文档内容
第 02 讲 三角恒等变换
（和差公式、倍角公式、升降幂公式、辅助角公
式）
（14 类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析 关联考点
三角函数的化简、求值
2024年新I卷，第4题,5分 用和、差角的余弦公式化简、求值
同角三角函数基本关系
2024年新I卷，第13题,5分 用和、差角的正切公式化简、求值 同角三角函数基本关系
用和、差角的正弦公式化简、求值
2023年新I卷，第8题,5分 三角函数求值
二倍角的余弦公式
2023年新Ⅱ卷，第7题,5分 半角公式、二倍角的余弦公式 无
2023年新Ⅱ卷，第16题,5分 由图象确定正(余)弦型函数解析式 特殊角的三角函数值
用和、差角的余弦公式化简、求值
2022年新Ⅱ卷，第6题,5分 无
用和、差角的正弦公式化简、求值
正、余弦齐次式的计算
2021年新I卷，第6题,5分 二倍角的正弦公式
三角函数求值
逆用和、差角的余弦公式化简、求值 数量积的坐标表示
2021年新I卷，第10题,5分
二倍角的余弦公式 坐标计算向量的模
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较中等或偏难，分值为5-11分
【备考策略】1.推导两角差余弦公式，理解两角差余弦公式的意义
2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式
3.能推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，能运用公式解决相关的求值与化简问题
【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般会考查两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公
式变形应用和半角公式变形应用，需加强复习备考知识讲解
1. 正弦的和差公式
2. 余弦的和差公式3. 正切的和差公式
4. 正弦的倍角公式
5. 余弦的倍角公式
升幂公式：
，
降幂公式：
，
6. 正切的倍角公式
7. 半角公式
(1)sin ＝± .
(2)cos＝± .
(3)tan＝± ＝＝.
以上称之为半角公式，符号由所在象限决定．
8. 万能公式
9. 和差化积与积化和差公式10.推导公式
11.辅助角公式
， ，其中 ，
考点一、 正弦两角和与差的基本应用
1．（福建·高考真题） 等于（ ）
A．0 B． C．1 D．
【答案】C
【分析】由题得原式= ，再利用和角的正弦公式化简计算.
【详解】由题得原式= .
故选C
【点睛】本题主要考查诱导公式和和角的正弦公式的运用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属
于基础题.
2．（全国·高考真题） =
A． B．
C． D．
【答案】D【详解】原式= = = ，故选D.
考点：本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式.
3．（2020·全国·高考真题）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值.
【详解】由题意可得： ，
则： ， ，
从而有： ，
即 .
故选：B.
【点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式及其应用，属于中等题.
4．（2024·全国·高考真题）已知 为第一象限角， 为第三象限角， ， ，
则 .
【答案】
【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得 ，再缩小 的范围，最后结合同角的
平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.
【详解】法一：由题意得 ，
因为 ， ，
则 ， ，
又因为 ，
则 ， ，则 ，
则 ，联立 ，解得 .法二： 因为 为第一象限角， 为第三象限角，则 ,
， ，
则
故答案为： .
1．（2024高三·全国·专题练习） ．
【答案】
【分析】先利用诱导公式得 ，再利用两角和的正弦公式求解.
【详解】
．
故答案为：
2．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知角 的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经
过点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据三角函数的定义求出角 的正余弦值，再利用差角的正弦公式计算即得.
【详解】由题意， .
则 .
故选：D.
3．（2024高三·全国·专题练习）化简： ．
【答案】 /【分析】根据两角差的正弦公式和特殊角的三角函数值得出答案；
【详解】原式 ．
故答案为： .
4．（2024·河南·三模）若 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用正弦的差角公式结合弦切关系分别计算 ，再根据和角公式计算即可.
【详解】因为 ，
又 ，即 ，则 ，
所以 ，
故 .
故选：D
5．（2024·云南·模拟预测）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，利用两角和与差的三角函数，准确运算，即可求解.
【详解】由 ，
即 ，所以 .
故选：A.
考点 二 、 余弦两角和与差的基本应用
1．（高考真题）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用诱导公式转化，原式=sin163°•sin223°+cos163°cos223°再通过两角和公式化简，转化成特殊角
得出结果．
【详解】原式=sin163°•sin223°+cos163°cos223°=cos（163°-223°）=cos（-60°）= .
故选A.
【点睛】本题主要考查了诱导公式应用及两角和与差的余弦公式．要熟记公式是关键．
2．（2024·全国·高考真题）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据两角和的余弦可求 的关系，结合 的值可求前者，故可求
的值.
【详解】因为 ，所以 ，
而 ，所以 ，
故 即 ，
从而 ，故 ，
故选：A.
3．（2023·全国·高考真题）已知 ，则 （ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出 ，再利用二倍角的余弦公式计算作答.
【详解】因为 ，而 ，因此 ，
则 ，
所以 .
故选：B
【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法
（1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数．
（2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，
使其角相同或具有某种关系．
（3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，
由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．
1．（2024·山东枣庄·模拟预测）已知角 的顶点与原点重合，始边与 轴的非负半轴重合，终边经过点
，则 （ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据三角函数的定义求出 ， ，再由两角差的余弦公式计算可得.
【详解】因为 ，即 ，
即角 的终边经过点 ，所以 ， ，
所以 .
故选：D
2．（2024·宁夏石嘴山·三模）已知 ， ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用平方关系求出 ，然后由余弦的两角差公式可得.
【详解】因为 ， ， ， ，
所以 ，
所以 .
故选：A3．（2024·四川宜宾·模拟预测）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先对 进行化简整理，得到 ，求得结果.
【详解】
，
所以 .
故选：A.
4．（23-24高三下·江苏扬州·开学考试）已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用两角余弦的和差公式结合二倍角公式求解即可.
