第二十二章二次函数（基础过关）（解析版）_初中数学人教版_9上-初中数学人教版_06习题试卷_2单元测试_单元测试（第2套）

第二十二章 二次函数 （基础过关）
考试时间：120分钟
一、选择题（每小题3分，共36分）
1.抛物线y =x2﹣6x+5的顶点坐标为
A、（3，﹣4） B、（3，4） C、（﹣3，﹣4） D、（﹣3，4）
【答案】A。
【分析】利用配方法把抛物线的一般式写成顶点式，求顶点坐标，或者用顶点坐标公式求解：
∵y =x2﹣6x+5=x2﹣6x+9﹣9+5=（x﹣3）2﹣4，∴抛物线y =x2+6x +5的顶点坐标是（3，﹣
4）．故选A。
【考点】二次函数的性质。
2.某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为 x轴，出水点为原点，建立平面直角坐
标系，水在空中划出的曲线是抛物线 （单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是
yx2 4x
A．4米 B．3米 C．2米 D．1米
【答案】A。
【解析】根据题意可以得到喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线 yx2 4x的顶点坐标的
纵坐标，利用配方法或公式法求得其顶点坐标的纵坐标即可：
∵yx2 4xx22 4，∴抛物线顶点坐标为：（2，4），
∴喷水的最大高度为4米。故选A。
【考点】二次函数的应用。
3、一个二次函数的图象的顶点坐标为（3，-1）与y轴的交点（0，-4）这个二次函数的解析式是（
）
A． B．
C．错误: 引用源未找到 D．
【答案】B．
【解析】∵二次函数的图象的顶点坐标是（3，－1），∴设这个二次函数的解析式为，
把（0，﹣4）代入得 ，∴这个二次函数的解析式为 ．故
选B．
【考点】待定系数法求二次函数解析式．
4．已知函数 （a是常数， ），下列结论正确的是（ ）
A．当a＝1时，函数图象经过点（－1，0） B．当a＝－2时，函数图象与x轴没有交点
C．若a<0，函数图象的顶点始终在x轴的下方 D．若a>0，则当 时，y随x的增大而增大
【答案】D，
【解析】A、当a＝1时，函数解析式为y＝x2－2x－1，当x＝－1时，y＝1＋2－1＝2，
∴当a＝1时，函数图象经过点（－1，2），∴A选项不符合题意；
B、当a＝2时，函数解析式为y＝－2x2＋4x－1，令y＝－2x2＋4x－1＝0，则△＝42－4×（－2）×
（－1）＝8＞0，∴当a＝－2时，函数图象与x轴有两个不同的交点，∴B选项不符合题意；
C、∵y＝ax2－2ax－1＝a（x－1）2－1－a，∴二次函数图象的顶点坐标为（1，－1－a），当－1－
a＜0时，有a＞－1，∴C选项不符合题意；
D、∵y＝ax2－2ax－1＝a（x－1）2－1－a，∴二次函数图象的对称轴为x＝1．若a＞0，则当x≥1时，
y随x的增大而增大，∴D选项符合题意．故选D．
【考点】二次函数的性质。
5、为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示）．对应的两条抛
物线关于y轴对称，AE∥x轴，AB＝4cm，最低点C在 轴上，高CH＝1cm，BD＝2cm．则右轮廓线
DFE所在抛物线的函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由图可知，对应的两条抛物线关于y轴对称，AE∥x轴，AB＝4cm，最低点C在 轴上，
高CH＝1cm，BD＝2cm，所以点C的纵坐标为0，横坐标的绝对值为3，即点C（-3,0），因为点F与点C关于y轴对称，所以点F（3,0），因为F是抛物线的顶点，设该抛物线为 ,
即为 ，将点B（-1，1）代入得， ，即 ，故选D.
