文档内容
2020年贵州省铜仁市中考数学试卷
一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）本题每小题均有A、B、C、D四个备
选答案，其中只有一个是正确的，请你将正确答案的序号填涂在相应的答题卡上
1．（4分）﹣3的绝对值是（ ）
A．﹣3 B．3 C． D．﹣
2．（4分）我国高铁通车总里程居世界第一，预计到2020年底，高铁总里程大约39000千米，
39000用科学记数法表示为（ ）
A．39×103 B．3.9×104 C．3.9×10﹣4 D．39×10﹣3
3．（4分）如图，直线AB∥CD，∠3＝70°，则∠1＝（ ）
A．70° B．100° C．110° D．120°
4．（4分）一组数据4，10，12，14，则这组数据的平均数是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
5．（4分）已知△FHB∽△EAD，它们的周长分别为30和15，且FH＝6，则EA的长为（ ）
A．3 B．2 C．4 D．5
6．（4分）实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．a＞b B．﹣a＜b C．a＞﹣b D．﹣a＞b
7．（4分）已知等边三角形一边上的高为2 ，则它的边长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．4
8．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P沿折线BCD从点B开始运动到点
D，设点P运动的路程为x，△ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（
）
第1页（共27页）A． B．
C． D．
9．（4分）已知m、n、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m、n是关于x的一元
二次方程x2﹣6x+k+2＝0的两个根，则k的值等于（ ）
A．7 B．7或6 C．6或﹣7 D．6
10．（4分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，BE＝1，∠DAM＝45°，点F在射
线AM上，且AF＝ ，过点F作AD的平行线交BA的延长线于点H，CF与AD相交于点
G，连接EC、EG、EF．下列结论： △ECF的面积为 ； △AEG的周长为8； EG2＝
① ② ③
DG2+BE2；其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
第2页（共27页）
①②③ ①③ ①② ②③二、填空题：（本题共8个小题，每小题4分，共32分）
11．（4分）因式分解：a2+ab﹣a＝ ．
12．（4分）方程2x+10＝0的解是 ．
13．（4分）已知点（2，﹣2）在反比例函数y＝ 的图象上，则这个反比例函数的表达式是
．
14．（4分）函数y＝ 中，自变量x的取值范围是 ．
15．（4分）从﹣2，﹣1，2三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标，则该点在第三象限的概
率等于 ．
16．（4分）设AB，CD，EF是同一平面内三条互相平行的直线，已知AB与CD的距离是
12cm，EF与CD的距离是5cm，则AB与EF的距离等于 cm．
17．（4分）如图，在矩形ABCD中，AD＝4，将∠A向内翻折，点A落在BC上，记为A ，折痕为
1
DE．若将∠B沿EA 向内翻折，点B恰好落在DE上，记为B ，则AB＝ ．
1 1
18．（4分）观察下列等式：
2+22＝23﹣2；
2+22+23＝24﹣2；
2+22+23+24＝25﹣2；
2+22+23+24+25＝26﹣2；
…
已知按一定规律排列的一组数：220，221，222，223，224，…，238，239，240，若220＝m，则
220+221+222+223+224+…+238+239+240＝ （结果用含m的代数式表示）．
三、解答题：（本题共4个小题，第19题每小题10分，第20，21，22题每小题10分，共40分，
要有解题的主要过程）
19．（10分）（1）计算：2÷ ﹣（﹣1）2020﹣ ﹣（ ﹣ ）0．
（2）先化简，再求值：（a+ ）÷（ ），自选一个a值代入求值．
第3页（共27页）20．（10分）如图，∠B＝∠E，BF＝EC，AC∥DF．求证：△ABC≌△DEF．
21．（10分）某校计划组织学生参加学校书法、摄影、篮球、乒乓球四个课外兴趣小组，要求每
人必须参加并且只能选择其中的一个小组，为了了解学生对四个课外小组的选择情况，学
校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果制成如图所示的两幅不
完整的统计图，请你根据给出的信息解答下列问题：
（1）求该校参加这次问卷调查的学生人数，并补全条形统计图（画图后请标注相应的数
据）；
（2）m＝ ，n＝ ；
