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第十四章 整式乘法（含平方差公式与完全平方公式）压轴训练
01 压轴总结
目录
压轴题型一 利用单项式乘法求字母或代数式的值................................................................................................1
压轴题型二 已知多项式乘积不含某项求字母的值................................................................................................2
压轴题型三 多项式乘法中的规律性问题................................................................................................................4
压轴题型四 利用平方差公式与完全平方公式进行简便运算................................................................................7
压轴题型五 平方差公式与几何图形......................................................................................................................10
压轴题型六 通过对完全平方公式变形求值..........................................................................................................14
压轴题型七 求完全平方式中的字母系数..............................................................................................................16
压轴题型八 完全平方式在几何图形中的应用......................................................................................................17
压轴题型九 完全平方公式在几何图形中的应用..................................................................................................19
压轴题型十 整式运算中的新定义型问题..............................................................................................................23
压轴题型十一 利用竖式的方法求整式中多项式除以单项式..............................................................................31
02 压轴题型
压轴题型一 利用单项式乘法求字母或代数式的值
例题：若 ，则 的值为 ．
【答案】4
【详解】解：∵
，
∴ ，
∴ ①， ②．
∴ ，得 ．
故答案为：4．
巩固训练1．若单项式 与 的积为 ，则 ．
【答案】-2
【详解】由题意，得 ， ，
则 ．
故答案为：-2．
2．若5am+1b2与3an+2bn的积是15a8b4，则nm＝ ．
【答案】8
【详解】解： ，
∴m+n+3=8，2+n=4;
解得：m=3,n=2，
，
故答案为8．
压轴题型二 已知多项式乘积不含某项求字母的值
例题：求值，若 的积中不含 的一次项与 的二次项，
(1)求 的值；
(2)求代数式 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据多项式乘以多项式运算法则，将原式化简，再根据原式的积中不含 的一次项与 的
二次项，得出 ，即可求解；
（2）把p和q的值代入计算即可．
【详解】（1）解：，
∵原式不含 的一次项与 的二次项，
∴ ，
解得： ．
（2）解：当 时， ．
【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式，解题的关键是掌握多项式中不含某项，则该项系数为0．
巩固训练
1．已知 的展开式中不含 项和 项，求：
(1) ， 的值；
(2) 的值。
【答案】(1) ，
(2)243
【分析】（1）原式利用多项式乘以多项式法则计算得到结果，由结果不含 和 项，列方程求出 与
的值即可，
（2）把 与 的值代入 求值．
【详解】（1）
展开式中不含 和 项
且
解得 ， ．
（2）把 ， 代入原式
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，多项式的项的定义，能得出关于 的方程是解此题的关键．
2．已知关于 的一次二项式 与 的积不含二次项，一次项的系数是4．求：
(1)系数 与 的值；
(2)二项式 与 的积．
【答案】(1)系数 的值为 ，系数 的值为 ；
(2)
【分析】本题考查了多项式乘多项式．
（1）先计算 ，得 ，再根据关于 的一次二项式 与
