文档内容
【赢在中考·黄金8卷】备战2023年中考数学全真模拟卷（大连专用）
黄金卷 1
（满分150分，考试用时120分钟）
一、选择题：本大题共有 10 小题，每小题3分，共 30分。每小题只有一个正确选项.
1．（2022·江苏无锡·无锡市天一实验学校校考模拟预测）下列选项中，说法错误的是： 是 的 （ ）
A．相反数 B．绝对值 C．倒数 D．平方
【答案】C
【分析】根据相反数、绝对值和平方的性质进行判断即可．
【详解】解：∵ ，
∴ 是 的相反数、绝对值与平方，
故选C．
【点睛】本题考查了相反数、绝对值和平方的性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
2．（2022·浙江温州·温州市第三中学校考模拟预测）某积木配件如图所示，它的左视图是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】根据从左面看到的图形是左视图进行判断即可．
【详解】解：观察图形，从左面看到的图形是
故选C．
【点睛】本题考查简单几何体的三视图，熟练掌握三视图的概念是解答的关键，注意：可见部分用实线，
不可见部分用虚线．
3．（2022·江苏无锡·无锡市天一实验学校校考模拟预测）下列各式正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据同底数幂相除、负整指数幂和二次根式的化简进行运算即可．
【详解】解：A、 ，故该选项错误，不符合题意；
B、 ，故该选项错误，不符合题意；
C、 ，故该选项错误，不符合题意；
D、∵ ，
∴，故该选项正确，符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查了同底数幂相除、负整指数幂和二次根式的化简，正确的计算是解决本题的关键．
4．（2022·宁夏银川·校考一模）如图， ，以点O为圆心，任意长为半径作弧分别交 ，
于点 ， ，分别以点 ， 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于点 ，过 点作 ，
于点 ，若 ，则 的长为（ ）
A．2.5 B．2 C．1.5 D．1
【答案】D
【分析】过点 作 于点 ，结合角平分线的定义以及平行线的性质可得 ，进
而可得 ， ，则 ，根据角平分线的性质可得
，即可得出答案．
【详解】解：过点 作 于点 ，
由题意可知， 为 的角平分线，
， ，
，，
，
，
在 中， ，
则 ，
故选：D
【点睛】本题考查尺规作图、角平分线的性质、平行线的性质，解题关键是熟练掌握角平分线的性质．
5．（2022·山东德州·德州市同济中学校考模拟预测）下列说法不正确的是（ ）
A．等腰三角形的两边长为 和 ，则其周长为
B．直角三角形三条高的交点在三角形的内部
C．从十边形的一个顶点出发有七条对角线
D． 边形的内角和比 边形的内角和大
【答案】B
【分析】根据多边形的内角与外角、等腰三角形的性质、多边形的对角线等有关定理、定义逐一判断即可．
【详解】A、等腰三角形的两边长为2和5，其周长是12，故说法正确，不符合题意；
B、直角三角形三条高的交点在三角形的直角顶点处，故说法错误，符合题意；
C、从十边形的一个顶点出发有七条对角线，故说法正确，不符合题意；
D、 边形的内角和比 边形的内角和大 ，说法正确，不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了多边形的内角与外角、等腰三角形的性质、多边形的对角线等，熟记有关定理、定义
是解题的关键．
6．（2022·吉林长春·校联考模拟预测）不等式组 的解集为（ ）
A． B． C． D．无解
【答案】C
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找
不到确定不等式组的解集．
【详解】解：由 ，得： ，由 ，得： ，
则不等式组的解集为 ．
故选：C．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小
取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
7．（2022·四川眉山·模拟预测）已知一组数据 ， ， ， ， ，则关于这组数据的说法中，错误的是
（ ）
A．平均数是 B．中位数是 C．极差是 D．方差是
【答案】B
【分析】分别求出该组数据的平均数， 极差， 方差， 中位数，即可求解．
【详解】解：平均数是 ，故A正确，不符合题意；
极差 ，故C正确，不符合题意；
方差 ，故D正确，不符合题意．
把这一组数据从小到大排列为1，2，3，4，5，
所以中位数为3，故B不正确，符合题意．
故选B．
【点睛】此题考查平均数和中位数．一组数据的中位数与这组数据的排序及数据个数有关，因此求一组数
