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第十九章 二次根式（高效培优单元自测·提升卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。）
1．若❑√a是二次根式，则a的值不能是（ ）
1
A． B．3.14 C．﹣2 D．0
7
2．下列计算正确的是（ ）
A． B．
❑√a2=a ❑√(−a) 2=±a
C． D．
❑√a4=a2 ❑√a2+❑√b2=a+b
❑√m+1
3．若式子 在实数范围内有意义，则m的取值范围是（ ）
m−1
A．m＞﹣1，且m≠1 B．m≠0
C．m≥﹣1，且m≠1 D．m≠1
4．若最简二次根式❑√m−1与❑√8可以合并，则❑√2m−1的值是（ ）
A．❑√5 B．❑√2 C．❑√7 D．❑√3
5．已知：❑√20n是整数，则满足条件的最小正整数n为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．已知x、y为实数，且y=❑√x−9−❑√9−x+4，求❑√x+❑√y的值为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．13
7．将一个边长为a的正方形硬纸板剪去四角，使它成为正八边形，求正八边形的面积（ ）
7 ❑√2
A．（2❑√2−2）a2 B． a2 C． a2 D．（3﹣2❑√2）a2
9 2
8．使式子√ a ❑√a 成立的条件是（ ）
❑ =
a−5 ❑√a−5
A．a≥5 B．a＞5 C．0≤a≤5 D．0≤a＜5
2
9．已知a=❑√5+❑√3，b= ，则a与b的关系是（ ）
❑√5−❑√3
A．a＝b B．ab＝1 C．a＝﹣b D．ab＝﹣5
10．已知：a=3−❑√2，b=3+❑√2，则代数式（3a2﹣18a+15）（2b2﹣12b+13）的值是（ ）
A．6 B．24 C．42 D．9611．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求
积 公 式 ， 即 如 果 一 个 三 角 形 的 三 边 长 分 别 为 a ， b ， c ， 则 该 三 角 形 的 面 积 为 S
√1 a2+b2−c2 2 ．现已知△ABC的三边长分别为1，2， ，则△ABC的面积为（ ）
=❑ [a2b2−( ) ] ❑√5
4 2
A．1 B．2 C．1.5 D．0.5
1
12．观察下列计算： •（❑√2+1）＝（❑√2−1）（❑√2+1）＝1，
❑√2+1
1 1
（ + ）（❑√3+1）＝[（❑√2−1）+（❑√3−❑√2）]（❑√3+1）＝2，
❑√2+1 ❑√2+❑√3
1 1 1
（ + + ）（❑√4+1）＝[（❑√2−1）+（❑√3−❑√2）+（❑√4−❑√3）]（❑√4+1）＝
❑√2+1 ❑√2+❑√3 ❑√4+❑√3
3，
…
从以上计算过程中找出规律，并利用这一规律进行计算：
1 1 1 1
（ + + +⋯+ ）（❑√2010+1）的值为（ ）
❑√2+1 ❑√2+❑√3 ❑√3+❑√4 ❑√2010+❑√2009
A．2008 B．2010 C．2011 D．2009
二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
2 1
13．比较大小： （填“＞”、“＜”或“＝”）．
❑√5+1 2
√ −1
14．化简(5−a)❑ = ．
5−a
15．若实数a和b满足❑√4−a+❑√a−4=b+2，则a﹣b的算术平方根是 ．
16．现定义一种新运算◎：对于任意正有理数x、y，都有x◎y=❑√3x−2❑√y．例如：9◎3=❑√3×9−2❑√3=
3❑√3−2❑√3=❑√3，则6◎8＝ ．
17．实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简代数式 的值为
❑√a2+|a+b|+|❑√2−a|−❑√(b−❑√2) 2
．
18．任意一个四位正整数m＝abcd，如果它的各个数位上的数字均不为零，千位与十位上的数字之和是
10，百位与个位上的数字之和是9，则这个数称为“十拿九稳数”．将m的千位与十位对调、百位与个m−m′
位对调后的四位数记为 m′，其中F(m)= ，若❑√F(m)+4a+10b+1为整数，则满足条件的
99
“十拿九稳数”m的最大值为 ．