的积不含二次项，一次项的系数是4，得到关于 与 的方程，解方程即可得到答案；
（2）把 与 的值代入 ，计算即可得到答案．
【详解】（1）解：根据题意得：
，
关于 的一次二项式 与 的积不含二次项，一次项的系数是4，
，
解得： ，
系数 的值为 ，系数 的值为 ；（2）解：由（1）得：系数 的值为 ，系数 的值为 ，
二项式 与 的积为：
．
压轴题型三 多项式乘法中的规律性问题
例题：探索题：
……
(1)当 时， ＝ ．
(2)试求： 的值．
(3)判断 的值个位数字是 ．
【详解】（1）解：当 时， ，
（2）根据题意可得：
则 ；
（3）根据题意可得：
∵ ， ， ， ， ， ， ，
则个位数字是按照 、 、 、 四个数依次循环，
，
∴ 的个位数字为6则 的个位数字为5．
巩固训练
1．我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），下图揭示了 （n
为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律：杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方
（左右）两数之和，例如：
，它只有一项，系数为1
，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；
，它有三项，中间项系数2等于上方数字1加1，系数分别为1，2，1，系数和为
4；
，它有四项，中间项系数3等于上方数字1加2，系数分别为1，3，3，1，系
数和为8；……
(1)写出 的展开式______请利用整式的乘法验证你的结果．
(2) 的展开式的系数分别为______，系数和为______．
(3) 展开式共有______项，系数和为______，请说明你是怎样得到这个结果的？
【详解】（1）解：如图，根据杨辉三角可知， ；
用整式乘法验证：；
故答案为： ．
（2）解：如图，根据杨辉三角可知，
，
∴ 的展开式的系数分别为 ，5，10，10，5，1，
∴系数和为： ；
故答案为： ，5，10，10，5，1； ．
（3）解： ，共有2项，系数分别为1，1，
，共有3项，系数分别为1，2，1，
，共有4项，系数分别为1，3，3，1，
，共有5项，系数分别为1，4，6，4，1，
…
∴ 展开式中共有 项，
令 中 ， ，则 的展开式中的每一项正好是每一项的系数，
∴ 的展开式中各项的系数和为 ．
故答案为： ； ．压轴题型四 利用平方差公式与完全平方公式进行简便运算
例题：用简便方法计算下列各题．
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)39991
(2)
【分析】（1）利用平方差公式进行求解即可；
（2）利用完全平方差公式进行求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题考查了平方差公式，完全平方差公式，解题的关键是掌握相应的公式进行变形．
巩固训练
1．用简便方法计算：
(1)
(2)
【答案】(1)1
(2)10000
【分析】本题考查的是平方差公式及完全平方公式，
（1）利用平方差公式进行计算即可；（2）利用完全平方公式进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
2．用简便算法计算
(1)
(2)
【答案】(1)1
(2)90000
【分析】（1）将 变形为 ，运用平方差公式计算，即可求解；
（2）将 变形为 ，则原式可逆用完全平方公式计算．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式【点睛】题词考查利用平方差与完全平方公式进行简便计算，熟练掌握平方差与完全平方公式是解题的关
键．
3．用简便方法计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先对 变形使其变化为两数和与两数差的积的形式，然后运用平方差公式简化运
算；
（2）利用完全平方公式分解因式，简便计算即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【点睛】此题考查了利用平方差公式、完全平方公式分解因式进行简便计算，掌握公式是解题的关键．
4．计算：
(1) ．
(2) ．
(3) ．【答案】(1)
(2)39996
(3)2022
【分析】（1）（2）（3）运用平方差公式即可求解．
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式
（3）解：原式
【点睛】本题考查平方差公式的运用．熟记公式形式 是解题关键．
压轴题型五 平方差公式与几何图形
例题：图1、图2分别由两个长方形拼成．
(1)图1中图形的面积为 ，图2中图形的面积为 ．（用含有a、b的代数式表示）
(2)由（1）可以得到等式： ．
(3)根据你得到的等式解决下列问题：
①计算： ．
②若 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)(3)① 3700； ② 5
【分析】本题考查平方差公式与几何面积．
（1）利用长方形的面积公式作答即可；
（2）根据两个图形的面积相等，即可得出等式；
（3）①利用（2）中的等式进行计算即可；②先用平方差公式进行化简，再代值计算即可．
解题的关键是得到 ．
【详解】（1）解：图2中图形的面积为 ；