【详解】由题意得 ，
又 ，则 ，解得 ， ，
故 ，
则 ，
故选：C
5．（2024·全国·模拟预测）已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据二倍角的正弦公式和同角三角函数的关系求出 ，再根据两角差的余弦公式即可
得解.【详解】因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ， ， ，
所以 .
故选：B．
考点 三 、 正切两角和与差的基本应用
1．（2019·全国·高考真题）tan255°=
A．－2－ B．－2+ C．2－ D．2+
【答案】D
【分析】本题首先应用诱导公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公式计算
求解．题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．
【详解】详解： =
【点睛】三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算求解能力．
2．（重庆·高考真题）若 ,则
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】试题分析： ，故选A.
考点：两角和与差的正切公式．
3．（2024·全国·高考真题）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先将 弦化切求得 ，再根据两角和的正切公式即可求解.【详解】因为 ，
所以 ， ，
所以 ，
故选：B.
4．（2020·全国·高考真题）已知2tanθ–tan(θ+ )=7，则tanθ=（ ）
A．–2 B．–1 C．1 D．2
【答案】D
【分析】利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案.
【详解】 ， ，
令 ，则 ，整理得 ，解得 ，即 .
故选：D.
【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题.
5．（2022·全国·高考真题）若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.
【详解】[方法一]：直接法
由已知得： ,
即： ，
即：
所以
故选：C
[方法二]：特殊值排除法
解法一:设β=0则sinα +cosα =0，取 ，排除A, B；
再取α=0则sinβ +cosβ= 2sinβ，取β ，排除D；选C.[方法三]：三角恒等变换
所以
即
故选：C.
1．（2024·山西吕梁·二模）已知角 的顶点在原点，始边在 轴的正半轴上，终边经过点 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三角函数的定义可得 ，即可利用和差角公式求解，或者根据特殊角得
，代入求解.
【详解】方法一；由角 终边经过点 ，可得 ，所以 .
故选：A.
方法二：角 终边经过点 ，故为 第二象限角， ，则 ，
则 .
故选:A.
2．（2024·重庆·三模）已知 ，则 （ ）A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】利用诱导公式得到 ，即可求出 ，再由两角和的正切公式展开
计算可得.
【详解】因为 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，则 ，解得 .
故选：B
3．（2024·江苏·模拟预测）若 ，则 （ ）
A． B．7 C． D．
【答案】B
【分析】先根据已知及同角三角函数的平方关系弦化切，再根据正切的和角公式计算即可.
【详解】因为 ，
整理得 ，
所以 ，
又 .
故选：B
4．（2024·福建泉州·模拟预测）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】利用两角和差的正余弦公式展开，两边同除 ，得到 .再利
用两角差的正切公式展开 ，将 换成 ，化简即可得到答案.
【详解】 ，所以 ，
两边同除 ，得到 ，即 .
， .
故选：C.
5．（2024·贵州黔东南·二模）已知 ，且 ， ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】找出 和 的关系，求出 和 即可求解.
【详解】 ，
，
①， ， ，
②，由①②解得 或 ，
， ，
， .
故选：C.
考点 四 、 拼凑角思想在三角恒等变换中 求值
1．（2024·四川·模拟预测）已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】根据 ， ，求出 ，计算 ，再利用两角差的
正弦公式得到 展开即可.
【详解】因为 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以由两角差的正弦公式得
，
所以 .
故选：C.
2．（浙江·高考真题）若0＜α＜ ，﹣ ＜β＜0，cos（ +α）= ，cos（ ﹣ ）= ，则cos（α+
）=（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
【答案】C
【详解】∵0＜a＜ ，﹣ ＜β＜0，
∴ ＜ +α＜ ， ＜ ﹣ ＜
∴sin（ +α）= = ，sin（ ﹣ ）= =
∴cos（α+ ）=cos[（ +α）﹣（ ﹣ ）]=cos（ +α）cos（ ﹣ ）+sin（ +α）sin（ ﹣ ）=故选C
3．（23-24高三下·浙江金华·阶段练习）已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知结合两角差的余弦公式可先求出 ，然后结合二倍角公式及和差化积公式进行化
简即可求解．
【详解】由 得 ，
又 ，所以 ，
所以
．
故选：C．
4．（22-23高一下·江西景德镇·期中）已知 ， 满足 ， ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】注意到 ，后结合 ， ，利用二倍角，两角和的正弦
公式可得答案.
【详解】因 ，则 ，又 ，
则 ，得 .
因 ，则 .
又 ，则 ，结合 ，则 ，得，
则 .
又注意到 ，
则
.
故选：B
1．（2024·河北石家庄·三模）已知角 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】借助 对已知化简，可求出 的值，再由 可解.
【详解】因为 ，即 ，
所以 ，
整理得 ，变形得 ，
所以 .
故选：C
2．（2024·山西·三模）若 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据 结合 的范围分析可得 ， ，再根据 结合的范围分析可得 ，由 结合两角和差公式分析求解.
【详解】因为 ，则 ，且 ，
则 ，可得 ， ，
又因为 ，则 ，且 ，
可得 ， ，
所以
.
故选：D.
3．（2024·重庆·模拟预测）已知 都是锐角， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，求得 ，再由 的单调性，求得 ，利用两角差的余弦
公式，求得 ，结合余弦的倍角公式，即可求解.
【详解】由 与 均为锐角，且 ，所以 ，
因为 ，可得 ， ，
又因为 在 上单调递减，且 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
则 .
故选：A.考点 五 、 拼凑角思想在三角恒等变换中 求角
1．（23-24高三上·贵州铜仁·阶段练习）已知 ，且 和 均为钝角，则 的值为
（ ）
A． B． C． 或 D．
【答案】D
【分析】根据角度范围求解 ，再求解 ，结合角度范围判断即可.
