝BG，
∵AD是是∠CAB的角平分线，∠C=90°，DG ⊥ AB，
∴DC＝DG，
在△ADC和△AGD中
{∠C=∠AGD=90o
∠CAD=∠GAD ，
AD=AD
∴△ADC≌△AGD（AAS），
∴AC＝AG，
又∵AC＝AE+CE，AG＝AF+FG，
∴AE+CE＝AF+FG，
又∵AE＝AF，
∴CE＝FG，
又∵FG＝BG，
∴CE＝BG，
∴AC＝AE+BG，
又∵AB+AE＝AG+BG+AE，AG＝AC，
1
∴AB+AE＝AC+AC＝2AC，即AC= (AB＋AE)，
2
1 1
∵S ＝S +S ＝ AB·DG+ AE·DC ，
四边形ABDE △ABD △AED 2 2
1 1
∴S = DG·(AB+AE)= DC×2×AC=DC·AC ，
四边形ABDE 2 2
1
又∵S ＝ AC•DC ，
△ADC 2
1
∴S = S .
△ADC 2 四边形ABDE
故①②③④都正确，共计4个正确.
故答案为：A.【分析】主要运用了角平分线到角两边的距离相等，类似题型：有角平分线和角平分
线上的点到一边的垂线段，做辅助线的常用方法是过这个点作另一边的垂线段，解决
本题关键是作辅助线.
二、填空题
11．如图，某人将一块三角形玻璃打碎成两块，带 块（填序号）能到玻璃店
配一块完全一样的玻璃，用到的数学道理是 .
【答案】②；ASA
【解析】【解答】解：观察可知，只有②有完整的两个角与一条边，可以根据“角边
角”配出一块全等的三角形，
故是带②去，全等的依据是ASA.
故答案为：②；ASA
【分析】根据全等三角形的判定方法，选出一块符合三角形全等条件的即可.
12．如图，△ABD≌△ACE，AD=8cm，AB=3cm，则BE= cm
【答案】5
【解析】【解答】∵△ABD≌△ACE
∴AD=AE=8cm
∴BE=AE-AB=8-3=5cm
【分析】根据全等三角形的对应边相等，可得AD=AE=8cm，由BE=AE-AB，求出BE
的长.
13．已知平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为（1，0），（1，3），以A、
B、P为顶点的三角形与△ABO全等，写出一个符合条件的点P的坐标：
【答案】（0，3）或（2，3）或（2，0）
【解析】【解答】解：如图所示：
点P（0，3）或（2，3）或（2，0）．
故答案为：（0，3）或（2，3）或（2，0）．【分析】首先根据A、B两点坐标确定△ABO，再根据SSS定理结合网格确定P点位
置．
14．如图, DE⊥AB 于 E , DF⊥AC 于 F ,若 BD=CD,BE=CF ，则下列结论:
①DE=DF ;②AD 平分 ∠BAC ;③AE=AD ;④AC-AB=2BE 中 正确的是
.
【答案】①②④
【解析】【解答】解：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， ∴∠E=∠DFC=90°，
{BD=CD
在Rt△BDE和Rt△CDF中， ， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
BE=CF
∴DE=DF，①正确；
∴AD平分∠BAC，②正确；
∵在Rt△ADE中，AE是斜边， ∴AE＞AD，③不正确；
∵Rt△ADE≌Rt△ADF， ∴AE=AF， ∴AB+AC=AB+AF+CF=AB+AE+BE=2AE，④正
确；
正确的是①②④.