故答案为： ；
（2）由（1）可得： ；
故答案为： ；
（3）①
；
②∵ ，
∴
．
巩固训练
1．【实践操作】
（1）如图 ，在边长为 的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形（ ），把图 中 形的纸片按图剪拼，改造成了一个大长方形如图 ，用含 、 的式子表示图 中大长方形的面积为______；
（2）请写出图 、图 、图 验证的乘法公式为：______；
【应用探究】
（3）利用（ ）中验证的公式简便计算： ；
（4）计算： ．
【答案】（ ） ；（ ） ；（ ） ；
（ ） ．
【分析】（ ）利用长方形的面积等于长乘以宽即可；
（ ）图 中大长方形的面积等于图 的阴影部分面积，分别计算即可得出 ；
（ ）观察（ ）的的乘法公式的特点是两数之和乘以两数之差，故将 拆成 ，将 拆成
即可；
（ ）利用 将各个因其进行因式分解后，再将各因式通分相加，发现每相邻两个的乘
积为 ，故答案为第一个因式乘以最后一个因式；
本题考查了“数形结合”中的平方差公式及其灵活运用，解题的关键是善于发现规律并总结规律．
【详解】（ ） ，
，
，
，故答案为： ；
（ ）图 中大长方形的面积等于图 的阴影部分面积，
∴ ，
故答案为： ；
（ ）原式 ，
，
；
（ ）原式 ，
，
，
．
2．实战与探究，如图1，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个
长方形（如图2所示）．
(1)上述操作能验证的公式是______（请选择正确的一个）．
A． B． C．
(2)请应用上面的公式完成下列各题：
①已知 ， ，则 ______；
②计算： ；
③计算：【答案】(1)B
(2)①4；②5050；③
【分析】本题考查平方差公式的证明与使用，考查求和公式，掌握这些是本题关键．
（1）根据阴影部分写出两个图形中阴影部分面积的代数式，再得出二者相等的结论；
（2）使用（1）得出的公式对本题中的平方差进行因式分解即可求得结果．
【详解】（1）解：图一中的阴影部分面积为： ，
图二中阴影部分面积为： ，
而这两者面积相等，所以有： ．
故选：B．
（2）解：① ，
又 ，
．
② ，
，
，
原式 ．
③
．
压轴题型六 通过对完全平方公式变形求值例题：已知： ， ，求下列各式的值：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)5
(2)1
【分析】本题考查了完全平方公式的计算，变形计算．
（1）根据公式 变形计算即可．
（2）根据公式 计算即可．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
解得 ．
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
巩固训练
1．已知 ， ，求下列代数式的值．
(1)
(2)
【详解】（1）∵ ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ；
（2）
，
，
，
．
2．已知 ，求下列式子的值：
(1) ；
(2) ．
【详解】（1）∵ ，
∴
．
（2）∵ ，
∴
．
压轴题型七 求完全平方式中的字母系数
例题：已知关于x的式子 是某个多项式的完全平方，那么A是 ．【答案】 、 和
【详解】解：①∵ ，
∴ ，
②若 是多项式的平方，
则 ；
故答案为： 、 和 ．
巩固训练
1．若 是一个完全平方式，则 ．
【答案】11或 / 或
【详解】解：∵ 是一个完全平方式，
∴ ，
∴ ，解得 或 ，
故答案为：11或 ．
2．若整式 是完全平方式，请写出所有满足条件的 是 ．
【答案】 或 或
【详解】解： 当 为 和 的中间项时 ；
当 为 和 的中间项时 ；
当 为 和 的中间项时 ；
故答案为： 或 或 ．
压轴题型八 完全平方式在几何图形中的应用
例题：我们已经学习了乘法公式 的多种运用，可以运用所学知识解答：求代数式的最小值．解答如下：
解： ，
，∴当 时， 的值最小，最小值是 ，
∴ ，∴当 时， 的值最小，最小值是 ，
∴ 的最小值是 ．
请你根据上述方法，解答下列各题．
(1)知识再现：当 ______时，代数式 的最小值是______；
(2)知识运用：若 ，当 ______时， 有最______值（填“大”或“小”），这个值是
______；
(3)知识拓展：若 ，求 的最小值．
【答案】(1) ，
(2) ，大，
(3)
【分析】（1）根据完全平方公式将原式整理后即可确定最小值；
（2）将等式右边配方后即可确定当 取何值时能取到最小值；
（3）首先得到有关 的关系式，根据完全平方公式将原式整理后确定最小值即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴当 时，有最小值 ；
故答案为： ， ；
（2）解：∵ ，
∴当 时有最大值 ；
故答案为： ，大， ；
（3）解：∵ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴当 时， 的最小值为 ．
【点睛】本题考查完全平方公式及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
巩固训练
1．例：求代数式 的最小值.
解： ，
， ，
当 时，代数式 有最小值 ，
仿照以上方法，完成下列问题：
(1)求代数式 的最小值；
(2)求代数式 的最大值.
