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第一次月考押题培优01卷（考试范围21.1-22.3）
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+x﹣a2+4＝0的一个根为0，则a的值是（ ）
A．2或﹣2 B．2 C．﹣2 D．1
【解答】解：把x＝0代入方程得﹣a2+4＝0，
解得a＝2或a＝﹣2，
而a﹣2≠0，
所以a的值为﹣2．
故选：C．
2．（3分）一元二次方程x（x﹣2）＝2﹣x的根是（ ）
A．x＝﹣1 B．x＝2 C．x ＝1，x ＝2 D．x ＝﹣1，x ＝2
1 2 1 2
【解答】解：x（x﹣2）+（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（x+1）＝0，
x﹣2＝0或x+1＝0，
所以x ＝2，x ＝﹣1．
1 2
故选：D．
3．（3分）二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣2，（a＜b）的图象与x轴交点的横坐标为m，n，且
m＜n，则a，b，m，n的大小关系是（ ）
A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜b＜n C．a＜m＜n＜b D．m＜a＜n＜b
【解答】解：二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）与x轴交点的横坐标为a、b，将其图象往下平移2
个单位长度可得出二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣2的图象，如图所示．
观察图象，可知：m＜a＜b＜n．
故选：A．
4．（3分）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值
范围是（ ）
A．a＞2 B．a＜2 C．a＜2且a≠1 D．a＜﹣2
【解答】解：Δ＝4﹣4（a﹣1）＝8﹣4a＞0
得：a＜2．
又a﹣1≠0
∴a＜2且a≠1．
故选：C．
5．（3分）如图所示，当b＜0时，函数y＝ax+b与y＝ax2+bx+c在同一坐标系内的图象可能是（
）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、由一次函数的图象可知a＞0 b＞0，二次函数对称轴x＝﹣ ＜0，错误；
B、由一次函数的图象可知a＞0 b＜0，二次函数对称轴x＝﹣ ＞0，正确；
C、由一次函数的图象可知a＞0 b＜0，由二次函数的图象可知a＜0，错误；
D、由一次函数的图象可知a＜0 b＞0，由二次函数的图象可知a＞0，错误；
故选：B．
6．（3分）将二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数
表达式是（ ）
A．y＝（x﹣1）2+2 B．y＝（x+1）2+2 C．y＝（x﹣1）2﹣2 D．y＝（x+1）2﹣2
【解答】解：将二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的
函数表达式是 y＝（x﹣1）2+2，
故选：A．
7．（3分）某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为288万元，如果每月比上一个
月增长的百分数相同，则每月的平均增长率为（ ）
A．10% B．15% C．20% D．25%
【解答】解：设这两个月的营业额增长的百分率是x．
200×（1+x）2＝288，解得：x ＝﹣2.2（不合题意舍去），x ＝0.2，
1 2
答：每月的平均增长率为20%．
故选：C．
8．（3分）对于二次函数y＝x2﹣2mx﹣3，有下列说法：
①它的图象与x轴有两个公共点；
②若当x≤1时y随x的增大而减小，则m＝1；
③若将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m＝﹣1；
④若当x＝4时的函数值与x＝2时的函数值相等，则当x＝6时的函数值为﹣3．
其中正确的说法是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【解答】解：∵△＝4m2﹣4×（﹣3）＝4m2+12＞0，∴抛物线与x轴有两个公共点，所以①正
确；
∵a＝1＞0，∴抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线x＝﹣ ＝m，当在对称轴左侧时，y
随x的增大而减小，而当x≤1时y随x的增大而减小，∴m≥1，所以②错误；
∵y＝（x﹣m）2﹣m2﹣3，∴抛物线向左平移3个单位的解析式为y＝（x﹣m+3）2﹣m2﹣3，把
（0，O）代入得（m﹣3）2﹣m2﹣3＝0，解得m＝1，所以③错误；
∵当x＝4时的函数值与x＝2时的函数值相等，∴抛物线的对称轴为直线x＝3，则x＝m＝3，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣6x﹣3，当x＝6时的函数值为﹣3，所以④正确．
故选：B．
9．（3分）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2 ，则AC＝（ ）
A．6 B．6 C．4 D．4
【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2 ，
∴AB＝4 ，
∴在Rt ABC中，AC＝ ＝ ＝6．
△
故选：A．
10．（3分）如图，直线y ＝kx+b与抛物线y ＝ax2+bx+c交于A（﹣1，m）、B（4，n）两点，若
1 2y ＜y ，则x的取值范围（ ）
1 2
A．x＜﹣1 B．x＞4 C．﹣1＜x＜4 D．x＜﹣1或x＞4
【解答】解：当y ＜y ，则x的取值范围为﹣1＜x＜4．
1 2
故选：C．
11．（3分）如图，△ABC和△DEF是两个形状大小完全相同的等腰直角三角形，∠ACB＝∠DFE
＝90°，点C落在DE的中点处，且AB的中点M与C、F三点共线，现在让△ABC在直线MF