（3）若该校共有2000名学生，试估计该校选择“乒乓球”课外兴趣小组的学生有多少人？
22．（10分）如图，一艘船由西向东航行，在A处测得北偏东60°方向上有一座灯塔C，再向东
继续航行60km到达B处，这时测得灯塔C在北偏东30°方向上，已知在灯塔C的周围
47km内有暗礁，问这艘船继续向东航行是否安全？
第4页（共27页）四、（本大题满分12分）
23．（12分）某文体商店计划购进一批同种型号的篮球和同种型号的排球，每一个排球的进价
是每一个篮球的进价的90%，用3600元购买排球的个数要比用3600元购买篮球的个数
多10个．
（1）问每一个篮球、排球的进价各是多少元？
（2）该文体商店计划购进篮球和排球共100个，且排球个数不低于篮球个数的3倍，篮球
的售价定为每一个100元，排球的售价定为每一个90元．若该批篮球、排球都能卖完，问
该文体商店应购进篮球、排球各多少个才能获得最大利润？最大利润是多少？
五、（本大题满分12分）
24．（12分）如图，AB是 O的直径，C为 O上一点，连接AC，CE⊥AB于点E，D是直径AB
延长线上一点，且∠⊙BCE＝∠BCD． ⊙
（1）求证：CD是 O的切线；
⊙
（2）若AD＝8， ＝ ，求CD的长．
第5页（共27页）六、（本大题满分14分）
25．（14分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+6经过两点A（﹣1，0），B（3，0），C是抛物线与y轴
的交点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设△PBC的面积为S，求S
关于m的函数表达式（指出自变量m的取值范围）和S的最大值；
（3）点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M、点N使得∠CMN＝90°，且
△CMN与△OBC相似，如果存在，请求出点M和点N的坐标．
第6页（共27页）2020年贵州省铜仁市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）本题每小题均有A、B、C、D四个备
选答案，其中只有一个是正确的，请你将正确答案的序号填涂在相应的答题卡上
1．（4分）﹣3的绝对值是（ ）
A．﹣3 B．3 C． D．﹣
【分析】直接利用绝对值的定义分析得出答案．
【解答】解：﹣3的绝对值是：3．
故选：B．
【点评】此题主要考查了绝对值，正确把握绝对值的定义是解题关键．
2．（4分）我国高铁通车总里程居世界第一，预计到2020年底，高铁总里程大约39000千米，
39000用科学记数法表示为（ ）
A．39×103 B．3.9×104 C．3.9×10﹣4 D．39×10﹣3
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是
易错点，由于39000有5位，所以可以确定n＝5﹣1＝4．
【解答】解：39000＝3.9×104．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定n值是关键．
3．（4分）如图，直线AB∥CD，∠3＝70°，则∠1＝（ ）
A．70° B．100° C．110° D．120°
【分析】直接利用平行线的性质得出∠1＝∠2，进而得出答案．
【解答】解：∵直线AB∥CD，
∴∠1＝∠2，
∵∠3＝70°，
第7页（共27页）∴∠1＝∠2＝180°﹣70°＝110°．
故选：C．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，正确得出相等的角是解题关键．
4．（4分）一组数据4，10，12，14，则这组数据的平均数是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【分析】对于n个数x ，x ，…，x ，则 ＝ （x +x +…+x ）就叫做这n个数的算术平均数，据
1 2 n 1 2 n
此列式计算可得．
【解答】解：这组数据的平均数为 ×（4+10+12+14）＝10，
故选：B．
【点评】本题主要考查算术平均数，解题的关键是掌握算术平均数的定义：对于n个数x ，
1
x ，…，x ，则 ＝ （x +x +…+x ）就叫做这n个数的算术平均数．
2 n 1 2 n
5．（4分）已知△FHB∽△EAD，它们的周长分别为30和15，且FH＝6，则EA的长为（ ）
A．3 B．2 C．4 D．5
【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比解答．
【解答】解：∵△FHB和△EAD的周长分别为30和15，
∴△FHB和△EAD的周长比为2：1，
∵△FHB∽△EAD，
∴ ＝2，即 ＝2，
解得，EA＝3，
故选：A．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的
关键．
6．（4分）实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．a＞b B．﹣a＜b C．a＞﹣b D．﹣a＞b