【分析】首先根据HL判断出Rt△BDE≌Rt△CDF，根据全等三角形的对应边相等得出
DE=DF，①正确；根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上判断出AD平分
∠BAC，②正确；根据直角三角形的斜边最大得出AE＞AD，③不正确；很容易判断
出Rt△ADE≌Rt△ADF，根据全等三角形的对应边相等得出AE=AF进而根据线段的和
差及等量代换，由AB+AC=AB+AF+CF=AB+AE+BE=2AE，④正确，综上所述即可得出答案。
15．如图，点D,E分别在线段AB，AC上，AE=AD，不添加新的线段和字母，要使
△ABE≌△ACD，需添加的一个条件是 （只写一个条件即可）．
【答案】∠B=∠C
【解析】【解答】解：添加∠B=∠C．
{∠A=∠A
在△ABE和△ACD中，∵ ∠B=∠C ，
AE=AD
∴△ABE≌△ACD（AAS）．
故答案可为：∠B=∠C．
【分析】由题意得，AE=AD，∠A=∠A（公共角），可选择利用AAS、SAS进行全等
的判定，答案不唯一．
三、作图题
16．按下列要求画图:
（1）画线段AC的中点D，并作直线BD；
（2）画∠A的平分线交BC于点E；
（3）过点C画AB的垂线段CF，垂足为点F.
【答案】（1）解：如图所示.（2）解：如图所示.
（3）解：如图所示.
【解析】【分析】（1）利用垂直平分线的作法，作AC的垂直平分线，与AC相交的
点即为D点，然后连接BD即可；（2）利用角平分线的作法，作∠A的角平分线，与
BC相交的点即为E点；（3）利用直尺作CF垂直AB于F点即可.
四、解答题
17．如图，点A，C，F，D在同一直线上，AF=DC，AB=DE，BC=EF.
求证：∠A=∠D.【答案】证明：∵AF=DC
∴AF-CF=DC-CF
即AC=DF
在ΔABC与ΔDEF中，
{AB=DE
BC=EF
AC=DF
∴△ABC≅△DEF(SSS)
∴∠A=∠D.
【解析】【分析】利用“SSS”证明△ABC≅△DEF，再利用全等三角形的性质可得
∠A=∠D。
18．如图：点 B 、 F 、 C 、 E 在一条直线上， FB=CE 、 AB//ED ，
AB=DE ，
求证： AC=DF ．
【答案】证明： ∵FB=CE
∴FB+CF=CE+CF ，即 BC=EF
∵AB//ED
∴∠B=∠E
{BC=EF
在 △ABC 和 △DEF 中， ∠B=∠E
AB=DE
∴△ABC≅△DEF(SAS)
∴AC=DF ．
【解析】【分析】先根据线段的和差得出 BC=EF ，再根据平行线的性质得出∠B=∠E ，最后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证．
五、综合题
19．如图，在△ABC中，∠B=∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为
点E、F.
（1）求证∶DE=DF；
（2）若∠BDE=55°，求∠BAC的度数.
【答案】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°，
∵D是BC的中点，
∴BD=CD，
在△BED与△CFD中
{∠BED=∠CFD
∠B=∠C
BD=CD
∴△BED≌△CFD（AAS） ，
∴DE=DF
（2）解：∵∠BDE=55°，DE⊥AB，
∴∠C=∠B= 35° ，
∴∠BAC= 180°-35°-35°=110°.
【解析】【分析】（1）由垂直的概念可得∠BED=∠CFD=90°，由线段中点的概念可得
BD=CD，从而利用AAS证明△BED≌△CFD，根据全等三角形的对应边相等可得结论；
（2）根据直角三角形两锐角互余的性质可得∠C=∠B=35°，接下来根据三角形内角和
定理进行求解.
20．如图， AB=CB ， ∠ABC=90° ，D为 AB 延长线上一点，点E在 BC 边上，
且 BE=BD ，连结 AE 、 DE 、 DC .（1）求证： ΔABE≅ΔCBD ；
（2）若 AB=6 ， CE=2BE ，求 ΔADC 的面积.
【答案】（1）证明 ∵∠ABC=90° ， D 为 AB 延长线上一点，
∴∠ABE=∠CBD=90° ，
{
AB=CB
在 ΔABE 和 ΔCBD 中， ∠ABE=∠CBD ，
BE=BD
∴ΔABE≅ΔCBD(SAS) .
（2）解： ∵AB=CB ， AB=6 ，
∴CB=6 ，
1
∴S = ×6×6=18 .
