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2011 年浙江省高考数学试卷（文科）
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1．（5分）（2011•浙江）若P＝{x|x＜1}，Q＝{x|x＞1}，则（ ）
A．P Q B．Q P C． P Q D．Q P
R R
2．（5分⊆）（2011•浙江）若复⊆数z＝1+i，i为虚数单∁位，⊆则（1+z）•z＝（ ⊆ ∁）
A．1+3i B．3+3i C．3﹣i D．3
{x+2y−5≥0
)
3．（5分）（2011•浙江）若实数x，y满足不等式组 2x+ y−7≥0 ，则3x+4y的最小值
x≥0，y≥0
是（ ）
A．13 B．15 C．20 D．28
4．（5分）（2011•浙江）若直线l不平行于平面 ，且l ，则（ ）
A． 内存在直线与l异面 α ⊄α
B．α内存在与l平行的直线
C．α内存在唯一的直线与l平行
D．α内的直线与l都相交
5．（5α分）（2011•浙江）在△ABC中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c．若acosA
＝bsinB，则sinAcosA+cos2B＝（ ）
1 1
A．− B． C．﹣1 D．1
2 2
1
6．（5分）（2011•浙江）若a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“b＜ ”的（ ）
a
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
7．（5分）（2011•浙江）几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（
）A． B． C． D．
8．（5分）（2011•浙江）从已有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球
中至少有1个白球的概率是（ ）
1 3 3 9
A． B． C． D．
10 10 5 10
9．（5分）（2011•浙江）已知椭圆C ：x2 y2 1（a＞b＞0）与双曲线C ：x2 y2 1有
1 + = 2 − =
a2 b2 4
公共的焦点，C 的一条渐近线与以C 的长轴为直径的圆相交于A，B两点．若C 恰好
2 1 1
将线段AB三等分，则（ ）
13 1
A．a2= B．a2＝3 C．b2= D．b2＝2
2 2
10．（5分）（2011•浙江）设函数f（x）＝ax2+bx+c（a，b，c R），若x＝﹣1为函数y
＝f（x）ex的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f（x）的图∈象是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（共7小题，每小题4分，满分28分）4
11．（4分）（2011•浙江）设函数f(x)= ，若f（a）＝2，则实数a＝ ．
1−x
12．（4分）（2011•浙江）若直线x﹣2y+5＝0与直线2x+my﹣6＝0互相垂直，则实数m＝
．
13．（4分）（2011•浙江）某小学为了解学生数学课程的学习情况，在 3000名学生中随
机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方
图（如图）．根据频率分布直方图3000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生
数是 ．
14．（4分）（2011•浙江）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是 ．
15．（4分）（2011•浙江）若平面向量→，→满足|→|＝1，|→|≤1，且以向量 ， 为邻边的
α β α β
α β
1
平行四边形的面积为 ，则 和 的夹角 的范围是 ．
2
α β θ
16．（4 分）（2011•浙江）若实数 x，y 满足 x2+y2+xy＝1，则 x+y 的最大值是
．
2 n
17．（4分）（2011•浙江）若数列{n(n+4)( ) }中的最大项是第k项，则k＝ ．
3
三、解答题（共5小题，满分72分）π π
18．（14分）（2011•浙江）已知函数f(x)=Asin( x+φ)，x R，A＞0，0＜φ＜ ．y
3 2
∈
＝f（x）的部分图象，如图所示，P、Q分别为该图象的最高点和最低点，点P的坐标
为（1，A）．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及 的值；
φ 2π
（Ⅱ）若点R的坐标为（1，0），∠PRQ= ，求A的值．
3
1
19．（14分）（2011•浙江）已知公差不为0的等差数列{a }的首项a （a R），且 ，
n 1 1 a
1
∈
1 1
， 成等比数列．
a a
2 4
（Ⅰ）求数列{a }的通项公式；
n
（Ⅱ）对n N*，试比较 1 1 1 1 与 1 的大小．
+ + +⋯+
a a a a a
2 22 23 2n 1
∈
20．（14分）（2011•浙江）如图，在三棱锥 P﹣ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，
PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．
（Ⅰ）证明：AP⊥BC；
（Ⅱ）已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2．求二面角B﹣AP﹣C的大小．
