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第十三章 轴对称压轴题考点训练
1．如图，将 沿 翻折，使其顶点 均落在点 处，若 ，则 的度数
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：延长 交 于点 ，
∵将 沿 ， 翻折，顶点 ， 均落在点 处，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
由三角形外角定理可知： ， ，
∴
即： ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
2．将长为2、宽为a（a大于1且小于2）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪下一个边长等
于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下个边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…，若在第n次操作后，剩下的长方形
恰为正方形，则操作终止．当n＝3时，a的值为（ ）
A．1.8或1.5 B．1.5或1.2 C．1.5 D．1.2
【答案】B
【详解】解：第1次操作，剪下的正方形边长为a，剩下的长方形的长宽分别为a、2﹣a，由1＜a＜2，得
a＞2﹣a；第2次操作，剪下的正方形边长为2﹣a，所以剩下的长方形的两边分别为2﹣a、a﹣（2﹣a）＝
2a﹣2，
①当2a﹣2＜2﹣a，即a＜ 时，
则第3次操作时，剪下的正方形边长为2a﹣2，剩下的长方形的两边分别为2a﹣2、（2﹣a）﹣（2a﹣2）
＝4﹣3a，则2a﹣2＝4﹣3a，解得a＝1.2；
②2a﹣2＞2﹣a，即a＞ 时
则第3次操作时，剪下的正方形边长为2﹣a，剩下的长方形的两边分别为2﹣a、（2a﹣2）﹣（2﹣a）＝
3a﹣4，则2﹣a＝3a﹣4，解得a＝1.5．
故选：B．
3．如图，在 中， ， 平分 ，过点A作 于点D，过点D作 ，分别交
、 于点E、F，若 ，则 的长为（ ）
A．10 B．8 C．7 D．6
【答案】D
【详解】如图，延长 、 交于点G∵ 平分 ， 于点D
∴
，D是 的中点
∵
E是 的中点，F是 的中点， 是 的中位线， 是 的中位线
∴
又∵
∴
∴
∴
∴
故选：D.
4．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直
线MN，交BC于点D，连接AD，若△ADC的周长为14，BC=8，则AC的长为
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B【详解】根据题意可得MN是直线AB的中点
的周长为
已知
，故选B
5．如图，在等边△ABC中，BF是AC边上的中线，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边
△ADE，连接EF，当△AEF周长最小时，∠CFE的大小是( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】D
【详解】解：∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=∠ABC=60°，
∴∠BAD=∠CAE，∴△BAD≌△CAE，∴∠ABD=∠ACE，
∵AF=CF，∴∠ABD=∠CBD=∠ACE=30°，
∴点E在射线CE上运动（∠ACE=30°），
作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE 于E′，此时AE′+FE′的值最小，
∵CA=CM，∠ACM=60°，
∴△ACM是等边三角形，
∵AF=CF，∴FM⊥AC，∴∠CFE′=90°，
故选D．6．已知一个等腰三角形内角的度数之比为 ，则它的顶角的度数为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】根据等腰三角形的角分为顶角和底角，分类讨论为：
设顶角为x，底角为4x，则根据三角形的内角和可得x+4x+4x=180°，解得x=20°；
设底角为x，顶角为4x，则x+x+4x=180°，解得x=30°，则顶角为4x=120°.
故选D.
7．在正方形ABCD所在平面上找点P，使得 PAB、 PBC 、 PCD、 PDA均为等腰三角形，则满足条
件的点P（ ）个． △ △ △ △
A．10 B．9 C．5 D．1
【答案】B
【详解】如图，共有9个符合要求的点P，故选B.8．如图，已知∠MON＝30°，点A，A，A，…在射线ON上，点B，B，B，…在射线OM上，
1 2 3 1 2 3
△ABA，△ABA，△ABA，…均为等边三角形，若OA＝4，则△AnBnAn 的边长为_____．
1 1 2 2 2 3 3 3 4 2 +1
【答案】2n．
【详解】解：∵△ABA 是等边三角形，∴AB＝AB，
1 1 2 1 1 2 1
∵∠MON＝30°，
∵OA＝4，∴OA＝AB＝2，∴AB＝2，
2 1 1 1 2 1
∵△ABA、△ABA 是等边三角形，
2 2 3 3 3 4
∴AB∥AB∥AB，BA∥BA，∴AB＝2BA，BA＝2BA，
1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 2 2 1 2 3 3 2 3
∴AB＝4BA＝8，AB＝8BA＝16，AB＝16BA＝32，
3 3 1 2 4 4 1 2 5 5 1 2
以此类推△AnBnAn 的边长为 2n．
+1
故答案为：2n．
9．如图△ABC中，∠BAC=78°，AB=AC，P为△ABC内一点，连BP，CP，使∠PBC=9°，∠PCB=30°，连PA，
则∠BAP的度数为_______．
【答案】69°
【详解】在BC下方取一点D，使得三角形ABD为等边三角形，连接DP、DC∴AD=AB=AC，
∴
∵
∴
∴
又∵
∴ BDC≌ BPC，
∴△PC=DC，△
又∵
∴ DPC是等边三角形，
∴△APD≌ APC，
∴△ △
∴
故答案为69°.