ΔABC 2
∵CE=2BE ，
∴BE=2 ，
又由 ΔABE≅ΔCBD 知 BE=BD ，
∴BD=2 .
1
∴S = ×2×6=6 .
ΔBCD 2
∴ΔADC 的面积 =S +S =24 .
ΔBCD ΔABC
【解析】【分析】（1）利用已知易证∠ABE=∠CBD=90°，利用SAS证明
△ABE≌△CBD；
（2）利用全等三角形的对应边相等，可证得AB=BC，利用三角形的面积公式求出
△ABC的面积；再求出BE的长，同时可求出BD的长，然后利用三角形的面积公式求
出△ADC的面积.
21．如图，点 A 、 F 、 C 、 D 在一条直线上，已知 BC//FE ，且 BC=FE ，
∠B=∠E ．
（1）求证： △ABC ≌ △DEF ；
（2）若 AF=7cm ， FD=27cm ，求线段 FC 的长．
【答案】（1）证明：∵BC//FE ，
∴∠ACB=∠DFE ．
在 △ABC 和 △DEF 中，{
∠B=∠E
BC=EF ，
∠ACB=∠DFE
∴△ABC ≌ △DEF （ASA）
（2）解：由（1）得 △ABC ≌ △DEF ，
∴AC=FD ．
∵FD=27cm ，
∴AC=27cm ．
∵FC=AC-AF ， AF=7cm ，
∴FC=27cm-7cm=20cm ．
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质，可得∠ACB=∠DFE△ABC≌△DEF；
（2）根据全等三角形的性质，可得AC=FD=27cm，由FC=AC-AF计算即得.
22．已知 ΔABC 是等边三角形，点 D、E 分别在 AB、AC 上，且 AD=CE ，
（1）求证： ΔADC ≌ ΔCEB ；
（2）求出 ∠BFD 的度数．
【答案】（1）证明： ∵ΔABC 是等边三角形，
∴AC=CB , ∠CAD=∠ACB=60°
在 ΔADC 与 ΔCEB 中
{
AC=CB
∠CAD=∠ACB
AD=CE
∴ΔADC ≌ ΔCEB .
（2）解： ∵ΔADC ≌ ΔCEB .
∴∠ACD=∠CBE
∴∠BFD=∠FCB+∠CBE=∠FCB+∠ACF=60°
∴∠BFD=60°
【解析】【分析】(1)根据等边三角形的性质可得 AC=CB , ∠CAD=∠ACB=60° ,
根据 SAS 可以推出
ΔADC ≌ ΔCEB .(2)根据 ΔADC ≌ ΔCEB 可得 ∠ACD=∠CBE ,根据三角形外角
性质求出 ∠BFD 的度数．23．如图，已知正方形ABCD的边长为10厘米，点E在边AB上，且AE=4厘米，如
果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上
由C点向D点运动．设运动时间为t秒．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过2秒后，△BPE与△CQP是
否全等？请说明理由；
（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，则当t为何值时，能够使△BPE
与△CQP全等；此时点Q的运动速度为多少．
【答案】（1）解：△BPE与△CQP全等．
∵点Q的运动速度与点P的运动速度相等，且t=2秒，
∴BP=CQ=2×2=4厘米，
∵AB=BC=10厘米，AE=4厘米，
∴BE=CP=6厘米，
∵四边形ABCD是正方形，
{BP=CQ
∴在Rt△BPE和Rt△CQP中， , ，
BE=CP
∴Rt△BPE≌Rt△CQP；
（2）解：∵点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，
∴BP≠CQ，
∵∠B=∠C=90°，
∴要使△BPE与△OQP全等，只要BP=PC=5厘米，CQ=BE=6厘米，即可．
BP 5
∴点P，Q运动的时间t= = （秒）
2 2
CQ 12
此时点Q的运动速度为 V = = （厘米/秒）．
Q t 5
【解析】【分析】（1）根据题意，由直角三角形的判定解决问题即可（2）根据全等
三角形的判定解决问题即可