【分析】根据数轴即可判断a和b的符号以及绝对值的大小，根据有理数的大小比较方法
进行比较即可求解．
第8页（共27页）【解答】解：根据数轴可得：a＜0，b＞0，且|a|＞|b|，
则a＜b，﹣a＞b，a＜﹣b，﹣a＞b．
故选：D．
【点评】本题考查了利用数轴表示数，根据数轴确定a和b的符号以及绝对值的大小是关
键．
7．（4分）已知等边三角形一边上的高为2 ，则它的边长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．4
【分析】根据等边三角形的性质：三线合一，利用勾股定理求解即可．
【解答】解：根据等边三角形：三线合一，
设它的边长为x，可得： ，
解得：x＝4，x＝﹣4（舍去），
故选：C．
【点评】本题考查等边三角形的性质及勾股定理，较为简单，解题的关键是掌握勾股定理．
8．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P沿折线BCD从点B开始运动到点
D，设点P运动的路程为x，△ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（
）
A． B．
C． D．
第9页（共27页）【分析】分别求出0≤x≤4、4＜x＜7时函数表达式，即可求解．
【解答】解：由题意当0≤x≤4时，
y＝ ×AD×AB＝ ×3×4＝6，
当4＜x＜7时，
y＝ ×PD×AD＝ ×（7﹣x）×4＝14﹣2x．
故选：D．
【点评】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想
思考问题，属于中考常考题型．
9．（4分）已知m、n、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m、n是关于x的一元
二次方程x2﹣6x+k+2＝0的两个根，则k的值等于（ ）
A．7 B．7或6 C．6或﹣7 D．6
【分析】当m＝4或n＝4时，即x＝4，代入方程即可得到结论，当m＝n时，即△＝（﹣6）2
﹣4×（k+2）＝0，解方程即可得到结论．
【解答】解：∵m、n、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，
∴当m＝4或n＝4时，即x＝4，
∴方程为42﹣6×4+k+2＝0，
解得：k＝6，
当m＝n时，即△＝（﹣6）2﹣4×（k+2）＝0，
解得：k＝7，
综上所述，k的值等于6或7，
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程的解，等腰三角形的性质，正确的理解题意
是解题的关键．
10．（4分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，BE＝1，∠DAM＝45°，点F在射
线AM上，且AF＝ ，过点F作AD的平行线交BA的延长线于点H，CF与AD相交于点
第10页（共27页）G，连接EC、EG、EF．下列结论： △ECF的面积为 ； △AEG的周长为8； EG2＝
① ② ③
DG2+BE2；其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分①析②】先③判断出∠H＝9①0°，③进而求出AH＝HF①＝1②＝BE．进而判断出②△③EHF≌△CBE
（SAS），得出EF＝EC，∠HEF＝∠BCE，判断出△CEF是等腰直角三角形，再用勾股定理
求出EC2＝17，即可得出 正确；
先判断出四边形APFH是①矩形，进而判断出矩形AHFP是正方形，得出AP＝PF＝AH＝1，
同理：四边形 ABQP 是矩形，得出 PQ＝4，BQ＝1，FQ＝5，CQ＝3，再判断出
△FPG∽△FQC，得出 ，求出PG＝ ，再根据勾股定理求得EG＝ ，即△AEG
的周长为8，判断出 正确；
②
先求出DG＝ ，进而求出DG2+BE2＝ ，在求出EG2＝ ≠ ，判断出 错误，
③
即可得出结论．
【解答】解：如图，在正方形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝AD＝4，∠B＝∠BAD＝90°，
∴∠HAD＝90°，
∵HF∥AD，
∴∠H＝90°，
∵∠HAF＝90°﹣∠DAM＝45°，
∴∠AFH＝∠HAF．
∵AF＝ ，
∴AH＝HF＝1＝BE．
∴EH＝AE+AH＝AB﹣BE+AH＝4＝BC，
第11页（共27页）∴△EHF≌△CBE（SAS），
∴EF＝EC，∠HEF＝∠BCE，
∵∠BCE+∠BEC＝90°，
∴HEF+∠BEC＝90°，
∴∠FEC＝90°，
∴△CEF是等腰直角三角形，
在Rt△CBE中，BE＝1，BC＝4，
∴EC2＝BE2+BC2＝17，
∴S△ECF ＝ EF•EC＝ EC2＝ ，故 正确；
①
过点F作FQ⊥BC于Q，交AD于P，
∴∠APF＝90°＝∠H＝∠HAD，
∴四边形APFH是矩形，
∵AH＝HF，
∴矩形AHFP是正方形，
∴AP＝PF＝AH＝1，