【详解】∵ 和 均为钝角，
∴ ， ．
∴ ．
由 和 均为钝角，得 ，∴ ．
故选：D
2．（2024高三·全国·专题练习）已知 , ,且 , ,则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用二倍角的正切公式求出 ,再根据 结合两角和的正切
公式求得 ,根据 求出 ,从而可得 的范围,即可得出 的范围,
即可得解.
【详解】因为 ,
所以 ,
故 ,
由 ,所以 ,又 ,
所以 ,
故 ,
所以 .
故选：A.
3．（22-23高三·全国·期末）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】直接利用三角函数恒等变换进行凑角化简，再根据 ， 的范围即可求出结果.
【详解】由已知可将 ， ，
则 ，
，
，即 或 ．
又 ，所以 ，
所以 ，所以选项A，B错误，
即 ，则 ，所以 ．则C错，D对，
故选：D
1．（2023高三·全国·专题练习）已知 ， ，且 ， ，则 的
值是（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】利用同角三角函数平方关系可求得 ，利用两角和差余弦公式可求得 ，结合
可得结果.
【详解】 ， ， ， ，
，
又 ， .
故选：B.
2．（22-23高三上·山东青岛·期中）已知 ， ， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出 的取值范围，利用同角三角函数的基本关系以及两角差的正弦公式求出 的值，
即可得解.
【详解】因为 ，则 ，因为 ，则 ，可得 ，
因为 ，则 ， ，
所以， ， ，
所以，
，
所以， .
故选：A.
3．（2024·吉林长春·模拟预测）已知 ， ， ， ，则
（ ）
A． B． C． D． 或【答案】B
【分析】求出 、 的范围，利用平方关系求出 、 ，再由 求出
，结合 的范围可得答案.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，
因为 ， ，所以 ，
所以 ，
又由 知
又因为 ，所以 .
故选：B.
考点 六 、 正弦 倍角公式的应用
1． （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】结合倍角公式以及特殊角的三角函数值即可求出结果.
【详解】 ，
故选：A.
2．（2024·河南·二模）已知 ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】对已知等式两边平方结合平方关系、二倍角公式以及诱导公式即可运算求解.
【详解】 .
故选：D.
3．（2024·四川自贡·三模）已知角 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】结合题意运用倍角公式和化正弦余弦为正切，即可求解.
【详解】由 得 ，即 ，
.
故选：D.
1．（2024·山东济南·三模）若 ，则 （ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】由同角的三角函数和二倍角公式结合特殊角的三角函数计算可得.
【详解】因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
故选：B
2．（2024·山东·模拟预测）已知 ，则 （ ）
A．4 B．2 C． D．
【答案】D【分析】由已知可得 ，利用 ，可求值.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ．
故选：D.
考点 七 、 余弦 倍角公式的应用
1．（山东·高考真题）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据余弦二倍角公式计算即可得到答案.
【详解】 .
故选：D
【点睛】本题主要考查余弦二倍角公式，属于简单题.
2．（2022·北京·高考真题）已知函数 ，则（ ）
A． 在 上单调递减 B． 在 上单调递增
C． 在 上单调递减 D． 在 上单调递增
【答案】C
【分析】化简得出 ，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.
【详解】因为 .
对于A选项，当 时， ，则 在 上单调递增，A错；
对于B选项，当 时， ，则 在 上不单调，B错；对于C选项，当 时， ，则 在 上单调递减，C对；
对于D选项，当 时， ，则 在 上不单调，D错.
故选：C.
3．（2021·全国·高考真题） （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意结合诱导公式可得 ，再由二倍角公式即可得解.
【详解】由题意，
.
故选：D.
4．（全国·高考真题）函数 的最小正周期是
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将函数利用平方差公式及二倍角公式化成最简，在代入公式求周期．
【详解】 ，∴函数 的最小正周期
.选B
【点睛】本题关键是把函数化成 的形式，属基础题．
1．（2020·全国·高考真题）若 ，则 ．
【答案】
【分析】直接利用余弦的二倍角公式进行运算求解即可.
【详解】 .故答案为： .
【点睛】本题考查了余弦的二倍角公式的应用，属于基础题.
2．（2024·北京顺义·三模）已知函数 ，则（ ）
A． 为偶函数且周期为 B． 为奇函数且在 上有最小值
C． 为偶函数且在 上单调递减 D． 为奇函数且 为一个对称中心
【答案】C
【分析】由二倍角公式得 ，再根据余弦函数性质判断即可；
【详解】解：因为 ，
所以，函数 为偶函数且周期为 ，在 上单调递减.
所以，ABD选项错误，C选项正确.
故选：C
3．（2022·浙江·高考真题）若 ，则 ， ．
【答案】
【分析】先通过诱导公式变形，得到 的同角等式关系，再利用辅助角公式化简成正弦型函数方程，可求
出 ，接下来再求 ．
【详解】[方法一]：利用辅助角公式处理
∵ ，∴ ，即 ，
即 ，令 ， ，
则 ，∴ ，即 ，
∴ ，
则 .
故答案为： ； .
[方法二]：直接用同角三角函数关系式解方程∵ ，∴ ，即 ，
又 ，将 代入得 ，解得 ，
则 .
故答案为： ； .
考点 八 、 升幂公式与降幂公式的应用
1．（浙江宁波·期末） =
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用降次公式求得所求表达式的值.
【详解】依题意 .
故选：A
【点睛】本小题主要考查降次公式，属于基础题.
2．（2024·浙江·模拟预测）若 ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查同角三角函数的基本关系和二倍角余弦公式的应用.根据 ，
，解得 ，结合二倍角余弦公式进行解答即可．
【详解】因为 可得 ，因为 ，
可得 ，解得 或 （舍去）
所以 ．
故答案为: ．3．（2024·浙江·三模）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据诱导公式和二倍角公式化简等式，在利用二倍角公式计算得到结果；
【详解】∵
，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
4．（2024·全国·模拟预测）已知 为锐角，满足 ，则
， ．
【答案】 / /
【分析】由 ，利用两角和与差的正弦公式和余弦的二倍角公式，求出
；再用余弦的二倍角公式求出 .