【考点】二次函数解析式
点评：该题是常考题，主要考查学生对二次函数解析式中顶点法的应用。
6.由二次函数 ，可知
y2(x3)2 1
A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线x3
C．其最小值为1 D．当x3时，y随x的增大而增大
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质，直接根据a的值得出开口方向，再利用顶点坐标的对称轴和增减性，
分别分析即可：由二次函数 y2x32 1 ，可知：
A.∵a＞0，其图象的开口向上，故此选项错误；
B．∵其图象的对称轴为直线x=3，故此选项错误；
C．其最小值为1，故此选项正确；
D．当x＜3时，y随x的增大而减小，故此选项错误。故选C。
【考点】二次函数的性质。
7.在同一坐标系中，一次函数y=ax+1与二次函数y=x2+a的图像可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】本题可先由一次函数y=ax+1图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=x2+a的图象相比
较看是否一致．
【解析】A、由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，a＜0，由直线可知，a＞0，错误；
B、由二次函数的系数为正数，其图象开口向上，可知错误；
C、由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，a＜0，由直线可知，a＜0，正确；
D、由直线可知，直线经过（0，1），错误，故选C．【点睛】考核知识点：一次函数和二次函数性质.
1 15
8、已知二次函数y＝－ x 2－7x＋ ，若自变量x分别取x ，x ，x ，且0＜x ＜x ＜x ，则对应的
1 2 3 1 2 3
2 2
函数值y，y，y 的大小关系正确的是( )
1 2 3
A.y＞y＞y B. y＜y＜y C.y＞y＞y D. y＜y＜y
1 2 3 1 2 3 2 3 1 2 3 1
【答案】A
1
【解析】因为a=－ <0，此二次函数的开口方向向下，
2
1 15 1
又y＝－ x 2－7x＋ ＝－ ( x+7) 2＋32，抛物线的对称轴为x=-7，
2 2 2
当x＞0＞-7时，y随x的增大而减少，故y＞y＞y．
1 2 3
【点评】主要考查了二次函数的图象性质及单调性的规律，解决此类问题的方法一般是：先确定抛
物线的对称轴及开口方向，再根据点与对称轴的远近，判断函数值的大小．
9、已知二次函数 有最大值0，则a,b的大小关系为（ ）
A． ＜ B． C． ＞ D． 大小不能确定
【答案】A
【分析】根据二次函数有最大值可判断a＜0，再根据最大值为0可判断b=0，据此即可进行比较
a、b的大小．
【解析】∵二次函数y=a（x+1）2-b（a≠0）有最大值，
∴抛物线开口方向向下，即a<0，
又最大值为0，∴b=0，∴a<b，故选A
【考点】二次函数图像的最值和开口．
10．矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，OA=3，AB=2．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）
经过点A和点B，与x轴分别交于点D、E（点D在点E左侧），且OE=1，则下列结论：①a＞
0；②c＞3；③2a﹣b=0；④4a﹣2b+c=3；⑤连接AE、BD，则S =9．其中正确结论的个数
梯形ABDE
为（ ）
A. 1个 B.2个 C.3 个 D.4 个【答案】C
【解析】由函数图象可得：抛物线开口向下，∴a＜0，选项①错误；
又OA=3，AB=2，∴抛物线与y轴交于A（0，3），即c=3，选项②错误；
又A和B关于对称轴对称，且AB=2，∴对称轴为直线x=- =-1，即2a-b=0，选项③正确；
∴B（-2，3），将x=-2，y=3代入抛物线解析式得：4a-2b+c=3，选项④正确；
由OE=1，利用对称性得到CD=OE=1，又OC=AB=2，∴DE=CD+OC+OE=1+2+1=4，又OA=3，
则S = OA（AB+DE）=9，选项⑤正确，
梯形ABDE
综上，正确的个数为3个．故选C．
【考点】二次函数图象与系数的关系.
11．某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子 OA，O恰为水面中心，安
置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下.在过OA的任
一平面上，建立平面直角坐标系（如图），水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系
式是 ，则下列结论：（1）柱子OA的高度为3m；（2）喷出的水流距柱子1m处
达到最大高度；（3）喷出的水流距水平面的最大高度是4m；（4）水池的半径至少要3m才能使
喷出的水流不至于落在池外.其中正确的有（ ）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4
【答案】D
【分析】在已知抛物线解析式的情况下，利用其性质，求顶点（最大高度），与 x轴，y轴的交点，
解答题目的问题．
【解析】当x=0时，y=3，故柱子OA的高度为3m；（1）正确；
∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，∴顶点是（1，4），
故喷出的水流距柱子1m处达到最大高度，喷出的水流距水平面的最大高度是4米；故（2）（3）
正确；解方程-x2+2x+3=0，得x=-1，x=3，
1 2
故水池的半径至少要3米，才能使喷出的水流不至于落在水池外，（4）正确．故选：C．
【考点】二次函数综合问题.
