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第27章 相似 A卷
满分 120分
一、单选题
CD 3 CE
1. ( 3分 ) 如图，在△ABC中，DE∥AB，且 ＝ ，则 的值为（ ）
BD 2 CA
3 2 4 3
A. B. C. D.
5 3 5 2
【答案】 A
【考点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵DE//AB，
CE CD 3
∴ = =
AE BD 2
CE 3
∴ 的值为 .
CA 5
故答案为：A.
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到比例式即可解答.
2. ( 3分 ) 图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（ ）
A. 点P B. 点D C. 点M D. 点N
【答案】 A
【考点】位似变换
1【解析】【解答】解：∵位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上，点M、N为对应点，所以位
似中心在M、N所在的直线上，
因为点P在直线MN上，
所以点P为位似中心．
故答案为：A．
【分析】根据位似变换的定义：对应点的连线交于一点，交点就是位似中心．即位似中心一定在对应点的
连线上．
3. ( 3分 ) 已知：如图， AB//CD//EF ，BD： DF=3 ：5，那么下列结论正确的是（ ）
AC 3 AB 3 CE 5 CD 3
A. = B. = C. = D. =
AE 5 CD 5 AE 8 EF 5
【答案】 C
【考点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】 ，
A、 ，A错误；
AB
B、 的值无法确定，B错误；
CD
CE DF 5
C、 = = ，C正确；
AE BF 8
CD
D、 的值无法确定，D错误；
EF
故答案为：C.
【分析】根据平行线分线段成比例定理分析判断即可.
4. ( 3分 ) 如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，
绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为( )
224 32 12√34 20√34
A. B. C. D.
5 5 17 17
【答案】 A
【考点】勾股定理，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点C作CF⊥BG于点F，如图所示
设DE=x，则AD=8-x
∴根据题意可知，
∴x=4，即DE=4
∵∠E=90°
∴由勾股定理得，CD=√DE2+CE2=√42+32=5
∵∠BCE=∠DCF=90°，
∴∠DCE=∠BCF
∵∠DEC=∠BFC=90°
∴△CDE∽△CBF
CE CD
∴ =
CF CB
3 5
即 =
CF 8
24
∴CF=
5
3故答案为：A.
【分析】设DE为x，由梯形的面积公式计算得到DE的长度，根据勾股定理计算得到CD的长度，继而可
以证明△CDE∽△CBF，由相似三角形的对应边成比例，即可得到答案。
5. ( 3分 ) 如图，△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE∥AB交BC于E ， EC=6，BE=4，则AB长为
（ ）
20 24
A. 6 B. 8 C. D.
3 5
【答案】 C
【考点】等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DE∥AB，
∴∠BDE=∠ABD，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠DBE，
∴∠DBE=∠EDB，
∴BE=DE，
∵BE=4，
∴DE=4，
∵DE∥AB，
∴△DEC∽△ABC，
DE CE
∴ = ，
AB BC
4 6
∴ = ，
AB 10
20
∴AB= ，
3
故答案为：C．
【分析】考查了平行线的性质，由 DE∥AB ，可知∴△DEC∽△ABC，再有 BD是∠ABC的平分线 ，得
4出DE=BE，再利用相似三角形对应边成比例可得出结果。
6. ( 3分 ) 如图，在△ABC中，EF∥BC，AE=2BE，则△AEF与△ABC的面积比为（）
A. 2:1 B. 2:3 C. 4:1 D. 4:9
【答案】 D
【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】
【分析】先根据已知条件求出△AEF∽△ABC，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答．
【解答】∵EF∥BC
∴△AEF∽△ABC
∴AE：AB=AF：AC
∵AE=2BE
∴AE：AB=2：3
∴△AEF与△ABC的面积比为4：9．
故选D．
【点评】此题考查学生对相似三角形的面积的比等于相似比的平方的运用
7. ( 3分 ) 如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如
1
果矩形 与矩形OABC关于点O位似，且矩形 与矩形OABC的相似比为 ，
2
那么点 的坐标是 ( )
5A. B. C. 或 D. 或
【答案】 D
【考点】位似变换
1
【解析】【解答】解： 矩形 与矩形OABC关于点O位似，位似比为： ，点B的坐标
2
为 ，
当矩形 与在第二象限时，点 的坐标是： ；
当矩形 与在第四象限时，点 的坐标是： ．
故答案为：D
【分析】位似比为1：2，所以进行分类讨论，当O A ' B ' C '在第二象限时或O A ' B ' C '在第四象限时，根
