文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（江苏专用）
黄金卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．已知集合 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据交集、并集和包含关系的定义即得.
【详解】由 ，
，
得 ，故A错，C对；
，故B错；
，故D错.
故选：C
2．若复数 在复平面内所对应的点在实轴上，则实数 （ ）
A． B． C．1 D．4
【答案】B
【分析】由题意先将复数 化简，然后令其虚部等于0即可求解.
【详解】由题意 ，其对应的点 在实轴上，
所以 ，得 .
故选：B.
3．已知 是抛物线 上的两点，且直线 经过 的焦点，若 ，则（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】C
【分析】结合抛物线的弦长公式计算即可.
【详解】 .
故选：C.
4．将函数 的图象向左平移 个单位长度后关于 轴对称，则 的可能
值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】写出平移后函数解析式，然后由图象关于 轴对称得出 的表达式，从而得出结论．
【详解】将函数 的图象向左平移 个单位长度得函数解析式为
，它的图象关于 轴对称，
则 ，又 ，则 ，
故选：B．
5．若两个非零向量 ， 满足 ，则 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用平面向量的数量积求向量的夹角.
【详解】不妨设 ，则 ，平方并整理得 ，
由 得 ，所以 .
2
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试卷第2页，共3页设 与 的夹角为 ，则 ，
所以 .
故选：A
6．使得“函数 在区间 上单调递增”成立的一个充分不必要条件可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据指数型函数的单调性，结合充分不必要条件的定义进行判断即可.
【详解】 ，二次函数 对称轴为 ，
因为函数 在区间 上单调递增，
所以有 .
A： 显然是充要条件，不符合题意；
B： 推不出 ，所以本选项不符合条件；
C：由 能推出 ，但是由 推不出 ，所以本选项符合题意；
D： 由 推不出 ，所以本选项不符合条件，
故选：C
7．已知奇函数 在 上的最大值为 ，则 （）
A． 或3 B． 或2 C．3 D．2
【答案】A
【分析】根据奇偶性求得 ，分类讨论函数的单调性得出最大值，根据已知条件列方程求解即可．
【详解】因为 是奇函数，所以 ，所以 ．即 ，则 ，解得 ，
经检验 符合题意，所以 ，
当 时， ，
则函数 在 上单调递增， 在 上单调递减，
所以 在 上单调递增，
所以， ，整理得 ，
解得 或 (舍去)，所以 ；
当 时， ，
则函数 在 上单调递减， 在 上单调递增，
所以 在 上单调递减，
所以， ，整理得 ，
解得 或 (舍去)，所以 ，
综上， 或3．
故选：A．
8．某圆锥的母线长为4，轴截面是顶角为120°的等腰三角形，过该圆锥的两条母线作圆锥的截面，当截面
面积最大时，圆锥底面圆的圆心到此截面的距离为（ ）
A．4 B．2 C． D．
【答案】D
4
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试卷第4页，共3页【分析】设该圆锥的顶点为S，底面圆心为O，连接SO，得到 ，得到
的夹角为90°时， 的面积最大，结合 ，列出方程，即可求解.
【详解】设该圆锥的顶点为S，底面圆心为O，AB为底面圆的直径，连接SO，由圆锥的母线长为4，轴截
面是顶角为120°的等腰三角形可知圆锥的高 ，底面圆半径为 ，
设C为圆锥底面圆周上一点，连接BC，OC，则 ，
所以当 的面积最大时，即 最大时，即 的夹角为90°时，
的面积最大，此时 的面积为8，且 ，
取 中点 ，连接 ，则 ，
在直角 中，可得 ，
所以 的面积为 ，
设圆锥底面圆的圆心O到截面SBC的距离为h，
则由 可得 ，
即 ，解得 ，
所以圆锥底面圆的圆心到此截面的距离为 ．
故选：D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列命题中，是真命题的是（ ）A．一组数据：2，1，4，3，5，3的平均数、众数、中位数相同
B．有A，B，C三种个体按 的比例做分层抽样调查，如果抽取的A个体数为9，则样本容量为30
C．若随机变量 ，则其数学期望
D．若随机变量 ， ，则
【答案】ACD
【分析】A选项，计算出平均数，众数和中位数，得到A正确；B选项，计算出样本容量为18；C选项，
根据二项分布的数学期望公式求出答案；D选项，利用正态分布的对称性得到概率.
