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第十一章 三角形 重难点检测卷
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共26题。答卷前，考生务必用 0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
一、选择题（10小题，每小题2分，共20分）
1．（23-24七年级下·江苏镇江·期中）下列长度的三根小木棒，能搭成三角形的是（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
【答案】B
【分析】本题考查了三角形中三边的关系，其实用两条较短的线段相加，如果大于最长那条就能够组成三
角形．根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边可得答案．
【详解】解：A、 ，不满足三角形三边关系定理，故错误，不符合题意；
B、 ，满足三边关系定理，故正确，符合题意；
C、 ，不满足三边关系定理，故错误，不符合题意；
D、 ，不满足三角形三边关系定理，故错误，不符合题意．
故选：B．
2．（2024·浙江台州·二模）如图，由六个正九边形中间可以拼接出一个美丽的“梅花形图案”，则图中
的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查正多边形的性质．根据题意，先求出正九边形每个外角的度数，再求出每个内角的度数
即可．
【详解】解：如图，图中6个都是正九边形
正九边形的每个外角为
正九边形的每个内角为
即
．
故选：C．
3．（2024·安徽阜阳·二模）一把直尺和一把含 角的直角三角板按如图所示摆放，已知 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
根据平行线的性质以及 即可求解．
【详解】解：如图，
由题意得： ，
∴ ，
∵∴ ，
∴ ，
故选B．
4．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）已知 是 的三条边长，化简 的结果为
（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了三角形三边关系，解题的关键是根据三边关系化简绝对值．根据三角形三边关系得到
， ，再去绝对值，合并同类项即可求解．
【详解】解：∵a，b，c是 的三条边长，
∴ ， ，
∴
．
故选：B．
5．（23-24七年级下·四川成都·期中）下列说法：①三角形的高、中线、角平分线都是线段；
②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
③两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
④“对顶角相等”的证明依据是等角的补角相等．
其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】此题考查了三角形相关概念、平行线的判定与性质、对顶角相等，熟练掌握三角形相关概念、平
行线的判定与性质、对顶角相等是解题的关键．根据三角形相关概念、平行线的判定与性质、对顶角相等
判断求解即可．
【详解】解：①三角形的高、中线、角平分线都是线段，故①正确，符合题意；
②在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故②错误，不符合题意;
③两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故③错误，不符合题意；
④“对顶角相等”的证明依据是同角的补角相等，故④错误，不符合题意；只有一个正确；
故选：A．
6．（2024·陕西咸阳·三模）如图，一束光线 先后经平面镜 反射后，反射光线 与 平行，
根据光的反射原理， ， ，当 时， 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了直角三角形两个锐角互余，先得出 ，结合 ，得出
，即可作答．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
7．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）如图，在 中，延长 至点F，使得 ，延长 至点
D，使得 ，延长 至点E，使得 ，连接 、 、 ，若 ，则
（ ）
A．35 B．70 C．90 D．108
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的面积，三角形中线的性质，根据同高的三角形底边之间的关系分别求出， ， ， ， ，即可求出 的面积．
【详解】解：连接 ， ，
， ，
，
，
， ，
，
， ，
，
故选：C．
8．（2024·河北石家庄·二模）如图，C岛在A岛的北偏东 方向上，在B岛的北偏西 方向上，A岛
在B岛北偏西 方向上，则从C岛看A、B两岛的视角 为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了方位角、三角形内角和定理、平行线的性质等知识点，理清各角之间的关系成为
解题的关键．
根据方位角的概念和平行线的性质，再结合三角形的内角和定理求解即可．
【详解】解：如图，∵C岛在A岛的北偏东 方向上，在B岛的北偏西 方向上，A岛在B岛北偏西 方向上，
，
∴ ，
∵ ，
，
∴ ，
∴ ，
．
故选：C．
9．（23-24七年级下·广东广州·阶段练习）如图， ，F为 上一点， ，且 平分
，过点F作 于点G，且 ，则下列结论：① ；② ；
③ 平分 ；④ 平分 ．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了角平分线的性质和平行线的性质，直角三角形的性质，能够作出辅助线是解题的关键．
延长FG，交CH于I，构造出直角三角形，再结合平行线的性质，即可推出①②正确，借助平行线的性质
推得 ，即可判断③④不一定正确．
【详解】解：延长 ，交 于I．∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故① 正确；
