文档内容
【赢在中考·黄金8卷】备战2023年中考数学全真模拟卷
（抚本铁辽葫专用）
黄金卷 1
（满分150分，考试用时120分钟）
一、选择题：本大题共有 10 小题，每小题3分，共 30分。每小题只有一个正确选项.
1．（2022·吉林长春·模拟预测）下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A． 与 B． 与1 C． 与 D． 与
【答案】C
【分析】根据相反数和绝对值的定义化简各选项中的数即可得出答案．
【详解】解：A． ， ，1与1不是相反数，故该选项不符合题意；
B． ，1与1不是相反数，故该选项不符合题意；
C． ， ，3与 是相反数，故该选项符合题意；
D． ， ， 与 不是相反数，故该选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了相反数，绝对值，掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键．
2．（2022·云南昆明·云大附中校考模拟预测）如图，小明从图 中几何体的某个方向观察看到如图 所示
的结果，则小明是从该几何体的方向观察的．（ ）
A．正面 B．上面 C．左面 D．右面
【答案】C
【分析】根据几何体得到从各个方向观察得到的图形，据此判断．【详解】解：从正面观察得到的图形应为2行3列，故不符合；
从上面观察得到的图形应为2行3列，故不符合；
从左面观察得到的图形应用2行2列，且第一列为两个高度，第二列为一个高度，故符合；
故选：C．
【点睛】此题考查了从不同方向观察几何体得到的图形，正确理解观察的方向及得到的图形的特点是解题
的关键．
3．（2022·四川南充·模拟预测）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据完全平方公式，合并同类项，同底数幂的乘除法运算法则分析选项即可．
【详解】解：A. ；∵ ，故选项计算错误，不符合题意；
B. ；∵ ，故选项计算错误，不符合题意；
C. ；∵ 和 不是同类项，故不能合并，故选项计算错误，不符合题意；
D. ；选项计算正确，符合题意；
故选：D
【点睛】本题考查完全平方公式，合并同类项，同底数幂的乘除法运算法则，解题的关键是熟练掌握完全
平方公式，合并同类项，同底数幂的乘除法运算法则．
4．（2022·河南郑州·郑州外国语中学校考模拟预测）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】直接根据轴对称和中心对称的定义判断即可．
【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不合题意；
D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解
答本题的关键．
5．（2022·宁夏银川·银川九中校考二模）某校篮球队有20名队员，统计所有队员的年龄制作如下表格：
对于不同的 ，下列统计量中不会发生改变的是（ ）
年龄（岁） 16 15 14 13 12
人数 2 9 1
A．中位数，众数 B．平均数，方差 C．平均数，中位数 D．众数，方差
【答案】A
【分析】根据频数表可知，年龄为13岁与年龄为14岁的频数和为8，即可知出现次数最多的数据及第
10、11个数据的平均数，可得答案．
【详解】解：由表可知，年龄为13岁与年龄为14岁的频数和为 ，
故该组数据的众数为15岁，
总数为20，按大小排列后，第10个和第11个数为15，15，
则中位数为： 岁，
即对于不同的 ，统计量不会发生改变的是众数和中位数，
故选：A．
【点睛】本题考查频数分布表及统计量的选择，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法
是解题的关键．6．（2022·广西玉林·校考模拟预测）关于 的方程 有实数根，则 的取值范围是（ ）
A． B． 且 C． D． 且
【答案】C
【分析】由于k的取值范围不能确定，故应分 和 两种情况进行解答．
【详解】解：①当 时， ，解得 ；
②当 时，此方程是一元二次方程，
∵关于x的方程 有实数根，
∴ ，解得 ，
由①、②得，k的取值范围是 ．
故选：C．
【点睛】本题考查了根的判别式，解答此题时要注意分 和 两种情况进行讨论．