据位似比即可求出对应点的坐标。
8. ( 3分 ) 如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，错误的是（ ）
AP AB AB AC
A. ∠ABP=∠C B. ∠APB=∠ABC C. = D. =
AB AC BP CB
【答案】 D
【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】A．当∠ABP=∠C时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；
B．当∠APB=∠ABC时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；
6AP AB
C．当 = 时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；
AB AC
D．无法得到△ABP∽△ACB，故此选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据相似三角形的判定定理，分别进行检验即可得到答案。
9. ( 3分 ) 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC边上的点，且DE∥AC，若 ，
，则△ACD的面积为（ ）
A. 64 B. 72 C. 80 D. 96
【答案】 C
【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵S =4，S =16，
△BDE △CDE
∴S ：S =1：4，
△BDE △CDE
∵△BDE和△CDE的点D到BC的距离相等，
BE 1
∴ = ，
CE 4
BE 1
∴ = ，
BC 5
∵DE∥AC，
∴△DBE∽△ABC，
∴S ：S =1：25，
△DBE △ABC
∴S =100
△ABC
∴S = S - S - S =100-4-16=80．
△ACD △ABC △BDE △CDE
故答案为：C．
【分析】由已知条件可求出S ：S =1：4，根据图形可知△DBE和△CDE的边BE和CE边上的高相
△BDE △CDE
7等，从而可求出BE与BC的比值，再证明△DBE∽△ABC，利用相似三角形的性质，就可求出△ACD的面
积。
10. ( 3分 ) 如图，矩形 ABCD 中， AB=6,BC=9 ，以 D 为圆心，3为半径作 ， E 为
AE AE F
上一动点，连接 ，以 为直角边作 ，使 ， ，则点
与点 C 的最小距离为（ ）
9
A. B. 3√7 C. 3√7−1 D. √109
10
【答案】 A
【考点】矩形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，取 AB 的中点 G ，连接 FG ， FC ， GC ，DE．
∵ ， ，
AF 1
∴ = ，
AE 3
∵ AB=6 ， AG=GB ，
∴ AG=GB=3 ，
8∵ AD=9 ，
AG 3 1
∴ = = ，
AD 9 3
AF AG
∴ = ，
AE AD
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ FG:DE=AF:AE=1:3 ，
∵ DE=3 ，
∴ FG=1 ，
∴点 F 的运动轨迹是以 G 为圆心1为半径的圆，
∵ ，
GC=√BC2+BG2=3√10
∴ ，
∴ ，
∴ CF 的最小值为 ．
故答案为：A．
【分析】取AB证得△FAG∽△EAD，得到FG∶DE=AF∶AE=1∶3，即FG=1 ，点F的运动轨迹是以G为圆心1
为半径的圆，当点F、G、C三点共线时，CF最小，在Rt△GBC中，BC=9，BG=3，勾股定理得出GC的
长，进而由CF=GC-FG，即可得到结果.
二、填空题
AE 1
11. ( 4分 ) 如图，在△ABC中，EF∥BC， = ，S四边形BCFE＝15，则S△ABC＝________.
EB 3
9【答案】 16
【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解 ，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：16.
【分析】由在△ABC中，EF∥BC，即可判定△AEF∽△ABC，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，
即可求得答案.
12. ( 4分 ) 为了测量一根电线杆的高度，取一根2米长的竹竿竖直放在阳光下，2米长的竹竿的影长为1
米，并且在同一时刻测得电线杆的影长为7.3米，则电线杆的高为__________米.
【答案】 14.6
【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：根据题画出图形可知，DE＝2m，AE＝1m，AC＝7.3m，
10AE DE
由题意得DE∥BC，可知△AED∽△ACB， = ，
AC BC
1 2
即 = ，解得BC＝14.6m.
7.3 BC
电线杆的高为14.6米.
【分析】根据相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程求解即可.
AD 1 AD+DE+AE
13. ( 4分 ) 如图,在△ABC中,D,E分别为AB,AC上的点,若DE∥BC, = ,则
AB 3 AB+BC+AC
=________.
1
【答案】
3
【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】由题意可知，∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
AD 1
∵ = ，
AB 3
∴ .
1
故答案为 .
