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5.5 解三角形与其他知识的综合运用（精练）
1．（2023·云南曲靖·统考模拟预测）2010年9月16日，曲靖市麒麟区寥廓山顶的靖宁宝塔竣工开放，成
为曲靖当地的又一标志性建筑.某中学数学兴趣小组为了测量宝塔高度，在如图所示的点A处测得塔底位于
其北偏东60°方向上的D点处，塔顶C的仰角为60°.在A的正东方向且距A点64 的点B处测得塔底在其
北偏西45°方向上（A､B､D在同一水平面内），则靖宁宝塔的高度 约为（ ）（参考数据：
）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，由题意得， .
在 中，由正弦定理得 ，
，
，且 ，
在 中， .
故选：C.
2．（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）长沙烈士公园西南小丘上兴建了烈士纪念塔，纪念为
人民解放事业牺牲的湖南革命烈士，它是公园的标志.为了测量纪念塔的实际高度，某同学设计了如下测量
方案：在烈士纪念塔底座平面的 点位置测得纪念塔顶端仰角的正切值为 ，然后直线走了20 ，抵达纪
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】念塔底座平面 点位置测得纪念塔顶端的仰角为 .已知该同学沿直线行进的方向与他第一次望向烈士纪念
塔底端的方向所成角为 ，则该烈士纪念塔的高度约为（ ）
A．30 B．45 C．60 D．75
【答案】C
【解析】由题设，如下图纪念塔为 ，且 为底部， 为顶部， ，
由 ， ，而 ，
若 ，则 ， ，
在△ 中 ，
所以 ，即 ，可得 ，
所以 米.
故选：C
3．（2023·广东深圳·红岭中学校考模拟预测）古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著
作，也为地图学提供了数学基础．现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点A是球体建
筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧．若在
B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC 100 m，则该球体建筑物的高度约为（ ）
（cos10° ≈ 0.985）
A．49.25 m B．50.76 m
C．56.74 m D．58.60 m
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】B
【解析】如图，
设球的半径为
，
，
，
故选：B
4．（2023·四川·模拟预测）在 中，角 的对边分别为 ，已知三个向量 ，
共线，则 的形状为（ ）
A．等边三角形 B．钝角三角形
C．有一个角是 的直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【解析】 向量 ， 共线， ，
由正弦定理得： ，
，则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】， ， ，即 ．
同理可得 ．
形状为等边三角形．
故选：A．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知 内角A､B､C所对的边分别为a､b､c面积为S，若
， ，则 的形状是（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【解析】由题设及正弦定理边角关系有 ，而 且 ，
所以 ，又 ，可得 ，
所以 ，故 ，
而 ，又 ，
所以 ，故 ， ，可得 ，
综上， 为正三角形.
故选：C
6．（2023·全国·高三专题练习）在 中，若 ，则 是的形状为
（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
【答案】C
【解析】由 ，可得 ，
又由余弦定理，可得 ，
整理得 ，所以 是直角三角形.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故选：C.
7．（2023·全国·高三专题练习）保定市主城区开展提升城市“新颜值”行动以来，有一街边旧房拆除后，
打算改建成矩形花圃 ，中间划分出直角三角形 区域种玫瑰，直角顶点 在边 上，且距离
点 ，距离 点 ，且 、 两点分别在边 和 上，已知 ，则玫瑰园的最小面积为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图所示，
设 ，则 ， ，
所以 ， ，
所以 ，
又 、 两点分别在边 和 上，
所以 ， ，所以 ，
所以 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 ，
即 的最小值为 ，
故选：A.