7．（2022·广东佛山·校考三模）如表记录了甲、乙、丙、丁 名立定跳远运动员最近几次选拔赛成绩的平
均数与方差，要从中选择一名成绩较好而且发挥较稳定的运动员去参加比赛，应该选择（ ）
甲 乙 丙 丁
平均数（ ）
方差
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】B
【分析】选择平均数较大且方差较小的运动员参加即可．
【详解】 乙和丙的平均成绩比甲和丁好，
从乙和丙中选择一人参加比赛，
又 ，
选择乙参赛，
故选：B．
【点睛】此题考查了平均数和方差，正确理解方差与平均数的意义是解题关键．8．（2022·山东济南·山东省实验初级中学校考模拟预测）已知一次函数 与正比例函数
（m，n为常数， ），则函数 与 的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据一次函数的图象和性质，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、由一次函数的图象得： ，则 ；由正比例函数的图象可知 ，两结
论一致，故本选项正确，符合题意；
B、由一次函数的图象可知， ，故 ；由正比例函数的图象可知 ，两结论不一致，故
本选项不正确，不符合题意；
C、由一次函数的图象可知， ，故 ；由正比例函数的图象可知 ，两结论不一致，
故本选项不正确，不符合题意；
D、由一次函数的图象可知， ，故 ；由正比例函数的图象可知 ，两结论不一致，
故本选项不正确，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．
9．（2022·重庆璧山·统考一模）我国很早就开始对数学的研究，其中不少成果被收入古代数学著作《九章
算术》中，《九章算术》的“方程”一章中，有许多关于一次方程组的内 容，这一章的第一个问题译成
现代汉语是这样的：“上等谷3束，中等谷2束，下等谷1束，可得粮食39斗；上等谷2束，中等谷3束，下等谷1束，可得粮食34斗；上等谷1束，中等谷2束，下等谷3束，可得粮食26斗．问上、中、下三等
谷每束各可得粮食几斗？”如图1的算筹代表了古代解决这个问题的方法，设每束上等谷、中等谷、下等
谷各可得粮食 斗、 斗、 斗，则可列方程组为： 类似地，图2所示的算筹我们可以表
示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意可得，在算筹中，第一列代表 的系数，第二列代表 的系数，最后一列为式子的和，
据此求解即可．
【详解】解：根据题意可得，在算筹中，第一列代表 的系数，第二列代表 的系数，最后一列为式子的
和，
则图2所示的算筹我们可以表示为
故选：A
【点睛】此题考查了列二元一次方程组，解题的关键是理解算筹中各个符号代表的含义．
10．（2021·湖北恩施·统考一模）二次函数 大致图象如图所示，其中顶点为（-2， ）下列结论：① ；② ；③ ；④若方程 有两根为 和 ，且
< ，则 ；⑤若方程 有四个根，则这四个根的和为 ，其中正确的结论是
（ ）
A．①②③④ B．①②③⑤ C．②③④⑤ D．①②④⑤
【答案】D
【分析】①抛物线对称轴在 轴左侧，则 同号，而 ，即可求解；
② 时， ，即可求解；
③ ，即可求解；
④ ，相当于由原抛物线 向上平移了1个单位，即可求解；
⑤若方程 ，即：若方程 ，当 时，由一元二次方程根与系数
的关系得：其两个根的和为 ，即可求解．
【详解】解：∵顶点为（ ， ），设二次函数表达式为：
，
①抛物线对称轴在 轴左侧，则 同号，而 ，则 ，故①正确；
②函数在 轴右侧与x轴的交点（1，0），当 时， ，故②正确；
③ ，故③错误；
④ ，相当于由原抛物线 向上平移了1个单位，故有两个根 和 ，且
，则 ，④正确；⑤若方程 ，即：若方程 ，当 时，
根据一元二次方程根与系数的关系得：其两个根的和为 ，
同理当 时，其两个根的和也为 ，则这四个根的和为 ，故⑤正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴交点，一元二
次方程根与系数的关系、根的判别式等，关键是熟练掌握二次函数图象的性质．
二、填空题：本大题共有8小题，每小题3分，共24分。
11．（2022·贵州黔西·校考一模）2022年我市地区生产总值逼近14000亿元，用科学记数法表示14000是
______．
【答案】
【分析】将原数表示成形式为 （ ，n为整数）的形式即可.
