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8 数学广角——搭配（二）
本单元是教学有关搭配的知识，不仅是组合数学的初步知识，也是
学生今后学习概率统计的基础，更是日常生活中应用比较广泛的数学知
识。学习内容与以往相比更加系统全面，难度稍有提升，不仅数据加大
了，而且问题情况也更加复杂，对学生的能力要求也更高，如教科书给
出了更简洁、更抽象的表达方式，旨在进一步培养学生有序、全面思考
问题的能力，同时也更加注重培养学生学习数学的兴趣和用数学方法解
决问题的意识。
教科书广泛选取学生熟悉的事例，易于学生把握问题结构，借助生
活经验理解和思考，同时能使学生更好地体会数学的应用价值。此外，
还通过直观图示把抽象的思考过程呈现出来，突出了有序、全面的思考
方法，体现了数形结合的思想，也体现了此阶段对学生思维水平的要求。
本单元的三个例题都呈现了多种解决问题的方法和策略，如写一写、画
一画、连一连等活动，让学生体会并理解抽象的数学方法。
学生在二年级上册“数学广角”的学习中已经接触了简单的排列和
组合内容，通过具体操作、观察、猜测等活动初步感受了排列组合的思
想和方法。排列组合的知识对于三年级的学生来说比较抽象，此时，学
生解决这类问题的经验和方法还停留在二年级具体操作的层面上。本单
元教科书的设计意图是通过直观图示把抽象的思考过程呈现出来，突出
了有序、全面的思考方法，体现了数形结合的思想；同时也体现了此阶
段对学生思维水平的要求，便于教师把握教学重点。1．创设学生熟悉的情境和活动，经历知识的形成过程，培养“四
能”。数学教学要让学生经历知识的形成过程，因此教学中要有意识地
创设学生熟悉的情境，帮助他们联系自己身边具体的事物发现并提出问
题，通过观察、操作、猜想等活动，感受数学和生活的密切联系。
2．借助多种学习方式和关键性问题，引导学生的思维活动逐步走向
深入，掌握有序、全面思考问题的方法。教学中，需要通过多种活动把
排列组合这些抽象的知识直观化、具体化。要用写一写、画一画、摆一
摆等多种形式表示思维过程，在教学中可以采用独立思考表达想法、动
手实践体验思考、同伴互助分享思维、小组合作相互读懂等多种学习方
式，促进学生的思考与交流。
3．把握教学要求，“到位”而不“越位”。教学中，既要指导学生
根据实际问题采取枚举、连线等形式有序地、不重不漏地找出事物的排
列数和组合数，还要注意只要求学生用图示的方式把所有的排列或组合
情况列举出来，不要求抽象地计算出一共有多少种排列数或组合数，不
要拔高要求。教学中应鼓励学生用自己喜欢的方式表达思维过程和结果，
但是诸如排列、组合、分类计数原理、分步计数原理等名词，不必出现
也不用向学生进行解释。第1课时 稍复杂的排列问题
◎教学笔记
▶教学内容
教科书P94例1及“做一做”，教科书P97“练习二十”第1、2题。
▶教学目标
1．经历探究稍复杂事物排列数的过程，掌握排列两位数的方法。
2．进一步提升观察、推理能力，体会分类讨论思想，养成有序思考
的习惯。
3．感受数学和现实生活的密切联系，激发学生的学习兴趣，培养学
生全面思考问题的意识。
▶教学重点
能够熟练地进行有序思考，掌握排列两位数的方法。
▶教学难点
培养有序思考的方法，使思维富有条理性。
▶教学准备
课件、数字卡片。
▶教学过程
一、情境引入，揭示课题
师：老师这里有一个密码箱，两个数码孔分别为0～9中的一个数字，
你知道这个密码箱可以设置多少种不同的密码吗？
【学情预设】学生可能会无序地说出两位数的密码，如 01，02，
03，11，12，13等，但要具体算出可以设置多少种不同的密码，对学生
来说有一定的难度。
师：同学们，只要通过今天的学习，你们就一定会知道答案的。今