据的中位数时，先将该组数据按从小到大 或按从大到小 的顺序排列，然后根据数据的个数确定中位数：
当数据个数为奇数时，则中间的一个数即为这组数据的中位数；当数据个数为偶数时，则最中间的两个数
的算术平均数即为这组数据的中位数．要求平均数只要求出数据之和再除以总个数即可；对于极差是最大
值与最小值的差；方差是样本中各数据与样本平均数的差的平方和的平均数．
8．（2021·山东菏泽·校考一模）关于x的一元二次方程 的一个根是0，则a的值为（
）
A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．
【答案】B
【分析】根据方程的解的定义，把 代入方程，即可得到关于a的方程，再根据一元二次方程的定义即
可求解．
【详解】解：根据题意得： 且 ，解得： ．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的
解．
9．（2019·山东济南·校联考中考模拟）如图，在 中，点D，E分别是 上的点，且 ，
若 ，则 （ ）
A．1：1 6 B．1∶18 C．1：20 D．1：24
【答案】C
【分析】设 的面积为a，表示出 的面积为 ，根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求
出 ，然后求出 和 相似，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出 的面积，然
后表示出 的面积，再求出比值即可．
【详解】解：∵ ，
∴设 的面积为a，则 的面积为4a，
∵ 和 的点D到 的距离相等，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ．
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等高的三角形的面积的比等于底边的比，熟记相似三角形
面积的比等于相似比的平方，用 的面积表示出 的面积是解题的关键．
10．（2022·辽宁丹东·校考二模）二次函数 、 、 为常数，且 的 与 的部分对应
值如下表：（其中 ）
x 1 n
y n
有下列结论： ； ； 是关于 的一元二次方程 的一个根；
当 时， ．其中正确结论的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据表中 与 的部分对应值画出抛物线的草图，由开口方向即可判断 ，由对称轴 可得
，代入 可判断 ，根据直线 过点 、 可知直线 与抛物线
交于点 、 ，即可判断 ，根据直线 与抛物线在坐标系中位置可判断 ．
【详解】解：根据表中 与 的部分对应值，画图如下：由抛物线开口向上，得 ，故 正确；
抛物线对称轴为 ，即 ，
，
则 ，故 正确；
直线 过点 、 ，
直线 与抛物线 交于点 、 ，
即 和 是方程 ，即 的两个实数根，故 正确；
由图象可知当 时，直线 位于抛物线 上方，
，
，故 错误；
故选：B．
【点睛】本题主要考查二次函数图象与系数的关系、抛物线与直线交点、一元二次方程的解，根据表中数
据画出二次函数图象的草图是解题的前提，熟练掌握抛物线与直线、抛物线与一元二次方程间的关系是解
题的关键．
二、填空题：本大题共有6小题，每小题3分，共18分。
11．（2022·四川成都·校考三模）分式方程 的解为 ___________．【答案】
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解： ，
，
，
，
，
或 ，
或 ，
检验：把x=3代入 ，
把 代入 （舍去），
∴原分式方程的解为： ．
故答案为：
【点睛】本题考查了解分式方程和用因式分解法解一元二次方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，
把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
12．（2022·江苏苏州·苏州市振华中学校校考模拟预测）如图，将一块正方形地面等分成 块，其中标有 、
、 、 四个小方格是空地，另外五个小方格是草坪，一只自由飞行的小鸟，随意地落在方格地面上，则
小鸟落在草坪上的概率是______．
【答案】
【分析】直接根据概率公式计算即可求解．
【详解】解：依题意，等分的 块地中五个小方格是草坪，则小鸟落在草坪上的概率是 ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了根据概率公式求概率，理解题意是解题的关键．
13．（2022·浙江丽水·一模）平面直角坐标系中，点 沿x轴正方向平移4个单位，得点 ，则
_________．
【答案】-5
【分析】根据平移的规律，沿x轴正方向平移4个单位，横坐标纵加4，坐标不变，得到a、b的方程，解
得再代入即可．
【详解】点 沿x轴正方向平移4个单位，得点 ，
∴a+4=8，b=3，