21．（15分）（2011•浙江）设函数f（x）＝a2lnx﹣x2+ax，a＞0，且f（1）≥e﹣1．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间（Ⅱ）求所有的实数a，使e﹣1≤f（x）≤e2对x [1，e]恒成立．注：e为自然对数的底
数． ∈
22．（15分）（2011•浙江）如图，设P是抛物线C ：x2＝y上的动点．过点P做圆C ：
1 2
x2+（y+3）2＝1的两条切线，交直线l：y＝﹣3于A，B两点．
（Ⅰ）求C 的圆心M到抛物线C 准线的距离．
2 1
（Ⅱ）是否存在点P，使线段AB被抛物线C 在点P处的切线平分？若存在，求出点P
1
的坐标；若不存在，请说明理由．2011 年浙江省高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1．（5分）（2011•浙江）若P＝{x|x＜1}，Q＝{x|x＞1}，则（ ）
A．P Q B．Q P C． P Q D．Q P
R R
【答案⊆】D ⊆ ∁ ⊆ ⊆∁
【分析】利用集合的补集的定义求出P的补集；利用子集的定义判断出Q P．
R
【解答】解：∵P＝{x|x＜1}， ⊆∁
∴ P＝{x|x≥1}，
R
∵∁Q＝{x|x＞1}，
∴Q P，
R
故选⊆：∁D．
【点评】本题考查利用集合的交集、补集、并集定义求交集、补集、并集；利用集合包
含关系的定义判断集合的包含关系．
2．（5分）（2011•浙江）若复数z＝1+i，i为虚数单位，则（1+z）•z＝（ ）
A．1+3i B．3+3i C．3﹣i D．3
【答案】A
【分析】利用两个复数代数形式的乘法法则，把（1+z）•z化简到最简形式．
【解答】解：∵复数z＝1+i，i为虚数单位，则（1+z）•z＝（2+i）（1+i）＝1+3i
故选：A．
【点评】本题考查两个复数代数形式的乘法，以及虚数单位的幂运算性质．
{x+2y−5≥0
)
3．（5分）（2011•浙江）若实数x，y满足不等式组 2x+ y−7≥0 ，则3x+4y的最小值
x≥0，y≥0
是（ ）
A．13 B．15 C．20 D．28
【答案】A
{x+2y−5≥0
)
【分析】我画出满足不等式组 2x+ y−7≥0 的平面区域，求出平面区域中各角点的坐
x≥0，y≥0
标，然后利用角点法，将各个点的坐标逐一代入目标函数，比较后即可得到3x+4y的最
小值．{x+2y−5≥0
)
【解答】解：满足约束条件 2x+ y−7≥0 的平面区域如下图所示：
x≥0，y≥0
由图可知，当x＝3，y＝1时
3x+4y取最小值13
故选：A．
【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函
数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程
组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，
最后比较，即可得到目标函数的最优解．
4．（5分）（2011•浙江）若直线l不平行于平面 ，且l ，则（ ）
A． 内存在直线与l异面 α ⊄α
B．α内存在与l平行的直线
C．α内存在唯一的直线与l平行
D．α内的直线与l都相交
【答α案】A
【分析】根据线面关系的定义，我们根据已知中直线l不平行于平面 ，且l ，判断出
直线l与 的关系，利用直线与平面相交的定义，我们逐一分析四个α答案，⊄即α可得到结
论． α
【解答】解：直线l不平行于平面 ，且l ，
则l与 相交 α ⊄α
l与 内α的直线可能相交，也可能异面，但不可能平行
故Bα，C，D错误故选：A．
【点评】本题考查线线、线面位置关系的判定，考查逻辑推理能力和空间想象能力．其
中利用已知判断出直线l与 的关系是解答本题的关键．
5．（5分）（2011•浙江）在△αABC中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c．若acosA
＝bsinB，则sinAcosA+cos2B＝（ ）
1 1
A．− B． C．﹣1 D．1
2 2
【答案】D
【分析】利用三角形中的正弦定理，将已知等式中的边用三角形的角的正弦表示，代入
要求的式子，利用三角函数的平方关系求出值．
【解答】解：∵acosA＝bsinB
由正弦定理得sinAcosA＝sinBsinB
∴sinAcosA+cos2B＝sin2B+cos2B＝1
故选：D．
【点评】本题考查三角形中的正弦定理、余弦定理、三角函数的平方关系．
1
6．（5分）（2011•浙江）若a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“b＜ ”的（ ）
a
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】D
1 1
【分析】根据不等式的性质，我们先判断“0＜ab＜1” “b＜ ”与“b＜ ” “0
a a
⇒ ⇒
＜ab＜1”的真假，然后结合充要条件的定义即可得到答案．
【解答】解：若“0＜ab＜1”
1
当a，b均小于0时，b＞
a
1
即“0＜ab＜1” “b＜ ”为假命题
a
⇒
1
若“b＜ ”
a
当a＜0时，ab＞11
即“b＜ ” “0＜ab＜1”为假命题
a
⇒
1
综上“0＜ab＜1”是“b＜ ”的既不充分也不必要条件
a
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是必要条件，充分条件与充要条件的判断，及不等式的性质，
1 1
其中根据不等式的性质判断“0＜ab＜1” “b＜ ”与“b＜ ” “0＜ab＜1”的