12.如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，下列结论正确的个数是（ ）
①对称轴为直线x＝﹣1；②b2﹣4ac＞0；③方程ax2+bx+c＝0的解是x＝﹣3，x＝1；
1 2
④不等式ax2+bx+c＞3的解为﹣2＜x＜0．
.
A 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】A
【分析】利用抛物线与x轴的交点为对称点可对①进行判断；利用抛物线与x轴有2个交点可对②
进行判断；根据x＝﹣3时，y＝0；x＝1时，y＝0可对③进行判断；抛物线的对称性得到点（0，
3）关于直线x＝﹣1的对称点为（﹣2，0），然后利用函数图象可对④进行判断．
【解析】∵抛物线经过点（﹣3，0），（1，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，所以①正确；
∵抛物线与x轴有2个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，所以②正确；
∵x＝﹣3时，y＝0；x＝1时，y＝0，
∴方程ax2+bx+c＝0的解是x＝﹣3，x＝1，所以③正确；
1 2
∵点（0，3）关于直线x＝﹣1的对称点为（﹣2，0），
∴当﹣2＜x＜0时，y＞3，
即不等式ax2+bx+c＞3的解为﹣2＜x＜0，所以④正确．
故选：A．
【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数y=ax2+bx+c系数符号与抛物线开
口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数的关系是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共18分）
13.下列说法中正确的序号是
①在函数y=﹣x2中，当x=0时y有最大值0；②在函数y=2x2中，当x＞0时y随x的增大而增大③抛物线y=2x2，y=﹣x2，y=﹣ 中，抛物线y=2x2 的开口最小，抛物线y=﹣x2的开口最大
④不论a是正数还是负数，抛物线y=ax2的顶点都是坐标原点
【答案】①②④
【解析】由函数的解析式y＝－x2，可知a=-1＜0，得到函数的开口向下，有最大值y=0，故①正确；
由函数的解析式y＝2x2，可知其对称轴为y轴，对称轴的左边（x＜0），y随x增大而减小，对称轴
的右边（x＞0），y随x增大而增大，故②正确；
根据二次函数的性质，可知系数a决定开口方向和开口大小，且a的值越大开口越小，可知抛物线
y＝2x2的开口最小，抛物线y＝－x2的开口第二小，而y 开口最大，故③不正确；
不论a是正数还是负数，抛物线y＝ax2的顶点都是坐标原点，④正确.
故选C.
【点睛】：此题主要考查了二次函数的图像与性质，解题关键是明确y=ax2的图像的特点，直接按
断即可.
14．如图，在一幅长50cm，宽30cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂画，设
整个挂画总面积为ycm2，金色纸边的宽为xcm，则y与x的关系式是 ．
【答案】 ．
【解析】
试题分析：由题意可得：y=（50+2x）（30+2x）=4x2+160x+1500．
故答案为： ．
【考点】根据实际问题列二次函数关系式．
15.已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根的和为
_____．【答案】2
【解析】根据函数的图像可知其对称轴为x=- =1，解得b=-2a，
然后可知两根之和为x+x=- =2.
1 2
【点睛】此题主要考查了二次函数的图像与一元二次方程的关系，解题关键是由函数的图像求得对
称轴x=- ，然后根据一元二次方程的根与系数的关系x+x=- 求解即可.
1 2
16.已知二次函数 （ 为常数），当 取不同的值时，其图象构成一个“抛物
线系”．如图分别是当 取四个不同数值时此二次函数的图象．发现它们的顶点在同一条直线上，
那么这条直线的表达式是_________．
【答案】
【分析】已知抛物线的顶点式，写出顶点坐标，用x、y代表顶点的横坐标、纵坐标，消去a得出
x、y的关系式．
【解析】二次函数 中，顶点坐标为： ，设顶点坐标为（x，
y），∴ ①， ②，
由① 2+②，得 ，∴ ；
故答案为： .