【详解】解： ，
故答案为： .
【点睛】本题主要考查用科学记数法表示绝对值较大的数，科学记数法是将原数表示成形式为 （
，n为整数）的形式，确定a和n的值是解答本题的关键.
12．（2022·吉林长春·模拟预测）分解因式： ______．
【答案】
【分析】先用完全平方公式分解，再利用平方差公式进行分解即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了整式的因式分解，掌握公式法分解因式是解决本题的关键．13．（2022·江苏淮安·模拟预测）如图，一次函数 的图像交坐标轴于 、 两点，交反比例函数
图像的一个分支于点 ，若点 恰好是 的中点，则 的值是___________．
【答案】
【分析】由一次函数解析式可得 、 的坐标，再由点 恰好是 的中点求得 的坐标，然后代入
求得k即可解答．
【详解】解： 一次函数 的图像交坐标轴于 、 两点，
，
点 恰好是 的中点，
，
反比例函数 图像过点 ，
．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次函数图像上点的坐标特征、运用待定系
数法求反比例函数的解析式等知识点，求得点 的坐标是解题的关键．
14．（2022·山东济南·济南育英中学校考模拟预测）从 这五个数中任意取出一个数记作b，则既
能使函数 的图象经过第二、第四象限，又能使关于x的一元二次方程 的根的
判别式小于零的概率为 _____．
【答案】 ##0.4
【分析】确定使函数的图象经过第二、四象限的b的取值范围，然后确定使方程根的判别式小于零的b的取值范围，找到同时满足两个条件的b的值，利用概率公式计算即可．
【详解】解：∵函数 的图象经过第二、四象限，
∴ ，
解得： ；
∵关于x的一元二次方程 的根的判别式小于零，
∴ ，
∴ ，
∴使函数的图象经过第二、四象限，且使方程的根的判别式小于零的b的值有为0、1，
∴此事件的概率为 ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现
m种结果，那么事件A的概率 ．
15．（2022·辽宁·统考二模）如图，将三角形ABC沿直线CB向右平移6cm得到三角形DEF，DF交AB于
点G，在三角形ABC中， ， ， ，则四边形DGBE的面积为
____________ ．
【答案】38
【分析】根据平移的性质可得 即可证明四边形ABED是平行四边形，
再根据 进行求解即可．
【详解】解：由平移的性质可知 ，∴四边形ABED是平行四边形，
∵AC=10cm，∠C=90°，即AC⊥BE，
∴ ，
∴ ，
故答案为：38．
【点睛】本题考查了平移的性质、平行四边形的性质与判定，能够根据平行的性质证明四边形ABED是平
行四边形是解题的关键．
16．（2022·江苏扬州·校考三模）如图，在 中， ， ，观察尺规作图的痕迹，则
的度数为___________．
【答案】
【分析】由作图可知， 是线段 的垂直平分线， 是 的角平分线，求出 ，
再利用三角内角和定理即可求解．
【详解】解： 是线段 的垂直平分线， ，
是 的角平分线， ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角内角和等知识，熟悉掌握有关知识是解题
关键．17．（2020·湖北武汉·统考一模）如图，在 中， ，D是 上一点，点E
在 上，连接 交于点F，若 ，则 ＝__________．
【答案】2
【分析】过D作 垂直 于H点，过D作 交BC于G点，先利用解直角三角形求出 的长，
其次利用 ，求出 的长，得出 的长，最后利用 求出 的长，最后得出
答案．
【详解】解：如图：过D作 垂直 于H点，过D作 交 于G点，
∵在 中， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴在等腰直角三角形 中， ，
∴ ，
在 中， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：2．
【点睛】本题考查勾股定理，等腰直角三角形性质及相似三角形的判定与性质综合，解题关键在于正确做
出辅助线，利用相似三角形的性质得出对应边成比例求出答案．
18．（2022·河南郑州·郑州外国语中学校考模拟预测）如图，在边长为6的正方形 中，点 为 边