3
【分析】根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出△ADE∽△ABC，根
据相似三角形周长的比等于相似比即可得出答案。
11a c e
14. ( 4分 ) 如果 = = =k（b+d+f≠0），且a+c+e=3（b+d+f），那么k= ________．
b d f
【答案】 3
【考点】比例的性质
【解析】【分析】根据等比性质，可得答案．
a a+c+e
【解答】解：由等比性质，得k= = =3，
b b+d+f
故答案为：3．
CF 1
15. ( 4分 ) 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足 = ，连接
FD 3
AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF=2，AF=3．给出下列结论：
√5
①△ADF∽△AED；②FG=2；③tan∠E= ；④S△DEF=4 √5 ．
2
其中正确的是________（写出所有正确结论的序号）．
【答案】 ①②④
【考点】垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：①∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴ ^AD=^AC ，DG=CG，
∴∠ADF=∠AED，
∵∠FAD=∠DAE（公共角），
∴△ADF∽△AED；
故①正确；
CF 1
②∵ = ，CF=2，
FD 3
∴FD=6，
∴CD=DF+CF=8，
12∴CG=DG=4，
∴FG=CG﹣CF=2；
故②正确；
③∵AF=3，FG=2，
∴AG= =
√5
，
AG √5
∴在Rt△AGD中，tan∠ADG= = ，
DG 4
√5
∴tan∠E= ；
4
故③错误；
④∵DF=DG+FG=6，AD= = ，
√AG2+DG2 √21
1 1
∴S = DF•AG= ×6× √5 =3 √5 ，
△ADF
2 2
∵△ADF∽△AED，
AF
∴ =（ AD ）2 ，
3
∴ = 7 ，
∴S =7 √5 ，
△AED
∴S =S ﹣S =4 √5 ；
△DEF △AED △ADF
故④正确．
故答案为：①②④．
【分析】①由AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，根据垂径定理可得： ^AD=^AC ，DG=CG，继而证得
CF 1
△ADF∽△AED；②由 = ，CF=2，可求得DF的长，继而求得CG=DG=4，则可求得FG=2；③由
FD 3
√5
勾股定理可求得AG的长，即可求得tan∠ADF的值，继而求得tan∠E= ；④首先求得△ADF的面积，
4
由相似三角形面积的比等于相似比，即可求得△ADE的面积，继而求得S =4 √5 ．
△DEF
16. ( 4分 ) 图1是某折叠式靠背椅实物图，图2是椅子打开时的侧面示意图，椅面CE与地面平行，支撑
杆AD，BC可绕连接点O转动，且 OA=OB ，椅面底部有一根可以绕点H转动的连杆HD，点H是CD
13的中点，FA，EB均与地面垂直，测得 FA=54cm ， EB=45cm ， AB=48cm .
（1）椅面CE的长度为________cm.
（2）如图3，椅子折叠时，连杆HD绕着支点H带动支撑杆AD，BC转动合拢，椅面和连杆夹角
的度数达到最小值 30掳 时，A，B两点间的距离为________cm（结果精确到0.1cm）.（参考数据：
， ， ）
【答案】 （1）40
（2）12.5
【考点】相似三角形的应用，解直角三角形的应用，三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：（1）过点C作CM垂直AF，垂足为M，
14∵椅面CE与地面平行，
∴ ，
∴ ，
解得：CM=8cm，
∴CE=AB-CM=48-8=40cm；
故答案为：40；
（2）在图2中，
∵ OA=OB ，椅面CE与地面平行，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ DM=CE ，
∴ MC=ED=8cm ，
∴ ，
∵H是CD的中点，
1
∴ CH=HD= CD=16 ，
2
∵椅面CE与地面平行，
∴ ，
CO CD 32 2
∴ = = = ，
BO AB 48 3
图3中，过H点作CD的垂线，垂足为N，
151
∵ CH=HD= CD=16 ， ，
2
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
故答案为：12.5.
【分析】（1）过点C作CM垂直AF，垂足为M，利用椅面CE与地面平行，可证得△MFC∽△AFB，利用
相似三角形的性质可求出CM的值，利用CE=AB-CM，可求出CE的长.
（2）利用AAS可证得△AMD≌△BEC，利用全等三角形的性质，可证得DM=CE，MC=ED=8，同时可求
出CD的长；再利用线段中点的定义求出CH的长；然后证明△COD∽△BOA，利用相似三角形的性质可求
出CO与BO的比值；图3中，过H点作CD的垂线，垂足为N，利用解直角三角形求出CD的长，由此可
求出AB的长.