同理：四边形ABQP是矩形，
∴PQ＝AB＝4，BQ＝AP＝1，FQ＝FP+PQ＝5，CQ＝BC﹣BQ＝3，
∵AD∥BC，
∴△FPG∽△FQC，
∴ ，
∴ ，
∴PG＝ ，
∴AG＝AP+PG＝ ，
在Rt△EAG中，根据勾股定理得，EG＝ ＝ ，
∴△AEG的周长为AG+EG+AE＝ + +3＝8，故 正确；
②
∵AD＝4，
第12页（共27页）∴DG＝AD﹣AG＝ ，
∴DG2+BE2＝ +1＝ ，
∵EG2＝（ ）2＝ ≠ ，
∴EG2≠DG2+BE2，故 错误，
∴正确的有 ， ③
故选：C． ①②
【点评】此题主要考查了正方形的性质和判断，全等三角形的判定和性质，相似三角形的
判定和性质，勾股定理，求出AG是解本题的关键．
二、填空题：（本题共8个小题，每小题4分，共32分）
11．（4分）因式分解：a2+ab﹣a＝ a （ a + b ﹣ 1 ） ．
【分析】原式提取公因式即可．
【解答】解：原式＝a（a+b﹣1）．
故答案为：a（a+b﹣1）．
【点评】此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．
12．（4分）方程2x+10＝0的解是 x ＝﹣ 5 ．
【分析】方程移项，把x系数化为1，即可求出解．
【解答】解：方程2x+10＝0，
移项得：2x＝﹣10，
解得：x＝﹣5．
故答案为：x＝﹣5．
【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解本题的关键．
第13页（共27页）13．（4分）已知点（2，﹣2）在反比例函数y＝ 的图象上，则这个反比例函数的表达式是 y
＝﹣ ．
【分析】把点（2，﹣2）代入反比例函数y＝ （k≠0）中求出k的值，从而得到反比例函数解
析式．
【解答】解：∵反比例函数y＝ （k≠0）的图象上一点的坐标为（2，﹣2），
∴k＝﹣2×2＝﹣4，
∴反比例函数解析式为y＝﹣ ，
故答案为：y＝﹣ ．
【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式、以及反比例函数图象上点的坐标
特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
14．（4分）函数y＝ 中，自变量x的取值范围是 x ≥ 2 ．
【分析】因为当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数，所以2x﹣4≥0，可求x的范
围．
【解答】解：2x﹣4≥0
解得x≥2．
【点评】此题主要考查：当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
15．（4分）从﹣2，﹣1，2三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标，则该点在第三象限的概
率等于 ．
【分析】画树状图得出所有等可能结果，从中找到该点在第三象限的结果数，再利用概率
公式求解可得．
【解答】解：画树状图如下
共有6种等可能情况，该点在第三象限的情况数有（﹣2，﹣1）和（﹣1，﹣2）这2种结果，
第14页（共27页）∴该点在第三象限的概率等于 ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不
遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成
的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
16．（4分）设AB，CD，EF是同一平面内三条互相平行的直线，已知AB与CD的距离是
12cm，EF与CD的距离是5cm，则AB与EF的距离等于 7 或 1 7 cm．
【分析】分两种情况讨论，EF在AB，CD之间或EF在AB，CD同侧，进而得出结论．
【解答】解：分两种情况：
当EF在AB，CD之间时，如图：
①
∵AB与CD的距离是12cm，EF与CD的距离是5cm，
∴EF与AB的距离为12﹣5＝7（cm）．
当EF在AB，CD同侧时，如图：
②
∵AB与CD的距离是12cm，EF与CD的距离是5cm，
∴EF与AB的距离为12+5＝17（cm）．
综上所述，EF与AB的距离为7cm或17cm．
故答案为：7或17．
【点评】本题考查了平行线之间的距离．解题的关键是掌握平行线之间的距离的定义，从
一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．
17．（4分）如图，在矩形ABCD中，AD＝4，将∠A向内翻折，点A落在BC上，记为A ，折痕为
1
DE．若将∠B沿EA 向内翻折，点B恰好落在DE上，记为B ，则AB＝ ．
1 1
第15页（共27页）【分析】依据△A DB ≌△A DC（AAS），即可得出A C＝A B ，再根据折叠的性质，即可得
1 1 1 1 1 1
到A C＝ BC＝2，最后依据勾股定理进行计算，即可得到CD的长，即AB的长．
1