∴ ，
故②正确；
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
可见， 的值未必为 ， 未必为 ，只要和为 即可，
故③④不一定正确．
故选：B．
10．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）如图， ，N为 上一点，直线 交 于M，交 于
F，且 ，若点P为射线 上一点， 平分 ， 平分 交 于H，
交 于T，则 的度数为（ ）A． B． C． 或 D． 或
【答案】D
【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，三角形的外角的性质和三角形的内角和定理，
分点 在线段 上和在射线 上，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：当点 在线段 上时，如图：
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ，
设 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
当点 在射线 上时，如图：∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ，
设 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
综上： 或 ；
故选D．
二、填空题（8小题，每小题2分，共16分）
11．（23-24九年级下·重庆江津·阶段练习）一个多边形的每一个外角都等于 ，则这个多边形的内角和
为 ．
【答案】1260
【分析】本题主要考查了多变形的内角与外角．首先根据外角和与一个外角的度数可得多边形的边数，再
根据多边形的内角和公式进行计算即可．
【详解】解： 一个多边形的每一个外角都等于 ，
这个多边形的边数为： ，
这个多边形的内角和为： ，
故答案为： ．
12．（2024·江苏镇江·二模）如图，直线 将一个含有 角的直角三角板（ ）按如图所示的位置摆放，若 ，则 的度数是 ．
【答案】 /117度
【分析】本题考查了平行线性质求角度，三角形外角性质，邻补角的计算，对顶角相等等知识，根据对顶
角相等可求出 的度数，根据三角形外角性质求出 的度数，再利用邻补角求出 的度数，最后利用
两直线平行同位角相等求出结果即可．
【详解】解：如图，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
13．（23-24七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）下列命题中是真命题的有 ．（填序号）
①如果 ， ，则 ；
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
③同位角相等；
④同旁内角互补，则它们的角平分线互相垂直；
⑤互补的两个角是邻补角；
⑥过一点画已知直线的垂线可以画而且只能画一条；⑦有理数和数轴上的点一一对应．
【答案】④
【分析】本题考查真假命题的判断，涉及垂直性质、平行线的判定与性质、有理数与数轴、邻补角定义、
角平分线的定义等性质，根据相关知识逐个判断即可．
【详解】解：①如果 ， ，未添加条件“在同一平面内”，无法判断a与c的关系，故①中命题
是假命题；
②在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故②中命题是假命题；
③两直线平行，同位角相等，故③中命题是假命题；
④如图， ， 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴同旁内角互补，则它们的角平分线互相垂直，故④中命题是真命题；
⑤互补的两个角不一定是邻补角，故⑤中命题是假命题；
⑥在同一平面内，过一点画已知直线的垂线可以画而且只能画一条，故⑥中命题是假命题；
⑦有理数和数轴上的点不是一一对应，故⑦中命题是假命题．
故答案为：④．
14．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，七边形 中， ， 的延长线交于点 ，若 ， ，
， 的外角和等于 ，则 的度数为 ．
【答案】 /40度【分析】本题考查了多边形内角和问题，熟练掌握多边形的内角和等于 是解题的关键．根据题
意计算 ， ， ， 的度数之和，再计算五边形 的内角和，即可求解．
【详解】解： ， ， ， 的外角和等于 ，
，
五边形 的内角和为 ，
．
故答案为： ．
15．（22-23七年级下·江苏淮安·期末）如图， 中， ， ， 平分 ，
于D， ，则 的度数 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形的内角和 以及角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和 以及角平分
线的定义是解题的关键．首先根据三角形的内角和定理求得 的度数，根据角平分线的定义求得
的度数，则 可以求解，然后在 中，利用内角和定理即可求得 的度数．
【详解】 ， ，
，
平分 ，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为： ．
16．（23-24七年级下·浙江金华·期中）如图1是一个消防云梯，其示意图如图2所示，此消防云梯由救援台 ，延展臂 （B在C的左侧），伸展主臂 ，支撑臂 构成．在操作过程中，救援台 ，车身
及地面 三者始终保持平行，
（1）当 ， 时， 度；
（2）如图3为了参与另一项高空救援工作，需要进行调整，使得延展臂 与支撑臂 所在直线互相垂
直，且 ，此时 度．
【答案】 120 160
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，正确的添加辅助线是解题的关键．
（1）延长 ， ，相交于点K，由平行线的性质可得 ，再利用 ，可得
的度数，从而可求 的度数；
（2）延长 ， ，相交于点P，则可得 ，延长 交 的延长线于点Q，利用平行线的性质可
求得 ，再利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，从而求得 的度数．