解得a=4，b=3，
∴ ，
故答案为：-5．
【点睛】本题考查平移的规律，沿着x轴平移，只变横坐标不变纵坐标，沿着y轴平移，只变纵坐标不变
横坐标，熟练掌握取规律是解题的关键．
14．（2022·陕西西安·校考三模）如图， 是 的直径， ， ，CD⊥AB，则劣弧
的长为______．
【答案】
【分析】根据 ，可以得到 的度数，然后根据垂径定理，可以得到 的度数，再根
据弧长公式计算即可．
【详解】解： ，
，
是 的直径， ， ，
， ，劣弧 的长为： ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查垂定理以及径弧长的计算，明确弧长公式 是解答本题的关键．
15．（2022·江苏扬州·校考二模）我国古代名著《九章算术》中有一问题：“今有凫起南海，七日至北海；
雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”假设经过x天相逢，则可列方程为_____．
【答案】
【分析】设野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过x天相遇，由野鸭飞行的距离+大雁飞行的距离=两地
之间的距离，即可得出关于的一元一次方程，此题得解．
【详解】解：设野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过x天相遇，根据题意得：
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
16．（2022·江苏苏州·苏州市振华中学校校考模拟预测）在正方形 中，点 为 边上一点且
，点 为对角线 上一点且 ，连接 交 于点 ，过点 作 于点 ，
连结 、 ，若 ，则 的面积是_________ ．
【答案】【分析】过F作 于I点，连接 和 ，得到 设 ，
， ，求出 ， ， ，证明 得到 ，
即 最后利用 即可求得 的面积
【详解】如图，过F作 于I点，连接 和 ，
，四边形 为正方形，
，
。
，
，
为 的三等分点，
为 的三等分点，
，
设 ，
，
为等腰直角三角形，
，
，
∵ ，
为 的中点，
∴点 到 的距离为：，
，
∴
∴ 为等腰直角三角形，
，
四边形 为正方形，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题属于四边形综合题，是填空题压轴题，考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，等
腰三角形的性质，勾股定理，解决本题的关键是等量关系的利用以及这些性质的熟记．三、解答题：本大题共有10小题，共102分。
17.（9分）（2022·四川泸州·模拟预测）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【分析】根据分式除法运算法则和分式加法运算法则进行化简，注意约分找公因式，通分找公分母，然后
代值，利用二次根式的性质化简结果．
【详解】解：原式 ，
，
，
当 时，
原式 ．
【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解决本题的关键．
18.（10分）（2022·河南安阳·模拟预测）上海世博园开放后，前往参观的人非常多． 月中旬的一天某一
时段，随机调查了部分入园游客，统计了他们进园前等候检票的时间，并绘制成如下图表．表中“
”表示等候检票的时间大于或等于10 而小于20 ，其它类同．
时间分段/ 频数 人数 频率合计
(1)这里采用的调查方式是______；
(2)求表中 、 、 的值，并请补全频数分布直方图；
(3)在调查人数里，等候时间少于40 的有______人；
(4)此次调查中，中位数所在的时间段是______ ______ ．
【答案】(1)抽样调查
(2) ； ； ；图见解析
(3)32
(4)20，30
【分析】（1）由于前往参观的人非常多，5月中旬的一天某一时段，随机调查了部分入园游客，统计了他
们进园前等候检票的时间，由此即可判断调查方式；
（2）首先根据已知的一组数据可以求出接受调查的总人数c，然后乘以频率即可求出b，利用所有频率之
和为1即可求出a，然后就可以补全频率分布直方图；
（3）根据表格知道被调查人数里，等候时间少于40 的有第一、二、三小组，利用表格数据即可求出
等候时间少于40 的人数；
（4）由于知道总人数为40人，根据中位数的定义就可以知道中位数落在哪个小组；
【详解】（1）由“随机调查了部分入园游客”可知是抽样调查，
故答案为抽样调查；
（2）∵ ；
；
；
频数分布直方图如图所示．（3）依题意得
在调查人数里，等候时间少于40 的有 人；
故答案为32．
（4）∵总人数为40人，
∴中位数所在的时间段是20～30 ．
故答案为20，30．