【详解】因为 ，所以
，
又 ，所以 ，
因为 为锐角，所以 为锐角，
又 ，所以 ，
又 ，所以 ，所以 ．
故答案为： ； .
1．（2024·浙江绍兴·二模）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由降幂公式求出 ，再结合诱导公式求解即可．
【详解】由已知得， ，即 ，
则 ，
故选：D．
2．（2024·安徽合肥·三模）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先由辅助角公式得 ，再利用诱导公式和余弦二倍角公式即可求解.
【详解】由 得 ，即 ，
所以 ，
故选：D
3．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知 ，则 ．
【答案】【分析】先将条件式化简可得 ，再利用诱导公式和二倍角余弦公式将所求式子变形得解.
【详解】由 ，得 ，
即 ，所以 ，
所以
.
故答案为： .
4．（2024·黑龙江·三模）已知 ，则 .
【答案】 /
【分析】已知 ，由两角和的余弦公式求得 ，再由两角和的余弦公
式求 ，倍角公式求 .
【详解】因为 ，而 ，因此 ，
则 ，
所以 .
故答案为： .
5．（2024·湖南长沙·二模）已知 ，则
【答案】 /
【分析】由 ，结合两角和的余弦公式化简条件可求得 ，再利用二倍角
的余弦公式求 即可.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，
所以
所以 .
故答案为：
考点 九 、 正切 倍角公式的应用
1．（2024高三·全国·专题练习）若 ，则 ．
【答案】
【分析】利用诱导公式化简已知，得 ，再利用二倍角公式求解.
【详解】因为 ，则 ，
所以 ．
故答案为：
2．（2024·安徽合肥·三模）已知 ，则 .
【答案】
【分析】利用两角和差的正切公式计算 ，再使用二倍角的正切公式即可.
【详解】由 ，
且 ，得 ，
整理得 ，
解得 （舍）或 ，
所以 ．
故答案为： .
3．（23-24高三上·广东湛江·阶段练习）已知 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，利用倍角公式，化简得到 ，求得 ，再结合正切的倍角公式，
即可求解.
【详解】因为 ，可得 ，
因为 ，可得 ，所以 ，
即 ，可得 ，
即 ，所以 ，则 ，
即 ，解得 或
因为 ，可得 ，所以 .
故选：B.
1．（2024高三·全国·专题练习） ．
【答案】
【分析】利用二倍角公式计算可得.【详解】 .
故答案为：
2．（2024·辽宁沈阳·二模）已知 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据 结合 可得 与 ，进而可得 .
【详解】 则 ，
即 ，
又因为 ，故 ， ， ，
故 ，因为 ，则 ，
结合 可得 ， ，则 .
故 .
故选：C
3．（2024·全国·模拟预测）已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．13
【答案】B
【分析】根据题意及二倍角公式、诱导公式、两角差的正切公式、同角三角函数的基本关系即可求解．
【详解】由 ，
则 ，所以 ，
所以 ．
又因为 ，
则 ， ，
所以 ，
则 ．
故选：B．
考点 十 、 半角公式的应用
1．（2023·全国·高考真题）已知 为锐角， ，则 （ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出．
【详解】因为 ，而 为锐角，
解得： ．
故选：D．
2．（2024·湖南邵阳·二模）已知 为锐角，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由平方关系以及半角公式（二倍角公式）运算即可求解.【详解】已知 为锐角，若 ，则 ，
所以 .
故选：A.
3．（2023·浙江·二模）数学里有一种证明方法叫做Proofwithoutwords，也被称为无字证明，是指仅用图象
而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证时被认为比严格的数学证
明更为优雅与有条理.如下图，点 为半圆 上一点， ，垂足为 ，记 ，则由
可以直接证明的三角函数公式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据直角三角形中的定义写出 ，用 表示出 ，然后分析可得．
【详解】由已知 ，则 ， ，
又 ， ， ， ，
因此 ，
故选：C．
1．（2024·全国·模拟预测）已知角 是第二象限角，且终边经过点 ，则 （ ）
A． B． C． D． 或
【答案】C【分析】根据已知条件求出 和 的值，再利用 求解即可.
【详解】∵角 是第二象限角，且终边经过点 ，
∴ ， ，
∴ .
故选：C．
2．（2023·全国·模拟预测）已知 是锐角， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据倍角公式的变形求出 ， ，再由两角和的余弦公式求解.
【详解】因为 是锐角，所以 ，
因为 ， ，
所以 ， ，
所以 ．
故选：D．
3．若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用同角三角函数的基本关系与半角公式求解即可
【详解】因为 ， ，
所以 ，因为 ，
所以 ， ，
所以 ，
，
所以 ，
则 ，
故选：B.
考点 十一 、 辅助角公式的应用
1．（2024·全国·高考真题）函数 在 上的最大值是 ．
【答案】2
【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.
【详解】 ，当 时， ，
当 时，即 时， .
故答案为：2
2．（2020·北京·高考真题）若函数 的最大值为2，则常数 的一个取值为 ．
【答案】 （ 均可）
【分析】根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得 ，可得
，即可解出.
【详解】因为 ，
所以 ，解得 ，故可取 .故答案为： （ 均可）.
【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查学生的数学运
算能力，属于基础题.
3．（全国·高考真题）设当 时，函数 取得最大值，则 .
【答案】 ；
【详解】f(x)＝sin x－2cos x＝ ＝ sin(x－φ)，其中sin φ＝ ，cos φ＝ ，当
x－φ＝2kπ＋ (k∈Z)时，函数f(x)取得最大值，即θ＝2kπ＋ ＋φ时，函数f(x)取到最大值，所以cos θ＝
－sin φ＝－ .
4．（2024高三·湖北·二模）在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， ， ，
则当 取得最大值时， .