8．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·高三齐齐哈尔市实验中学校联考阶段练习）（多选）在学习了解三角形的知
识后，为了锻炼实践能力，某同学搞了一次实地测量活动 他位于河东岸，在靠近河岸不远处有一小湖，他
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】于点 处测得河对岸点 位于点 的南偏西 的方向上，由于受到地势的限制，他又选了点 ， ， ，
使点 ， ， 共线，点 位于点 的正西方向上，点 位于点 的正东方向上，测得 ，
， ， ，并经过计算得到如下数据，则其中正确的是（ ）
A． B． 的面积为
C． D．点 在点 的北偏西 方向上
【答案】AC
【解析】对于 ，因为 ，点 位于点 的南偏西 的方向上，
所以 ， ， ，
又 ， ， ， ，
在 ， 中， ， ，所以
，故A正确；
对于 ， 的面积为 ，故B错误；
对于 ，在 中，由正弦定理，得 ，解得
，故C正确；
对于 ，过点 作 于点 ，易知 ，所以 ，故D错误，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故选： ．
9．（2023·山东济南·统考三模）山东省科技馆新馆目前成为济南科教新地标（如图1），其主体建筑采用
与地形吻合的矩形设计，将数学符号“ ”完美嵌入其中，寓意无限未知､无限发展､无限可能和无限的科
技创新.如图2，为了测量科技馆最高点A与其附近一建筑物楼顶B之间的距离，无人机在点C测得点A和
点B的俯角分别为75°，30°，随后无人机沿水平方向飞行600米到点D，此时测得点A和点B的俯角分别
为45°和60°（A，B，C，D在同一铅垂面内），则A，B两点之间的距离为______米.
【答案】
【解析】由题意， ，所以 ，
所以在 中， ， ，
又 ，所以 ，
在 中，由正弦定理得， ，所以 ，
在 中， ，
由余弦定理得，
，
所以 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故答案为：
10．（2023·广东广州·统考模拟预测）海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留
宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间
的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得 ， ， ，
，则A、B两点的距离为___________m．
【答案】
【解析】因为 ， ，所以 ， ，所以
，
又因为 ，所以 ， ，
在 中，由正弦定理得 ，即 ，解得 ，
在 中，由余弦定理得 ，
所以 ，解得 ．
故答案为：
11．（2023·湖南）在锐角 中，内角 的对边分别为 ，且满足 .
(1)求角 的大小；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)求 的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】（1）
整理得 ，故
又 ，所以 ；
（2）由锐角 知 ，
得 ，
故
，
因为 ，得 ，
所以 .
12．（2023·河北）设函数 ，其中向量 ， .
(1)求 的最小值；
(2)在△ 中， ， ， 分别是角 ， ， 所对的边，已知 ， ，△ 的面积为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】求 的值.
【答案】(1) ；
(2) .
【解析】（1）由题设， ，
所以，当 时 的最小值为 .
（2）由 ，得： ，则 ，又 ，
所以 ，故 ，则 .
由 ，可得： .
在△ 中，由余弦定理得： ，
所以 .
由 ，则 .
13．（2023·北京）已知 、 、 分别为 的三个内角 、 、 的对边，设 ，
，若 ．
（1）求角 ；
（2）若 是锐角三角形，求 的取值范围．
【答案】（1） ；（2） .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】（1）因为 ， ，且 ，所以， ，
由余弦定理可得 ，整理可得 ，
由余弦定理得 ，
，因此， ；
（2） 且 为锐角三角形，则 ，即 ，解得 ，
所以， ，
，所以， ，则 ，
故 .
14．（2023·西藏）已知 ， ， ，其中 ，若
的最小正周期为 .
（1）求函数 的单调递减区间；
（2）锐角 中， ，求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）由题意可知：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
因为 的最小正周期为 ，则 ，所以， ， ，
令 ， ，
解得 ， ，
所以，函数 的单调递减区间为 ；
（2） ，由正弦定理可得 ，
所以， ，
为锐角，则 ，
所以， ，即 ， 为锐角，所以， ，
因为 为锐角，则 ，即 ，解得 ，
所以， ， ，
因此， 的取值范围是 .
15．（2023·广东深圳·统考模拟预测）如图，已知 为 的直径，点 、 在 上， ，垂足
为 ， 交 于 ，且 ．
(1)求证： ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)如果 ， ，求 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)8
【解析】（1）证明：连接 ，
，
，
，
又 是 的直径，
，
，
，
又 ，
，
，
，
，
．
（2）解： ，
，
，
是 的直径，
，
，
，且 为锐角，
，
由（1）得 ，
，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】在 中，
，即 ．
16．（2023·江苏·统考模拟预测）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 ， ， 成
等比数列，且 .
(1)求 ；
(2)若 ，延长 至 ，使 的面积为 ，求 .
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由 ， ， 成等比数列可知， ，
由正弦定理，可得 ，
又 ，
，
即 ，又 ，即 ，
所以 ，所以 或 ，
由 ， ， 成等比数列可知， 不为最大角，故 .
所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又 ， ，所以 ，
所以 ，故 .
