文档内容
第十九章 二次根式（高效培优单元自测·提升卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。）
1．若❑√a是二次根式，则a的值不能是（ ）
1
A． B．3.14 C．﹣2 D．0
7
【答案】C
【解答】解：若❑√a是二次根式，则a≥0，
所以a的值不能是﹣2，
故选：C．
2．下列计算正确的是（ ）
A． B．
❑√a2=a ❑√(−a) 2=±a
C． D．
❑√a4=a2 ❑√a2+❑√b2=a+b
【答案】C
【解答】解：A、 a，原计算错误，不符合题意；
❑√a2=|a|≠
B、 ±a，原计算错误，不符合题意；
❑√(−a) 2=|a|≠
C、 ，正确，符合题意；
❑√a4=a2
D、 a+b，原计算错误，不符合题意，
❑√a2+❑√b2=|a|+|b|≠
故选：C．
❑√m+1
3．若式子 在实数范围内有意义，则m的取值范围是（ ）
m−1
A．m＞﹣1，且m≠1 B．m≠0
C．m≥﹣1，且m≠1 D．m≠1
【答案】C
【解答】解：由题意得：m+1≥0，且m﹣1≠0，
即m≥﹣1，且m≠1，
∴m的取值范围是m≥﹣1，且m≠1，故选：C．
4．若最简二次根式❑√m−1与❑√8可以合并，则❑√2m−1的值是（ ）
A．❑√5 B．❑√2 C．❑√7 D．❑√3
【答案】A
【解答】解：❑√8=2❑√2，
∵最简二次根式❑√m−1与❑√8可以合并，
∴m﹣1＝2，
解得m＝3，
∴❑√2m−1=❑√5．
故选：A．
5．已知：❑√20n是整数，则满足条件的最小正整数n为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解答】解：∵❑√20n=❑√4×5n=2❑√5n，且❑√20n是整数；
∴2❑√5n是整数，即5n是完全平方数；
∴n的最小正整数值为5．
故选：D．
6．已知x、y为实数，且y=❑√x−9−❑√9−x+4，求❑√x+❑√y的值为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．13
【答案】C
【解答】解：根据二次根式有意义的条件可得：x﹣9≥0，9﹣x≥0，
解得：x＝9，
∴y＝0﹣0+4＝4，
∴❑√x+❑√y=❑√9+❑√4=3+2=5，
故选：C．
7．将一个边长为a的正方形硬纸板剪去四角，使它成为正八边形，求正八边形的面积（ ）
7 ❑√2
A．（2❑√2−2）a2 B． a2 C． a2 D．（3﹣2❑√2）a2
9 2
【答案】A
【解答】解：设剪去三角形的直角边长x，根据勾股定理可得，三角形的斜边长为❑√2x，即正八边形的
边长为❑√2x，依题意得 x+2x＝a，则x a (2−❑√2)a，
❑√2 = =
❑√2+2 2
1 a 2
∴正八边形的面积＝a2﹣4× ×( ) =（2❑√2−2）a2．
2 ❑√2+2
故选：A．
8．使式子√ a ❑√a 成立的条件是（ ）
❑ =
a−5 ❑√a−5
A．a≥5 B．a＞5 C．0≤a≤5 D．0≤a＜5
【答案】B
{ a≥0 )
【解答】解：由题意得： ，
a−5＞0
解得：a＞5．
故选：B．
2
9．已知a=❑√5+❑√3，b= ，则a与b的关系是（ ）
❑√5−❑√3
A．a＝b B．ab＝1 C．a＝﹣b D．ab＝﹣5
【答案】A
【解答】解：b 2 (❑√5+❑√3)(❑√5−❑√3) ，a ，
= = =❑√5+❑√3 =❑√5+❑√3
❑√5−❑√3 ❑√5−❑√3
故选：A．
10．已知：a=3−❑√2，b=3+❑√2，则代数式（3a2﹣18a+15）（2b2﹣12b+13）的值是（ ）
A．6 B．24 C．42 D．96
【答案】A
【解答】解：由已知得a﹣3=−❑√2，b﹣3=❑√2，
两式平方，整理得a2﹣6a＝﹣7，b2﹣6b＝﹣7，
原式＝[3（a2﹣6a）+15][2（b2﹣6b）+13]＝[3×（﹣7）+15][2×（﹣7）+13]