【详解】解：（1）如图2，延长 ， ，相交于点K，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
故答案为：120．
（2）如图3，延长 ， ，相交于点P，则可得 ，延长 交 的延长线于点Q，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为：160．
17．（23-24七年级下·四川成都·期中）在三角形中，如果一个角是另一个角的4倍，这样的三角形我们称
之为“高倍三角形”．例如，三个内角分别为 、 、 的三角形是“高倍三角形”．如图，
，在射线 上找一点A，过点A作 交 于点B，以A为端点作射线 ，交线段
于点C（规定 ）．当 为“高倍三角形”时， 为 ．
【答案】 或 或
【分析】本题考查的是三角形内角和定理、“高倍三角形”的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题
的关键．根据“高倍三角形”的概念，分类讨论即可．
【详解】设 ，则 ，
∵
∴∵ 为“高倍三角形”
当 时，
即 ，解得： ；
当 时，
即 ，解得： （舍）；
当 时，
即 ，解得： ；
当 时，
即 ，解得： ；
当 时，
即 ，解得： ；（舍）
当 时，
即 ，解得： ；（舍）
故答案为： 或 或 ．
18．（23-24七年级下·山东德州·期中）如图， ， ，延长 至点 ，连接 ，
和 的角平分线交于点 ，下列三个结论：① ；② ；③若
， ，则 ．其中结论正确的个数有 ．
【答案】 /
【分析】①本题③考③查①了平行线的判定和性质，角平分线的性质，三角形内角和，外角和定理的运用，掌握以
上知识的综合运用是解题的关键．
根据平行线的性质可得 ，根据平行线的判定即可判定结论①；根据平行线的性质，角平分的性质，三角形的内角和外角和定理可得 ，由此可判定结论②；根据三角形的外角
和定理可得 ，结合角平分线性质可得 ，根据平行的性质，
，由此即可判定结论③．
【详解】解：结论① ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故结论①正确；
结论② ，
如图所示，设 交于点 ，
在 中， ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故结论②错误；
结论③若 ， ，则 ，
∵ ，且 ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ，∴ ，则 ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，故结论③正确；
综上所述，正确的有①③，
故答案为：①③ ．
三、解答题（8小题，共64分）
19．（23-24八年级下·山东济南·阶段练习）如果一个多边形的内角和等于它外角和的3倍，则这个多边形
的边数是多少？
【答案】这个多边形的边数是8
【分析】本题考查多边形的内角和与外角和的综合应用，设多边形的边数是 ，根据题意，列出方程进行
求解即可，掌握多边形的内角和公式以及外角和为360度，是解题的关键．
【详解】解：设多边形的边数是 ，
由题意，得： ，
解得： ；
故这个多边形的边数是8．
20．（21-22七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在 中， 分别是 边上的中线，若
， ，且 的周长为30，求 的长．
【答案】
【分析】本题考查了三角形的中线，理解三角形中线的定义是解题的关键．
先根据三角形中线的定义求出 的长度，再利用 的周长为30求 的长即可．
【详解】解：∵ 分别是 边上的中线，
∴点 分别为 的中点．
∵ ， ，
∴ ， ．∵ 的周长为30，
∴ ．
21．（23-24七年级下·广西南宁·期中）如图，已知三角形 三个顶点的坐标分别是 ， ，
，将三角形 先向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到三角形 ．
(1)在平面直角坐标系中画出三角形 ；
(2)直接写出点 ， ， 的坐标：
(3)求三角形 的面积．
【答案】(1)见解析
(2) ， ，
(3)3
【分析】此题主要考查了三角形面积求法以及坐标系内图形平移，正确得出对应点位置是解题关键．
（1）利用平移的性质分别得出对应点位置进而得出答案；
（2）根据图示得出坐标即可；
（3）直接利用 所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案．
【详解】（1）解：如图所示， 即为所求：（2）解： ， ， ；
（3）解： 的面积
22．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，已知点 、 在直线 上，点 在线段 上， 与
交于点 ， ， ．
(1)求证： ；
(2)试判断 与 之间的数量关系，并说明理由；
(3)若 ， ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)互补，见解析
(3)130°
【分析】考查了平行线的判定和性质，三角形外角的性质，平角的定义，平行线的性质有：同位角相等两
直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行；平行线的性质有：两直线平行同位角相等；
两直线平行内错角相等；两直线平行同旁内角互补．
（1）根据同位角相等两直线平行，可证 ；
（2）根据平行线的性质可得 ，根据等量关系可得 ，根据内错角相等，两直线平行可得 ，再根据平行线的性质可得 与 之间的数量关系；
（3）根据对顶角相等可求 ，根据三角形外角的性质可求 ，根据平行线的性质可得 ，
，再根据平角的定义可求 的度数．
【详解】（1）证明： ，
；
（2）解： ，
，
，
，
，
；
（3） ， ，
，
，
，
，
，
．
23．（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）在 中， ，D为直线 上任意一点，连结 ，
于点E， 于点F．
【画图】（1）如图①，当点D在边 上时，请画出 中 边上的高 ；