（2）由（1）及 可知， 是边长为 的正三角形，
过 作 垂足为 ,则 ，
所以 ，
所以 ，所以 .
在 中，由余弦定理，得
，
在 中，由正弦定理，得 .
17．（2023·全国·高三专题练习）人类从未停下对自然界探索的脚步，位于美洲大草原点 处正上空
的点 处，一架无人机正在对猎豹捕食羚羊的自然现象进行航拍．已知位于点 西南方向的草从
处潜伏着一只饥饿的猎豹，猎豹正盯着其东偏北15°方向上点 处的一只羚羊，且无人机拍摄猎豹的俯
角为45°，拍摄羚羊的俯角为60°，假设A，B，C三点在同一水平面上．
(1)求此时猎豹与羚羊之间的距离 的长度；
(2)若此时猎豹到点 处比到点 处的距离更近，且开始以 的速度出击，与此同时机警的羚羊以
的速度沿北偏东15°方向逃跑，已知猎豹受耐力限制，最多能持续奔跑 ，试问猎豹这次捕猎是
否有成功的可能?请说明原因．
【答案】(1)分类讨论，答案见解析；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)不能捕猎成功，原因见解析.
【解析】（1）由题意作图如下：
则 ， ，
， ．
由正弦定理 ，可得 ．
因此 或120°，
当 时， ，猎豹与羚羊之间的距离为 ，
当 ， ，猎豹与羚羊之间的距离为 .
（2）由题意作图如下：
设捕猎成功所需的最短时间为t，
在 中， ， ， ， ．
由余弦定理得： ．
整理得： ．
方法1：设 ，显然 ，
因猎豹能坚持奔跑最长时间为24s，且 ．
∴猎豹不能捕猎成功．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】18．（2023春·陕西榆林·高三绥德中学校考阶段练习）在 中， 为 的角平分线上
一点，且与 分别位于边 的两侧，若
(1)求 的面积;
(2)若 ，求 的长.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）在 中， ，
即 ，解得 (负根舍)，
所以 .
（2）因为 ， 平分 ，所以 ，
又 ，所以 ，
在 中，由正弦定理，得 ，①
在 中，由正弦定理，得 ，②
① ②，得 ，所以 ，
又 ，且 ，所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】将 代入②，得 ，所以 .
19（2023·江苏·高三专题练习）如图，在平面四边形ABCD中， ， ， ， ．
(1)若 ，求 ；
(2)记 与 的面积分别记为 和 ，求 的最大值．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）∵ ，∴ ，
， ，
， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴
；
（2）设 ， ，∴ ，
∴ ，∴ ，①
，
当且仅当 ， 时取最大值 ；
综上， ， 的最大值是 .
20.（2023·上海徐汇·统考一模）近年来,为“加大城市公园绿地建设力度,形成布局合理的公园体系”,许多
城市陆续建起众多“口袋公园”、现计划在一块边长为200米的正方形的空地上按以下要求建造“口袋公
园”、如图所示,以 中点A为圆心, 为半径的扇形草坪区 ,点 在弧BC上（不与端点重合）,AB、
弧BC、CA、PQ、PR、RQ为步行道,其中PQ与AB垂直,PR与AC垂直.设 .
(1)如果点P位于弧BC的中点,求三条步行道PQ、PR、RQ的总长度;
(2)“地摊经济”对于“拉动灵活就业、增加多源收入、便利居民生活”等都有积极作用.为此街道允许在步
行道PQ、PR、RQ开辟临时摊点,积极推进“地摊经济”发展,预计每年能产生的经济效益分别为每米5万
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】元、5万元及5.9万元.则这三条步行道每年能产生的经济总效益最高为多少?（精确到1万元）
【答案】(1) (米)
(2)2022万元
【解析】（1）解:由题 ,
,同理 ,故 ,
由于点P位于弧BC的中点,所以点P位于 的角平分线上,
则 ,
,
因为 , ,
所以 为等边三角形,
则 ,
因此三条街道的总长度为 （米）.
（2）由图可知 ,
,
,
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】,
在 中由余弦定理可知:
,
则 ,
设三条步行道每年能产生的经济总效益 ,则
,
当 即 时 取最大值,
最大值为 .
答:三条步行道每年能产生的经济总效益最高约为2022万元.