【答案】
【分析】由正弦定理可求出 的外接圆半径，借助于正弦定理进行边化角运算可得
，在 中， ，由两角和的正弦公式展开代入 的正余弦值计
算，由辅助角公式即可求出结果.
【详解】解： ， ，设 外接圆半径为 ．则 ，
得 ，
则
，
其中， ， ．
当 ．即 时， 取得最大值，
此时 ．所以 .
故答案为：1．（2024·湖北·二模）函数 ，当 取得最大值时， （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由辅助角公式、诱导公式直接运算即可求解.
【详解】 ，
其中 ，
而 ，
等号成立当且仅当 ，此时 .
故选：B.
2．（2024·四川南充·二模）已知函数 ．设 时， 取得最大值．则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用辅助角公式求出 ，再利用诱导公式以及正弦的和差角公式可得答案.
【详解】 ，其中 ；
所以当 时， ， 取得最大值，
由题意 ，即 .
.
故选：C
3．（2024·山东·模拟预测）若函数 的最大值为 ，则常数 的一个取值为
．【答案】 （答案不唯一，满足 即可）
【分析】利用和（差）角公式化简，再判断 ，利用辅助角公式化简，再结合函数的最大值，求
出 .
【详解】因为
，
若 ，则 ，所以 或 ，显然不满足 的最大值为 ，
所以 ，
则 ，（其中 ），
依题意可得 ，
即 ，所以 ，
所以 ，解得 .
故答案为： （答案不唯一，满足 即可）
4．（2024·河北保定·三模）已知锐角 ， （ ）满足 ，则 的
值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用辅助角公式化简已知函数，得到正弦型函数，再利用自变量的范围得到函数是不单调的，所
以自变量不相等但函数值相等的情形就是两角互补，从而就可以通过运算得到结果.
【详解】设 ，其中 ， ， ，
当 时， ，此时 在 ，有增有减，
又因为 ，且 ，所以 ，所以 ，
所以 .
故选：D.
考点 十二 、 万能公式的综合应用
1．（21-22高三上·四川成都·阶段练习）已知 为锐角且 ，则 的值是
．
【答案】 /-0.6
【分析】由题意首先求得 的值，然后利用诱导公式和二倍角公式求得三角函数式的值即可.
【详解】由 ，
得 ，
解得 ，或 .
因为 为锐角，故 .
故答案为: .
2．（2023·江苏徐州·模拟预测）已知 ，则 ．
【答案】
【分析】由条件等式右边含有 ，可联想到 中分离出 来处理，设 ，待求表达式中用
表示，结合万能公式进行求解.
【详解】设 ，于是 ，整理可得 ，根据万能公式， ，
整理可得 ，
由 可得， ，
故 ，
根据诱导公式， ，
根据两角和的正切公式， ，
故 .
故答案为：
1．（2022·四川眉山·模拟预测）若 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】D
【分析】结合二倍角公式化简可求 ，再结合万能公式可求 .
【详解】因为 ， ，所以 且 ，
解得 ，所以 .
故选：D
2．（2024高三·全国·专题练习）已知 ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用三角恒等变换公式化简求解即可.
【详解】由 可得 ，
得 ，则 ，
，
故 ．
故选：C.
考点 十三 、 积化和差与和差化积公式的综合应用
1．（2024高三·全国·专题练习）已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据和差化积公式化简，得到 ，再利用正切二倍角公式求出答案.
【详解】
由和差化积公式，得 ，
，所以 ．
所以 ．
故选：A．
2．（2024·安徽阜阳·一模）已知 ，则 ，
.【答案】
【分析】第一空，将已知条件两边同时平方两式相加，结合同角三角函数基本关系与余弦函数的和差公式
即可求解；第二空，利用三角函数的和差公式得到 ，再利用倍角公式化简转化即可得解.
【详解】由 可得 ，即 ，
由 可得 ，即 ，
两式相加可得 ，
即 ，解得 ；
因为 ，
，
所以 ，
所以 ．
故答案为： ； .
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是熟练掌握三角函数半角公式的转化，从而得解.
3．（2024·广东·一模）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据条件，利用余弦的二倍角及积化和差公式，得到 ，从而得到
，即可求出结果.
【详解】因为 ，得到 ，又 ，所以 ，
所以 ，
故选：B.
1．（2024·山东·模拟预测）已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先利用两角和的正弦公式求出 ，再根据
结合两角和差的余弦公式化简即可得解.
【详解】 ，
，
所以 .
故选：D.
2．（2024·全国·模拟预测）已知角 ， ， 满足 ，且 ，则( )(
)( )=（ ）
A．0 B．1
C． D．
【答案】A
【分析】结合诱导公式与和差化积公式进行求值.
【详解】因为 .
由和差化积公式得：
.所以 或 或 .
若 ，则 ；
同理，当 或 时，都有 .
故选：A
考点 十四 、 三角恒等变换的综合应用
1．（23-24高二上·湖南长沙·期末）函数 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用导数可求最大值，也可以利用万能公式统一三角函数名，再利用换元法结合四元基本不等式
求解即可.
【详解】法一：不妨设 ，则 ，
整理得到: ,
当 时， ；当 时， ，
故 在 上为增函数，在 为减函数，
而 ， ，故 的最大值为 .
法二：由万能公式得 ， ，
代入原式并化简得 ，
令 ，因为题设中欲求最大值，故可设 ,故原式转化为 ，
当且仅当 时取等，显然最大值为 .
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题考查求三角函数的最大值，解题关键是利用万能公式统一三角函数名，然后再
用四元基本不等式求解，本题也可以直接利用导数计算.
2．（2024·新疆·一模）已知: ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用三角恒等变换计算即可.
【详解】由
，
则
.
故选：D
【点睛】思路点睛：利用等式条件及正弦的和差角公式及同角三角函数的商数关系得出
，再根据特殊角及正弦的差角公式与诱导公式计算即可.