【解答】解：由折叠可得，A D＝AD＝4，∠A＝∠EA D＝90°，∠BA E＝∠B A E，BA ＝
1 1 1 1 1 1
B A ，∠B＝∠A B E＝90°，
1 1 1 1
∴∠EA B +∠DA B ＝90°＝∠BA E+∠CA D，
1 1 1 1 1 1
∴∠DA B ＝∠CA D，
1 1 1
又∵∠C＝∠A B D，A D＝A D，
1 1 1 1
∴△A DB ≌△A DC（AAS），
1 1 1
∴A C＝A B ，
1 1 1
∴BA ＝A C＝ BC＝2，
1 1
∴Rt△A CD中，CD＝ ＝ ，
1
∴AB＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了折叠问题以及勾股定理的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴
对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
18．（4分）观察下列等式：
2+22＝23﹣2；
2+22+23＝24﹣2；
2+22+23+24＝25﹣2；
2+22+23+24+25＝26﹣2；
…
已知按一定规律排列的一组数：220，221，222，223，224，…，238，239，240，若220＝m，则
220+221+222+223+224+…+238+239+240＝ m （ 2 m ﹣ 1 ） （结果用含m的代数式表示）．
第16页（共27页）【分析】由题意可得220+221+222+223+224+…+238+239+240＝220（1+2+22+…+219+220）＝220
（1+221﹣2）＝2 20（220×2﹣1），再将220＝m代入即可求解．
【解答】解：∵220＝m，
∴220+221+222+223+224+…+238+239+240
＝220（1+2+22+…+219+220）
＝220（1+221﹣2）
＝m（2m﹣1）．
故答案为：m（2m﹣1）．
【点评】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应
用发现的规律解决问题．解决本题的难点在于得出规律：2+22+23+…+2n＝2n+1﹣2．
三、解答题：（本题共4个小题，第19题每小题10分，第20，21，22题每小题10分，共40分，
要有解题的主要过程）
19．（10分）（1）计算：2÷ ﹣（﹣1）2020﹣ ﹣（ ﹣ ）0．
（2）先化简，再求值：（a+ ）÷（ ），自选一个a值代入求值．
【分析】（1）原式利用除法法则，乘方的意义，算术平方根定义，以及零指数幂法则计算即
可求出值；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约
分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
【解答】解：（1）原式＝2×2﹣1﹣2﹣1
＝4﹣1﹣2﹣1
＝0；
（2）原式＝ •
＝ •
＝﹣ ，
当a＝0时，原式＝﹣3．
【点评】此题考查了分式的化简求值，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关
键．
第17页（共27页）20．（10分）如图，∠B＝∠E，BF＝EC，AC∥DF．求证：△ABC≌△DEF．
【分析】首先利用平行线的性质得出∠ACB＝∠DFE，进而利用全等三角形的判定定理
ASA，进而得出答案．
【解答】证明：∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠DFE，
∵BF＝CE，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中， ，
∴△ABC≌△DEF（ASA）．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、
ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须
有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
21．（10分）某校计划组织学生参加学校书法、摄影、篮球、乒乓球四个课外兴趣小组，要求每
人必须参加并且只能选择其中的一个小组，为了了解学生对四个课外小组的选择情况，学
校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果制成如图所示的两幅不
完整的统计图，请你根据给出的信息解答下列问题：
（1）求该校参加这次问卷调查的学生人数，并补全条形统计图（画图后请标注相应的数
据）；
（2）m＝ 3 6 ，n＝ 1 6 ；
（3）若该校共有2000名学生，试估计该校选择“乒乓球”课外兴趣小组的学生有多少人？
第18页（共27页）【分析】（1）根据选择书法的学生人数和所占的百分比，可以求得该校参加这次问卷调查
的学生人数，然后根据扇形统计图中选择篮球的占28%，即可求得选择篮球的学生人数，
从而可以将条形统计图补充完整；