21．（2023·广东深圳·统考模拟预测）如图，某巡逻艇在A处发现北偏东30°相距 海里的B处有一
艘走私船，正沿东偏南45°的方向以3海里 小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以 海里 小时的速
度沿着正东方向直线追去，1小时后，巡逻艇到达C处，走私船到达D处，此时走私船发现了巡逻艇，立
即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以 海里 小时的速度沿着直线追击
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里
(2)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船
【答案】(1)两船相距 海里.
(2)巡逻艇应该北偏东 方向去追，才能最快追上走私船.
【解析】（1）由题意知，当走私船发现了巡逻艇时，走私船在D处，巡逻艇在C处，此时
，
由题意知
在 中，
由余弦定理得
所以
在 中， 由正弦定理得 ，即
所以 （ 舍去）
所在
又
在 中，
由余弦定理得
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
故当走私船发现了巡逻艇时，两船相距 海里.
（2）当巡逻艇经过 小时经 方向在 处追上走私船，
则
在 中，由正弦定理得：
则
所以 ，
在 中，由正弦定理得：
则 ，故 （ 舍）
故巡逻艇应该北偏东 方向去追，才能最快追上走私船.
22．（2023·上海·高三专题练习）某公园要建造如图所示的绿地 ， 、 为互相垂直的墙体，已
有材料可建成的围栏 与 的总长度为 米，且 ．设 （ ）．
(1)当 ， 时，求 的长；（结果精确到 米）
(2)当 时，求 面积 的最大值及此时 的值．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】(1) 米
(2)当 时，养殖场 最大的面积为 平方米
【解析】（1）在 中， ， ， ，由余弦定理，得
，故 ．
因此 的长约为 米．
（2）连接 ．由题意， ， ，
在△ 中，由正弦定理 ，得 ．
于是
， ．当 ，即
时， 取到最大值，最大值为 ．因此，当 时，养殖场 最大的面积为
平方米
23．（2023·全国·高三专题练习）如图，某公园拟划出形如平行四边形 的区域进行绿化，在此绿化
区域中，分别以 和 为圆心角的两个扇形区域种植花卉，且这两个扇形的圆弧均与 相切.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)若 ， ， （长度单位：米），求种植花卉区域的面积；
(2)若扇形的半径为10米，圆心角为 ，则 多大时，平行四边形绿地 占地面积最小？
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由余弦定理， ，故 ，
又由正弦定理有 ，故 ，所以扇形的半径
，故种植花卉区域的面积
（2）设 ，则 ，故 ， ，故平行四边形
绿地 占地面积
，因为 ，故要 面积最小，则当 ，
即 ， 时 面积取得最小值，即 多大时，平行四边形绿地 占
地面积最小
24．（2023·全国·高三专题练习）在平面四边形 中， 为等边三角形，设
.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)求四边形 面积的最大值，以及相应 的值；
(2)求四边形 对角线 长度的最大值，以及相应 的值.
【答案】(1) ； ；
(2) ；
【解析】（1）由题意， 为等边三角形，∴ ，
在 中， ，
∴ ， ，
∴四边形 面积为
，
因为 ，∴ ，即 时，
四边形 面积最大，此时
（2）设 ，由正弦定理得 ，
由余弦定理得， ，
∴ ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 ，即 时， ，
即 的最大值为 .
25．（2023·上海）如图，在 中， 分别是 的中点．从条件① ；
② 中选择一个作为已知条件，完成以下问题：
(1)求 的余弦值；
(2)若 相交于点 ，求 的余弦值．
（注：若两个条件都选择作答，则按第一个条件作答内容给分）
【答案】(1)条件选择见解析，
(2)条件选择见解析，
【解析】（1）若选择条件①：
在 中，由余弦定理可求得 ，
．
若选择条件②：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】在 中， ， ，由余弦定理可求得 ，
所以 ，在 中，由余弦定理可求得 ．
．
（2）若选择条件①：
在 中，由余弦定理可求得 ，
由于 分别是 的中点，所以 ，则 ， ， ，
在 中，由余弦定理可得 ．
连接 ，由 ，可得 ，则 ．
所以 ， ，
在 中，余弦定理求得 ．
若选择条件②：
由于 分别是 的中点，所以 ，
则 ， ， ，在 中，由余弦定理可得
．
连接 ，由 ，可得 ，则 ．
所以 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】在 中，余弦定理求得 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