【详解】（1）解： ，
， ，
当 时，代数式 有最小值 ；
（2） ，
， ，
当 时，代数式 有最大值 ．
2．我们已学完全平方公式： ，观察下列式子：，
，原式有最小值是 ；
，
，原式有最大值是 ；
并完成下列问题：
(1)代数式 有最 （填大或小）值，这个值= ．
(2)解决实际问题：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为100米的木栏围成一个长方形花圃，为了设
计一个尽可能大的花圃，如图设长方形一边长度为 米，完成下列任务．
①用含 的式子表示花圃的面积；
②请说明当 取何值时，花圃的最大面积是多少平方米？
【详解】（1）解： ，
∵ ，
∴ ，
∴代数式 有最小值，最小值为 ；
故答案为小， ；
（2）解：①由图可得花圃的面积： 平方米；
②由①可知： ，
当 时， ，且 ，
当 时，花圃的最大面积为1250平方米．压轴题型九 完全平方公式在几何图形中的应用
例题：现有长与宽分别为 、 的小长方形若干个，用两个这样的小长方形，拼成如图1的图形，用四个
相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题：
(1)根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于 、 的关系式：（用 、 的代数式表示出来）；
图1表示： ；图2表示： ；
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
(2)若 ， ，则 ； ；
(3)如图3，点 是线段 上的一点，以 ， 为边向两边作正方形，设 ，两正方形的面积和
，求图中阴影部分面积．
【详解】（1）解：图1中，由图可知 ，
，
由题意得， ，
即 ，
故答案为： ．
图2中，由图可知 ， ， ，
由题图可知， ，
即 ，故答案为： ．
（2）解： ，
， ，
，
∴ ．
故答案为：16；12．
（3）解：由题意得 ，
，
，
，
，
，
，
∴ ．
即图中阴影部分的面积为 ．
巩固训练
1．将完全平方公式 进行适当的变形，可以解决很多的数学问题，例如：若 ，
，求 的值．解：因为 ，所以 ，即 ．
又因为 ，所以 ．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
(1)若 ， ，则 ；
(2)若 ， ，求 的值；
(3)两个正方形 如图摆放，面积和为34， ，则图中阴影部分面积和为 ．
【详解】（1）解： ，
，即 ，
又 ，
，
，
故答案为：12；
（2）解：∵ ， ，
；
（3）解：设正方形 的边长为m、 的边长为n，
， ，
，即 ，
，
，
，， ，
解得：m=5,n=3，
．
故答案为：5．
2．如图①，正方形 是由两个长为a、宽为b的长方形和两个边长分别为a、b的正方形拼成的．
(1)利用正方形 面积的不同表示方法，直接写出 、 、 之间的关系式，这个关系式是
；
(2)若m满足 ，请利用（1）中的数量关系，求 的值；
(3)若将正方形 的边 、 分别与图①中的 、 重叠，如图②所示，已知 ， ，
求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体数值）．
【详解】（1）
（2）设 ， ，
则 ， ，
由已知得：
，
∴ ，
∴ ，
∴
（3）设正方形 的边长为x，则 ， ，∵
∴
∵
∴
压轴题型十 整式运算中的新定义型问题
例题：（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）对于任意有理数a、b、c、d，定义一种新运算：
．
(1) ；
(2)对于有理数x、y，若 是一个完全平方式，则k＝ ；
(3)对于有理数x、y，若 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)8或
(3)628
【知识点】求完全平方式中的字母系数、整式的混合运算、含乘方的有理数混合运算、已知字母的值 ，
求代数式的值
【分析】本题考查的是整式的混合运算，完全平方公式，求代数式的值，熟练掌握其运算法则是解题的关
键．
