文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（新高考江苏专用）
黄金卷05
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1. 设集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】因为 ，
，
所以 .
故选：B.
2. 复数 满足 ，则 （ ）
A. B. C. D. 5
【答案】C
【解析】
【详解】设 （ ），由题意得 ，解得 ，
，所以
故选：C
3. 已知 ，则 （ ）A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】 ，
故选：B．
4. 有7名运动员（5男2女）参加 三个集训营集训，其中 集训营安排5人， 集训营与 集训营
各安排1人，且两名女运动员不在同一个集训营，则不同的安排方案种数为（ ）
A. 18 B. 22 C. 30 D. 36
【答案】B
【解析】
【详解】由题意可知，完成这件事情分3类，第1类：2个女生分别去 ，5个男生有1个去了 ，有
种；
第2类：2个女生分别去 ，5个男生有1个去了 ，有 种；
第3类：2个女生分别去 ，5个男生去了 ，有 种；
根据分类加法计数原理，不同的安排方案种数为 种.
故选：B.
5. 当 时，函数 取得极值，则 在区间 上的最大值为（ ）
A. 8 B. 12 C. 16 D. 32
【答案】C
【解析】
【详解】因为 ，所以 ，
又 在 取极值，所以 ，所以 ， ， ，
令 ，得 或 ；令 ，得 ；
所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减，故 满足题意，
又 ，故 ，
故选：C．
6．若 是正项递增等比数列， 表示其前 项之积，且 ，则当 取最小值时， 的值为
A．9 B．14 C．19 D．24
【答案】B
【详解】试题分析：因为 ，所以 ，即 ，又数列 是递增的等比数列，所
以 ，所以当 取最小值时， 的值为 ，故选B.
考点：等比数列的定义与性质.
7. 已知 ， 分别是双曲线 的左、右焦点，过 的直线分别交双曲线左、
右两支于A，B两点，点C在x轴上， ， 平分 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据 可知 ，再根据角平分线定理得到 的关系，再根据双曲线定义
分别把图中所有线段用 表示出来，根据边的关系利用余弦定理即可解出离心率.【详解】
因为 ，所以 ∽ ，
设 ，则 ，设 ，则 ， ．
因为 平分 ，由角平分线定理可知， ，
所以 ，所以 ，
由双曲线定义知 ，即 ， ，①
又由 得 ，
所以 ，即 是等边三角形，
所以 ．
在 中，由余弦定理知 ，
即 ，化简得 ，
把①代入上式得 ，所以离心率为 ．
故选：A．
故选:A.8. 已知函数 是定义在 上的奇函数，且 的一个周期为2，则（ ）
A. 1为 的周期 B. 的图象关于点 对称
C. D. 的图象关于直线 对称
【答案】C
【解析】
【详解】因为 为定义域为 奇函数，周期为 ，
故函数 满足条件，
令 可得， ，
函数 的最小正周期为4，对称中心为 ， ，
函数 没有对称轴，
A错误，B错误，D错误；
因为函数 是定义在 上的奇函数，
所以 ，
取 可得， ，
因为 的一个周期为2，
所以 ，取 可得， ，
由 可得，函数 为周期为4的函数，
所以 ，C正确；
故选：C.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9. 下列命题中，真命题有（ ）
A. 数据6，2，3，4，5，7，8，9，1，10的70%分位数是8.5
B. 若随机变量 ，则
C. 若事件A，B满足 且 ，则A与B独立
D. 若随机变量 ，则
【答案】CD
【解析】
【详解】对于A，对数据排序得到1,2,3,4,5,6, 7,8, 9, 10，由 ，所以70%分位数是 ，
故A错误；
对于B，由 知 ，故B错误；
对于C，因为 ，即 ，又 ，即
，所以 ，故A与B独立，故C正确；
对于D，由题设，对应正态曲线关于 对称，所以 ，故
D正确.故选：CD
10. 已知函数 的部分图象如图所示， ，则
（ ）
A. 函数 在 上单调递减
B. 函数 在 上的值域为
C.
D. 曲线 在 处的切线斜率为
【答案】AC
【解析】
【详解】由 ，即 ，
而 ，所以 ，
由 ，得 （五点法），
所以 ，则 ．
对于A，当 时， ，此时函数 单调递减，所以A正确；对于B，当 时， ，所以 ，
所以函数 在 上的值域为 ，所以B错误；
对于C，令 得 ，由三角函数图象的对称性得 ，
所以
，所以C正确；
对于D， ，则 ，所以D错误．
故选：AC．
11. 已知 ， ， ，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最小值为
B. 的最小值为
C. 的最小值为
D. 的最小值为
【答案】AD
【解析】
【详解】A选项： ，即 ，解得 ，当且仅当 ，即 ， 时等
号成立，A选项正确；B选项： ，当且仅当 ，即 ，
时等号成立，B选项错误；
C选项：由 ，得 ， ，则 ，
设函数 ， ， ，
令 ，解得 ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，C选项错误；
D选项： ，当且仅当 ，即 ， 时
等号成立，D选项正确；
故选：AD.
12. 已知函数 ，则（ ）
A. 的最小正周期为π
B. 的最小值为0
C. 的图象关于点（π，1）对称D. 的图象关于直线 对称
【答案】BD
【解析】
【详解】 ，
不是 的周期，A错．
，当 时取“=”，B对．
，
，C错．
，D对.