【点睛】本题考查了读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．同时考查了中位数、频率和
频数的定义．
19（10分）（2022·模拟预测）如图， 和 分别是菱形 的边 和 的中点，且 ，
．
(1)判断 的形状，并说明理由．
(2)求线段 的长．
【答案】(1) 是等腰三角形，理由见解析
(2)
【分析】（1）由菱形的性质得 ，再证 是 的中位线， 是 的中位线，得
，得出 即可；
（2）由菱形的性质得 ，再由勾股定理得 ，则 ，然后证 是 的中位线，得 ．
【详解】（1） 是等腰三角形，理由如下：
∵四边形 是菱形，
∴ ，
∵E、F分别是 、 的中点，
∴ 是 的中位线， 是 的中位线，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形；
（2）∵四边形 是菱形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵E、F分别是 、 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ．
【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的性质和三角形中
位线定理是解题的关键．
20．（10分）(2022·河南洛阳·统考一模）新学期伊始，某文具店计划购进甲、乙两种书包．已知购进甲书
包2个和乙书包1个共需140元；购进甲书包3个和乙书包2个的花费相同．
(1)求甲、乙两种书包每个的进价分别是多少元？
(2)文具店决定甲种书包以每个50元出售，乙种书包以每个80元出售，为满足市场需求，需购进甲、乙两
种书包共100个，且甲种书包的数量不少于乙种书包数量的3倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定
最大利润．
【答案】(1)甲种书包每个的进价为40元，乙种书包每个的进价为60元．
(2)甲书包购进75个、乙书包购进25个，最大利润为1250元．【分析】（1）设甲种书包的进价为x元，乙种书包的进价为y元，根据购进甲书包2个和乙书包1个共需
140元；购进甲书包3个和乙书包2个的花费相同列出方程组，解方程组即可；
（2）设购进甲种书包m个，乙种书包 个，获得利润w元，根据题意列出函数解析式，根据函数
的性质求函数最值．
【详解】（1）解：设甲种书包每个的进价为x元，乙种书包每个的进价为y元，则
，解得 ．
答：甲种书包每个的进价为40元，乙种书包每个的进价为60元．
（2）设该文具店购进甲种书包m个，则购进乙种书包 个，则
．
解得 ．
∴m的最小整数值是75．
设销售完甲、乙两种书包，该文具店的利润为w元，
则
∵ ，
∴w随m增大而减小．
∴当 时，w取最大值，最大利润为1250元．
此时 （个）．
答：该文具店获利最大的进货方案为甲书包购进75个、乙书包购进25个，最大利润为1250元．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用以一次函数的应用，根据已知关系得出方程以及函数解析
式是解题关键．
21．（9分）（2019·安徽合肥·统考一模）某科技有限公司成功研制出一种市场急需的电子产品，已于当年
投入生产并进行销售，已知生产这种电子产品的成本为4元/件，在销售过程中发现：每年的年销售量y
（万件）与销售价格x（元/件）的关系如图，其中 段为反比例函数图象的一部分，设公司销售这种电
子产品的年利润为w（万元）．(1)请求出y（万件）与x（元/件）之间的函数关系式；
(2)求出这种电子产品的年利润w（万元）与x（元/件）之间的函数关系式；并求出年利润的最大值．
【答案】(1)
(2)当 时， ，当 时， ；年利润的最大值为144万元
【分析】（1）分两种情况： 和 求出y（万件）与x（元/件）之间的函数关系式即可；
（2）分两种情况： 和 求出年利润w（万元）与x（元/件）之间的函数关系式，并求出最
大值即可．
【详解】（1）解：当 时，设 ，
将点 代入，得 ，
∴ ；
当 时，设 ，分别将点 ， 代入 ，得：
，
解得： ，
∴ ；综上分析可知： ．
（2）解：当 时， ，
当 时，
当 时，
∵ ，
∴w随x增大而增大，
∴当 时，w有最大值为 （万元），
当 时，
∵ ，
∴当 时，w有最大值为144万元．
∵ ，
∴年利润的最大值为144万元．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数、二次函数的综合应用，在商品经营活动中，经常会遇到
求最大利润，最大销量等问题，解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大
值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义；解题时注意，依据函数图象可得函数关系式为分段