（1）根据新运算的规则计算即可；（2）根据新运算的规则，可得 ，再根据 是一个完全平方式可得结论；
（3）据新运算的规则化简求值即可．
【详解】（1）解：根据新运算法则，可得：
，
故答案为： ；
（2）解： ，
∵ 是一个完全平方式，
∴ 是一个完全平方式，
∴ 或 ，
∴ 或
故答案为：8或 ；
（3）解：∵ ，
∴ ，
∴
，
当 ， 时，原式 ．
巩固训练
1．（22-23七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）用“ ”定义一种新运算：对于任意有理数 和 ，规定．如： ．解答下列问题：
(1)若 ，求 的值；
(2)化简： ；
(3)若 ， ，判断 与 的大小关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3) ，理由见解析
【知识点】运用完全平方公式进行运算、整式的混合运算、整式的加减运算
【分析】题目主要考查新定义运算及整式的乘法运算，理解新定义运算及整式的乘法运算法则是解题关键．
（1）根据新定义的运算，得出方程求解即可；
（2）根据新定义运算求解计算即可；
（3）根据新定义分别确定m，n，然后作差即可判断．
【详解】（1）解：根据题意得： ，
解得： ．
（2）
，
．
（3） ．
理由： ，
，
，．
2．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）我们定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为
“组合多项式”，这个常数称为它们的“组合数”．如 与 ， ，则M
与N互为“组合多项式”，它们的“组合数”为3．
(1)下列各组多项式中，互为“组合多项式”的是________（填序号）；
① 与 ；② 与 ；③ 与 ．
(2)多项式 与 （m，n为常数）互为“组合多项式”，求它们的“组合数”；
(3)关于x的多项式 与 的“组合数”能为0吗？若能，请求出m，n的值；
若不能，请说明理由．
【答案】(1)②③
(2)
(3)能， ，
【知识点】整式四则混合运算、构造二元一次方程组求解
【分析】本题主要考查了整式四则混合运算、求代数式值，准确理解新定义是解题的关键．
（1）运用题目中的定义进行逐一计算、辨别；
（2）先运用题目中的定义求得m，n的值，再代入求解；
（3）先求 得， ，再将根据“组合数”为0，列方程解方程即可；
【详解】（1） ， 不是常数，
①组多项式不是互为“组合多项式”；
， 是常数，
②组多项式是互为“组合多项式”；
，2是常数，
③组多项式是互为“组合多项式”，
故答案为：②③
（2）
，，
与 （m，n为常数）互为“组合多项式”，
， ， 为常数，
解得： ， ，
，
它们的“组合数”为3；
（3）能为0，理由如下：
， ，
，
若C和D的“组合数”能为0，
解得： ．
3．（24-25八年级上·山西临汾·阶段练习）阅读下列材料，完成相应的任务．
平衡多项式
定义：对于一组多项式 （ 是常数），当其中两个多项式的乘积与另外
两个多项式乘积的差是一个常数 时，称这样的四个多项式是一组平衡多项式， 的绝对值是这组平衡多
项式的平衡因子．
例如：对于多项式 ，因为 ，所以多项式 是一
组平衡多项式，其平衡因子为 ．
任务：
(1)小明发现多项式 是一组平衡多项式，在求其平衡因子时，列式如下：，要根据他的思路求该组平衡多项式的平衡因子；
(2)判断多项式 是否为一组平衡多项式，若是，求出其平衡因子；若不是，说明理
由；
(3)若多项式 （ 是常数）是一组平衡多项式，求 的值．
【答案】(1)3
(2)是，3
(3) 或7或
【知识点】计算多项式乘多项式、已知多项式乘积不含某项求字母的值
【分析】本题主要考查了新定义的理解，多项式的运算，对于（1），根据多项式乘以多项式法则计算，
并求出平衡因子；
对于（2），根据运算法则计算 ，并求出平衡因子；
对于（3），分三种情况列出算式，再计算求值．
【详解】（1）根据题意，得
，
所以平衡因子是 ；
（2）是平衡多项式，理由如下：
根据题意，得
，
所以是平衡多项式，平衡因子是 ；
（3）若
，∴ ，
解得 ；
若
，
∴ ，
解得 ；
若
，
∴ ，
解得 .