17. ( 4分 ) 已知△ABC∽△DEF，且相似比为3：4，S△ABC=12cm2 ， 则S△DEF=________cm2 ．
64
【答案】
3
【考点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△DEF，
∴S ：S =32：42=9：16，
△ABC △DEF
而S =12cm2 ，
△ABC
1616 64
∴S = ×12= （cm2）．
△DEF
9 3
64
故答案为 ．
3
【分析】利用相似三角形的面积的比等于相似比的平方进行计算．
18. ( 4分 ) 如图1，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝6，AD＝10，点P在边AD上运动，以P为圆
心，PA为半径的⊙P与对角线AC交于A，E两点．不难发现，随着AP的变化，⊙P与平行四边形ABCD
的边的公共点的个数也在变化．如图2，当⊙P与边CD相切时，⊙P与平行四边形ABCD的边有三个公共
点．若公共点的个数为4，则相对应的AP的取值范围为________．
40 24
【答案】 ＜AP＜ 或AP＝5
9 5
【考点】勾股定理，平行四边形的性质，直线与圆的位置关系，切线的性质，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝10，
∴BC＝AD＝10，
∵AB⊥AC，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝ ＝ ＝8，
如图2所示，连接PF，
设AP＝x，则DP＝10﹣x，PF＝x，
∵⊙P与边CD相切于点F，
17∴PF⊥CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∵AB⊥AC，
∴AC⊥CD，
∴AC∥PF，
∴△DPF∽△DAC，
PF PD
∴ = ，
AC AD
∴ ，
40
∴x＝ ，
9
40
即AP＝ ；
9
当⊙P与BC相切时，设切点为G，如图3，
1
∴S ＝ ×6×8×2＝10PG，
▱ABCD
2
24
∴PG＝ ，
5
40 24
①当⊙P与边AD、CD分别有两个公共点时， ＜AP＜ ，即此时⊙P与平行四边形ABCD的边的
9 5
公共点的个数为4；
②⊙P过点A、C、D三点，如图4，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4，此时AP＝5，
1840 24
综上所述，AP的值的取值范围是： ＜AP＜ 或AP＝5，
9 5
40 24
故答案为： ＜AP＜ 或AP＝5．
9 5
【分析】在Rt△ABC中，直接由勾股定理可求出AC，连接PF，则PF⊥CD，由AB⊥AC和四边形ABCD
是平行四边形，得PF∥AC，可证明△DPF∽△DAC，列比例式可得AP的长，有两种情况：①与边AD、CD
分别有两个公共点；②⊙P过点A、C、D三点，可分别写出结论．
三、作图题
19. ( 8分 ) 如图，方格纸中的每个小正方形的边长都是1， 是格点三角形（顶点在方格顶点处）.
（1）在图1中画出一个格点 ，使得 与 相似，周长之比为2:1；
（2）在图2中画出一个格点 ，使得 与 相似，面积之比为2:1.
【答案】 （1）解：（1）如图，△ A B C 即为所求作.
1 1 1
19（2）解：如图，△ A B C 即为所求作.
2 2 2
【考点】相似三角形的性质，作图﹣相似变换
【解析】【分析】（1）由相似三角形周长比等于相似比可得把原边长扩大2倍即可；
（2）由相似三角形面积比等于相似比的平方可得把原边长扩大√2倍即可.
5
20. ( 8分 ) 如图，在平面直角坐标系中，△AOC的顶点坐标分别为A（2，2）、O（0，0）、C（ ，
2
0），以原点O为位似中心.
（建议：先用铅笔画图，确定无误后用黑色水性笔画在答题卡上）
1
（1）在第一象限内，相似比为 ，将△AOC缩小，不用画图，请直接写出缩小后的△A1OC1的两个顶
2
点坐标：A1________，C1________
（2）相似比为2，将△AOC放大在第一象限画出放大后的△A2OC2 ， 直接写出两个顶点的坐标：
A2________，C2________；在第三象限画出放大后的△A3OC3 ， 直接写出两个顶点的坐标：
A3________，C3________；
（3）相似比为k，将△AOC放大，若△AOC边上有任意一点P的坐标为（x，y），则放大后的图形上，
20点P的对应点Q的坐标为________.（用含k、x和y的式子表示）.
5
【答案】 （1）（1，1）；（ ，0）
4
（2）（4，4）；（5，0）；（﹣4，﹣4）；（﹣5，0）
（3）（kx，ky）或（﹣kx，﹣ky）
【考点】作图﹣相似变换，位似变换
5
【解析】【解答】解：（1）A（1，1），C （ ，0）；
1 1
4
5
故答案为：（1，1），（ ，0）；
4
（ 2 ）如图所示：
A（4，4），C （5，0）；A（﹣4，﹣4），C （﹣5，0）；
2 2 3 3
故答案为：（4，4），（5，0），（﹣4，﹣4），（﹣5，0）；
（ 3 ）相似比为k，将△AOC放大，若△AOC边上有任意一点P的坐标为（x，y），
则放大后的图形上，点P的对应点Q的坐标为：（kx，ky）或（﹣kx，﹣ky）.
