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第十七章 勾股定理章末测试卷
能力提升培优测
（考试时间：90分钟 试卷满分：120分）
考前须知：
1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题。
2．测试范围：勾股定理（人教版）。
第Ⅰ卷
一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。）
1．（3分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，则下列条件不能判定△ABC为直角三角形
的是（ ）
A．∠C＝∠A+∠B B．∠A：∠B：∠C＝1：1：2
C．（c+b）（c﹣b）＝a2 D．a=❑√2，b=❑√3，c=❑√6
2．（3分）若5，a，12是一组勾股数，则a的值为（ ）
A．13 B．❑√119 C．❑√119或13 D．11
3．（3分）我国古代数学家赵爽最早证明了勾股定理，它标志着我国古代的数学成就．下面四幅图是由四个
全等的直角三角形拼成的，其中不能证明勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）已知一个直角三角形的两条边长为5和13，则第三边的平方是（ ）
A．12 B．169 C．144或194 D．144或169
5．（3分）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB为半径画
弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为（ ）A．❑√13 B．❑√5 C．2.2 D．3−❑√5
6．（3分）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm，则这只铅笔在笔
筒内部的长度l的取值范围是（ ）
A．12cm≤l≤15cm B．9cm≤l≤12cm
C．10cm≤l≤15cm D．10cm≤l≤12cm
7．（3分）如图，点A是以点O为圆心，OM为半径画弧与数轴的交点，点B是以点O为圆心，ON为半径画
弧与数轴的交点，数轴上点A，B表示的数分别为a，b．化简❑√(a+b) 2+❑√(a−b) 2为（ ）
A．❑√10+2❑√2 B．2❑√10 C．❑√10−2❑√2 D．2❑√10+2❑√2
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为S ，S ，
1 2
S ．若S +S ﹣S ＝18．则图中阴影部分的面积为（ ）
3 3 2 1
9 7
A．6 B． C．5 D．
2 2
9．（3分）如图，已知四边形ABCD，∠B＝∠D＝90°，∠BCD＝120°，AB＝4，CD＝2，则AD的长为
（ ）A．6−2❑√3 B．4❑√3−4 C．4 D．8−2❑√3
10．（3分）如图，∠AOB＝30°，OA＝6cm，点M是射线OB上一个动点，当△AOM为直角三角形时，OM
的长为（ ）
A．3❑√3cm B．4❑√3cm
C．5❑√3cm D．3❑√3cm或4❑√3cm
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）在△ABC中，∠B＝45°，AC=❑√5，AD⊥BC于点D，若AD＝2，则BC的长为 ．
12．（3分）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，点E在AD上，连接CE，AE＝CE．若AD＝15，BC＝
13，BD＝5，则DE的长为 ．
3
13．（3分）如图，直角三角形ABC中，AC+BC＝5，S△ABC =
2
，则AC2+BC2的值是 ．
14．（3分）图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图
②，其中AB＝AB'，AB⊥B'C于点C，BC＝0.5尺，B′C＝2尺．则AC的长度为 尺.15．（3分）如图，在正方形网格中，点A，B，C，D，E是格点，则∠ABD+∠CBE的度数为 ．
16．（3分）在一次综合实践活动中，小明将6个边长为1的小正方形进行如下操作：第一次操作，三个小正
方形一组，边重叠拼接成如图1所示的2个“L型”；第二次操作，将这2个“L型”顶点G、J重合，并
且使得E，G（J）H三点共线，摆放成如图2所示的图形；第三次操作，将图2中的新图形放置在长方形
纸片ABCD中．此时发现，小正方形的顶点E、F、H、I都落在长方形ABCD的各边上，若AB＝3，则BC
＝ ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）在5×5的网格中有线段AB，在网格线的交点上找一点C，使三角形ABC满足如下条件．（仅用
直尺作图）
（1）在网格①中作一个等腰三角形ABC；
（2）在网格②中作一个直角三角形ABC，使两直角边的长为无理数．18．（8分）某校为加强学生劳动教育，将劳动基地按班级进行分配，如图是八年级（4）班的劳动实践基地
的示意图形状，经过班级同学共同努力，测得AB＝4m，AD＝3m，BC＝12m，CD＝13m，∠A＝90°．
（1）求B、D之间的距离．
（2）该班计划将该区域全部种植向日葵，若种植向日葵每平方米成本为12元，则该班种植向日葵的成本
为多少？
19．（8分）【定义新知】
如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“奇异三角形”．
【应用探究】
（1）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=❑√3，AC＝2．求证：△ABC是“奇异三角形”；
（2）已知，等腰△ABC是“奇异三角形”，AB＝AC＝20，求底边BC的长．（结果保留根号）
20．（8分）如图，四边形ABCD中，∠B＝30°，过点A作AE⊥BC于点E，E恰好是BC的中点，若AE=❑√3
，DC＝1，AD=❑√13．
（1）直接写出四边形ABCD的周长；
（2）求四边形ABCD的面积．21．（8分）如图，经过A村和B村（将A，B村看成直线l上的点）的笔直公路l旁有一块山地正在开发，现
需要在C处进行爆破．已知C处与A村的距离为300米，C处与B村的距离为400米，且AC⊥BC．
（1）求A，B两村之间的距离；
（2）为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，在进行爆破时，公路AB段是否有危险而
需要封锁？如果需要，请计算需要封锁的路段长度；如果不需要，请说明理由．
22．（10分）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角
线AC，BD交于点O．
（1）若AO＝2，BO＝3，CO＝4，DO＝5，请求出AB2，BC2，CD2，DA2的值；
（2）若AB＝6，CD＝10，求BC2+AD2的值；
（3）请根据（1）（2）题中的信息，写出关于“垂美”四边形关于边的一条结论．
23．（10分）请阅读下面文字并完成相关任务．
勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”在我国最早对勾股定理进行证明的是
三国时期吴国的数学家赵爽．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾
股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正
1
方形的面积之和，从而得到等式c2= ab×4+(b−a) 2 ，化简得a2+b2＝c2，这里用两种求法来表示同一个
2
量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．请你用“双求法”解决下面问题：（1）如图2，△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值．
（2）2002年在北京召开的国际数学家大会会标和2021年在上海召开的国际数学教育大会会标都包含赵爽
弦图，如图3，如果大正方形的面积为18，直角三角形中较短直角边长为a，较长直角边长为b，且a2+b2
＝ab+10，则小正方形的面积为多少？
（3）勾股定理本身及其验证和应用过程都体现了一种重要的数学思想是 ；
A．函数思想 B．整体思想 C．分类讨论思想 D．数形结合思想
（4）请借助图4，利用“双求法”验证勾股定理．
24．（12分）如图，解放广场的草坪上有AO，OC，CD，DA，AC五条小路，且∠AOC＝∠ADC＝90°，AD
＝7m，DC＝24m，CO＝15m．
（1）求小路AO的长度；
（2）淇淇带着小狗在草坪上玩耍，淇淇站在点O处，小狗从点O开始以2m/s的速度在小路上沿O→C→A
的方向奔跑，跑到点A时停止奔跑，设奔跑中小狗的位置为点Q，小狗奔跑的时间为t s；
①当小狗在小路CA上奔跑时，求出淇淇与小狗的最近距离，并求此时t的值；
②当△OCQ为等腰三角形时，求t的值．