上的一动点，点 为 边上一定点，且 ，将 沿着直线 对折，若点 的对应点 恰巧
落在正方形的对角线上，则 的长度为______．【答案】 或4
【分析】分两种情况：当 落在 上时，过 作 于 ，过 作 于 ，可得
，进而求得 ，根据 即可求解；当 落在 上时，四边形 是正方
形，即可求解．
【详解】解：当 落在 上时，过 作 于 ，过 作 于 ，如图，
，正方形 为 ，
与 是等腰直角三角形，
设 ，则 ，
沿着直线 对折，若点 的对应点 ，
在 中，
在 中，
，
，即
，解得
当 落在 上时，如图
同理
四边形 是正方形，
故答案为： 或4
【点睛】本题考查了正方形中的翻折变换、勾股定理，解题的关键是熟练掌握翻折的性质，学会构建方程
解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题：本大题共有8小题，共96分。
19.（10分）（2022·江苏苏州·苏州市振华中学校校考模拟预测）先化简，再求值： ，
其中 是使二次根式 有意义的整数值．
【答案】 ；
【分析】先根据分式的加减计算括号内的，再根据分式的性质化简，最后根据二次根式有意义求得 的值
代入求解．
【详解】解：；
∵二次根式 有意义，
∴ ，
解得： ，
∵ 是使二次根式 有意义的整数值，
∴ ，
又∵分式中， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，二次根式有意义的条件，解不等式组，求不等式组的整数解，正确
的计算是解题的关键．
20．（12分）（2022·江苏无锡·无锡市天一实验学校校考模拟预测）为了提高学生书写汉字的能力，增强
保护汉字的意识，我市举办了首届“汉字听写大赛”，经选拔后有 名学生参加决赛，这 名学生同时
听写 个汉字，若每正确听写出一个汉字得 分，根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直
方图如图表：
请结合图表完成下列各题：
(1)求表中 的值；组别 成绩 分 频数（人数）
第 组
第
组
第 组
第
组
第 组
(2)请把频数分布直方图补充完整；
(3)若测试成绩不低于 分为优秀，则本次测试的优秀率是多少？
(4)第 组 名同学中，有 名男同学，现将这 名同学平均分成两组进行对抗练习，且 名男同学每组分两
人，求小亮与小华两名男同学分在同一组的概率．
【答案】(1)
(2)图见解析
(3)本次测试的优秀率是
(4)小亮与小华两名男同学分在同一组的概率为
【分析】（1）用参加汉字听写的50名同学的人数减去各组的频数即可得出第四组的频数a的值；
（2）由于频数代表长方形的高，由第四组的频数a的值，即可补全频数分布直方图；
（3）用听写得分不低于40分的人数除以参加这次听写的总人数即可得出本次测试的优秀率；
（4）用A表示小亮，B表示小华，C、D表示其他两名同学，根据题意画出树状图，共有12种等可能情况，
小亮与小华两名男同学分在同一组的情况有4种，根据概率公式就可得出小亮与小华两名男同学分在同一
组的概率．【详解】（1）表中a的值是： ；
（2）根据题意画图如下：
（3）本次测试的优秀率是 ；
（4）用A表示小亮，B表示小华，C、D表示其他两名同学，根据题意画树状图如下：
共有12种等可能情况，小亮与小华两名男同学分在同一组的情况有4种，则小亮与小华两名男同学分在同
一组的概率是 ．
【点睛】本题主要考查的是频数分布直方图和利用树状图求概率．利用统计图获取信息时，必须认真观察、
分析、研究统计图．解题的关键是熟知统计调查的知识及树状图的画法．
21．（12分）（2020·山西大同·统考一模）疫情防控形势下，人们在外出时都应戴上口罩以保护自己免受
新型冠状病毒感染．某药店用4000元购进若干包次性医用口罩，很快售完，该店又用7500元钱购进第二
批这种口罩，所进的包数比第一批多 ，每包口罩的进价比第一批每包口罩的进价多0.5元，请解答下
列问题：
(1)求购进的第一批医用口罩有多少包？
(2)政府采取措施，在这两批医用口罩的销售中，售价保持了一致，若售完这两批口罩的总利润不高于3500
元钱，那么药店销售该口罩每包的最高售价是多少元？【答案】(1)购进的第一批医用口罩有2000包
(2)药店销售该口罩每包的最高售价是3元
【分析】（1）设购进的第一批医用口罩有x包，根据“每包口罩的进价比第一批每包口罩的进价多0.5
元”列出方程并解答．