故选：BD．
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 在 的展开式中，前三项的系数成等差数列，则展开式中含x项的系数为________．
【答案】
【解析】
【详解】 的展开式通项为 ，根据前三项的系数成等差数列得 ，
解得 或 （舍去）
令 ，得 ，
展开式中含x项的系数 .
故答案为： .
14 如图，在等边三角形ABC中， ，点N为AC的中点，点M是边CB（包括端点）上的一个动点，
则 的最大值为___________.
【答案】3
【解析】
【详解】以AB中点为原点， 边所在的直线为 轴， 边的垂直平分线为 轴，建立直角坐标系，则
， ， ，AC中点 .
设 ，则 ，
.∵ 在直线 上，∴ ，
∴ ，
∵ ，∴当 时， 的最大值为3.
故答案为：3.
15．设椭圆 的左､右焦点分别为 .已知点 ，线段 交椭圆于点P，O
为坐标原点.若 ，则该椭圆的离心率为___________.
【答案】 ##
【详解】根据椭圆定义知 ，又 ， ，
由三角形 为直角三角形可得点P是 的中点，
，把点P代入椭圆方程中得 .
故答案为： .
16．若实数x，y满足 ，且 ，则 的最小值为___________.【答案】8
【详解】由 得： ，又实数x，y满足 ，
则 ，当且仅当 ，即 时取
“=”，
由 解得： ，
所以当 时， 取最小值8.
故答案为：8
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17. 记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
（1）求B；
（2）设 ，若点M是边 上一点， ，且 ，求 的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【小问1详解】
依题意，
由 及正弦定理得 ，
即 ，
所以 ．因为 ，所以 ，所以 ，
又 ，所以 ．
【小问2详解】
如图所示：
因为 ，所以 ， ．
又 ，所以 ．
在 中，由余弦定理得 ，
即 ．①
又 ，所以 ，
两边平方得 ，
即 ，所以 ．②
②－①得 ，所以 ，代入①得 ，
在 中， ，
所以 是以 为直角的三角形，
所以 的面积为 ．18. 已知 是首项为2，公差为3的等差数列，数列 满足 .
（1）证明 是等比数列，并求 的通项公式；
（2）若数列 与 中有公共项，即存在 ，使得 成立.按照从小到大的顺序将这些公
共项排列，得到一个新的数列，记作 ，求 .
【答案】（1）证明见解析， ，
（2）
【解析】
【小问1详解】
由题意可得： ，
而 ，变形可得： ，
故 是首项为3，公比为3的等比数列.
从而 ，即 .
【小问2详解】
由题意可得： ， ，令 ，
则 ，此时满足条件，
即 时为公共项，
所以
.的
19.某商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放10个大小相同 小球，其中5个为红
色，5个为白色.抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球.如果每次
抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖.
（1）若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数 的分布列和数学期望.
（2）若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数 的分布列和数学期望.
（3）如果你是商场老板，如何在上述问两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由.
【答案】（1）分布列答案见解析，数学期望：
（2）分布列答案见解析，数学期望：
（3）答案见解析
【解析】
【小问1详解】
若第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，则每次中奖 概率为 ，
的
因为两次抽奖相互独立，所以中奖次数 服从二项分布，即 ，
所以 的所有可能取值为 ，则
，
所以 的分布列为
0 1 2所以 的数学期望为 .
【小问2详解】
若第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，中奖次数 的所有可能取值为 ，
则 ，
，
，
所以 的分布列为
0 1 2
所以 的数学期望为 .
20（12分）如图，在三棱柱 中，侧面 为棱长为2的菱形， ，
， ．
（1）求证：面 面 ；（2）求直线 与面 所成角．
【答案】（1）见解析（2） ．
【详解】解：（1）证明：连结 交 于点 ，连结 ，
因为 为菱形， ，
所以 ， ，
则 为等边三角形，即可得 ，
又 ，
所以在 中， ，
∴ ，即 ，
又知 ， ，
且 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，
即平面 平面 .
（2）由（1）知平面 平面 ，
因为 ，平面 平面 ，
所以 面 ，则 即为 与面 所成角，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
所以直线 与面 所成角为 ．
21．（12分）已知椭圆 的短轴长为 ，右焦点 与抛物线 的焦点重合，
为坐标原点
（1）求椭圆 的方程；
（2）设 、 是椭圆 上的不同两点，点 ，且满足 ，若 ，求直线 的斜率
的取值范围.
【答案】（1） ；（2）
【详解】（1）由已知得 ，所以 ,椭圆的方程为 .
（2）∵ ，∴ 三点共线，而 ，且直线 的斜率一定存在，所以设 的方程为
，与椭圆的方程 联立得
，由 ，得
设 ， ①
又由 得： ，∴ ②.将②式代入①式得:
消去 得 ，
当 时， 是减函数，所以 ，
∴ ，解得 ，
又因为 ，所以 ，即 或 ，
∴直线 的斜率的取值范围是 .
22．（12分）已知函数 .
（1）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若 对任意的 恒成立，求 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【小问1详解】
当 时， ，
则 ， ，又 ，
在 处的切线方程为： .
【小问2详解】
，令 ，则 ，
令 ，则 ，
在 上单调递增， ，即 ；
当 时， ， ， ，
， ，
即 ， 在 上单调递增，即 在 上单调递增；
；
①当 ，即 时， ， 在 上单调递增，
，满足题意；
②当 ，即 时， ；
令 ，则 ，
在 上单调递增， ，即 ，
又 ， ，使得 ，
当 时， ，则 在 上单调递减，此时 ，不合题意；
综上所述：实数 的取值范围为 .