【探究】（2）如图①，通过观察、测量，你猜想 之间的数量关系为__________；为了说明
之间的数关系，小明是这样做的：
证明：∵ __________ ，∴ __________．
∵ ，∴__________．
【运用】（3）如图②，当点D为 中点时，试判断 与 的数量关系，并说明理由．
【拓展】（4）如图③，当点D在 的延长线上时，请直接写出 之间的数量关系．
【答案】（1）见详解；（2） ， ， ， ；（3） 与 的数
量关系为 ，理由见解析；（4）
【分析】本题考查了中线平分三角形的面积，割补法求三角形的面积．
（1）过点B作 交 于一点E，即可作答．
（2） ，根据已有的过程结合面积之间的关系列式化简，即可作答．
（3）同理得 ，因为点D为 中点，所以 ，结合
，化简得 ，即可作答．
（4）同理结合面积之间的关系列式化简， ，即可作答．
【详解】解：（1）依题意， 边上的高 如图所示：
（2） ；
证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（3）过点B作 交 于一点G，∵ ，
∴ ，
∵点D为 中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
（4）过点B作 交 于一点 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
则 ，
24．（23-24七年级下·陕西商洛·期末）【问题提出】（1）如图1，已知 ，点P在 之间，连接 ， ，求证： ；
【深入探究】
（2）如图2，已知 ，点E、F分别是射线 上一点，连接 ， 平分 交
于点G，交 所在直线于点H，连接 ， ．
①试说明 ；
②若 ， ，判断 是否平分 ，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）①见解析；② 平分 ，见解析
【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，三角形内角和定理和外角的性质等知识：
（1）根据平行线的判定与性质求解即可；
（2）①证明 即可；②求出 即可
【详解】解：（1）证明：∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：①在 中， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
②∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，∴
∵ 平分 ， ，
∴
∴ ，
∴
∴ ，
∴ 平分 ．
25．（21-22七年级下·江苏扬州·期中）已知 ， 平分 ，点 ， ， 分别是射线 ，
， 上的动点 ， ， 不与点 重合），连接 ，连接 交射线 于点 ，设 ．
(1)如图1，若 ，
① 的度数是 ；
②当 时， 的度数是 ；当 时， 的度数是 ；
(2)在一个四边形中，若存在一个内角是它的对角的2倍，我们称这样的四边形为“完美四边形”，如图
2，若 ，延长 交射线 于点 ，当四边形 为“完美四边形”时，求 的值．
【答案】(1)① ；② ，
(2) 的值是 或 或
【分析】（1）①利用角平分线的定义求出 ，根据平行线的性质可得出答案；
②当 时，利用三角形内角和定理求出 ，进而可得 的度数；
当 时，求出 ，然后根据三角形外角的性质即可求出 的度数；
（2）分三种情况进行讨论：①当 时，②当点 在 左边， 时，③当点
在 右边， 时，分别根据三角形外角的性质以及三角形内角和定理求解即可．
【详解】（1）解：① ， 平分 ，
，
，
；②当 时，
，
， ，
；
当 时，
，
，
，
；
故答案为：① ； ② ， ；
（2）解：①当 时，如图，
， ，
，
，
，
，
；
②当点 在 左边， 时，
， ， ，
， ，
，
，
；
③当点 在 右边， 时，， ， ，
， ，
， ，
，
；
综上所述，当四边形 为“完美四边形”时， 的值是 或 或 ．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理和三角形的外角性质的应用，三角形的内角和等于
，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和．本题利用角平分线的定义求出 的度数是
关键，注意分类讨论思想的运用．
26．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）直线 与直线 垂直相交于 ，点 在直线 上运动，点 在
直线 上运动．
(1)如图1，已知 、 分别是 和 角的平分线，点 、 在运动的过程中， 的大小是
否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出 的大小．
(2)如图2，已知 不平行 ， 、 分别是 和 的角平分线，又 、 分别是
和 的角平分线，点 、 在运动的过程中， 的大小是否会发生变化？若发生变化，请
说明理由；若不发生变化，试求出其值．
(3)如图3，延长 至 ，已知 、 的角平分线与 的角平分线及延长线相交于 、 ，
在 中，如果有两个角度数的比是 ，直接写出 的度数．
【答案】(1)不发生变化，
(2)不发生变化，(3) 或
【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，灵活运用三角形的内角和定理求解角的度
数是解题的关键．
（1）先求解 ，结合角平分线的定义可得 ，再利用三角形的内角和
定理可求求解 的度数；
（2）由平角的定义求解 ，利用角平分线的定义可求 ，根据四
边形的内角和定理可求 ，再由角平分线的定义及三角形的内角和定理可求解；
（3）先求解 ，结合有两个角度数的比是 分4种情况可求解．
【详解】（1）解：不变．
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）不变．
，
，
∵ 、 分别是 和 的角平分线，
，
，
，
，
∵ 、 分别是 和 的角平分线，，
，
；
（3）∵ 平分 平分 ，
，
，
，
即 ，
∵ 平分 ，
，
，
，
在 中，
∵有两个角度数的比是 ，故有4种情况：
；(不成立)
；
；
④ (不成立)．
∴ 为 或 ．
故答案为： 为 或 ．