（2）设药店销售该口罩每包的售价是y元，根据“售完这两批口罩的总利润不高于3500元钱”列出不等
式．
【详解】（1）解：设购进的第一批医用口罩有x包，则
．
解得： ．
经检验x＝2000是原方程的根并符合实际意义．
答：购进的第一批医用口罩有2000包；
（2）解：设药店销售该口罩每包的售价是y元，则由题意得：
．
解得： ．
答：药店销售该口罩每包的最高售价是3元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，
正确列出分式方程；（2）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式．
22．（12分）（2022·江苏泰州·模拟预测）如图，小明在大楼 高（即 ，且 ）的窗口
处进行观测，测得山坡上 处的俯角为 ，山脚 处的俯角为 ，已知该山坡的坡度 （即
）为 （点 ， ， ， ， 在同一个平面上，点 ， ， 在同一条直线上）．(1) 的度数等于________度（直接填空）
(2)求 ， 两点间的距离（结果精确到 ，参考数据： ， ）
【答案】(1)
(2)A、B两点间的距离约为52.0米
【分析】（1）根据坡度求得 ，结合题意，得出 ，进而得出
（2）根据 ，得出 ，解 即可求解．
【详解】（1）如解图所示；过点A作 于点F，
∵山坡的坡度i（即 ）为 ，
∴ ，
∴ ，
∵在窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为 ，山脚B处的俯角为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：90；
（2）∵
∴ ，
∵ 米， ，解得： ，
故 （米），
答：A、B两点间的距离约为52.0米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的性质应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．
23．（12分）（2022·山东德州·统考二模）农经公司以 元 千克的价格收购一批农产品进行销售，为了
得到日销售量 （千克）与销售价格 （元 千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表：
销售价格 （元 千克）
日销售量 （千克）
(1)请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定 与 之间的函数表达
式；
(2)农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？
【答案】(1)
(2)销售价格定为40元，日销售利润最大
【分析】（1）根据表中销售价格每增加 元 千克，日销售量就减少 千克，由此即可求出答案；
（2）因为每增加5元 千克，日销售量就减少，利用函数解析式，即可求出最大值．
【详解】（1）解：假设 与 成一次函数关系，设函数关系式为 ，
∴ ，解得： ， ，
∴ ，
检验：当 ， ；当 ， ；当 ， ，符合一次函数解析式，
故函数关系为 ；
（2）解：设日销售利润 ，
即 ，∴当 时， 有最大值，最大值为 ，
故这批农产品的销售价格定为 元，才能使日销售利润最大．
【点睛】本题主要考查一次函数的实际运用，理解题目表格中的数据之间的关系并找出数据之间的规律是
解题的关键．
24．（12分）（2022·山东济宁·校考二模）如图，点 是 中弦 的中点，过点 作 的直径 ，
是 上一点，过点 作 的切线，与 的延长线交于 ，与 的延长线交于点 ，连接 与
交于点 ．
(1)求证： ；
(2)若点 是 的中点， ， 半径长为6，求 长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接 ，则： ，得到 ，根据切线的性质，垂径定理的推论得到：
，从而得到： ，再根据对顶角相等，推出
，即可得到 ；
（2）利用同角的余角相等，得到 ，利用 ，求出 ，利用勾股定理求出 ，进而得到 的长，再利用 ，求出 ，利用 ，即可得解．
【详解】（1）证明：连接 ，则： ，
∴