函数，解决问题时需要运用分类思想以及数形结合思想进行求解．
22．（10分）（2022·四川成都·成都市树德实验中学校考模拟预测）王珊同学用航拍无人机帮小区物管测
二号楼高，如图为实践时绘制的截面图，无人机从地面 的中点 垂直起飞到达点 处，测得一号楼顶
部 的俯角为 ，测得二号楼顶部 的俯角为 ，此时航拍无人机的高度为 米，已知一号楼的高
为 米，求二号楼的高 结果精确到 米 参考数据 ， ， ，
，【答案】二号楼的高 约为 米
【分析】过点 ， 分别作 ， ，垂足分别为 ， ，由题意可得 米，在
中，求出 ，从而求出 ，然后在 中，求出 ，从而求出 ，即可解答．
【详解】解：过点 、 分别作 、 ，垂足分别为 、 ，
由题意得， 米， ， ， ， 米，
米 ，
在 中， ，
（米），
米，
在 中， ，
（米），
米 ，
答：二号楼的高 约为 米．【点睛】此题考查了解直角三角形的应用 仰角俯角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解此题的关
键．
23．（10分）（2022·北京大兴·统考二模）如图，在 中， 是 的平分线，O是
上一点，以 为半径的 经过点D．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)6
【分析】（1）要证 是 的切线，只要连接 ，再证 即可．
（2）过点D作 于点E，根据角平分线的性质可知 ，由勾股定理得到 的长，再通过
证明 ，根据相似三角形的性质得出 的长．
【详解】（1）证明：连接 ，
∵ 是 的平分线，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．∴ ．
∴ 是 的切线；
（2）解：过点D作 于点E，
∵ 是 的平分线，，
∴ ．
在 中， ，
由勾股定理得： ，
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
【点睛】本题综合性较强，既考查了切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心
与这点（即为半径），再证垂直即可．同时考查了角平分线的性质，勾股定理得到 的长，及相似三角
形的性质．
24．（11分）（2022·江苏无锡·无锡市天一实验学校校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中， 是坐
标原点，等边三角形 的顶点 的坐标为 ，动点 从点 出发，以每秒 个单位的速度，沿
路线向终点 匀速运动，设运动时间为 秒，连接 ，线段 的中点为点 ，将线段 绕点 顺
时针旋转 得到线段 ，连接 ．(1)求证： ；
(2)当 时，求点 的坐标；
(3)在点 的运动过程中， 能否成为直角三角形？若能，直接写出满足条件的所有 的值；若不能，
说明理由；
(4)在点 从起点 向终点 运动的过程中，直接写出点 所经过的路径长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3) 或
(4)
【分析】（1）利用三角形的外角的性质解决问题即可．
（2）由三角形 是等边三角形可以得出 ， ，过 作
于 ， 就可以得出 ，再通过解直角三角形就可以用t把 以及 表示出来．再过
C作 于E，可得 ，利用三角形相似的性质就可以 和 的值，从而可以表示出C
的坐标；
（3）在P的移动过程中使 为直角三角形分两种情况，当 或 时就可以求出相
对应的t值；
（4）设C点的坐标，表示出坐标的函数关系式确定C的运动轨迹的图象为线段，再根据条件就可以求出
起点的坐标和终点的坐标，运用两点间的距离公式就可以求出其值．
【详解】（1）证明：∵ 是等边三角形，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
（2）∵ 是等边三角形， ，
∴ ， ．
如图1，过 作 于 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
在 中，由勾股定理，得 ，
过C作 于E，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， 而 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，∴ ，
当 时， ．
（3）如图2，当 时，作 ，
∴ ，
∴ ，而 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由（2）得： ， ， ，
∴ ，
解得 ，此时P是 的中点．
如图3，当 时，C的横坐标就是4，此时由（2）得： ，
∴ ， 解得 ；
（4）设 ， 由（2）得： ，
∴ ， ，
∴ ，
∴C点的运动轨迹是一条线段 ．
当 时， ，
当 时， ，
∴由两点间的距离公式得： ．