【详解】A选项：平均数为： ，3出现了两次，出现次数最多，众数为3，
将数据从小到大排列为：1，2，3，3，4，5.所以中位数为 ，故A正确；
B选项：样本的容量为 ，故B错误；
C选项：由 ，故C正确；
D选项： ，故D正确.
故选：ACD.
10．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，且 ，点 是 上一点，则
（ ）
A． 的离心率为
B．若 轴，则
C．若 ，则 （其中 为坐标原点）
D．点 到 的两条渐近线的距离之积为
【答案】ACD
6
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试卷第6页，共3页【分析】首先根据题意得到双曲线 ，对选项A，根据 求解即可，对选项B，根据题意得
到 ， ， ，即可判断B错误，对选项C，根据已知条件得到 ，即可得到
，即可判断C正确，对选项D，利用两点之间距离公式求解即可.
【详解】因为 ，所以
所以 ，解得 ，故双曲线 ．
对于A， 双曲线 的离心率 ，故A正确；
对于B，由题可得 ，又 轴，
所以 ，则 ，解得 ，所以 ，故B错误；
对于C，因为 ，且 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，故C正确；
对于D，设 ，则 ，
因为双曲线 的渐近线方程为 或 ，
所以点 到双曲线 的两条渐近线的距离之积为 ，故D正确．
故选ACD．
11．已知数列 均为等比数列，则下列结论中一定正确的有（ ）
A．数列 是等比数列 B．数列 是等比数列
C．数列 是等差数列 D．数列 是等差数列
【答案】AC
【分析】利用等差数列与等比数列的定义通项公式及其对数的运算分析判断即可
【详解】设等比数列 的公比分别为 ，
对于A，因为 ，所以数列 是以 为公比的等比数列，所以A正确，
对于B，若 ，则 ，此时数列 不是等比数列，所以B错误，
对于C，因为 为常数，所以数列 是等差数列，所以C正确，
对于D，若 ，则 ，此时 无意义，所以数列 不是等差
数列，所以D错误，
故选：AC
12．已知函数 ， ，则（ ）
A．函数 在 上无极值点
B．函数 在 上存在极值点
C．若对任意 ，不等式 恒成立，则实数 的最小值
8
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试卷第8页，共3页D．若 ，则 的最大值为
【答案】ACD
【分析】对 求导后，根据导函数正负可确定 的单调性，由极值点定义可知AB正误；
由 单调性可得 ，分离变量后，可知 ，利用导数可求得 ，知C正确；
采用同构法可确定 ，可将 化为 ，令 ， ，利用导数
可求得 最大值，知D正确.
【详解】对于A， 定义域为 ， ，
令 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
，即 在 上单调递减，在 上单调递增，
， 在 上单调递增，无极值点，A正确；
对于B， 定义域为 ， ，
令 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
，即 在 上单调递减，在 上单调递增，
， 在 上单调递增，无极值点，B错误；
对于C，由A知： 在 上单调递增，由 得： ，
则当 时， ，
令 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递增，在 上单调递减，
， ，即 的最小值为 ，C正确；
对于D，若 ，则 ，
， ， ，
由AB知： 均为定义域上的增函数， ， ，
由 得： ， ，
；
令 ，则 ，
令 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递增，在 上单调递减，
，即 的最大值为 ，D正确.
故选：ACD.
【点睛】思路点睛：本题考查导数在研究函数中的综合应用问题，其中D选项中涉及到多变量问题的求解，
10
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试卷第10页，共3页求解此类问题的基本思路是根据已知中的等量关系，将多变量转化为单变量的问题，从而将其转化为函数
最值问题的求解.
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数 在 上可导，且 ，则 ．
【答案】
【分析】利用换元法求得 解析式，求导，求 即可.