所以m的值为 或7或 ．
4．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）定义：对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：
．
(1) ；
(2) ；若 是完全平方式，则 ；
(3)若有理数m、n满足 ，且 ．
① 求 的值；
② 如图，四边形 是长方形，点E、F、G、H分别在边 上，连接 交于点
P，且 将长方形 分割成四个小长方形，若 ， ， ， ，在①的
条件下，求图中阴影部分的面积．【答案】(1)11
(2) ；
(3)①2；②
【知识点】完全平方式在几何图形中的应用、多项式乘多项式——化简求值、求完全平方式中的字母系数
【分析】本题考查了新定义，完全平方公式的变形求解，熟练掌握新定义和完全平方公式是解答本题的关
键．
（1）根据 计算即可；
（2）根据 计算，再根据完全平方式的特征求解即可；
（3）①根据 得出 ，再结合 即可求出
；
②根据图象可得 ，化简后代入 ， 即可求解；
【详解】（1）解： ；
（2）解： ；
若 是完全平方式，则 ；（3）解：①∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
②由题意可知：
，
将 ， 代入可得，原式 ．
压轴题型十一 利用竖式的方法求整式中多项式除以单项式
例题：阅读与思考
我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？请同学们阅读
“刻苦小组”的项目实施过程，帮助他们解决项目实施过程中遇到的问题．项目主题：竖式的方法解决多
项式除以多项式．
项目实施：
任务一 搜集资料：我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依
次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为 或余式的次数低于除式的次数．
（1）请把 按 的指数从大到小排列： ．
任务二 竖式计算：
例如：计算 ，可依照 的计算方法用竖式进行计算．因此
．
（2）“刻苦小组”把小学的除法运算法则运用在多项式除法运算上，这里运用的数学思想是（ ）
A．数形结合 B．类比 C．方程
任务三 学以致用
（3） 的商式是 ，余式是 ．
【答案】（1） ；（2）B；（3） ；
【分析】本题主要考查了多项式的除法运算，
（1）根据题意，把 按 的指数从大到小排列即可；
（2）理解“把小学的除法运算法则运用在多项式除法运算上”，是类比的数学思想，选择答案即可；
（3）根据“把小学的除法运算法则运用在多项式除法运算上”，用竖式计算，得出答案即可；
理解题意“把小学的除法运算法则运用在多项式除法运算上”是解题的关键．
【详解】（1）把 按 的指数从大到小排列： ，
故答案为： ；
（2）“刻苦小组”把小学的除法运算法则运用在多项式除法运算上，这里运用的数学思想是类比，
故选：B；
（3）根据题目方法用竖式计算：∴ 的商式是 ，余式是 ，
故答案为： ； ．
巩固训练
1．阅读理解：由两个或两类对象在某些方面的相同或相似，得出它们在其他方面也可能相同或相似的推
理方法叫类比法 多项式除以多项式可以类比于多位数的除法进行计算．
如图 ：
+
，
．
即多项式除以多项式用竖式计算，步骤如下：
①把被除式和除式按同一字母的指数从大到小依次排列（若有缺项用零补齐）．
②用竖式进行运算．
③当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式 若余式为零，说明被除式能被除式整除．
例如： 余式为 ， 能被 整除．
根据阅读材料，请回答下列问题：
(1)多项式 除以多项式 ，所得的商式为______ ；(2)已知 能被 整除，则 ______ ；
(3)如图 ，有 张 卡片， 张 卡片， 张 卡片，能否将这 片拼成一个与原来总面积相等且一边
长为 的长方形？若能，求出另一边长；若不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)3
(3)能，另一边长为
【分析】（1）列竖式进行计算即可得到答案；
（2）列竖式计算，根据整除的意义，利用对应项的系数对应倍数即可得到答案；
（3）根据题意，得到 张卡片的总面积为 ，列竖式计算，根据 能被
整除，即可得到答案．
【详解】（1）解：列竖式如下：
多项式 除以多项式 ，所得的商式为 ，
故答案为： ；
（2）列竖式如下：能被 整除，
，
解得： ，
故答案为： ；
（3）解：能，理由如下：
根据题意， 卡片的面积是 ， 卡片的面积是 ， 卡片的面积是 ，
张 卡片， 张 卡片， 张 卡片的总面积为 ，
列竖式如下：
余式为 ，
能被 整除，商式为 ，
可以拼成与原来总面积相等且一边长为 的长方形，另一边长为 ．
【点睛】本题考查了利用竖式计算整式的除法，解题关键是注意同类项的对应，理解被除式 除式 商式
余式．