＝6．故选A．
11．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求
积 公 式 ， 即 如 果 一 个 三 角 形 的 三 边 长 分 别 为 a ， b ， c ， 则 该 三 角 形 的 面 积 为 S
√1 a2+b2−c2 2 ．现已知△ABC的三边长分别为1，2， ，则△ABC的面积为（ ）
=❑ [a2b2−( ) ] ❑√5
4 2
A．1 B．2 C．1.5 D．0.5
【答案】A
【解答】解：∵△ABC的三边长分别为1，2，❑√5，则△ABC的面积为：
∴S √1 12+22−(❑√5) 2 1，
=❑ [12×22−( ) 2 ]=
4 2
故选：A．
1
12．观察下列计算： •（❑√2+1）＝（❑√2−1）（❑√2+1）＝1，
❑√2+1
1 1
（ + ）（❑√3+1）＝[（❑√2−1）+（❑√3−❑√2）]（❑√3+1）＝2，
❑√2+1 ❑√2+❑√3
1 1 1
（ + + ）（❑√4+1）＝[（❑√2−1）+（❑√3−❑√2）+（❑√4−❑√3）]（❑√4+1）＝
❑√2+1 ❑√2+❑√3 ❑√4+❑√3
3，
…
从以上计算过程中找出规律，并利用这一规律进行计算：
1 1 1 1
（ + + +⋯+ ）（❑√2010+1）的值为（ ）
❑√2+1 ❑√2+❑√3 ❑√3+❑√4 ❑√2010+❑√2009
A．2008 B．2010 C．2011 D．2009
【答案】D
1 1 1 1
【解答】解：由题意得：（ + + +⋯+ ）（❑√2010+1）＝
❑√2+1 ❑√2+❑√3 ❑√3+❑√4 ❑√2010+❑√2009
2009．
故选：D．
二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
2 1
13．比较大小： ＞ （填“＞”、“＜”或“＝”）．
❑√5+1 2【答案】＞．
2(❑√5−1)
【解答】解：原式=
5−1
2(❑√5−1)
=
4
❑√5−1
= ，
2
∵❑√5＞2，
∴❑√5−1＞1，
❑√5−1 1
∴ ＞ ．
2 2
故答案为：＞．
√ −1
14．化简(5−a)❑ = −❑√a−5 ．
5−a
【答案】−❑√a−5．
√ 1
【解答】解：原式=(5−a)❑
a−5
√ a−5
=(5−a)❑
(a−5) 2
❑√a−5
=−(a−5)⋅
a−5
=−❑√a−5．
故答案为：−❑√a−5．
15．若实数a和b满足❑√4−a+❑√a−4=b+2，则a﹣b的算术平方根是 ❑√6 ．
【答案】❑√6．
{4−a≥0)
【解答】解：由二次根式有意义的条件，可得 ，
a−4≥0
{a≤4)
解得： ，
a≥4
∴a＝4．
∴❑√4−a+❑√a−4=b+2，
∴b+2＝0，
∴b＝﹣2，
∴a﹣b＝4﹣（﹣2）＝4+2＝6，∴6的算术平方根是❑√6，即a﹣b的算术平方根是❑√6．
故答案为：❑√6．
16．现定义一种新运算◎：对于任意正有理数x、y，都有x◎y=❑√3x−2❑√y．例如：9◎3=❑√3×9−2❑√3=
3❑√3−2❑√3=❑√3，则6◎8＝ −❑√2 ．
【答案】−❑√2．
【解答】解：∵x◎y=❑√3x−2❑√y，
∴6◎8
=❑√3×6−2❑√8
＝3❑√2−4❑√2
=−❑√2，
故答案为：−❑√2．
17．实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简代数式 的值为
❑√a2+|a+b|+|❑√2−a|−❑√(b−❑√2) 2
﹣ 3 a ．
【答案】﹣3a．
【解答】解：根据题意可知，a＜−❑√2＜b＜0，
则 ，a+b＜0， ， ，
❑√a2=|a|=−a ❑√2−a＞0 b−❑√2＜0
原式＝﹣a﹣（a+b）+❑√2−a+（b−❑√2）＝﹣3a．
故答案为：﹣3a．