故点C运动路线的长为： ．
【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理的运用，等边三角形
的性质，直角三角形的性质，旋转的性质，两点间的距离公式的运用．解决问题的关键是依据相似三角形
对应边成比例列出比例式进行计算求解．
25．（11分）（2022·四川成都·成都市树德实验中学校考模拟预测）在 中， ， ，
点 为线段 上一动点（点 不与 、 重合），连接 ，分别以 ， 为斜边向右侧作等腰直角三角形 和等腰直角三角形 ，连接 ．
(1)当点 在 的外部时，求证： ∽ ；
(2)如图 ，当 ， ， 三点共线时，求 的面积；
(3)如图 ，当点 在 的延长线上时，其它条件不变，连接 ，若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定解答即可；
（2）根据相似三角形的性质和三角函数以及勾股定理解答即可；
（3）过C作 于点N，过A作 于点M，根据相似三角形的性质和三角函数以及勾股定理
解答即可．
【详解】（1）证明：∵ 和 是等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
在Rt 中， ，
在Rt 中， ，
∴ ，
∴ ．（2）∵D，F，E三点共线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
过点A作 于点M，如图 ，
∵ ， ，
∴ ，
在Rt 中， ,
在Rt 中 ,
∴ ，
∴ ，
在Rt 中，
由勾股定理得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
（3）过C作 于点N，过A作 于点M，如图 ，由(2)可得: ,
在Rt 中， ，
∵ ， ， ，
在Rt 中， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在Rt 中， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质的综合运用，通过辅助
线构造相似形和直角三角形的三角函数是解决问题的关键．26.（12分）（2022·重庆璧山·统考一模）如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴
交于点 ，与 轴交于点 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，连接 ，点 为线段 下方抛物线上一动点，过点 作 轴交线段 于 点，连接
，记 的面积为 ， 的面积为 ，求 的最大值及此时点 的坐标；
(3)如图2，在（2）问的条件下，将抛物线沿射线 方向平移 个单位长度得到新抛物线，动点 在
原抛物线的对称轴上，点 为新抛物线上一点，直接写出所有使得以点 、 、 、 为顶点的四边形
是平行四边形的点 的坐标，并把求其中一个点 的坐标的过程写出来．
【答案】(1)
(2)当 时， 取得最大值，最大值为1，此时点 的坐标为
(3)点 的坐标为 ， ，
【分析】（1）将 ， 代入抛物线 ，列方程组求解即可得到答案；
（2）延长 交 轴于点 ，设直线 的函数表达式为 ，将 ， 代入列方程组求解得出解析式，设 ，根据 轴得到 ， ，根据三角形
面积公式用t表示出 ，利用函数性质即可得到最值；
（3）根据 ， 得到 ，结合抛物线沿射线 方向平移 个单位长度，得到抛物线
向右平移 个单位长度，向上平移3个单位长度，得到新抛物线解析式，设点 ，根据平行四边形
对角线互相平分分类讨论根据中点坐标公式即可得到答案．
【详解】（1）解：将 ， 代入抛物线 得，
，
解得 ，
∴抛物线的解析式为： ；
（2）解：如图，延长 交 轴于点 ，
设直线 的函数表达式为 ，
∵ ， ，
∴ ，解得 ，∴直线 的函数表达式为 ，
设 ，其中 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
，
∴ ，
∴当 时， 取得最大值，最大值为1，此时点 的坐标为 ；
（3）解：∵ ， ，
∴ ，
∵抛物线沿射线 方向平移 个单位长度，
∴抛物线向右平移 个单位长度，向上平移3个单位长度，
∴平移后的抛物线解析式为 ，
∵点 在原抛物线对称轴上，
∴设点 ，
①当以 为对角线时， ，即 ，
∴ ，
∵点 为新抛物线上一点，
∴ ，②当以 为对角线时， ，即 ，
，
∵点 为新抛物线上一点，
∴ ，
③当以 为对角线时， ，即 ，
，
∵点 为新抛物线上一点，
∴ ，
综上所述，点 的坐标为 ， ， ．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，二次函数图像上点坐标的特征，平行四边形等
知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．