【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式求顶点坐标的方法是解题的关键，注意运用消元
的思想解题．
17.如图，抛物线y=ax2+1与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线y=4x2于点B、C，则线
段BC的长为___．
【答案】1
【分析】先由y轴上点的横坐标为0求出A点坐标为（0，1），再将y=1代入y=4x2，求出x的值，
得出B、C两点的坐标，进而求出BC的长度．
【解析】∵抛物线y=ax2+1与y轴交于点A，∴A点坐标为（0，1）．
当y=1时，4x2=1，解得x=± ，
∴B点坐标为（﹣ ，1），C点坐标为（ ，1），
∴BC= ﹣（﹣ ）=1，故答案为1．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，两函数交点坐标的求法以及平行于x轴上的两点之间的距离
的知识，解答本题的关键是求出点A的坐标，此题难度不大．
18.二次函数 的部分图象如图所示， 图象过点(－1，0)，对称轴为直线 ＝
2，则下列结论中正确的序号是 。①4 ＋b＝0； ② ；③若点A(－3，)，点B(－ ， )，点C(5， )在该函数图象上，则 ＜ ＜ ；④ 若方程
的两根为 和 ，且 ＜ ，则 ＜－1＜5＜
【答案】①③④
【解析】由抛物线的对称轴为x=2可得- =2，即4a+b=0，故①正确；
由抛物线的对称性知x=0和x=4时，y＞0，则x=3时，y=9a+3b+c＞0，故②错误；
∵抛物线的开口向下，且对称轴为x=2，∴抛物线上离对称轴水平距离越小，函数值越大，
∵点A到x=2的水平距离为5，点B到对称轴的水平距离为2.5，点C到对称轴的水平距离为3，
∴y＜y＜y，故③正确；
1 3 2
令y=a（x+1）（x-5），则抛物线y=a（x+1）（x-5）与y=ax2+bx+c形状相同、开口方向相同，且
与x轴的交点为（-1，0）、（3，0），函数图象如图所示，
由函数图象可知方程a（x+1）（x-5）=-3的两根即为抛物线y=a（x+1）（x-5）与直线y=-3交点的
横坐标，∴x＜-1＜5＜x，故④正确；
1 2
故答案①③④
．
三、解答题（共46分）
1
19.（6分）如图，平面直角坐标系中，抛物线 y  x2 2x3交y轴于点A．P为抛物线上一点，
2且与点A不重合．连结AP，以AO、AP为邻边作平行四边形OAPQ，PQ所在直线与x轴交于点B．设
点P的横坐标为m．（1）点Q落在x轴上时m的值．（2）若点Q在x轴下方，则m为何值时，线
段BQ的长取最大值，并求出这个最大值．
【分析】（1）可以令x=0可得点A坐标为（0，3），当Q落在x轴上时，PQ=OA=3，即可得出y=3
时m的值。
1
（2）根据当PB取最小值时，QB最大，当x=2时，二次函数y= x2－2x＋3有最小值即可得出
2
答案。
【答案】解：（1）令x=0可得点A坐标为（0，3），当Q落在x轴上时，PQ=OA=3。
1
在y= x2－2x＋3中，令y=3可求得点P横坐标m=4。
2
（2）∵QB=OA-PB=3-PB，∴当PB取最小值时，QB最大。
1
当x=2时，二次函数y= x2－2x＋3有最小值y=1。
2
∴当m=2时，QB的最大值为2。
【考点】二次函数综合题，点的坐标与方程的关系，二次函数的性质。
20.（8分）某商店以6元/千克的价格购进某种干果1140千克，并对其进行筛选分成甲级干果与乙
级干果后同时开始销售。这批干果销售结束后，店主从销售统计中发出：甲级干果与乙级干果在销
售过程中每天都有销量，且在同一天卖完；甲级干果从开始销售至销售的第 天的总销量 （千
x y
1
克）与 的关系为 ；乙级干果从开始销售至销售的第 天的总销量 （千克）与 的
x y x2 40x t y t
1 2
关系为 ，且乙级干果的前三天的销售量的情况见下表：
y at2 bt
2⑴ 求
t 1 2 3
[来源:学.科.网]
、 y 21 44 69
2