三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（8分）计算：
√1 √1
（1）❑√8+❑ −2❑ ；
3 2
❑√45−❑√5
（2） −2❑√2×❑√6；
❑√5
1
（3）(−1) 2025−❑√12+|3−2❑√3|−( ) −1；
2
（4） ．
(❑√13+❑√6)(❑√13−❑√6)−(2❑√2−1) 2
20．（8分）已知b−√a3b和❑√2b−a+2是相等的最简二次根式．
（1）求a，b的值；
（2）求 的值．
❑√b3+a2014
21 ． （ 8 分 ） 已 知 实 数 a 、 b 使 等 式 成 立 ， 请 先 化 简 ， 再 求 值 ：
(❑√2a−1) 2+|b−2|=0
a❑√b−b❑√a ❑√ab+b
+1÷ ．
❑√ab−b a+❑√a
√x 1 5 √ 4
22．（8分）一个三角形的三边长分别为5❑ 、 ❑√20x、 x❑
5 2 4 5x
（1）求它的周长（要求结果化简）；
（2）请你给一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值．
3 √2 2
23．（10分）在进行二次根式的化简与运算时，如遇到 ，❑ ， 这样的式子，还需做进一步的
❑√5 3 ❑√3+1
化简，化去分母中的根号．
3 3×❑√5 3❑√5
= =
①
❑√5 ❑√5×❑√5 5
√2 √2×3 ❑√6
❑ =❑ = ②
3 3×3 3
2 2×(❑√3−1) 2(❑√3−1)
= = =❑√3−1③
❑√3+1 (❑√3+1)(❑√3−1) (❑√3) 2 −121 1
以上化简的步骤叫做分母有理化．请参照上述方法，若已知x= ，y=
❑√3+❑√2 ❑√3−❑√2
（1）求x+y，xy的值；
（2）求x2+y2﹣xy的值．
24．（10分）数学课代表小明发现有同学常出现类似“❑√2+❑√3=❑√5”的错误计算．小明深知不能简单强
调“不是同类二次根式不能合并”，而是要同学们深刻理解❑√a+❑√b与❑√a+b（a＞0，b＞0）的大小关
系才能解决这个问题．他与几位同学讨论后，选择了“从特殊到一般”，运用“转化”的数学思想作为
问题解决的思路，具体如下：
【知识再现】一般地，已知两个正数 a和b，如果a≥b，那么❑√a≥❑√b；反之，如果❑√a≥❑√b，那么
a≥b．
【知识应用】
（1）阅读下面的解题过程，并填空：
∵（❑√2+❑√3）2＝ ，（❑√2+3）2＝ ，
∴（❑√2+❑√3）2 （❑√2+3）2．（填“＞”“＜”“＝”“≥”或“≤”）
∵❑√2+❑√3＞0，❑√2+3＞0，
∴❑√2+❑√3 ❑√2+3．（填“＞”“＜”“＝”“≥”或“≤”）
【猜想证明】
（2）判断❑√a+❑√b与❑√a+b（a＞0，b＞0）的大小关系，并证明．
25．（10分）现有两块同样大小的长方形纸片（如图①和图②），小星采用如图①所示的方式，在长方
形纸片上裁出两块面积分别为18cm2和32cm2的正方形纸片A，B．
（1）原长方形纸片的长为 cm，宽为 cm；
（2）求图①中阴影部分的面积；
（3）若小星想采用如图②所示的方式，在长方形纸片上裁出两块面积均为25cm2的正方形纸片，请你
判断能否裁出，并说明理由．
26．（10分）阅读材料：我们来看看完全平方公式在无理数化简中的作用．
问题提出：❑√7+4❑√3该如何化简？建立模型：形如❑√m+2❑√n的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，这样（❑√a）2+（
❑√b）2＝m，❑√a•❑√b=❑√n．
那么便有： （a＞b），
❑√m±2❑√n=❑√(❑√a±❑√b) 2=❑√a±❑√b
问题解决：化简：❑√7+4❑√3，
解：首先把❑√7+4❑√3化为❑√7+2❑√12，这里 m＝7，n＝12，由于 4+3＝7，4×3＝12，即
， ．
(❑√4) 2+(❑√3) 2=7 ❑√4×❑√3=❑√12
∴ ，
❑√7+4❑√3=❑√7+2❑√12=❑√(❑√4+❑√3) 2=2+❑√3
模型应用1：利用上述解决问题的方法化简下列各式：
（1）❑√6+2❑√5；
（2）❑√13−4❑√10．
模型应用2：
（3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4−❑√3，AC=❑√3，那么BC边的长为多少？（直接写出结果，结
果化成最简）．