天我们就来学习像这样稍复杂的排列问题。（板书课题：稍复杂的排列
问题）
二、交流探讨，建构新知识
1．没有0的4个数字组成的两位数。
课件出示习题。学生在小组内探讨交流，教师巡视指导后，指名学生汇报。（根据 ◎教学笔记
汇报适时板书）
【学情预设】预设1：学生任意选两个数字进行组合，有遗漏情况，
还有重复使用数字的情况。（教师追问：为什么有重复和遗漏的情况？
引导学生明确要进行有序排列才能不重不漏。）
预设2：还有学生用1、3组成13，然后再交换位置变成31；用1、7
【教学提示】
学生在交流
组成17，然后再交换位置变成71；用1、9组成19，然后再交换位置变
汇报时，要鼓励
成91。接着用3、7组成37，交换位置变成73；用3、9组成39，交换位 学生简洁的表达
自己的思路，可
置变成93。最后用7、9组成79，交换位置变成97。能组成12个没有重
以一边说一边用
数字卡片演示思
复数字的两位数。（教师可引导学生给这种方法取个名字，例如“交换
维过程（或有序
法”。） 板书），引导学
生有序、全面地
预设3：可以先确定十位上的数字，再确定个位上的数字，列举如下：
呈现问题的答案。
①十位排 1，可以组成 13，17，19。②十位排 3，可以组成 31，37，
39。③十位排 7，可以组成 71，73，79。④十位排 9，可以组成 91，
93，97。一共是3×4＝12（种）。 （教师可引导学生给这种方法取个名
字，例如“固定十位法”“固定高位法”。）
预设4：可以先确定个位上的数字，再确定十位上的数字，列举如下：
①个位排 1，可以组成 31，71，91。②个位排 3，可以组成 13，73，
93。③个位排 7，可以组成 17，37，97。④个位排 9，可以组成 19，
39，79。一共是3×4＝12（种）。 （教师可引导学生给这种方法取个名
字，例如“固定个位法”“固定低位法”。）
师：同学们的想法都不错，探究出了交换法、固定高位法、固定低
位法。无论哪种方法，都是将这4个数字进行有序排列，才能做到不重
不漏。你更喜欢哪一种方法呢？和你的同桌说一说吧！
【设计意图】在教学教科书例1前，增加没有数字0的数组的例题，
降低例题的难度。给学生自主思考、合作交流的时间，在交流中实现资
源共享，完善有序思考的过程，为下面的学习打下坚实的基础。
2．有0的4个数字组成的两位数。课件出示教科书P94例1。
◎教学笔记
师：你能用刚才探究出的方法解决这个问题吗？
学生在练习本上独立完成后汇报交流。
【学情预设】预设1：用交换法，可以组成 13，31，15，51，35，
53，10，30，50这9个没有重复数字的两位数。
预设2：用固定十位法，列举如下：
【教学提示】
不管学生用
哪种方法呈现两
位数，都要突出
“有序”二字。
可以组成10，13，15，30，31，35，50，51，53这9个没有重复数
字的两位数。
预设3：用固定个位法，可以组成 10，30，50，31，51，13，53，
15，35这9个没有重复数字的两位数。
教师根据学生的回答，及时进行鼓励与评价。
3．对比区分。
课件出示前面两题用固定十位法罗列的所有情况。
师：同学们想一想，都是用 4 个数字组成没有重复数字的两位数，
为什么组成的总个数不同呢？
【学情预设】因为十位上不能是0。
【设计意图】利用已有的活动经验，借助正迁移，引导学生自主探
究，鼓励学生用简洁的语言表达自己的思路，从而全面地呈现问题的答
案，进一步发展有序思考的能力。
4．解决开课时提出的问题。
师：现在同学们能解决密码箱可以设置多少种不同的密码的问题吗？课件出示开课问题。
◎教学笔记
【学情预设】因为是设置密码，所以数码孔里的数字都可以为 0，教