18．任意一个四位正整数m＝abcd，如果它的各个数位上的数字均不为零，千位与十位上的数字之和是
10，百位与个位上的数字之和是9，则这个数称为“十拿九稳数”．将m的千位与十位对调、百位与个
m−m′
位对调后的四位数记为 m′，其中F(m)= ，若❑√F(m)+4a+10b+1为整数，则满足条件的
99
“十拿九稳数”m的最大值为 931 6 ．
【答案】9316．
【解答】解：由题意知，m＝1000a+100b+10c+d，m'＝1000c+100d+10a+b，
1000a+100b+10c+d−(1000c+100d+10a+b) 990a+99b−990c−99d
∴F（m）= = =10a+b
99 99
﹣10c﹣d＝20a+2b﹣109∴F（m）+4a+10b+1＝20a+2b﹣109+4a+10b+1＝24a+12b﹣108＝12（2a+b﹣9），
∴ 2 ，
❑√F(m)+4a+10b+1=❑√12(2a+b−9)= ❑√3(2a+b−9)
∵❑√F(m)+4a+10b+1为整数，
∴2a+b﹣9＝3或2a+b﹣9＝12，
由题意知，当a值最大时，m的值最大，
当2a+b﹣9＝3时，最大的a值为5，此时b＝2，m的最大值为5257；
当2a+b﹣9＝12时，最大的a值为9，此时b＝3，m的最大值为9316；
∵5257＜9316，
∴满足条件的“十拿九稳数”m的最大值为9316，
故答案为：9316．
三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（8分）计算：
√1 √1
（1）❑√8+❑ −2❑ ；
3 2
❑√45−❑√5
（2） −2❑√2×❑√6；
❑√5
1
（3）(−1) 2025−❑√12+|3−2❑√3|−( ) −1；
2
（4） ．
(❑√13+❑√6)(❑√13−❑√6)−(2❑√2−1) 2
❑√3
【答案】（1）❑√2+ ；
3
（2）2﹣4❑√3；
（3）﹣6；
（4）4❑√2−2．
√1 √1
【解答】解：（1）❑√8+❑ −2❑
3 2
❑√3
＝2❑√2+ −❑√2
3
❑√3
=❑√2+ ；
3
❑√45−❑√5
（2） −2❑√2×❑√6
❑√53❑√5−❑√5
= −2❑√12
❑√5
＝2﹣4❑√3；
1
（3）(−1) 2025−❑√12+|3−2❑√3|−( ) −1
2
＝﹣1﹣2❑√3+2❑√3−3﹣2
＝﹣6；
（4） ．
(❑√13+❑√6)(❑√13−❑√6)−(2❑√2−1) 2
＝13﹣6﹣（8﹣4❑√2+1）
＝7﹣8+4❑√2−1
＝4❑√2−2．
20．（8分）已知b−√a3b和❑√2b−a+2是相等的最简二次根式．
（1）求a，b的值；
（2）求 的值．
❑√b3+a2014
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵b−√a3b和❑√2b−a+2是相等的最简二次根式，
{ b−a=2 )
∴ ．
3b=2b−a+2
{a=0)
解得， ，
b=2
∴a的值是0，b的值是2；
（2） 2 ．
❑√b3+a2014=❑√23= ❑√2
21 ． （ 8 分 ） 已 知 实 数 a 、 b 使 等 式 成 立 ， 请 先 化 简 ， 再 求 值 ：
(❑√2a−1) 2+|b−2|=0
a❑√b−b❑√a ❑√ab+b
+1÷ ．
❑√ab−b a+❑√a
【答案】 ❑√a(❑√a+1) ，1+4❑√2．
❑√a+
❑√b(❑√a+❑√b) 6
【解答】解：∵ ，
(❑√2a−1) 2+|b−2|=0
∴❑√2a−1=0，b−2=0，1
∴a= ，b=2，
2
a❑√b−b❑√a ❑√ab+b
+1÷
❑√ab−b a+❑√a
❑√ab(❑√a−❑√b) ❑√a(❑√a+1)
= +
❑√b(❑√a−❑√b) ❑√b(❑√a+❑√b)
❑√a(❑√a+1) ，
=❑√a+
❑√b(❑√a+❑√b)
1
当a= ，b＝2时，