10．在锐角△ABC中，∠ABC=60°，BC=2cm，BD平分∠ABC交AC于点D，点M，N分别是BD和BC边上的
动点，则MN+MC的最小值是_____．
【答案】 ．
【详解】如图，在BA上截取BE=BN，连接CE．∵∠ABC的平分线交AC于点D，
∴∠EBM=∠NBM，
在△BME与△BMN中， ，
∴△BME≌△BMN，
∴ME=MN．
∴CM+MN=CM+ME≥CE．
∴CM+MN有最小值．
当CE是点C到直线AB的距离时，CE最小，
∵∠ABC=60°，BC=2cm，
∴当CE⊥AB时，可得CE= ，
∴CM+MN的最小值是 ．
故答案为： ．
11．如图，已知∠AOB＝30°，OC平分∠AOB，在OA上有一点M，OM＝10 cm，现要在OC，OA上分别找
点Q，N，使QM＋QN最小，则其最小值为________ ．
【答案】5cm
【详解】解：作M关于OC的对称点P，过P作PN⊥OA于N，交OC于Q，则此时QM+QN的值最小，∵∠AOB=30°，OC平分∠AOB，在OA上有一点M，
∴OA、OB关于OC对称，
∴P点在OB上，
∴OP=OM=10cm，QM=PQ，∠PNO=90°，
∵PN= OP= ×10=5cm，
∴QM+QN=PQ+QN=PN=5cm，
故答案为5cm．
12．如图,在等腰直角三角形ABC中,∠C=90 o，AC=BC=4，点D是AB的中点，E， F在射线AC与射线CB上
运动，且满足AE=CF，∠EDF=90°；当点E运动到与点C的距离为1时，则△DEF的面积为___________.
【答案】 或
【详解】解：①E在线段AC上．在△ADE和△CDF中，∵AD=CD，∠A=∠DCF，AE=CF，
∴△ADE≌△CDF（SAS），∴同理△CDE≌△BDF，∴四边形CEDF面积是△ABC面积的一半．∵CE=1，
∴CF=4﹣1=3，∴△CEF的面积= CE•CF= ，∴△DEF的面积= × × ﹣ = ．
②E'在AC延长线上．∵AE'=CF'，AC=BC=4，∠ACB=90°，∴CE'=BF'，∠ACD=∠CBD=45°，CD=AD=BD=
，∴∠DCE'=∠DBF'=135°．在△CDE'和△BDF'中，∵CD=BD，∠DCE′=DBF′，CE′=BF′，
∴△CDE'≌△BDF'（SAS），∴DE'=DF'，∠CDE'=∠BDF'．∵∠CDE'+∠BDE'=90°，∴∠BDE'+∠BDF'=90°，即∠E'DF'=90°．∵DE'2=CE'2+CD2﹣2CD•CE'cos135°=1+8+2× × =13，∴S EDF'= DE'2= ．故答案
'
△
为 或 ．
13．已知，在等腰 中， 于点D．以 为边作等边 ，直线 交直线 于
点F，连接 ．
（1）如图1， 与 在直线 的异侧，且 交 于点M．
①求证： ；
②猜想线段 之间的数量关系，并证明你的结论：
（2）当 ，且 与 在直线 的同侧时，利用图2探究线段 之间的
数量关系，并直接写出你的结论．
【答案】（1）①见解析；②EF+AF=BF，理由见解析；（2）BF+EF=AF，理由见解析
【详解】证明：（1）①∵△AEC是等边三角形
∴∠EAC＝∠ACE＝60°，CE＝AC＝AE，且AB＝AC
∴AB＝AE∴∠ABF＝∠AEF
∵AB＝AC，AD⊥BC
∴AD是BC的垂直平分线
∴BF＝FC，且AF＝AF，AB＝AC
∴△ABF≌△ACF（SSS）
∴∠ABF＝∠ACF
∴∠ACF＝∠AEF；
②EF+AF=BF，理由如下：
如图，在CF上取FG=FE，连接EG，
由（1）得∠ACF＝∠AEF，BF＝FC，
∵△AEC是等边三角形
∴∠AEC＝∠ACE＝60°，CE＝AE，
∴∠FCA+∠ECF=60°，
∴∠AEF+∠ECF=60°，
