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专题 09 二次函数中的定值与定点压轴题全梳理
类型一、定值问题
例．如图1，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于
点 ．点 是第二象限内抛物线上的一个动点，设点 的横坐标为 ，过点 作直线
轴于点 ，作直线 交 于点 ．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图1，当 是以 为底边的等腰三角形时，求点 的坐标；
(3)如图2，连接 ，过点 作直线 ，交 轴于点 ，连接 ．试探究：在点 运
动的过程中，是否存在点 ，使得 ，若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请
说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)点 的坐标为 或
【分析】（1）待定系数法求抛物线解析式即可；
（2）设直线 的解析式为 ，待定系数法求得直线 的解析式为： ；
，则 ，根据两点间的距离公式可得 ，
，结合题意可得 ，建立方程求解可得 ，即可求解；
（3）设直线 的解析式为 ，待定系数法求得直线 的解析式为： ；
设直线 的解析式为： ，将点 代入 求得直线的解析式为： ，得到 ，根据两点间的距离
公式可得 ， ，结合题意列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线 与 轴交于 ， 两点，与
轴交于点 ，
将 ， ， 代入 得：
，
解得： ，
∴抛物线的解析式为： ．
（2）解：设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入 得：
，
解得： ，
∴直线 的解析式为： ；
设 ，则 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵ 是以 为底边的等腰三角形，
∴ ，∴ ，
即 ，
整理得： ，
解得： （舍去）， ，
当 时，
故 ．
（3）解：设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入 得：
，
解得： ，
∴直线 的解析式为： ；
∵直线 平行于直线 ，
故设直线 的解析式为： ，
将 代入 得：
，
∴直线 的解析式为： ，
将 代入 ，得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ；
当 时，整理得： ，
解得 （舍去）， ；
当 时， ，
故 ；
当 时，整理得： ，
解得： （舍去）， ；
当 时， ，
故 ；
综上，点 的坐标为 或 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，求一次函数解析式，两点间的距离公式，
熟练掌握两点间的距离公式，列方程求解是解题的关键．
【变式训练1】已知抛物线的 顶点为 ，与 轴交于 ．
(1)求抛物线 的解析式；
(2)如图1，过顶点 作 轴于 点，交直线 于 ，点 、 分别在抛物线 和轴上，若 为 ，且以 、 、 、 为顶点的四边形为平行四边形，求 的值；
(3)如图2，将抛物线 向右平移一个单位得到抛物线 ，直线 与 轴交于点 ，
与抛物线 交于 、 两个不同点，分别过 、 两点作 轴的垂线，垂足分别为 、
，当 的值在取值范围内发生变化时，式子 的值是否发生变化？若不变，请求
其值．（解此题时不用相似知识）
【答案】(1)
(2) ，或
(3)
【分析】（1）设抛物线 的解析式为： ，把点 的坐标代入求解a
即可；
（2）分两种情况讨论：①当 为边时，②当 为对角线时，再结合平行四边形的性质
建立方程求解即可；
（3）如图，先求解 ，由抛物线 向右平移一个单位得到抛物线 的解析式为：
，联立方程组： ，可得 ，
，可得 ， ，从而可得答案．
【详解】（1）解：设抛物线 的解析式为： ，
把点 的坐标代入得， ，
故抛物线 的解析式为： ；
（2）当 为边时，如图，∵四边形 为平行四边形，
∴ ， ，
∵点 ，
∴点 ，∴ ，
，令 ，
∴ ，
解得： ，或 ，
点 ，
设直线 为 ，
∴ ，解得： ，
∴直线 的解析式为： ，
当 时， ，
点 ， ，
由平行四边形性质可得： ，
∴ ，
解得： ，或 ；
当 为对角线时，记 的中点为 ，如图，
∵ ， ，