3．（2024·全国·模拟预测）已知角 满足： ，其中 ， ，
，则 （ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】利用和差化积公式和二倍角公式求解即可.
【详解】因为 ，，
所以 ，又 ，
于是由 可得 ，即
，
所以 或 ．
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ，即 ，
所以 ，即 .
故选：B．
4．（2024·辽宁丹东·一模）已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先结合二倍角公式、半角公式以及角的范围将已知等式变形为 ，解
得 ，两边平方即可求解.
【详解】因为 ，所以 ，所以 ，
所以，
所以 ，
即 ，
所以 ，
即 ，
所以 .
故选：A.
【点睛】关键点点睛：关键是得出 ，由此即可顺利得解.
1．（2024·安徽阜阳·一模）已知 ，则 ，
.
【答案】
【分析】第一空，将已知条件两边同时平方两式相加，结合同角三角函数基本关系与余弦函数的和差公式
即可求解；第二空，利用三角函数的和差公式得到 ，再利用倍角公式化简转化即可得解.
【详解】由 可得 ，即 ，
由 可得 ，即 ，
两式相加可得 ，
即 ，解得 ；
因为 ，，
所以 ，
所以 ．
故答案为： ； .
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是熟练掌握三角函数半角公式的转化，从而得解.
2．（2024·重庆·三模）已知函数 满足 .若 是方程 的两根，则
= .
【答案】0
【分析】法一：令 ，根据三角变换得 ，则 ，从而 ，利用
韦达定理得 ，即可求得 .
法二：利用韦达定理得 ，设 ，则可取 ，代入解析式利用诱导公式化简求
解即可.
【详解】法一：令 ，则 ，
于是 ，则 ，即 ，
又 是方程 的两根，所以 ，
故 .
法二： 是方程 的两根，所以 ，
设 ，则可取 ，
于是 .故答案为：0
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是利用 巧妙的换元，结合诱导公式，或者二倍角公式，整
体代入求解.
3．（2024·湖北荆州·三模）设 ， ， ，若满足条件的 与 存在
且唯一，则 ， .
【答案】 1
【分析】由 得到 ，再结合 ，利用 ，
得到 ， ，从而 ，再由满足条件的 与
存在且唯一，得到 唯一，从而 ，求得m即可.
【详解】解：由 ，得 ，即 ，
因为 ， ，所以 ， ，
又 ，所以 ，
从而 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
因为满足条件的 与 存在且唯一，所以 唯一，
所以 ，所以 ，经检验符合题意，
所以 ，
则 ，解得 ，
所以 .
故答案为： ，1
【点睛】关键点点睛：关键是结合已知得出 ，求出 ，由此即可顺利得解.
4．（2024·四川成都·三模）若 为锐角三角形，当 取最小值时，记其最小值为
，对应的 ，则 .
【答案】160
【分析】令 ，则 ， ，代入 中，通过
构造，利用基本不等式和二次函数的性质求最小值和最小值成立的条件.
【详解】 为锐角三角形，
， ，
令 ，则 ， ，
令 ，
则
.
前两个“ ”取“=”的条件是 ，在 时，所有“ ”全部取“=”，
所以当且仅当 时， 取最小值40，
即 ，所以 .
故答案为：160.【点睛】关键点点睛：令 ，构造成
是关键，可利用基本不等式和二次函数性质求最小值，而
且等号成立的条件相同.
1．（2024·上海·高考真题）下列函数 的最小正周期是 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可 .
【详解】对A， ，周期 ，故A正确；
对B， ，周期 ，故B错误；
对于选项C， ，是常值函数，不存在最小正周期，故C错误；
对于选项D， ，周期 ，故D错误，
故选：A．
2．（2024·河北保定·二模）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用同角基本关系式和二倍角公式求解.
【详解】由 ，得 ，
即 ，解得 或 （舍），
所以 .故选：D.
3．（2024·江苏徐州·模拟预测）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由余弦的二倍角公式求解．
【详解】∵ ，∴ ， ，
又 ，则 ，
所以 ，
故选：C．
4．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由两角和差公式、二倍角公式逆用可得 ，进一步结合两角和的正切公式即可得解.
【详解】由题意 ，即 ，
即 ，所以 .
故选：B.
5．（2024·江苏扬州·模拟预测）若 ，且 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用切化弦可得 ，再由两角和差公式先求 ，最后由同角基本关系式求解.
【详解】因为 ，则 ，则 ，所以 ，
而 ，则 ，
所以 .
故选：C
6．（2024·陕西·模拟预测）已知 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用正切二倍角公式和和角公式得到 ，化简得到 ，齐次化代
入求值.
【详解】 ，即 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以
故 ，解得 或 （舍去），
故选：C
二、填空题
7．（2024·广东深圳·模拟预测）计算： .
【答案】 /【详解】由题意可得：
．
故答案为： ．
8．（2024·上海·模拟预测）已知 ， ，则 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，利用二倍角的余弦公式计算即得.
【详解】由 ，得 ，
由 ，得 ，则 ，
所以 .
故答案为：
9．（2024·江苏苏州·三模）函数 的值域是 .
【答案】
【分析】首先分析函数的周期，再分 ， 求出函数的取值范围，即可得到函数的值域.
【详解】因为 ，
所以 是以 为周期的周期函数，
当 时 ，
由 ，则 ，所以 ，则 ；
当 时 ，
由 ，则 ，所以 ，则 ；
综上可得 的值域为 .
故答案为：10．（2024·湖南·模拟预测）已知 ， ，则 .
【答案】 /-0.125
【分析】根据两角和的正切公式，即可求得答案.
【详解】因为 ， ，
故 ，
故答案为：
1．（2024·山东·模拟预测）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先利用两角差的余弦公式处理条件，结合两角差的正弦公式，可得 ，再利用二倍角公
式可得 ，再结合诱导公式，可求 .