（2）根据条形统计图中的数据和（1）中的结果，可以得到m、n的值；
（3）根据统计图中的数据，可以计算出该校选择“乒乓球”课外兴趣小组的学生有多少人．
【解答】解：（1）该校参加这次问卷调查的学生有：20÷20%＝100（人），
选择篮球的学生有：100×28%＝28（人），
补全的条形统计图如右图所示；
（2）m%＝ ×100%＝36%，
n%＝ ×100%＝16%，
故答案为：36，16；
（3）2000×16%＝320（人），
答：该校选择“乒乓球”课外兴趣小组的学生有320人．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，
利用数形结合的思想解答．
22．（10分）如图，一艘船由西向东航行，在A处测得北偏东60°方向上有一座灯塔C，再向东
继续航行60km到达B处，这时测得灯塔C在北偏东30°方向上，已知在灯塔C的周围
47km内有暗礁，问这艘船继续向东航行是否安全？
第19页（共27页）【分析】过C作CD⊥AB于点D，根据方向角的定义及余角的性质求出∠BCA＝30°，
∠ACD＝60°，证∠ACB＝30°＝∠BAC，根据等角对等边得出 BC＝AB＝60，然后解
Rt△BCD，求出CD即可．
【解答】解：过点C作CD⊥AB，垂足为D．如图所示：
根据题意可知∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∠DBC＝90°﹣30°＝60°，
∵∠DBC＝∠ACB+∠BAC，
∴∠BAC＝30°＝∠ACB，
∴BC＝AB＝60km，
在Rt△BCD中，∠CDB＝90°，∠DBC＝60°，sin∠DBC＝ ，
∴sin60°＝ ，
∴CD＝60×sin60°＝60× ＝30 （km）＞47km，
∴这艘船继续向东航行安全．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用以及等腰三角形的判定；熟练掌握等腰三角形的
判定和三角函数定义是解题的关键．
四、（本大题满分12分）
23．（12分）某文体商店计划购进一批同种型号的篮球和同种型号的排球，每一个排球的进价
第20页（共27页）是每一个篮球的进价的90%，用3600元购买排球的个数要比用3600元购买篮球的个数
多10个．
（1）问每一个篮球、排球的进价各是多少元？
（2）该文体商店计划购进篮球和排球共100个，且排球个数不低于篮球个数的3倍，篮球
的售价定为每一个100元，排球的售价定为每一个90元．若该批篮球、排球都能卖完，问
该文体商店应购进篮球、排球各多少个才能获得最大利润？最大利润是多少？
【分析】（1）设每一个篮球的进价是x元，则每一个排球的进价是90%x元，根据用3600元
购买排球的个数要比用3600元购买篮球的个数多10个列出方程，解之即可得出结论；
（2）设文体商店计划购进篮球m个，总利润y元，根据题意用m表示y，结合m的取值范围
和m为整数，即可得出获得最大利润的方案．
【解答】解：（1）设每一个篮球的进价是x元，则每一个排球的进价是90%x元，依题意有
+10＝ ，
解得x＝40，
经检验，x＝40是原方程的解，
90%x＝90%×40＝36．
故每一个篮球的进价是40元，每一个排球的进价是36元；
（2）设文体商店计划购进篮球m个，总利润y元，则
y＝（100﹣40）m+（90﹣36）（100﹣m）＝6m+5400，
依题意有 ，
解得0＜m≤25且m为整数，
∵k＝6＞0，
∴y随m的增大而增大，
∴m＝25时，y最大，这时y＝6×25+5400＝5550，
100﹣25＝75（个）．
故该文体商店应购进篮球25个、排球75个才能获得最大利润，最大利润是5550元．
【点评】本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式的应用，找准等量
关系，正确列出方程是解题的关键．
五、（本大题满分12分）
24．（12分）如图，AB是 O的直径，C为 O上一点，连接AC，CE⊥AB于点E，D是直径AB
延长线上一点，且∠⊙BCE＝∠BCD． ⊙
第21页（共27页）（1）求证：CD是 O的切线；
⊙
（2）若AD＝8， ＝ ，求CD的长．
【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据余角的性质得到∠A＝
∠ECB，求得∠A＝∠BCD，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ACO，等量代换得到
∠ACO＝∠BCD，求得∠DCO＝90°，于是得到结论；
（2）设BC＝k，AC＝2k，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵AB是 O的直径，
∴∠ACB⊙＝90°，
∵CE⊥AB，
∴∠CEB＝90°，
∴∠ECB+∠ABC＝∠ABC+∠CAB＝90°，
∴∠A＝∠ECB，
∵∠BCE＝∠BCD，
∴∠A＝∠BCD，
∵OC＝OA，
∴∠A＝∠ACO，
∴∠ACO＝∠BCD，
∴∠ACO+∠BCO＝∠BCO+∠BCD＝90°，