∴ ，
设 ，而 ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∴方程无解，则原方程组无解．综上： ，或 ；
（3）如图，∵ ，∴当 时， ，∴ ，抛物线 向右平移一个单位得到抛物线 的解析式为： ，
联立方程组： ，解得： ， ，
∴ ， ，
∵ 轴， 轴， ， ．
∴ ， ， ．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，求解抛物线与直线的交点坐
标，平行四边形的性质，一元二次方程的解法，本题难度较大，属于压轴题．
【变式训练2】如图1，已知抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点D．
（1）求直线BD的解析式；
（2）P为抛物线上一点，当点Р到直线BD的距离为 时，求点P的坐标；
（3）如图2，直线 交抛物线与M，N两点，C为抛物线上一点，当 时，
请探究点C到MN的距离是否为定值．
【答案】（1） ；（2） 或 ；（3）C到MN的距离为定值
【分析】（1）先利用抛物线的解析式求解 坐标，再利用待定系数法求解 的解析式
即可；
（2）如图，连接 延长 至 使 可得 证明 可
得 到 的距离为： 过 作 的平行线，交抛物线于 求解 为：
联立 解方程组可得答案；
（3）如图，过 作 于 证明 可得 联立：
可得 设 则 可得
又 可得 解方程并检验可得结论．
【详解】解：（1）令 则
令
设 为
解得：
直线 为：
（2）如图，连接 延长 至 使
由
同理：到 的距离为：
过 作 的平行线，交抛物线于
由中点坐标公式可得：
设 为
为：
解得：
或
（3）如图，过 作 于联立：
解得：
设 则
检验： 不合题意舍去，取 为定值．
所以点C到MN的距离为定值 ．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，一次函数与二次函数的交
点坐标问题，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，掌握以上知识是解题的关
键．
【变式训练3】如图1，抛物线 ，交x轴于A、B两点，交y轴于点C，F为
抛物线顶点，直线 垂直于x轴于点E，当 时， ．(1)求抛物线的表达式；
(2)点P是线段 上的动点（除B、E外），过点P作x轴的垂线交抛物线于点D．
①当点P的横坐标为2时，求四边形 的面积；
②如图2，直线 分别与抛物线对称轴交于M、N两点．试问， 是否为定
值？如果是，请求出这个定值：如果不是，请说明理由．
【答案】(1) ；
(2)①4；②是，定值为8，理由见解析．
【分析】（1）由当 时， ，可知 ， 是 的两根，代
入方程可得 ， ，从而得解；
（2）①把 代入抛物线解析式可得 点坐标，再将 代入抛物线解析式可得 点坐
标，从而得知线段 轴，利用配方法可知点 坐标，从而利用
求面积；
②设 ， ，用待定系数法求出直线 与直线 的解析式，再令
得 ， ，从而得出 ， 的长，从而得到 是定值8．
【详解】（1） 当 时， ，
， 是 的两根， ， ，
，解得： ， 抛物线的表达式为： ；
（2）①把 代入 得： ， ．
又当 ， ， ， 线段 轴．
，
， ；
②设 ， ，
直线 ， ，
因此可得： 或 ，
解得： 或 ，
直线 ， ．
令 得 ， ，
， ，．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数综合，涉及四边形的面积求法，待定系数法等知识，
掌握待定系数法和面积求法是解题的关键．
类型二、定点问题
例．如图，抛物线 与x轴的交点为A，B两点，与y轴的交于点C，
．
(1)求抛物线的解析式；
(2)P为抛物线在第四象限上的一点，直线 与抛物线的对称轴相交于点M，若 是
以 为底边的等腰三角形，求点P的坐标；
(3)P是该抛物线上位于对称轴右侧的动点，Q、N是抛物线对称轴上两点， ． 求
证：存在确定的点N，使直线 与抛物线只有唯一交点P．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）由题意可得点C的坐标为 ，即 ，进而得到 ，最后
把．
A两点的坐标代入抛物线 求出c的值即可；
（2）如图：设抛物线的对称轴 交x轴于点Q，过点C作 于点N，连接 交
于点M． 则 ，再求出M点的坐标；直线PC的解析式为 ．再与
联立即可解答；
（3）设 ，再求得直线 解析式为 ，则 ，
如图：过点P作 于点M，则 ．设 ，然后再运用勾股定理
