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§4.
3 简单的三角恒等变换
考试要求 1.经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义.2.能从两角差
的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，
了解它们的内在联系.3.能运用公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、
半角公式，这三组公式不要求记忆)．
第 1 课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C ：cos(α－β)＝ cos α cos β ＋ sin α sin β ；
(α－β)
(2)公式C ：cos(α＋β)＝ cos α cos β － sin α sin β ；
(α＋β)
(3)公式S ：sin(α－β)＝ sin α cos β － cos α sin β ；
(α－β)
(4)公式S ：sin(α＋β)＝ sin α cos β ＋ cos α sin β ；
(α＋β)
(5)公式T ：tan(α－β)＝；
(α－β)
(6)公式T ：tan(α＋β)＝.
(α＋β)
微思考1．诱导公式与两角和差的三角函数公式有何关系？
提示 诱导公式可以看成和差公式中β＝k·(k∈Z)时的特殊情形．
2．两角和与差的公式的常用变形有哪些？
提示 (1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β.
(2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β.
(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( √ )
(2)在锐角△ABC中，sin Asin B和cos Acos B大小不确定．( × )
(3)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都
成立．( × )
(4)sin α＋cos α＝2sin.( × )
题组二 教材改编
2．若cos α＝－，α是第三象限角，则sin等于( )
A．－ B. C．－ D.
答案 C
解析 ∵α是第三象限角，∴sin α＝－＝－，
∴sin＝sin αcos ＋cos αsin ＝－×＋×＝－.
3．cos 17°cos 77°＋cos 73°cos 13°＝ .
答案
解析 cos 17°cos 77°＋cos 73°cos 13°＝cos 17°sin 13°＋sin 17°cos 13°＝sin(17°＋13°)＝sin 30°
＝.
4．tan 10°＋tan 50°＋tan 10°tan 50°＝ .
答案
解析 ∵tan 60°＝tan(10°＋50°)＝，
∴tan 10°＋tan 50°＝tan 60°(1－tan 10°tan 50°)
＝－tan 10°tan 50°，
∴原式＝－tan 10°tan 50°＋tan 10°tan 50°＝.
题组三 易错自纠
5．计算：＝ .
答案
解析 ＝＝tan (45°＋15°)＝tan 60°＝.6．(多选)下面各式中，正确的是( )
A．sin＝sin cos ＋cos
B．cos ＝sin －cos cos
C．cos＝cos cos ＋
D．cos ＝cos －cos
答案 ABC
解析 ∵sin＝sin cos ＋cos sin
＝sin cos ＋cos ，∴A正确；
∵cos ＝－cos ＝－cos
＝sin －cos cos ，∴B正确；
∵cos＝cos＝cos cos ＋，∴C正确；
∵cos ＝cos≠cos －cos ，∴D不正确．故选ABC.
题型一 两角和与差的三角函数公式
例1 (1)(2020·全国Ⅲ)已知sin θ＋sin＝1，则sin等于( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 因为sin θ＋sin
＝sin＋sin
＝sincos －cossin ＋sincos ＋cossin
＝2sincos
＝sin＝1.
所以sin＝.
(2)已知sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为( )
A．－ B. C. D．－
答案 A
解析 ∵α∈，∴cos α＝－，tan α＝－，
又tan(π－β)＝，∴tan β＝－，
∴tan(α－β)＝＝＝－.
思维升华 两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α，β的三角函数表示
α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．
跟踪训练1 (1)若sin(2α－β)＝，sin(2α＋β)＝，则sin 2αcos β等于( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 由sin(2α－β)＝，sin(2α＋β)＝，
可得sin 2αcos β－cos 2αsin β＝，①
sin 2αcos β＋cos 2αsin β＝，②
由①＋②得2sin 2αcos β＝，
所以sin 2αcos β＝.故选B.
(2)已知cos＝cos α，tan β＝，则tan(α＋β)＝ .
答案 －
解析 因为cos＝cos α－sin α＝cos α，所以－sin α＝cos α，故tan α＝－，所以tan(α＋β)
＝＝＝＝－.
题型二 两角和与差的三角函数公式
的逆用与变形
例2 (1)若α＋β＝－，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝ .
答案 2
解析 tan＝tan(α＋β)＝＝1，所以1－tan αtan β＝tan α＋tan β，所以1＋tan α＋tan β＋tan
αtan β＝2，即(1＋tan α)·(1＋tan β)＝2.
(2)(2018·全国Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝ .
答案 －
解析 ∵sin α＋cos β＝1，①
cos α＋sin β＝0，②
∴①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1，
∴sin αcos β＋cos αsin β＝－，
∴sin(α＋β)＝－.
思维升华 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用
及变形．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力．
跟踪训练2 (1)已知α∈，tan α＝sin 76°cos 46°－cos 76°sin 46°，则sin α等于( )
A. B．－ C. D．－
答案 A
解析 由tan α＝sin 76°cos 46°－cos 76°sin 46°＝sin(76°－46°)＝sin 30°＝，
∵α∈，
∴α∈，联立
解得sin α＝.
(2)(1＋tan 20°)(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)(1＋tan 25°)＝ .
答案 4
解析 (1＋tan 20°)(1＋tan 25°)＝1＋tan 20°＋tan 25°＋tan 20°tan 25°＝1＋tan(20°＋25°)(1－
tan 20°tan 25°)＋tan 20°tan 25°＝2，同理可得(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)＝2，所以原式＝4.