【详解】由
，
所以 ，
所以 .
故选：B
2．（2024·河北衡水·三模）已知 ，则m，n的关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用和差角的正弦公式化简，结合已知列出方程即可求解.
【详解】依题意， ，，
则 ，
即 ，即 .
故选：D
3．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据两角和差的余弦公式化简，再根据 结合两角差的余弦公式化简即可得解.
【详解】由 ，
得 ，
故
所以
.
故选：C.
4．（2024·湖北襄阳·模拟预测）设 ，则“
”是“ ，
”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】B
【分析】先利用三角函数恒等变换公式对已知式化简，然后根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可.
【详解】由 ，
得 ，所以 ，
所以 ， ，所以 ， ，所以 ”是“ ，
”的必要不充分条件，
故选：B
5．（2024·福建泉州·二模）若 ，且 与 存在且唯一，则
（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】B
【分析】由 ，得 ，由 ，得 ，
，则有 ， 与 存在且唯一，得 ，解得
，即 ，再由 ，可求出 ，计算
的值即可.
【详解】 ，由 ，得 ，即 ，
所以 ，有 ，
所以 ， ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
因为满足条件的 与 存在且唯一，所以 唯一，
若 ， 有两解，其中一解 中有钝角，此情况不存在.
所以 ，解得 ，经检验符合题意，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
则 ，解得 ，
所以 ．故选：B．
6．（2024·江苏南通·模拟预测）已知 ， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先求出 ，再由同角三角函数的基本关系及两角差的正弦公式求出 ，最后由
两角差的余弦公式计算可得.
【详解】因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，
所以 ，
因为 ，
则 ．
故选：B．
7．（2024·山西吕梁·三模）设函数 .若存在实数 使得 对任
意 恒成立，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．
【答案】B
【分析】利用辅助角公式化简函数，再利用差角的正弦公式变形等式，借助恒成立建立关系，并分析计算
可得答案.
【详解】函数
，
依题意， 对任意的 恒成立，
即 对 恒成立，因此 对 恒成立，
于是 ，显然 ，否则 且 ，矛盾，
则 ，显然 ，否则 且 ，矛盾，
从而 ，解得 ，
所以 .
故选：B.
【点睛】关键点睛：把给定的等式利用差角的正弦公式按角展开，借助恒等式建立方程组是解决本问题的
关键.
8．（2024·重庆·模拟预测）（多选）在 中，若 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． 的最大值为 D．
【答案】AC
【分析】根据三角函数的基本关系式，得到 ，可判定A正确；由 ，化简得
到 ，求得 ，可判定D不正确；结合两角和与差的余弦公式，得到
和 ，可判定B错误；结合诱导公式和正弦的倍角公式，可判定C正确.
【详解】由 ，因为 ，可得 ，所以 ，所以A正确；
又由 ，可得 ，
则 ，可得 ，
整理得 ，
可得 ，所以 ，所以D不正确；
由 ，可得 ，可得 ，
当 ，可得 ；
当 ，可得 ，
所以 或 ，所以B错误；
若 ，即 ，可得 ，当且仅当 时，即 时，此时 ，显然等号取不到；
若 ，即 ，可得 ，
当且仅当 时，即 时，此时 ，等号成立，
综上可得， 的最大值为 ，所以C正确.
故选：AC.
9．（2024·山东菏泽·模拟预测）已知 ， ， ，则 ．
【答案】2
【分析】对角进行配凑，利用和差角的正弦公式，结合同角公式计算即得.
【详解】由 ，得 ，
即 ，
整理得 ，由 ，得 ，
则 ， ，于是 ，又 ，
所以 .
故答案为：2
10．（2024·山东泰安·模拟预测）已知 ，则 .
【答案】
【分析】利用两角和的余弦公式化简，再将含 的三角函数弦化切，通过变形即可求出 .
【详解】因为 ，
所以
，
得 ，
所以 ，
则
.
故答案为： .1．（2023·全国·高考真题）过点 与圆 相切的两条直线的夹角为 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，
结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得 ，利用韦达定理结
合夹角公式运算求解.
【详解】方法一：因为 ，即 ，可得圆心 ，半径 ，
过点 作圆C的切线，切点为 ，
因为 ，则 ，
可得 ，
则 ，
，
即 为钝角，
所以 ；
法二：圆 的圆心 ，半径 ，
过点 作圆C的切线，切点为 ，连接 ，
可得 ，则 ，
因为
且 ，则 ，
即 ，解得 ，
即 为钝角，则 ，且 为锐角，所以 ；
方法三：圆 的圆心 ，半径 ，
若切线斜率不存在，则切线方程为 ，则圆心到切点的距离 ，不合题意；
若切线斜率存在，设切线方程为 ，即 ，
则 ，整理得 ，且
设两切线斜率分别为 ，则 ，
可得 ，
所以 ，即 ，可得 ，
则 ，
且 ，则 ，解得 .
故选：B.
2．（2021·北京·高考真题）函数 是
A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2
C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为
【答案】D
【分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可
判断最大值.
【详解】由题意， ，所以该函数为偶函数，
又 ，
所以当 时， 取最大值 .故选：D.
3．（2021·浙江·高考真题）已知 是互不相同的锐角，则在 三个值中，
大于 的个数的最大值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】利用基本不等式或排序不等式得 ，从而可判断三个代数式不
可能均大于 ，再结合特例可得三式中大于 的个数的最大值.
【详解】法1：由基本不等式有 ，
同理 ， ，
故 ，
故 不可能均大于 .
取 ， ， ，
则 ，
故三式中大于 的个数的最大值为2，
故选：C.
法2：不妨设 ，则 ，
由排列不等式可得：
，
而 ，
故 不可能均大于 .
取 ， ， ，
则 ，
故三式中大于 的个数的最大值为2，
故选：C.