即可解答．【详解】（1）解：当 时， ，
， ．
，
，
．
，解得， ．
∴ ．
（2）解：如图：设抛物线的对称轴 交x轴于点Q，过点C作 于点N，连接
交 于点M． 则 ．
∵直线 是 ， ，
， ， ．
，
．解得： ．
．
设直线 的解析式为 ，
， 在直线上，
直线PC的解析式为 ．
联立 ，得， ，解得： ， ．
当 时， ．
．
（3）解：设 ，设直线 解析式为： ，联立 ，
．
唯一交点，
．
， ，
， ，
直线PQ解析式为： ．
．
过点P作 于点M，则 ．
设 ， ，
， ， ，
．
令 ，则 ．
， ，
．
存在点 ，当 时，PQ与抛物线有唯一交点P．
【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式、等腰三角形的性质、交点标特征等知识点，
正确作出辅助线以及数形结合思想是解答本题的关键．
【变式训练1】如图，抛物线 与 轴分别相交于 ， 两点（点 在点 的
左侧）， 是 的中点，平行四边形 的顶点 ， 均在抛物线上．(1)直接写出点 的坐标；
(2)如图（1），若点 的横坐标是 ，点 在第二象限，平行四边形 的面积是13，
①求直线 的解析式；
②求点 的坐标；
(3)如图（2），若点 在抛物线上，连接 ，求证：直线 过一定点．
【答案】(1)
(2)① ；②
(3)见解析
【分析】（1）令 ，求出点 ， 两点坐标，根据 是 的中点，即可求解；
（2）①先求出点 ，即可求得直线 的解析式，
②过点 作 轴交直线 于点 ，连接 ，设点 ，则点
，可得 ，再由平行四边形 的面积是13，可得
，再根据 ，列出关于 的方程，求出点 的坐标，即可求
解；
（3）设直线 的解析式为 ，联立 ，可得
，从而得到 ，再由平行四边形的性质，可得
， ，再由点 在抛物线上，可得 ，从而得到直线
的解析式为 ，即可求解．
【详解】（1）解：当 时，则 ，
解得： ， ，， ，
是 的中点，
；
（2）解：① 点 在抛物线 上，
，
点 ，
设直线 的解析式为 ，
把 ， 代入得： ，
解得 ，
直线 的解析式为 ，
②如图（1），过点 作 轴交直线 于点 ，连接 ，
设点 ，则点 ，
，
平行四边形 的面积是13，
，
，
，解得： 或 （舍去），
点 ，
点 先向右平移3个单位，再向上平移2个单位到达点 ，
点 先向右平移3个单位，再向上平移2个单位到达点 ；
（3）解：设直线 的解析式为 ，
联立得： ，
整理得： ，
，
四边形 为平行四边形，
， ，
，
，
点 在抛物线上，
，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
直线 过定点 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，平行四边形的性质，熟练掌握二次函数的图
象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．
【变式训练2】已知二次函数 的图象经过点 ，直线AB与抛物线相交于
A、B两点．(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，若直线AB的解析式为 ，且 的面积为35，求k的值；
(3)如图2，若 ，则直线AB必经过一个定点C，求点C的坐标．
【答案】(1)
(2) 或
(3)
【分析】（1）把 代入函数解析式即可得到答案；
（2）先求出 ，可得 ，结合 ，可得方程
，结合 ，即可求解；
（3）设 ， ，过点P作直线 轴，分别过A、B两点
作PN的垂线，垂足分别为N、M，由 可得 ，联立
方程组 ，可得 ， ，进而即可求解.
【详解】（1）解：∵二次函数 的图象经过点 ，
∴ ，解得 ，
∴抛物线的解析式为： ；
（2）如图1，已知直线AB的解析式为 ，
令 ，则 ，
∴直线AB过定点 ，∵ ，
∴ 轴， ，
∴ ，
∴ ，
令 ，整理得 ，
∴ ， ，
∴ ，
整理得 ，
解得 或 ；
（3）设 ， ，
如图2，过点P作直线 轴，分别过A、B两点作PN的垂线，垂足分别为N、M，设
直线AB的解析式为 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ①，
联立方程组 ，
∴ ，
∴ ， ②，
将②代入①，得化简，得 ，
∴直线AB的解析式为 ，即 ，
∴直线AB经过定点 ．【点睛】本题是二次函数与一次函数的综合题，掌握待定系数法，把函数问题化为一元二
次方程问题是关键.