a b
的值；⑵若甲级干果与乙级干果分别以8元/千克的6元/千克的零售价出售，则卖完这批干果获得
的毛利润是多少元？⑶问从第几天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多 6千克？
（说明：毛利润=销售总金额-进货总金额。这批干果进货至卖完的过程中的损耗忽略不计）【分
析】⑴用待定系数法得二元一次方程组直接求解。
⑵列方程解应用题。关键是找出等量关系：m天甲级干果销量＋m天乙级干果销量＝总销量
 m2 4m    m2 20m  1140
⑶关键在表示第n天干果的销售量，然后列不等式求解。
【解析】⑴选取表中任两组 数据，代入 得
t,y y at2 bt，
2 2
ab21
， 解得， 。
 a=1，b=20
4a2b44
⑵设甲级干果与乙级干果m天销完这批货。
则有 ，
m2 4mm2 20m=1140，解得m19
当
m19时,y 39,y 741
1 2
毛利润＝399×8＋741×6－1140×6＝798（元）
⑶第n天甲级干果的销售量为
第n天的总销量-第n1天的总销量=  -n2 40n  n12 40n12n41 ，
 
第n天乙级干果的销售量为
第n天的总销量-第n1天的总销量=  n2 20n  n12 20n12n19。
 
依题意有 。
2n192n416n7
答：从第7天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多6千克。
【考点】二次函数的应用，解二元一次方程组和一元一次不等式，待定系数法。
21、（8分）随着地铁和共享单车的发展，“地铁+单车”已成为很多市民出行的选择，李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A，B，C，D，E中的某一站出地铁，再骑共享单车回
家，设他出地铁的站点与文化宫距离为x（单位：千米），乘坐地铁的时间y （单位：分钟）是关
1
于x的一次函数，其关系如下表：
地铁站 A B C D E
x（千米） 8 9 10 11.5 13
y （分钟） 18 20 22 25 28
1
（1）求y 关于x的函数表达式；
1
（2）李华骑单车的时间（单位：分钟）也受x的影响，其关系可以用y = x2﹣11x+78来描述，请
2
问：李华应选择在那一站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短？并求出最短时间．
【分析】（1）根据表格中的数据，运用待定系数法，即可求得y 关于x的函数表达式；
1
（2）设李华从文化宫回到家所需的时间为y，则y=y +y = x2﹣9x+80，根据二次函数的性质，即可
1 2
得出最短时间．
【解答】解：（1）设y =kx+b，将（8，18），（9，20），代入得：
1
，解得： ，故y 关于x的函数表达式为：y =2x+2；
1 1
（2）设李华从文化宫回到家所需的时间为y，则
y=y +y =2x+2+ x2﹣11x+78= x2﹣9x+80，
1 2
∴当x=9时，y有最小值，y = =39.5，
min
答：李华应选择在B站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短，最短时间为39.5分钟．
【考点】二次函数的应用．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式
然后确定其最大值最小值，在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
22、（8分) 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=9㎝，BC=2㎝，点M，N分别从A，B同时出发，M
在AB边上沿AB方向以每秒2㎝的速度匀速运动，N在BC边上沿BC方向以每秒1㎝的速度匀速运
动（当点N运动到点C时，两点同时停止运动）.设运动时间为x秒，△MBN的面积为y cm2.