上向右作匀速移动，而△DEF不动，设两个三角形重合部分的面积为 y，向右水平移动的距离
为x，则y与x的函数关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：本题的运动过程应分两部分，从开始到两三角形重合，另一部分是从重合到分离；
在第一部分，三角形ABC在直线MF上向右作匀速运动，则重合部分面积的增加速度不断变快；
而另一部分面积的减小速度越来越小．
故选：C．
12．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是直线x＝﹣1，且过点（﹣
3，0），下列说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y ），（3，y ）是
1 2
抛物线上两点，则y ＜y ，其中说法正确的是（ ）
1 2A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣ ＝﹣1，
∴b＝2a＞0，则2a﹣b＝0，所以②正确；
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＜0，所以①正确；
∵x＝2时，y＞0，
∴4a+2b+c＞0，所以③错误；
∵点（﹣5，y ）离对称轴的距离与点（3，y ）离对称轴的距离相等，
1 2
∴y ＝y ，所以④不正确．
1 2
故选：A．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．（3分）已知二次函数y＝x2﹣2mx+1，当x≥1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是
m ≤1 ．
【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣ ＝m，
∵当x≥1时，y的值随x值的增大而增大，
∴m≤1．
故答案为：m≤1．
14．（3分）请写出一个开口向下，且经过点（0，﹣1）的二次函数解析式： y ＝﹣ x 2 ﹣ 1 ．
【解答】解：∵开口向下且过点（0，﹣1）的抛物线解析式，
∴可以设顶点坐标为（0，﹣1），
故解析式为：y＝﹣x2﹣1（答案不唯一）．
故答案为：y＝﹣x2﹣1（答案不唯一）．15．（3分）关于x的方程x2﹣2mx+3m＝0的两个根是等腰△ABC的两条边长，已知一个根是2，
则△ABC的周长为 1 4 ．
【解答】解：把x＝2代入x2﹣2mx+3m＝0得4﹣4m+3m＝0，解得m＝4，
所以方程化为x2﹣8x+12＝0，解得x ＝2，x ＝6，
1 2
所以三角形三边为6、6、2，
所以△ABC的周长为14．
故答案为14．
16．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c与抛物线y＝﹣x2﹣3x+7的形状相同，顶点在直线x＝1上，
且顶点到x轴的距离为5，则此抛物线的解析式为 y ＝ x 2 ﹣ 2 x +6 或 y ＝ x 2 ﹣ 2 x ﹣4 或 y ＝﹣
x 2 +2 x +4 或 y ＝﹣ x 2 +2 x ﹣6 ．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与抛物线y＝﹣x2﹣3x+7的形状相同，
∴a＝±1，
∴抛物线解析式为y＝±x2+bx+c，
∵抛物线顶点在直线x＝1上，
∴a＝±1，
∴当a＝﹣1时，﹣ ＝1，
∴b＝2；
当a＝1时，﹣ ＝1，
∴b＝﹣2，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+c＝﹣（x﹣1）2+c+1，或y＝x2﹣2x+c＝（x﹣1）2+c﹣1，
∵抛物线顶点到x轴的距离为5．
∴当y＝x2﹣2x+c＝（x﹣1）2+c﹣1
∴|c﹣1|＝5，解得c＝﹣4或c＝6，
∴此时抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x+6 或y＝x2﹣2x﹣4；
∵当抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+c＝﹣（x﹣1）2+c+1时，
∴|c+1|＝5，解得c＝4或c＝﹣6，
∴此时抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+4 或y＝﹣x2+2x﹣6．
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x+6或y＝x2﹣2x﹣4或y＝﹣x2+2x+4或y＝﹣x2+2x﹣6．
17．（3分）若α、β是方程x2+3x﹣1＝0的两个实数根，则α2+2α﹣β＝ 4 ．
【解答】解：∵α方程x2+3x﹣1＝0的实数根，
∴α2+3α﹣1＝0，∴α2＝﹣3α+1，
∴α2+2α﹣β＝﹣3α+1+2α﹣β
＝﹣（α+β）+1，
∵α、β是方程x2+3x﹣1＝0的两个实数根，
∴α+β＝﹣3，
∴α2+2α﹣β＝3+1＝4．
故答案为4．
18．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表
x ﹣1 0 1 3
y ﹣1 3 5 3
下列结论：
①ac＜0；
②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．
③3是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根；
④当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．
其中正确的结论是 ①③④ ．
【解答】解：∵x＝﹣1时y＝﹣1，x＝0时，y＝3，x＝1时，y＝5，
∴ ，
解得 ，
∴y＝﹣x2+3x+3，
∴ac＝﹣1×3＝﹣3＜0，故①正确；
对称轴为直线x＝﹣ ＝ ，
所以，当x＞ 时，y的值随x值的增大而减小，故②错误；
方程为﹣x2+2x+3＝0，
整理得，x2﹣2x﹣3＝0，
解得x ＝﹣1，x ＝3，