【变式训练3】已知抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于 点，
，且 的面积为6，
(1)求抛物线的对称轴和解析式；
(2)如图1，若 ， 为抛物线上两点，以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形，
设 点横坐标为 ，求 的值；
(3)如图2，过定点 的直线交抛物线于 ， 两点，过 点的直线 与抛物
线交于点 ，求证：直线 必过定点．
【答案】(1) ，
(2) 或 或 或
(3)直线 必过定点 ，证明见解析
【分析】（1）先求得抛物线的对称轴方程，利用对称性和三角形的面积公式求得点C坐标，
再利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）设 ， ，分 为对角线、 为对角线、 为对
角线三种情况，利用平行四边形的对角线互相平分和中点坐标公式分别求解即可；（3）设 ， ，则直线 的解析式为
，由直线 经过定点 则 ，再由直线
经过 点，与抛物线交于点 可得直线 的解析式为 ，进
而可求得 ，再利用待定系数法求得
直线 解析式为 ，进而可知当 时，
，即直线 必过定点 ．
【详解】（1）解：∵抛物线 的对称轴为直线 ， ，
∴ ，则 ，
∵ 的面积为6，
∴ ，则 ，
∴ ，
将 和 代入 中，得
，
解得 ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）解：由题意，设 ， ，有三种情况：
当 为对角线时，则 ，
∴ ，
将F坐标代入抛物线解析中，得 ，
解得 ；
当 为对角线时，则 ，
∴ ，
将F坐标代入抛物线解析中，得 ，
解得 ；当 为对角线时，则 ，
∴ ，
将F坐标代入抛物线解析中，得 ，
解得 ， ；
综上，满足条件得m值为 或 或 或 ；
（3）解：设 ， ，
设直线 的解析式为 ，
由 得 ，
∴ ， ，则 ， ，
∴直线 的解析式为 ，
∵直线 经过定点 ，
∴ ，则 ，
∵直线 经过 点，与抛物线交于点 ，
∴ ，则 ，
∴直线 的解析式为 ，
由 得 ， ，
∴ ，
设直线 解析式为 ，
则 ，
解得 ，
∴直线 解析式为 ，
即 ，
当 时， ，
∴直线 必过定点 ．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式，平行
四边形的性质、中点坐标公式、抛物线与一次函数的交点问题，直线恒过定点问题、解一元二次方程等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用待定系数法、数形结合和分类
讨论思想求解是解答的关键．
课后训练
1．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线 与x轴交于点
A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图①，若点P为第一象限的抛物线上一点，直线 交x轴于点D，且 平分 ，
求点P的坐标；
(3)如图②，点Q为第四象限的抛物线上一点，直线BQ交y轴于点M，过点B作直线
，交y轴于点N，当Q点运动时，线段MN的长度是否会变化？若不变，请求出
其长度；若变化，请求出其长度的变化范围．
【答案】(1)
(2)
(3)线段 的长度不会改变，线段 的长度为12
【分析】（1）将 代入 中，得 ，令 ，即 ，
求出点 的坐标，进而求出 的值；
（2）设 交x轴于点D，过点D作 于点E，利用角平分线的性质可得 ，
证明 是等腰直角三角形，可得 ，然后求出点D的坐标，利用待
定系数法求出直线 解析式，然后把直线 解析式和抛物线解析式联立方程组即可求出
点P的坐标；（3）设 ，分别求出直线 、直线 的解析式，根据 可得
的解析式，可得出 、 的坐标，即可得线段 的长度．
【详解】（1）解：由图象，可知 ，
将 代入 中，得 ，
点 ，
，
令 ，即 ，
解得 ， ，
点A在点B的左侧，
点 ， ，
，
又 ，
，
解得 ，
抛物线的解析式为 ；
（2）解：设 交x轴于点D，过点D作 于点E，
，
平分 ， ，
，
又 ，
，
，
，
，
又 ，，
解得 ，
，
设直线 解析式为 ，
则 ，
解得 ，
∴ ，
联立方程组 ，
解得 （舍去）， ，
∴点P的坐标为 ；