【详解】令 ，则 ，则 ，即 ，
，所以 ．
故答案为：-4
14．紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间．紫砂壶的壶型众多，经典的有
西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等． 其中，石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台 (即圆锥用平行于底面的
平面截去一个锥体得到的)．下图给出了一个石瓢壶的相关数据 (单位:cm)，那么该壶的容量约为
．
244π
【答案】 3 或 .
【分析】方法1：运用圆台体积公式计算即可.
方法2：运用大圆锥体积减去小圆锥体积即可为圆台体积计算即可.
【详解】方法1：由题意知，圆台上底面半径为4，下底面半径为5，高为4，
则 .
方法2：如图，设大圆锥的高为h，则 ，解得： ，
所以 .
故答案为：（C） .
15．若 ，则 ．
【答案】
【分析】利用诱导公式、二倍角公式和辅助角公式化简可得 ，然后由
可解.
【详解】因为
，
12
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试卷第12页，共3页所以 ，
所以 ．
故答案为：
16．已知椭圆 的左焦点为F，离心率为 ，过F的直线l交椭圆于A，B两点，且
，则直线l的斜率为 .
【答案】 或
【分析】由A，F，B三点共线可得 ，再将A，B两点代入椭圆得到对应关系式，最后消去 求出
，进而得到直线的斜率.
【详解】设 ， ，因为 ，
又A，F，B三点共线，所以 ，
所以 ，所以 ， .
又 ， 在椭圆上，
所以 ，所以 ，
即 ，
所以 ，所以 ，所以 ，又 ，所以 ，所以 ，
由 ，解得 ，
当 时，直线l的斜率 ；
当 时，直线l的斜率 ，所以直线l的斜率为 或 .
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17．记 为数列 的前n项和，已知 ， 是公差为1的等差数列.
(1)求 的通项公式；
(2)证明： .
【答案】(1) ；
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意求出 ，根据 的关系即可求得答案；
（2）由（1）可得 的表达式，利用裂项求和法求出 的表达式，即可证明结论.
【详解】（1）∵ ，∴ ，又 是公差为1的等差数列，
∴ ，∴ ，
14
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试卷第14页，共3页∴当 时， ，
∴ ，
当 时， 满足上式，
∴ 的通项公式为
（2）证明：由（1）知： ，
∴ .
18．在锐角 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 .
(1)证明： ；
(2)求 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由正弦定理结合两角差的正弦公式化简已知式，即可得出答案；
（2）由 是锐角三角形，可求出 ，进而求出 ，由正弦定理结合两角和的正
弦定理可得 ，令 ， ，由 的单调性即可求出答案.
【详解】（1）由 ，结合正弦定理得 ，
即 ，
所以 ，所以 或 （舍去），所以 .
（2）在锐角 中， ， ， ，
即 ，所以 .
.
令 ， ， ，
因为 在 上单调递增，
所以 ， ，
所以 .
19．如图，在三棱柱 中，底面 为正三角形， 为 的中点，平面 平面 ．
(1)证明： 平面 ．
(2)若 ，二面角 的余弦值为 ，求平面 与平面 夹角的余弦值．
16
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试卷第16页，共3页【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1） 为 的中点，由三角形中位线证得 ，可证 平面 ；
（2）由已知二面角证得 ，以D为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求平面 与平面
夹角的余弦值．
【详解】（1）连接 与 相交于点 ，连接 ，
三棱柱 中，侧面 是平行四边形，
则 为 的中点，又 为 的中点，有 ，
平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
（2）平面 平面 ，平面 平面
底面 为正三角形， 为 的中点，则 ，
平面 ，则 平面 ，
平面 ， ， ，
则二面角 的平面角为 ，有余弦值为 ，中，由余弦定理 ，
即 ，解得 ，
过 作直线 的垂线，垂足为 ，
则 ，故 在 的延长线上，
，
， ， ，四边形 为矩形，则 ，
以D为原点， 分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，
， ，
设平面 的一个法向量为 ，则有 ，
令 ，则 ，即 .
， ，
设平面 的一个法向量为 ，则有 ，
18
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试卷第18页，共3页令 ，则 ，即 .
平面 与平面 夹角的余弦值为 .