师引导学生说出第一个数码孔可以为0～9这10个数字中的任意一个，
第二个数码孔也可以为0～9这10个数字中的任意一个。两个数码孔的
密码可以设置出10×10＝100（种）。
师：通过今天的学习，同学们将问题都一一解决了，真厉害！
三、巩固练习
1．完成教科书P94“做一做”第1题。
师：请同学们独立完成，再汇报结果。
【学情预设】大部分同学用固定十位法得出：十位上是2的两位数有
20，24，26；十位上是4的两位数有40，42，46；十位上是6的两位数
有60，62，64。可以组成9个没有重复数字的两位数。
【设计意图】本题的结构与例1相同，设计此题是为了巩固和熟练所
学的方法，进一步完善有序思考的思维方式。
2．完成教科书P94“做一做”第2题。
师：“每人至少分到1块”是什么意思？请同学们先弄清题意，再以
小组为单位合作交流，汇报结果。
【学情预设】先分给小丽1块，再将剩下的4块分给小明和小红，有
3种分法；先分给小丽2块，剩下的3块分给小明和小红，有2种分法；
先分给小丽3块，剩下的2块分给小明和小红，有 1种分法。最后将所
有分法种数相加，即可求得共有6种分法。
3．完成教科书P97“练习二十”第1、2题。
【教学提示】
学生独立完成后，再在小组讨论交流，教师巡视指导。
在解决第1题
【学情预设】第1题，如果唐僧的位置不变，孙悟空在最左边，有 2 时，可以画图帮
助更直观的理解
题意。种坐法，即：孙悟空、猪八戒、唐僧、沙僧和孙悟空、沙僧、唐僧、猪
八戒。同样地，如果猪八戒坐在最左边，也有2种坐法，沙僧坐在最左
◎教学笔记
边，也有2种坐法，因此一共有6种坐法。
第2题，满足组成的两位数是单数，则个位上不能是 2。可以先选择
个位上是5，则十位上是2，7或9，有3种排法；个位上如果是7，则十
位上是 2，5或9，有 3种排法；个位上如果是 9，则十位上是 2，5或
7，也有3种排法。因此共有3＋3＋3＝9（种）排法。
【设计意图】通过练习，巩固寻找排列数的方法，感受生活中的排
列现象，培养学生从数学角度看待事物的意识，培养学生根据关键信息
用不同的方法解决问题的能力。
四、课堂小结
师：同学们，通过本节课的学习，你们有哪些收获呢？
【板书设计】
稍复杂的排列问题
按顺序 不重不漏
交换法
“固定十位法”即“固定高位法”
“固定个位法”即“固定低位法”
▶教学反思
本节课利用学生已有的活动经验，将过去简单的排列知识迁移到今
天的学习当中。在教学中，鼓励学生用自己的方式探究、展现问题的答
案，选取典型的、需有序思考的案例进行展示，让学生相互交流、评价，
体会有序、全面、简洁的解答的优点。本课在处理习题时，需沟通几个
问题之间的联系，对学生感觉难理解的问题要着重分析、引导。
▶作业设计
见“状元成才路”系列丛书《创优作业100分》对应课时作业。
一、用0﹑3﹑8﹑9组成没有重复数字的两位数。◎教学笔记
能组成（ ）个没有重复数字的两位数。
二、4人站成一排，才才的位置不变，其他人可以任意换位置。一共
有多少种站法？
三、用2、3、4、5能组成哪些没有重复数字且个位是双数的两位数？
四、按要求，从2、5、0、8中选两个数字和小数点组成没有重复数
字的小数。
1．小于1的一位小数。
2．大于5的一位小数。
五、姐姐给3个表妹准备了6个红包，每个红包10元，每人至少分
到1个红包。一共有多少种分法？最多的可以分到多少元？
参考答案
一、填表略 9
二、6种
三、可以组成32、42、52、24、34、54。
四、1．0.2、0.5、0.8。
2．5.2、5.8、8.2、8.5、8.0。
五、6＝1＋1＋4 有3种分法。
6＝1＋2＋3 有6种分法。
6＝2＋2＋2 有1种分法。
3＋6＋1＝10（种） 10×4＝40（元）