（3）解：设 ，
，
设直线 的解析式为 ，
，解得 ，
直线 的解析式为 ，
当 时，
，
同理得：直线 的解析式为 ，
∵ ，
设 的解析式为 ，
，
，解得 ，
的解析式为 ，
当 是， ，，
线段 的长度为 ，
线段 的长度不会改变，线段 的长度为12．
【点睛】本题是二次函数综合题．考查了运用待定系数法求直线及抛物线的解析式、角平
分线的性质、勾股定理、求直线与抛物线的交点坐标等知识，掌握数形结合的思想把代数
和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键．
2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图像与x轴相交于点A、B，与y
轴相交于点C，其中B点的坐标为 ，点M为抛物线上的一个动点．
(1)二次函数图像的对称轴为直线 ．
①求二次函数的表达式；
②若点M与点C关于对称轴对称，则点M的坐标是________；
③在②的条件下，连接 ，在 上任意取一点P，过点P作x轴的平行线，与抛物线对
称轴左侧的图像交于点Q，求线段 的最大值；
(2)过点M作 的平行线，交抛物线于点N，设点M、N的横坐标为m、n，在点M运动的
过程中，试问 的值是否会发生改变？若改变，请说明理由；若不变，请求出 的
值．
【答案】(1)① ；② ；③
(2)m+n的值为定值3
【分析】（1）①根据点B的坐标和二次函数图象的对称轴即可求出二次函数解析式；
②根据二次函数的对称性求解即可；
③设 ，求出直线 的解析式，从而求出 ，即可
求出 的长与t的函数关系式，然后利用二次函数求最值即可；
（2）将 代入二次函数解析式中，求出二次函数解析式即可求出点C的坐标，然后
利用待定系数法求出直线 的解析式，根据一次函数的性质设出直线 的解析式，然后联立方程结合一元二次方程根与系数的关系即可得出结论．
【详解】（1）①由题意 ，
解得 ，
∴二次函数的解析式为 ．
②∵对称轴为直线 ，
∴ ；
③如图，
∵ ，
∴ 的表达式为
设 ，
∵ 轴
∴点P的纵坐标为
∴将 代入 得，
∴
∴
∴ 的最大值为 ；
（2）结论： 的值为定值3．
理由：如图，将 代入二次函数解析式中，得
解得：
∴二次函数解析式为
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
把 代入得到： ，
∴直线 的解析式为 ，
∵ ，
∴可以假设直线 的解析式为 ，
由 ，消去y得到： ，
∴ ，
∵点M、N的横坐标为m、n，
∴ ．
∴ 为定值， ．
【点睛】此题考查的是二次函数与一次函数的综合题型，掌握利用待定系数法求二次函数
解析式、一次函数解析式、利用二次函数求最值、一元二次方程根与系数的关系是解决此
题的关键．
3．如图，直线： 交 轴于点 ，交 轴于点 ，点 在 轴上， ，经
过点 ， 的抛物线： 交直线 于另一点 ．(1)求抛物线的解析式；
(2)点 为直线 上方抛物线上一点，过点 作 轴于点 ，交 于点 ．当
时，求点 的坐标；
(3)抛物线与 轴的另一个交点为 ，过点 的任意直线 （不与 轴平行）
与抛物线交于点 、 ，直线 、 分别交 轴于点 、 ，是否存在 的值使得
与 的积为定值？若存在，求 的值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，
【分析】（1）在 中，可得 ， ， ，即知 ，用待定系
数法得抛物线的解析式为 ；
（2）设 ，则 ， ，可得 ，
，由 ，得 ，即可解得 ；
（3）由 得 ，设 ， ，直线 的解析
式为 ，可得 ， ，同理得 ，
可得 ，从而 ，设直线 的解析式为
，有 ，根据韦达定理得 ， ，
可求得 ，故当 时， ．
【详解】（1）解：在 中，令 得 ，令 得 ，
， ， ，
，
， ，，
抛物线 经过 ， ，
，
解得 ，
抛物线的解析式为 ；
（2）设 ，则 ， ，
， ，
，
，
解得 或 （与 重合，舍去），
；
（3）存在 的值使得 与 的积为定值，理由如下：
在 中，令 得 ，
解得 或 ，
，
设 ， ，
设直线 的解析式为 ，
将点 代入 ，得 ，
直线 的解析式为 ，令 ，则 ，
，
，
设直线 的解析式为 ，
点 代入 ，得 ，
直线 的解析式为 ，
令 ，则 ，
，
，
，
设直线 的解析式为 ，
联立方程组 ，
，
， ，
，
当 时， 为定值2，