（1）求y 与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）求△MBN的面积的最大值.1
【解析】（1）∵S = MB·BN，MB=9－2x，BN=x………………1分
△MBN
2
1
∴y  (92x)x…………………………………………2分
2
9
即y x2  x (0 x2)……………………………4分 （说明：自变量取值范围给1分）
2
9
（2）由（1）知：y x2  x
2
9 81
∴y (x )2  …………………………………………6分
4 16
9
∵当0 x 时，y随x的增大而增大
4
而0 x2，∴当x=2时，y取最大值，且y =5
最大值
即△MBN的面积的最大值是5cm2. ……………………………8分
【考点】二次函数的应用．
23、（8分）生物学上研究表明：不同浓度的生长素对植物的生长速度影响不同，在一定范围内，
生长素的浓度对植物的生长速度有促进作用，相反，在某些浓度范围，生长速度会变缓慢，甚至阻
碍植物生长（阻碍即植物不生长，甚至枯萎）．小林同学在了解到这一信息后，决定研究生长素浓
度与茶树生长速度的关系，设生长素浓度为x克/升，生长速度为y毫米/天，当x超过4时，茶树
的生长速度y与生长素x浓度满足关系式： ．实验数据如下表，当生长速度为0
时，实验结束．
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8
y 2 4 6 8 10 9 7 4 0
（1）如图，建立平面直角坐标系xOy，描出表中各对对应值为坐标的点，画出该函数图象；（2）根据上述表格，求出整个实验过程中y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）结合画出的函数图象，写出该函数的一条性质： ；
（4）若直线y＝kx+3与上述函数图象有2个交点，则k的取值范围是： ．
【答案】（1）画出该函数图象如图所示；见解析；（2）
（3）当0＜x＜4时，y随x的增大而增大；（4） ．
【分析】（1）把表中的x，y的值分别描入平面直角坐标系中，再用直线或平滑的曲线连接即可；
（2）利用待定系数法进行求解，当0＜x＜4时，函数图像是直线，当4≤x≤8时，函数图像是抛物线；
（3）当0＜x＜4时，函数图像是直线， ，y随x的增大而增大；
（4）直线y＝kx+3过点(0,3)，要与上述函数图像有2个交点，则直线过点（4，10）或（8，0），
代入求解出k的值，进而求出k的取值范围．
【解析】（1）画出该函数图象如图所示；（2）当0＜x＜4时，设y＝kx+b，
把（0，2），（2，6）代入y＝kx+b得， ，解得： ，∴y＝2x+2；
当4≤x≤8时，把（7，4），（8，0）代入 得，
解得： ∴y＝﹣ x2+ x+4；
∴整个实验过程中y与x的函数关系式为： ；
（3）当0＜x＜4时，y随x的增大而增大，故答案为：当0＜x＜4时，y随x的增大而增大；
（4）∵直线y＝kx+3与上述函数图象有2个交点，∴当直线y＝kx+3过（4，10）或（8，0）时，
即把（4，10）或（8，0）分别代入y＝kx+3得，k＝ 或k＝﹣ ，
∴若直线y＝kx+3与上述函数图象有2个交点，则k的取值范围是：故答案为： ．
【点睛】本题考查了画函数图像，待定系数法，一次函数和二次函数的性质，函数的交点个数求k
的取值范围，属于基础题，熟练掌握函数图像的画法，待定系数法，函数的性质是解题的关键．
1
24、（8 分）如图，一次函数 y  x2分别交 y 轴、x 轴于 A、B 两点，抛物线
2
过A、B两点。（1）求这个抛物线的解析式；（2）作垂直x轴的直线x=t，在第
y x2 bxc
一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N。求当t 取何值时，MN有最大值？最大值是多少？（3）
在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标。
【解析】（1）根据一次函数的解析及两坐标轴交点坐标，求出二次函数的解析式；（2）根据M、N
所处的位置用含有t的代数表示出M、N的坐标，利用MN在直线 x=t，求出MN的长，根据ｔ的取值
确定MN的最大值；（3）利用平行四边形的对边平行且相等的方法确定D点的坐标.
【解】（1）易得A（0，2），B（4，0）
将x=0,y=2代入y x2 bxc得c2
y x2 bxc得0=-16+4b+2,
将x=4,y=0代入
7 7
从而得b= ,c2,y=-x2 x2
2 2
1 7
（2）由题意易得M(t, t2),N(t,t2  t2)
2 2
7 1
从而MN t2  t2( t2)t2 4t
2 2当t 2时, MN有最大值4
（3）、由题意可知，D的可能位置有如图三种情形
当D在y轴上时，设D的坐标为（0，a）
由AD=MN得 a2 4,解得a 6,a 2，从而D为（0，6）或D（0，-2）
1 2
当D不在y轴上时，由图可知D为DN与D M的交点
1 2
1 3
易得DN的方程为y=- x6,D M的方程为y= x2
1 2 2 2
由两方程联立解得D为（4，4）；故所求的D为（0，6），（0，-2）或（4，4）
【点评】求解析式的关键是确定图象上点的坐标，点坐标的确定关键要看题中的所给的条件适合哪
种方法.