∴∠DCO＝90°，
∴CD是 O的切线；
（2）解：⊙∵∠A＝∠BCE，
∴tanA＝ ＝tan∠BCE＝ ＝ ，
设BC＝k，AC＝2k，
∵∠D＝∠D，∠A＝∠BCD，
第22页（共27页）∴△ACD∽△CBD，
∴ ＝ ＝ ，
∵AD＝8，
∴CD＝4．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，正确
的识别图形是解题的关键．
六、（本大题满分14分）
25．（14分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+6经过两点A（﹣1，0），B（3，0），C是抛物线与y轴
的交点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设△PBC的面积为S，求S
关于m的函数表达式（指出自变量m的取值范围）和S的最大值；
（3）点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M、点N使得∠CMN＝90°，且
△CMN与△OBC相似，如果存在，请求出点M和点N的坐标．
【分析】（1）根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）过点P作PF∥y轴，交BC于点F，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点C的
第23页（共27页）坐标，根据点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线BC的解析式，设点P的坐标为
（m，﹣2m2+4m+6），则点F的坐标为（m，﹣2m+6），进而可得出PF的长度，利用三角形的
面积公式可得出S△PBC ＝﹣3m2+9m，配方后利用二次函数的性质即可求出△PBC面积的
最大值；
（3）分两种不同情况，当点M位于点C上方或下方时，画出图形，由相似三角形的性质得
出方程，求出点M，点N的坐标即可．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝ax2+bx+6，
得： ，解得： ，
∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2+4x+6．
（2）过点P作PF∥y轴，交BC于点F，如图1所示．
当x＝0时，y＝﹣2x2+4x+6＝6，
∴点C的坐标为（0，6）．
设直线BC的解析式为y＝kx+c，
将B（3，0）、C（0，6）代入y＝kx+c，得：
，解得： ，
∴直线BC的解析式为y＝﹣2x+6．
∵点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，
∴点P的坐标为（m，﹣2m2+4m+6），则点F的坐标为（m，﹣2m+6），
∴PF＝﹣2m2+4m+6﹣（﹣2m+6）＝﹣2m2+6m，
第24页（共27页）∴S△PBC ＝ PF•OB＝﹣3m2+9m＝﹣3（m﹣ ）2+ ，
∴当m＝ 时，△PBC面积取最大值，最大值为 ．
∵点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，
∴0＜m＜3．
（3）存在点M、点N使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC相似．
如图2，∠CMN＝90°，当点M位于点C上方，过点M作MD⊥y轴于点D，
∵∠CDM＝∠CMN＝90°，∠DCM＝∠NCM，
∴△MCD∽△NCM，
若△CMN与△OBC相似，则△MCD与△OBC相似，
设M（a，﹣2a2+4a+6），C（0，6），
∴DC＝﹣2a2+4a，DM＝a，
当 时，△COB∽△CDM∽△CMN，
∴ ，
解得，a＝1，
∴M（1，8），
此时ND＝ DM＝ ，
第25页（共27页）∴N（0， ），
当 时，△COB∽△MDC∽△NMC，
∴ ，
解得a＝ ，
∴M（ ， ），
此时N（0， ）．
如图3，当点M位于点C的下方，
过点M作ME⊥y轴于点E，
设M（a，﹣2a2+4a+6），C（0，6），
∴EC＝2a2﹣4a，EM＝a，
同理可得： 或 ＝2，△CMN与△OBC相似，
解得a＝ 或a＝3，
∴M（ ， ）或M（3，0），
第26页（共27页）此时N点坐标为（0， ）或（0，﹣ ）．
综合以上得，M（1，8），N（0， ）或M（ ， ），N（0， ）或M（ ， ），N（0， ）或M
（3，0），N（0，﹣ ），使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC相似．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积，二次函
数的性质，坐标与图形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，熟练运用方程思想及分
类讨论思想是解题的关键．
第27页（共27页）