当 时， ．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，函数图象上点坐标的特征，二
次函数与一元二次方程的关系等知识，解题的关键是掌握二次函数相关性质，熟练应用二
次函数与一元二次方程的关系解决问题．
4．如图，抛物线 交 轴于 ， 两点（ 在 的左边）与 轴交于点 ．(1)如图1，已知 ，且点 的坐标为
①求抛物线的解析式；
②P为第四象限抛物线上一点， 交 轴于点 ，求 面积的最大值及此时点
的坐标．
(2)如图 ， 为 轴正半轴上一点，过点 作 交抛物线于 ， 两点（ 在
的左边），直线 ， 分别交 轴于 ， 两点，求 的值．
【答案】(1)① ；② ；(2)
【分析】（1）①根据题意得出 ， 待定系数法求解析式即可求解；
②设 ，又 ，求得直线 的解析式为 ，直线 的解
析式为 ，根据一次函数的平移的性质，得出 ，进而根据三角形
的面积公式表示出 ，根据二次函数的性质即可求解；
（2）设 的横坐标分别为 ，直线 的解析式为 ，消去 ，得出
，根据一元二次方程根与系数的关系求得
，则直线 的解析式为 ，同理求
得直线 的解析式为： ，直线 的解析式为：
，直线 的解析式为： ，进而求得 的
坐标，即可求解．
【详解】（1）解：①由 ，
当 ，解得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
将 ， 代入
∴
解得： ，
∴ ；
②设 ，又设直线 的解析式为 ，
即 ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
∵ ，
∴设直线 的解析式为 ，
则 ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， 取得最大值为 ， ，
∴ ；
（2）设 的横坐标分别为 ，直线 的解析式为
，消去 ，得
∴ ，
∴
∴直线 的解析式为
同理可得直线 的解析式为： ，
直线 的解析式为： ，
直线 的解析式为： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴又∵ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，面积问题，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌
握二次函数的性质是解题的关键．
5．如图1，已知一次函数 的图象与y轴，x轴相交于点A，B，抛物线
与y轴交于点C，顶点M在直线 上，设点M横坐标为m．
(1)如图2，当 时，求此时抛物线 的函数表达式；
(2)求当m为何值时，点C的纵坐标最大；
(3)如图3，当 时，此时的抛物线 与直线 相交于D，E两点，
连接 ， 并延长，分别与x轴交于P，Q两点．试探究 是否为定值？若是，
请求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)当 时，点C的纵坐标最大
(3)9
【分析】（1）当 时，根据顶点M在直线 上，可得抛物线顶点坐标M为 ，问
题随之得解；
（2）点M在直线 上，即 ，代入抛物线解析式为
，即 ，可得点C的纵坐标为 ，问
题随之得解；
（3）当 时，可知抛物线 的顶点在y轴上，可得抛物线解析式为
， ，即 ， ，设直线
，即P点坐标为： ，联立 ，可得，同理设直线 ，即Q点坐标为： ，即可得
，根据 ， ，可得 .
【详解】（1）当 时， ，即 ；
当 时， ，则有 ，即 ；
当 时，根据顶点M在直线 上，
可得抛物线顶点坐标M为 ，
抛物线解析式为 ，
即 ；
（2）由题知，点M在直线 上，
，
抛物线解析式为 ，即 ，
点C的纵坐标为 ，
，
当 时，点C的纵坐标最大．
（3）当 时，可知抛物线 的顶点在y轴上，
即抛物线 的对称轴为 ，
即 ，
∴ ，
结合根据顶点M在直线 上以及 ，
则有： ，
，
即 ， ，
∵ ，
设直线 ，即P点坐标为： ，联立 ，
，
同理设直线 ，即Q点坐标为： ，
，
，
，
又P点坐标为： ，Q点坐标为： ，
， ，
.
【点睛】本题是一次函数、二次函数与一元二次方程的综合题，考查了二次函数的图象与
性质，一元二次方程的根与系数的关系，利用待定系数法求解一次函数解析式等知识，掌
握一元二次方程的根与系数的关系，是解答本题的关键．