20．已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程．
(2)若 有两个零点，求实数 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用导数的几何意义求得切点与切线的斜率，从而得解；
（2）利用参变分离，构造函数 ，利用导数研究其性质，从而作出图象，结合图象即可得解.
【详解】（1）当 时， ，则 ，
，所以 ．
故曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ．
（2）由 有两个零点，
得方程 在 上有两个不同的实数解．
当 时，显然方程没有正实数解，所以 ．
则方程 在 上有两个不同的实数解．
令 ，则 ．
显然 在 上为减函数，又 ，
所以当 时， ；当 时， ．所以 在 上单调递增，在 上单调递减，且 ．
当 时， ；当 时， ，
要使方程 在 上有两个不同的实数解，
则 与 的图象在 上有两个不同的交点，
结合图象可知 ，解得 ，
综上，实数 的取值范围为 ．
21．自1996年起，我国确定每年3月份最后一周的星期一为全国中小学生“安全教育日”.我国设立这一
制度是为全面深入地推动中小学生安全教育工作，大力降低各类伤亡事故的发生率，切实做好中小学生的
安全保护工作，促进他们健康成长.为了迎接“安全教育日”，某市将组织中学生进行一次安全知识有奖竞
赛，竞赛奖励规则如下，得分在 内的学生获三等奖，得分在 内的学生获二等奖，得分在
内的学生获一等奖，其他学生不获奖.为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的
竞赛成绩，统计如下：
成绩
.
（分）
频数 6 12 18 24 18 12 10
(1)若现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获一等奖的概率；
(2)若该市所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布 ，利用所得正态分布模型解决以下问题：
（i）若该市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过85分的学生数（结果四舍五入到
整数）；
20
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试卷第20页，共3页（ii）若从所有参赛学生中（参赛学生数大于100000）随机抽取4名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在65
分以上的学生数为Y，求随机变量Y的分布列及数学期望.
附参考数据：若随机变量X服从正态分布 ，则：
【答案】(1)
(2)（ⅰ） ；（ⅱ）分布列见解析，
【分析】（1）根据古典概型运算公式进行求解即可；
（2）（ⅰ）根据题中所给的公式，结合正态分布的性质进行求解即可；（ⅱ）运用二项分布的性质进行
求解即可.
【详解】（1）从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，基本事件总数为 ，设抽取的两名学生中恰有
一名学生获一等奖为事件 ，
则事件 包含的基本事件的个数为 ，因为每个基本事件出现的可能性都相等，所以
，
故抽取的两名学生中恰有一名学生获一等奖的概率为 .
（2）（ⅰ）因为 ，所以： ，
所以参赛学生中成绩超过 分的学生数约为 人
（ⅱ）由 ，得 ，即从所有参赛学生中堕机抽取 名学生，该生竞赛成绩在 分以上的
概率为 ，
所以随机变量 服从二项分布 ，所以 ， ， ，
， ，
所以随机变量 的分布列为：
所以期望为 .
22．已知椭圆C： 的离心率为 ，椭圆上一动点P与左、右焦点构成的三角形面积
的最大值为 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，直线PQ交椭圆C于P，Q两点，记直线AP的斜率为 ，直线BQ
的斜率为 ，已知 ，设 和 的面积分别为 ， ，求 的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依题意列式即可求解；
（2）先讨论直线PQ的斜率为0的情况，斜率不为0时，联立直线方程和椭圆方程，用韦达定理结合已知
条件证明直线PQ恒过x轴上一定点，再表示出 即可求解.
22
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试卷第22页，共3页【详解】（1）由题意知
解得 所以椭圆C的方程为 ．
（2）依题意， ， ，设 ， ．
若直线PQ的斜率为0，则点P，Q关于y轴对称，必有 ，即 ，不合题意．
所以直线PQ的斜率必不为0，设其方程为 ，
与椭圆C的方程联立
得 ，
所以 ，且
因为 是椭圆上一点，满足 ，
所以 ，
则 ，即 ．
因为，
所以 ，此时 ，
故直线PQ恒过x轴上一定点 ．
因此 ， ，
所以
，
则 ，当 即 时， 取得最大值 ．
24
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试卷第24页，共3页