1 2
所以，3是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根，正确，故③正确；
﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0正确，故④正确；综上所述，结论正确的是①③④．
故答案为：①③④．
三．解答题（共5小题，满分50分）
19．（8分）（1）用配方法解方程：2x2﹣x﹣1＝0．
（2）公式法解方程：2x2﹣7x+3＝0．
【解答】解：（1）两边都除以2，得 ．
移项，得 ．
配方，得 ， ，
∴ 或 ，
∴x ＝1， ；
1
（2）∵2x2﹣7x+3＝0，
∴b2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×2×3＝25＞0，
则x＝ ＝ ，
∴x ＝ ，x ＝3．
1 2
20．（8分）如图，学校打算用16m的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔，生物园的一面靠墙
（如图），面积是30m2．求生物园的长和宽．
【解答】解：设宽为x m，则长为（16﹣2x）m．
由题意，得 x•（16﹣2x）＝30，
解得 x ＝3，x ＝5．
1 2
当x＝3时，16﹣2×3＝10，
当x＝5时，16﹣2×5＝6．
答：围成矩形的长为10 m、宽为3 m，或长为6 m、宽为5m．21．（10分）一元二次方程mx2﹣2mx+m﹣2＝0．
（1）若方程有两实数根，求m的范围．
（2）设方程两实根为x ，x ，且|x ﹣x |＝1，求m．
1 2 1 2
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程mx2﹣2mx+m﹣2＝0有两个实数根，
∴m≠0且△≥0，即（﹣2m）2﹣4•m•（m﹣2）≥0，
解得m≠0且m≥0，
∴m的取值范围为m＞0．
（2）∵方程两实根为x ，x ，
1 2
∴x +x ＝2，x •x ＝ ，
1 2 1 2
∵|x ﹣x |＝1，
1 2
∴（x ﹣x ）2＝1，
1 2
∴（x +x ）2﹣4x x ＝1，
1 2 1 2
∴22﹣4× ＝1，
解得：m＝8；
经检验m＝8是原方程的解．
22．（12分）“国庆”期间，某电影院装修后重新开业，试营业期间统计发现，影院每天售出的
电影票张数 y（张）与电影票售价 x（元/张）之间满足一次函数关系：y＝﹣4x+260
（30≤x≤60），x是整数，影院每天运营成本为1600元，设影院每天的利润为w（元）（利润＝
票房收入﹣运营成本）．
（1）试求w与x之间的函数关系式；
（2）影院将电影票售价定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少元？
【解答】解：（1）由题意：w＝（﹣4x+260）•（x﹣1600）＝﹣4x2+260x﹣1600（30≤x≤60）．
（2）w＝﹣4x2+260x﹣1600
＝﹣4（x2﹣65x）﹣1600
＝﹣4（x﹣32.5）2+2625．
∵x是整数，30≤x≤60，
∴当x＝32或33时，w取得最大值，最大值为2624．
价格低更能吸引顾客，定价32更好．
答：影城将电影票售价定为32元/张时，每天获利最大，最大利润是2624元．23．（12分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与
y轴交于点N，其顶点为D．
（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐
标；
（3）在对称轴上是否存在一点 M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出 M点的坐标和
△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：
，解得： ，
∴抛物线的函数关系式为y＝﹣x2﹣2x+3；
设直线AC的函数关系式为y＝mx+n（m≠0），
将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝mx+n，得：
，解得： ，
∴直线AC的函数关系式为y＝﹣x+1．
（2）过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，
如图1所示．
设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为
（x，﹣x+1），
∴PE＝﹣x2﹣2x+3，EF＝﹣x+1，
PF＝PE﹣EF＝﹣x2﹣2x+3﹣（﹣x+1）＝﹣x2﹣x+2．
∵点C的坐标为（﹣2，3），
∴点Q的坐标为（﹣2，0），
∴AQ＝1﹣（﹣2）＝3，∴S ＝ AQ•PF＝﹣ x2﹣ x+3＝﹣ （x+ ）2+ ．
APC
△
∵﹣ ＜0，
∴当x＝﹣ 时，△APC的面积取最大值，最大值为 ，此时点P的坐标为（﹣ ， ）．
（3）当x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3，
∴点N的坐标为（0，3）．
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．
∵点C的坐标为（﹣2，3），
∴点C，N关于抛物线的对称轴对称．
令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，如图2所示．
∵点C，N关于抛物线的对称轴对称，
∴MN＝CM，
∴AM+MN＝AM+MC＝AC，
∴此时△ANM周长取最小值．
当x＝﹣1时，y＝﹣x+1＝2，
∴此时点M的坐标为（﹣1，2）．
∵点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（﹣2，3），点N的坐标为（0，3），
∴AC＝ ＝3 ，AN＝ ＝ ，
∴C ＝AM+MN+AN＝AC+AN＝3 + ．
ANM
△
∴在对称轴上存在一点M（﹣1，2），使△ANM的周长最小，△ANM周长的最小值为3 +
．