2
√1 √1
❑ (❑ +1)
原式 √1 2 2 ❑√2 1+❑√2 1+4❑√2．
=❑ + = + =
2 √1 2 6 6
❑√2(❑ +❑√2)
2
√x 1 5 √ 4
22．（8分）一个三角形的三边长分别为5❑ 、 ❑√20x、 x❑
5 2 4 5x
（1）求它的周长（要求结果化简）；
（2）请你给一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值．
【答案】见试题解答内容
√x 1 5 √ 4
【解答】解：（1）周长=5❑ + ❑√20x+ x❑
5 2 4 5x
1
=❑√5x+❑√5x+ ❑√5x
2
5
= ❑√5x，
2
5
（2）当x＝20时，周长= ❑√5×20=25，
2
4 5 √ 4
（或当x= 时，周长= ❑5× =5等）
5 2 5
3 √2 2
23．（10分）在进行二次根式的化简与运算时，如遇到 ，❑ ， 这样的式子，还需做进一步的
❑√5 3 ❑√3+1
化简，化去分母中的根号．
3 3×❑√5 3❑√5
= =
①
❑√5 ❑√5×❑√5 5√2 √2×3 ❑√6
❑ =❑ = ②
3 3×3 3
2 2×(❑√3−1) 2(❑√3−1)
= = =❑√3−1③
❑√3+1 (❑√3+1)(❑√3−1) (❑√3) 2 −12
1 1
以上化简的步骤叫做分母有理化．请参照上述方法，若已知x= ，y=
❑√3+❑√2 ❑√3−❑√2
（1）求x+y，xy的值；
（2）求x2+y2﹣xy的值．
【答案】（1）x+ y=2❑√3；xy＝1；
（2）9．
【解答】解：（1）先对x、y分别进行分母有理化，分母有理化可得：
1 1 ❑√3−❑√2
x= = × =❑√3−❑√2，
❑√3+❑√2 ❑√3+❑√2 ❑√3−❑√2
1 1 ❑√3+❑√2
y= = × =❑√3+❑√2，
❑√3−❑√2 ❑√3−❑√2 ❑√3+❑√2
∴x+ y=❑√3−❑√2+❑√3+❑√2=2❑√3，
∴x×y=(❑√3−❑√2)×(❑√3+❑√2)=1，
（2）原式＝（x+y）2﹣3xy
=(2❑√3) 2 −3×1
＝12﹣3
＝9．
24．（10分）数学课代表小明发现有同学常出现类似“❑√2+❑√3=❑√5”的错误计算．小明深知不能简单强
调“不是同类二次根式不能合并”，而是要同学们深刻理解❑√a+❑√b与❑√a+b（a＞0，b＞0）的大小关
系才能解决这个问题．他与几位同学讨论后，选择了“从特殊到一般”，运用“转化”的数学思想作为
问题解决的思路，具体如下：
【知识再现】一般地，已知两个正数a和b，如果a≥b，那么❑√a≥❑√b；反之，如果❑√a≥❑√b，那么
a≥b．
【知识应用】
（1）阅读下面的解题过程，并填空：
∵（❑√2+❑√3）2＝ 5+2❑√6 ，（❑√2+3）2＝ 5 ，
∴（❑√2+❑√3）2 ＞ （❑√2+3）2．（填“＞”“＜”“＝”“≥”或“≤”）∵❑√2+❑√3＞0，❑√2+3＞0，
∴❑√2+❑√3 ＞ ❑√2+3．（填“＞”“＜”“＝”“≥”或“≤”）
【猜想证明】
（2）判断❑√a+❑√b与❑√a+b（a＞0，b＞0）的大小关系，并证明．
【答案】（1）5+2❑√6，5，＞，＞；（2）❑√a+❑√b＞❑√a+b，
证明：∵a＞0，b＞0，❑√a+❑√b＞0，❑√a+b＞0，
∵ ， ，
(❑√a+❑√b) 2=a+b+2❑√ab (❑√a+b) 2=a+b
∵2❑√ab＞0，
∴ ，
(❑√a+❑√b) 2＞(❑√a+b) 2
∴❑√a+❑√b＞❑√a+b．
【解答】解：（1）∵（❑√2+❑√3）2＝2+2❑√6+3＝5+2❑√6，（❑√2+3）2＝2+3＝5，
∴ ，
(❑√2+❑√3) 2＞(❑√2+3) 2
∵❑√2+❑√3＞0，❑√2+3＞0，
∴❑√2+❑√3＞❑√2+3，
故答案为：5+2❑√6，5，＞，＞；（2）❑√a+❑√b＞❑√a+b，
证明：∵a＞0，b＞0，❑√a+❑√b＞0，❑√a+b＞0，