题型三 角的变换问题
例3 (1)已知sin α＝，sin(β－α)＝－，α，β均为锐角，则β等于( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 因为sin α＝，sin(β－α)＝－，且α，β均为锐角，所以cos α＝，cos(β－α)＝，所以
sin β＝sin[α＋(β－α)]＝sin α·cos(β－α)＋cos αsin(β－α)＝×＋×＝＝，所以β＝.故选C.
(2)(2020·黑龙江大庆实验中学训练)已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，则cos＝ .
答案 －
解析 由题意知，α＋β∈，sin(α＋β)＝－<0，所以cos(α＋β)＝，
因为β－∈，
所以cos＝－，
cos＝cos
＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin＝－.
思维升华 常见的角变换：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝＋，＋α＝－，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋
β，＋＝等．
跟踪训练3 (1)已知α∈，cos－sin α＝，则sin的值是( )
A．－ B．－ C. D．－
答案 B
解析 由cos－sin α＝，
得cos αcos －sin αsin －sin α＝，
即cos α－sin α＝，所以cos α－sin α＝，即cos＝.因为α∈，
所以α＋∈，
所以sin＝＝，
所以sin＝sin
＝sin－cos＝×＝－.故选B.
(2)已知<β<α<，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，则sin 2α等于( )
A. B．－ C. D．－
答案 B
解析 因为<β<α<，所以0<α－β<，π<α＋β<，由cos(α－β)＝，得sin(α－β)＝，由sin(α＋β)
＝－，得cos(α＋β)＝－，则sin 2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α
＋β)＝×＋×＝－.故选B.
课时精练
1．－sin 133°cos 197°－cos 47°cos 73°等于( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 －sin 133°cos 197°－cos 47°cos 73°＝－sin 47°·(－cos 17°)－cos 47°sin 17°＝sin(47°－
17°)＝sin 30°＝.
2．在△ABC中，cos Acos B>sin Asin B，则△ABC的形状是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
答案 C
解析 依题意可知 cos Acos B－sin Asin B＝cos(A＋B)>0，所以－cos C>0，所以 cos
C<0，所以C为钝角．故选C.
3．已知α，β∈，tan α，tan β是方程x2＋12x＋10＝0的两根，则tan(α＋β)等于( )
A. B．－2或
C. D．－2
答案 A
解析 因为α，β∈，tan α，tan β是方程x2＋12x＋10＝0的两根，所以tan α＋tan β＝－
12，tan α·tan β＝10，所以tan(α＋β)＝＝＝.故选A.
4．已知sin＝，α∈，则sin α等于( )
A. B．－ C．± D．－或
答案 B
解析 因为α∈，所以α－∈，
又sin＝∈，
所以α－∈，所以cos＝－，
所以sin α＝sin＝sincos ＋cossin ＝×－×＝－.
5．(多选)下列四个选项中，化简正确的是( )
A．cos(－15°)＝
B．cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°＝cos(15°－105°)＝0
C．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝
cos 60°＝
D．sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝
答案 BCD
解析 对于A 方法一 原式＝cos(30°－45°)＝cos 30°·cos 45°＋sin 30°sin 45°＝×＋×＝，A
错误．
方法二 原式＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝×＋×＝.
对于B，原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos 90°＝0，B正确．
对于C，原式＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝，C正确．
对于D，原式＝cos 76°cos 16°＋sin 76°sin 16°＝cos(76°－16°)＝cos 60°＝，D正确．
6．(多选)已知函数f(x)＝，则下列说法正确的是( )
A．f(x)的最小正周期为π
B．f(x)的最大值为2
C．f(x)的值域为(－2,2)
D．f(x)的图象关于对称
答案 ACD
解析 ∵f(x)＝＝－2sin，
其中cos≠0，
∴≠1，
∴f(x)的值域为(－2,2)；由T＝＝π，得f(x)的最小正周期为π；令2x＋＝kπ(k∈Z)，解得x＝
－(k∈Z)，即f(x)的图象关于对称．
7．(2020·浙江改编)已知tan θ＝2，则tan＝ .
答案
解析 ∵tan θ＝2，
∴tan＝＝＝＝.
8．化简：sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝ .
答案 sin(α＋γ)
解析 sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝sin(α＋β)cos(β－γ)－cos(α＋β)sin(β－γ)
＝sin[(α＋β)－(β－γ)]＝sin(α＋γ)．
9．已知3cos α－sin α＝2cos(α＋φ)，其中－π<φ<π，则φ＝ .
答案
解析 ∵3cos α－sin α＝2，
＝2＝2cos，
又∵3cos α－sin α＝2cos(α＋φ)且－π<φ<π，
∴φ＝.
10．已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则β＝ .
答案
解析 因为α，β均为锐角，所以－<α－β<.
又sin(α－β)＝－，所以cos(α－β)＝.
又sin α＝，所以cos α＝，
所以sin β＝sin[α－(α－β)]
＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)
＝×－×＝.
所以β＝.
11．已知A，B均为钝角，且sin A＝，sin B＝，求A＋B的值．
解 因为A，B均为钝角，且sin A＝，sin B＝，
所以cos A＝－＝－，
cos B＝－＝－，
所以cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B＝－×－×＝.又因为，
所以α∈，所以2α∈，
又β∈，
所以2α－β∈，
所以2α－β＝－.