【点睛】思路分析：代数式的大小问题，可根据代数式的积的特征选择用基本不等式或拍雪进行放缩，注意根据三角变换的公式特征选择放缩的方向.
4．（2020·全国·高考真题）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值.
【详解】由题意可得： ，
则： ， ，
从而有： ，
即 .
故选：B.
【点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式及其应用，属于中等题.
5．（2020·全国·高考真题）已知2tanθ–tan(θ+ )=7，则tanθ=（ ）
A．–2 B．–1 C．1 D．2
【答案】D
【分析】利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案.
【详解】 ， ，
令 ，则 ，整理得 ，解得 ，即 .
故选：D.
【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题.
6．（2020·浙江·高考真题）已知 ，则 ； ．
【答案】
【分析】利用二倍角余弦公式以及弦化切得 ，根据两角差正切公式得
【详解】 ，，
故答案为：
【点睛】本题考查二倍角余弦公式以及弦化切、两角差正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
7．（2020·江苏·高考真题）已知 = ，则 的值是 .
【答案】
【分析】直接按照两角和正弦公式展开，再平方即得结果.
【详解】
故答案为：
【点睛】本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
8．（2020·全国·高考真题）若 ，则 ．
【答案】
【分析】直接利用余弦的二倍角公式进行运算求解即可.
【详解】 .
故答案为： .
【点睛】本题考查了余弦的二倍角公式的应用，属于基础题.
9．（2019·全国·高考真题）已知 ∈（0， ），2sin2α=cos2α+1，则sinα=
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．
【详解】 ， ．，又 ， ，又 ， ，
故选B．
【点睛】本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦正负，
运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负，很
关键，切记不能凭感觉．
10．（2019·江苏·高考真题）已知 ，则 的值是 .
【答案】 .
【分析】由题意首先求得 的值，然后利用两角和差正余弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求
值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可.
【详解】由 ，
得 ，
解得 ，或 .
，
当 时，上式
当 时，上式=
综上，
【点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转
化与化归思想解题.
11．（2019·北京·高考真题）函数f(x)=sin22x的最小正周期是 ．【答案】 .
【分析】将所给的函数利用降幂公式进行恒等变形，然后求解其最小正周期即可.
【详解】函数 ,周期为
【点睛】本题主要考查二倍角的三角函数公式､三角函数的最小正周期公式，属于基础题.
12．（2019·全国·高考真题）函数 的最小值为 ．
【答案】 .
【分析】本题首先应用诱导公式，转化得到二倍角的余弦，进一步应用二倍角的余弦公式，得到关于
的二次函数，从而得解.
【详解】 ，
， 当 时， ，
故函数 的最小值为 ．
【点睛】解答本题的过程中，部分考生易忽视 的限制，而简单应用二次函数的性质，出现运
算错误．
13．（2018·全国·高考真题）已知 ，则 ．
【答案】
【分析】方法一：利用两角差的正切公式展开，解方程可得 .
【详解】［方法一］：直接使用两角差的正切公式展开
因为 ，所以 ，解之得 ．
故答案为： ．
［方法二］：整体思想＋两角和的正切公式
．
故答案为： ．
［方法三］：换元法＋两角和的正切公式令 ，则 ，且 ．
．
故答案为： ．
【整体点评】方法一：直接利用两角差的正切公式展开，解方程，思路直接；
方法二：利用整体思想利用两角和的正切公式求出；
方法三：通过换元法结合两角和的正切公式求出，是给值求值问题的常用解决方式．
14．（2018·全国·高考真题）已知 ， ，则 ．
【答案】
【分析】方法一：将两式平方相加即可解出．
【详解】［方法一］：【最优解】
两式两边平方相加得 ， ．
［方法二］： 利用方程思想直接解出
，两式两边平方相加得 ，则 ．
又 或 ，所以 ．
［方法三］： 诱导公式＋二倍角公式
由 ，可得 ，则 或
．
若 ，代入得 ，即
．
若 ，代入得 ，与题设矛盾．
综上所述， ．
［方法四］：平方关系＋诱导公式由 ，得 ．
又 ， ，即 ，则
．从而 ．
［方法五］：和差化积公式的应用
由已知得
，则 或 ．
若 ，则 ，即 ．
当k为偶数时， ，由 ，得 ，又
，所以 ．
当k为奇数时， ，得 ，这与已知矛盾．
若 ，则 ．则 ，得 ，
这与已知矛盾．
综上所述， ．
【整体点评】方法一：结合两角和的正弦公式，将两式两边平方相加解出，是该题的最优解；
方法二：通过平方关系利用方程思想直接求出四个三角函数值，进而解出；
方法三：利用诱导公式寻求角度之间的关系，从而解出；
方法四：基本原理同方法三，只是寻找角度关系的方式不同；
方法五：将两式相乘，利用和差化积公式找出角度关系，再一一验证即可解出，该法稍显麻烦．
15．（2018·全国·高考真题）若 ，则
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】分析：由公式 可得结果.
详解：
故选B.
点睛：本题主要考查二倍角公式，属于基础题.16．（2018·全国·高考真题）函数 的最小正周期为
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】分析:将函数 进行化简即可
详解：由已知得
的最小正周期
故选C.
点睛：本题主要考查三角函数的化简和最小正周期公式，属于中档题
17．（2018·全国·高考真题）已知函数 ，则
A． 的最小正周期为 ，最大值为
B． 的最小正周期为 ，最大值为
C． 的最小正周期为 ，最大值为
D． 的最小正周期为 ，最大值为
【答案】B
【分析】首先利用余弦的倍角公式，对函数解析式进行化简，将解析式化简为 ，之后应
用余弦型函数的性质得到相关的量，从而得到正确选项.
【详解】根据题意有 ，
所以函数 的最小正周期为 ，
且最大值为 ，故选B.
【点睛】该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质，在解
题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果.