∵∠ECF+∠EFC+∠AEC+∠AEF=180°，
∴∠EFG=60°，
∵FE=FG，∴△EFG为等边三角形，
∴EG=EF，∠FEG=60°，
∴∠AEF+∠AEG=60°，
又∵∠CEG+∠AEG=∠AEC=60°，
∴∠FEA=∠GEC，
∴△FEA≌△GEC（SAS），
∴AF=GC，
∴EF+AF=FG+CG=FC=BF，∴EF+AF=BF；（2）BF+EF=AF，理由如下：
如图，在AF上截取FH=FC，连接CH，
∵AB＝AC，AD⊥BC
∴AD是BC的垂直平分线，∠BAD=∠CAD
∴BF＝FC，∠BFD=∠CFD
∵△ACE是等边三角形，
∴AE=AC=AB=CE，∠EAC=∠ECA=60°
∴∠ABE=∠AEB，∠EAF=∠EAC-∠CAD=60°-∠CAD，
∴∠BAE=∠BAD-∠EAF=∠CAD--∠EAF=2∠CAD-60°，
∴
∵∠AEB=∠AFE+∠EAF，
∴∠AFE+60°-∠CAD=120°-∠CAD，
∴∠AFE=60°，
∴∠CFD=60°，
∴∠EFC=120°，
又∵FH=FC，
∴△FHC是等边三角形，
∴CH=CF，∠FHC=∠FCH=60°，
∴∠ACH+∠ECH=∠ECF+∠ECH=60°，
∴∠ACH=∠ECF，
∴△ACH≌△ECF（SAS），∴AH=EF，
∴EF+CF=FH+AH=AF，
∴BF+EF=AF．
14．如图，在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线．动点D在直线AM上时，以CD为一边在CD的
下方作等边△CDE，连结BE．
（1）求∠CAM的度数；
（2）若点D在线段AM上时，求证：△ADC≌△BEC；
（3）当动D在直线AM上时，设直线BE与直线AM的交点为O，试判断∠AOB是否为定值？并说明理由．
【答案】（1）30°；（2）见解析；（3）是定值，理由见解析
【详解】解：（1） 是等边三角形，
．
线段 为 边上的中线，
，
．
故答案为：30°；
（2） 与 都是等边三角形，， ， ，
，
．
在 和 中，
，
；
（3） 是定值， ，
理由如下：
①当点 在线段 上时，如图1，
由（2）可知 ，则 ，
又 ，
，
是等边三角形，线段 为 边上的中线，
平分 ，即 ，
．
②当点 在线段 的延长线上时，如图2，与 都是等边三角形，
， ， ，
，
，
在 和 中，
，
，
，
同理可得： ，
．
③当点 在线段 的延长线上时，如图3，
与 都是等边三角形，
， ， ，，
，
在 和 中，
，
，
，
同理可得： ，
，
， ， ．
综上，当动点 在直线 上时， 是定值， ．
15．如图，已知AE⊥FE，垂足为E，且E是DC的中点．
(1)如图①，如果FC⊥DC，AD⊥DC，垂足分别为C，D，且AD＝DC，判断AE是∠FAD的角平分线吗？(不必
说明理由)
(2)如图②，如果(1)中的条件“AD＝DC”去掉，其余条件不变，(1)中的结论仍成立吗？请说明理由；
(3)如图③，如果(1)中的条件改为“AD∥FC”，(1)中的结论仍成立吗？请说明理由．
【答案】（1）AE是∠FAD的角平分线（2）成立（3）成立
【详解】（1）AE是∠FAD的角平分线；
（2）成立，如图，延长FE交AD于点B，∵E是DC的中点，
∴EC=ED，
∵FC⊥DC，AD⊥DC，
∴∠FCE=∠EDB=90°，
在 FCE和 BDE中，
△ △
,
∴△FCE≌△BDE，
∴EF=EB，
∵AE⊥FE，
∴AF=AB，
∴AE是∠FAD的角平分线；
（3）成立，如图，延长FE交AD于点B，
∵AD=DC，
∴∠FCE=∠EDB，
在 FCE和 BDE中，
△ △
,
∴△FCE≌△BDE，
∴EF=EB，
∵AE⊥FE，
∴AF=AB，
∴AE是∠FAD的角平分线.