∵ 是 的切线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点 是弦 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：由（1）知： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查垂径定理的推论，切线的性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形．熟练掌握切
线垂直过切点的半径，平分弦（不是直径）的直径垂直弦，是解题的关键．
25．（12分）（2022·山东潍坊·中考真题）【情境再现】
甲、乙两个含 角的直角三角尺如图①放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O处，将甲绕点O
顺时针旋转一个锐角到图②位置．小莹用作图软件Geogebra按图②作出示意图，并连接 ，如图③
所示， 交 于E， 交 于F，通过证明 ，可得 ．
请你证明： ．
【迁移应用】
延长 分别交 所在直线于点P，D，如图④，猜想并证明 与 的位置关系．
【拓展延伸】小亮将图②中的甲、乙换成含 角的直角三角尺如图⑤，按图⑤作出示意图，并连接 ，如图⑥所
示，其他条件不变，请你猜想并证明 与 的数量关系．
【答案】证明见解析；垂直；
【分析】证明 ，即可得出结论；通过 ，可以求出
，得出结论 ；证明 ，得出 ，得出
结论；
【详解】证明： ，
，
，
，
，
，
；
迁移应用： ，
证明： ，
，
，
，
，
，
，
；
拓展延伸： ，
证明：在 中， ，
在 中， ，
，
由上一问题可知， ，，
，
．
【点睛】本题考查旋转变换，涉及知识点：全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质、锐角三
角函数、等角的余角相等，解题关键结合图形灵活应用相关的判定与性质．
26.（14分）（2022·山东淄博·统考中考真题）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A，B两点（点A在
点B的左侧），顶点D（1，4）在直线l：y＝ x+t上，动点P（m，n）在x轴上方的抛物线上．
(1)求这条抛物线对应的函数表达式；
(2)过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥l于点N，当1＜m＜3时，求PM+PN的最大值；
(3)设直线AP，BP与抛物线的对称轴分别相交于点E，F，请探索以A，F，B，G（G是点E关于x轴的对
称点）为顶点的四边形面积是否随着P点的运动而发生变化，若不变，求出这个四边形的面积；若变化，
说明理由．
【答案】(1)y = x²+2x+3
(2)最大值
(3)定值16
【分析】（1）利用顶点式可得结论；
（2）如图，设直线l交x轴于点T，连接PT，BD，BD交PM于点J，设 ，，推出 最大时， 的值最大，求出四边形DTBP的面积的最大值，
可得结论；
（3）如图，设 ，求出直线AP，BP的解析式，可得点E，F的坐标，求出FG的长，可
得结论．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为D（1，4），
∴根据顶点式，抛物线的解析式为 ；
（2）解：如图，设直线l交x轴于点T，连接PT，BD，
BD交PM于点J，设 ，
点 ，在直线l： 上，
∴ ，
∴ ，
∴直线DT的解析式为 ，
令 ，得到 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 最大时， 的值最大，
∵ ， ，
∴直线BD的解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
∵
，
∵二次项系数 ，
∴ 时， 最大，最大值为11，
∴ 的最大值 ；
（3）解：四边形AFBG的面积不变．
理由：如图，设 ，∵ ， ，
∴直线AP的解析式为 ，
∴ ，
∵E，G关于x轴对称，
∴ ，
∴直线PB的解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形AFBG的面积 ，
∴四边形AFBG的面积是定值．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会
构建二次函数解决最值问题，学会利用参数解决问题．