故答案为：（kx，ky）或（﹣kx，﹣ky）.
【分析】（1）直接利用位似图形的性质进而得出对应点坐标；（2）直接利用位似图形的性质进而得出对
应点坐标；（3）直接利用位似图形的性质进而得出对应点坐标.
四、解答题
a b c
21. ( 8分 ) 已知a、b、c为三角形ABC的三边长，且 a+b+c=36 ， = = ，求三角形ABC三边
3 4 5
的长．
a b c 3 4
【答案】 解：由 = = ，得 a= c ， b= c ，
3 4 5 5 5
213 4
把 a= c ， b= c 代入 a+b+c=36 ，
5 5
3 4
得 c+ c+c=36 ，
5 5
解得 c=15 ，
3
a= c=9 ，
5
4
b= c=12 ，
5
所以三角形ABC三边的长为： a=9 ， b=12 ， c=15 ．
【考点】比例的性质
3 4
【解析】【分析】根据已知条件可得 a= c ， b= c ，再代入a+b+c=36 ，计算出c的值，即可求
5 5
出 三角形ABC三边的长。
22. ( 8分 ) 小丽家住在花园小区离站前小学的直线距离是5km．
①请你先量一量花园小区到站前小学的图上距离（四舍五入，保留整厘米），再求出这幅图的比例尺；
②将求出的比例尺用线段比例尺表示出来．
【答案】 解：（1）图上距离是5厘米，实际距离是5km，5千米=500000厘米比例尺为：5：500000=1：
100000；（2）5÷5=1（千米）线段比例尺为：
【考点】比例线段
【解析】【分析】（1）先量出花园小区到站前小学的图上距离，然后根据：图上距离：实际距离=比例尺，
求出比例尺；
22（2）把数字比例尺改为线段比例尺即可求解．
23. ( 8分 ) 已知，如图 l //l //l ,AB=3,BC=5,DF=16 ，求 DE 和 EF 的长．
1 2 3
【答案】 解： ， AB=3,BC=5,DF=16
，
DE 3
=
16 3+5
【考点】平行线分线段成比例
DE AB
【解析】【分析】根据行线分线段成比例的性质，得 = ，先解出DE的长，就可以得到EF的长．
DF AC
24. ( 8分 ) 如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD．
【答案】 证明：∵矩形ABCD中，AB∥CD，
∴∠BAF=∠AED．
∵BF⊥AE，
∴∠AFB=90°．
∴∠AFB=∠D=90°．
∴△ABF∽△EAD
【考点】矩形的性质，相似三角形的判定
【解析】【分析】根据两角对应相等的两个三角形相似可解．
2325. ( 10分 ) 如图，四边形ABCD是菱形，点G是BC延长线上一点，连结AG，分别交BD、CD于点E、
F，连结CE．
（1）求证：∠DAE=∠DCE；
（2）当CE=2EF时，EG与EF的等量关系是________．
【答案】 （1）解：证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD，∠ADE=∠CDB；
在△ADE和△CDE中，
∴△ADE≌△CDE，
∴∠DAE=∠DCE．
（2）FG=EG﹣EF=4EF﹣EF=3EF
【考点】全等三角形的判定与性质，菱形的性质，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】（2）解：结论：FG=3EF．
理由：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠G，
由题意知：△ADE≌△CDE
∴∠DAE=∠DCE，
则∠DCE=∠G，
24∵∠CEF=∠GEC，
∴△ECF∽△EGC，
EF EC
∴ = ，
EC EG
∵EC=2EF，
EC 1
∴ = ，
EG 2
∴EG=2EC=4EF，
∴FG=EG﹣EF=4EF﹣EF=3EF．
【分析】（1）根据四边形ABCD是菱形可得AD=CD，∠ADE=∠CDB，根据全等三角形的判定方法可得
△ADE≌△CDE，根据全等三角形的性质可得结论；
（2）根据有两组角对应相等的两个三角形相似得到△CEF∽△GEC，可得EF：EC=CE：GE，又因为
EC=2EF，就能得出FG与EF的关系.
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