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泰安市 2024 年年初中学业水平考试
数学试题
一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确
选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. D.
的
2. 下列运算正确 是（ ）
A. B.
C. D.
3. 下面图形中，中心对称图形的个数有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
4. 据泰山景区2024年1月4日消息，2023年泰山景区累计接待进山游客超860万人次，同比增长
为
301.36%，刷新了历年游客量最高记录，数据860万用科学记数法表示 （ ）
A. B. C. D.
5. 如图，直线 ，等边三角形 的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若 ，则
的度数是（ ）A. B. C. D.
6. 如图， 是 的直径， ， 是 上两点， 平分 ，若 ，则 的度数
为（ ）
.
A B. C. D.
7. 关于 的一元二次方程 有实数根，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容如下：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，…，
…，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？若设买甜果x个，买苦果y个，列出符合题意的二元一次方程组：
．根据已有信息，题中用“…，…”表示的缺失的条件应为（ ）
A. 甜果九个十一文，苦果七个四文钱 B. 甜果七个四文钱，苦果九个十一文
C. 甜果十一个九文，苦果四个七文钱 D. 甜果四个七文钱，苦果十一个九文
9. 如图， 中， ，分别以顶点A， 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧分
别相交于点 和点 ，作直线 分别与 ， 交于点 和点 ；以点A为圆心，任意长为半径画
弧，分别交 ， 于点 和点 ，再分别以点 ，点 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧
交于点 ，作射线 ，若射线 恰好经过点 ，则下列四个结论：① ；② 垂直平分线段 ；③ ；④ ．
其中，正确结论的个数有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
10. 两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆 的一个直径端点与半圆 的圆心重合，若半圆的半径为
2，则阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
11. 如图所示是二次函数 的部分图象，该函数图象的对称轴是直线 ，图象与
轴交点的纵坐标是2，则下列结论：① ；②方程 一定有一个根在 和 之间；
③方程 一定有两个不相等的实数根；④ ．其中，正确结论的个数有（ ）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
12. 如图，菱形 中， ，点 是 边上的点， ， ，点 是 上的一点，
是以点 为直角顶点， 为 角的直角三角形，连结 ．当点 在直线 上运动时，
线段 的最小值是（ ）
A. 2 B. C. D. 4
二、填空题（本大题共6小题，满分24分．只要求填写最后结果，每小题填对得4分）
13. 单项式 的次数是________．
14. 某学校在4月23日世界读书日举行“书香校园，全员阅读”活动．小明和小颖去学校图书室借阅书籍，
小明准备从《西游记》、《骆驼祥子》、《水浒传》中随机选择一本，小颍准备从《西游记》、《骆驼祥
子》、《朝花夕拾》中随机选择一本，小明和小颖恰好选中书名相同的书的概率是__________．
15. 在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识测量大汶河某河段的宽度，他们在河岸一侧的瞭望台
上放飞一只无人机，如图，无人机在河上方距水面高60米的点 处测得瞭望台正对岸A处的俯角为 ，
测得瞭望台顶端 处的俯角为 ，已知瞭望台 高12米（图中点 ， ， ， 在同一平面内），
那么大汶河此河段的宽 为__________米．（参考数据： ， ， ，
）16. 如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园，已知房屋外墙长40
米，则可围成的菜园的最大面积是__________平方米．
17. 如图， 是 的直径， 是 的切线，点 为 上任意一点，点 为 的中点，连接
交 于点 ，延长 与 相交于点 ，若 ， ，则 的长为__________．
18. 如图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”．按照此规律继续摆下去，第
__________个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍．
三、解答题（本大题共7小题，满分8分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步
骤）19. （1）计算： ；
（2）化简： ．
20. 某超市打算购进一批苹果，现从甲、乙两个供应商供应的苹果中各随机抽取10个，测得它们的直径
（单位：mm），并制作统计图如下：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）
统计量供应 平均 中位 众
商 数 数 数
甲 80 80
乙 76
则 __________， __________， __________．
的
（2）苹果直径 方差越小，苹果的大小越整齐，据此判断，__________供应商供应的苹果大小更为整齐．
（填“甲”或“乙”）
（3）超市规定直径 （含 ）以上的苹果为大果，超市打算购进甲供应商的苹果2000个，其
中，大果约有多少个？
21. 直线 与反比例函数 的图象相交于点 ， ，与 轴交于点
．（1）求直线 的表达式；
（2）若 ，请直接写出满足条件的 的取值范围；
（3）过 点作 轴的平行线交反比例函数的图象于点 ，求 的面积．
22. 随着快递行业的快速发展，全国各地的农产品有了更广阔的销售空间，某农产品加工企业有甲、乙两
个组共 名工人．甲组每天加工 件农产品，乙组每天加工 件农产品，已知乙组每人每天平均
加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的 倍，求甲、乙两组各有多少名工人？
23. 综合与实践
为了研究折纸过程蕴含的数学知识，某校九年级数学兴趣小组的同学进行了数学折纸探究活动．
【探究发现】
（1）同学们对一张矩形纸片进行折叠，如图1，把矩形纸片 翻折，使矩形顶点 的对应点 恰好
落在矩形的一边 上，折痕为 ，将纸片展平，连结 ， 与 相交于点 ．同学们发现图形
中四条线段成比例，即 ，请你判断同学们的发现是否正确，并说明理由．
【拓展延伸】
（2）同学们对老师给出的一张平行四边形纸片进行研究，如图2， 是平行四边形纸片 的一条
对角线，同学们将该平行四边形纸片翻折，使点 的对应点 ，点 的对应点 都落在对角线 上，折痕分别是 和 ，将纸片展平，连结 ， ， ，同学们探究后发现，若 ，那么
点 恰好是对角线 的一个“黄金分剧点”，即 ．请你判断同学们的发现是否正确，并说
明理由．
24. 如图1，在等腰 中， ， ，点 ， 分别在 ， 上，
，连接 ， ，取 中点 ，连接 ．
（1）求证： ， ；
（2）将 绕点 顺时针旋转到图2的位置．
①请直接写出 与 的位置关系：___________________；
②求证： ．
25. 如图，抛物线 的图象经过点 ，与 轴交于点A，点 ．的
（1）求抛物线 表达式；
（2）将抛物线 向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线 ，求抛物线 的表达式，并判断
点 是否在抛物线 上；
（3）在 轴上方的抛物线 上，是否存在点 ，使 是等腰直角三角形．若存在，请求出点 的
坐标；若不存在，请说明理由．