∵ ， ，
(❑√a+❑√b) 2=a+b+2❑√ab (❑√a+b) 2=a+b
∵2❑√ab＞0，
∴ ，
(❑√a+❑√b) 2＞(❑√a+b) 2
∴❑√a+❑√b＞❑√a+b．
25．（10分）现有两块同样大小的长方形纸片（如图①和图②），小星采用如图①所示的方式，在长方
形纸片上裁出两块面积分别为18cm2和32cm2的正方形纸片A，B．
（1）原长方形纸片的长为 7❑√2 cm，宽为 4❑√2 cm；
（2）求图①中阴影部分的面积；
（3）若小星想采用如图②所示的方式，在长方形纸片上裁出两块面积均为25cm2的正方形纸片，请你
判断能否裁出，并说明理由．【答案】（1）7❑√2，4❑√2；
（2）6cm2；
（3）不能，理由：
∵面积为25cm2的正方形纸片的边长为❑√25=5(cm)，
则5+5=10=❑√100＞7❑√2，
∴不能在矩形纸片上裁出两块面积是25cm2的正方形纸片．
【解答】解：（1）依题意，正方形纸片A的边长为❑√18=3❑√2(cm)；
正方形纸片B的边长为❑√32=4❑√2(cm)，
∴4❑√2+3❑√2=7❑√2(cm)，
原长方形纸片的长为7❑√2cm，宽为4❑√2cm．
故答案为：7❑√2，4❑√2；
（2）∵长方形的长为3❑√2+4❑√2=7❑√2(cm)，宽为4❑√2cm，
∴阴影部分的面积 ．
=7❑√2×4❑√2−(18+32)=56−50=6(cm2
)
（3）不能截出，理由如下：
∵面积为25cm2的正方形纸片的边长为❑√25=5(cm)，
则5+5=10=❑√100＞7❑√2，
∴不能在矩形纸片上裁出两块面积是25cm2的正方形纸片．
26．（10分）阅读材料：我们来看看完全平方公式在无理数化简中的作用．
问题提出：❑√7+4❑√3该如何化简？
建立模型：形如❑√m+2❑√n的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，这样（❑√a）2+（
❑√b）2＝m，❑√a•❑√b=❑√n．
那么便有： （a＞b），
❑√m±2❑√n=❑√(❑√a±❑√b) 2=❑√a±❑√b
问题解决：化简：❑√7+4❑√3，
解：首先把❑√7+4❑√3化为❑√7+2❑√12，这里 m＝7，n＝12，由于 4+3＝7，4×3＝12，即， ．
(❑√4) 2+(❑√3) 2=7 ❑√4×❑√3=❑√12
∴ ，
❑√7+4❑√3=❑√7+2❑√12=❑√(❑√4+❑√3) 2=2+❑√3
模型应用1：利用上述解决问题的方法化简下列各式：
（1）❑√6+2❑√5；
（2）❑√13−4❑√10．
模型应用2：
（3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4−❑√3，AC=❑√3，那么BC边的长为多少？（直接写出结果，结
果化成最简）．
【答案】（1）1+❑√5；（2）2❑√2−❑√5；（3）2❑√3−2．
【解答】解：（1）m＝6，n＝5．
∵1+5＝6，1×5＝5，
∴（❑√1）2+（❑√5）2＝6，❑√1×❑√5=❑√5，
∴ 1 ．
❑√6+2❑√5=❑√(1+❑√5) 2= +❑√5
（2）∵❑√13−4❑√10=❑√13−2❑√40．
∴m＝13，n＝40，
∵5+8＝13，5×8＝40，
∴（❑√5）2+（❑√8）2＝13，❑√5×❑√8=❑√40，
∴ 2 ．
❑√13−4❑√10=❑√(❑√8−❑√5) 2=❑√(2❑√2−❑√5) 2= ❑√2−❑√5
（3）BC ．
=❑√(4−❑√3) 2−(❑√3) 2=❑√16−8❑√3
∵❑√16−8❑√3=❑√16−2❑√48，
∴m＝16，n＝48，
∵4+12＝16，4×12＝48，
∴（❑√4）2+（❑√12）2＝16，❑√4×❑√12=❑√48，
∴BC 2 2．
=❑√16−2❑√48=❑√(❑√12−❑√4) 2=❑√(2❑√3−2) 2= ❑√3−