a a
⇒ ⇒
真假，是解答本题的关键．
7．（5分）（2011•浙江）几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（
）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】A、C选项中正视图不符合，D答案中侧视图不符合，由排除法即可选出答案．
【解答】解：A、C选项中正视图不符合，A的正视图为 ，
C的正视图为
D答案中侧视图不符合．D答案中侧视图为故选：B．
【点评】本题考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力．
8．（5分）（2011•浙江）从已有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球
中至少有1个白球的概率是（ ）
1 3 3 9
A． B． C． D．
10 10 5 10
【答案】D
【分析】用间接法，首先分析从5个球中任取3个球的情况数目，再求出所取的3个球
中没有白球即全部红球的情况数目，计算可得没有白球的概率，而“没有白球”与“3
个球中至少有1个白球”为对立事件，由对立事件的概率公式，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，首先分析从5个球中任取3个球，共C 3＝10种取法，
5
所取的3个球中没有白球即全部红球的情况有C 3＝1种，
3
1
则没有白球的概率为 ；
10
9
则所取的3个球中至少有1个白球的概率是 ．
10
故选：D．
【点评】本题考查古典概型的计算，注意至多、至少一类的问题，可以选用间接法，即
借助对立事件的概率的性质，先求其对立事件的概率，进而求出其本身的概率．
9．（5分）（2011•浙江）已知椭圆C ：x2 y2 1（a＞b＞0）与双曲线C ：x2 y2 1有
1 + = 2 − =
a2 b2 4
公共的焦点，C 的一条渐近线与以C 的长轴为直径的圆相交于A，B两点．若C 恰好
2 1 1
将线段AB三等分，则（ ）
13 1
A．a2= B．a2＝3 C．b2= D．b2＝2
2 2
【答案】C
【分析】先由双曲线方程确定一条渐近线方程为y＝2x，根据对称性易知AB为圆的直径
且AB＝2a，利用椭圆与双曲线有公共的焦点，得方程a2﹣b2＝5；设C 与y＝2x在第一
1
象限的交点的坐标为（x，2x），代入C 的方程得： a2b2 ；对称性知直线y＝2x
1 x2=
b2+4a22a
被C 截得的弦长＝2❑√5x，根据C 恰好将线段AB三等分得：2❑√5x= ，从而可解出
1 1
3
a2，b2的值，故可得结论．
【解答】解：由题意，C 的焦点为（±❑√5，0），一条渐近线方程为y＝2x，根据对称性
2
易知AB为圆的直径且AB＝2a
∴C 的半焦距c=❑√5，于是得a2﹣b2＝5 ①
1
设C 与y＝2x在第一象限的交点的坐标为（x，2x），代入C 的方程得： a2b2
1 1 x2=
b2+4a2
②，
由对称性知直线y＝2x被C 截得的弦长＝2❑√5x，
1
2a a
由题得：2❑√5x= ，所以x= ③
3 3❑√5
由②③得a2＝11b2 ④
由①④得a2＝5.5，b2＝0.5
故选：C．
【点评】本题以椭圆，双曲线为载体，考查直线与圆锥曲线的位置关系，解题思路清晰，
但计算有点烦琐，需要小心谨慎．
10．（5分）（2011•浙江）设函数f（x）＝ax2+bx+c（a，b，c R），若x＝﹣1为函数y
＝f（x）ex的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f（x）的图∈象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先求出函数f（x）ex的导函数，利用x＝﹣1为函数f（x）ex的一个极值点可得
a，b，c之间的关系，再代入函数f（x）＝ax2+bx+c，对答案分别代入验证，看哪个答案不成立即可．法二：令函数f（x）＝ax2+bx+a，由此得函数相应方程的两根之积为
1，对照四个选项发现，D不成立．
【解答】解：由 y＝f（x）ex＝ex（ax2+bx+c） y′＝f′（x）ex+exf（x）＝ex[ax2+
（b+2a）x+b+c]， ⇒
由x＝﹣1为函数f（x）ex的一个极值点可得，﹣1是方程ax2+（b+2a）x+b+c＝0的一个
根，
所以有a﹣（b+2a）+b+c＝0 c＝a．
⇒ b
法一：所以函数f（x）＝ax2+bx+a，对称轴为x=− ，且f（﹣1）＝2a﹣b，f（0）＝
2a
a．
对于A，由图得a＞0，f（0）＞0，f（﹣1）＝0，不矛盾，
对于B，由图得a＜0，f（0）＜0，f（﹣1）＝0，不矛盾，
b
对于C，由图得a＜0，f（0）＜0，x=− ＞0 b＞0 f（﹣1）＜0，不矛盾，
2a
⇒ ⇒
b
对于D，由图得a＞0，f（0）＞0，x=− ＜−1 b＞2a f（﹣1）＜0与原图中f（﹣
2a
⇒ ⇒
1）＞0矛盾，D不对．
法二：所以函数f（x）＝ax2+bx+a，由此得函数相应方程的两根之积为1，对照四个选
项发现，D不成立．
故选：D．
【点评】本题考查极值点与导函数之间的关系．一般在知道一个函数的极值点时，直接
把极值点代入导数令其等0即可．可导函数的极值点一定是导数为0的点，但导数为0
的点不一定是极值点．
二、填空题（共7小题，每小题4分，满分28分）
4
11．（4分）（2011•浙江）设函数f(x)= ，若f（a）＝2，则实数a＝ ﹣ 1 ．
1−x
【答案】见试题解答内容
4
【分析】将x＝a代入到f（x），得到 =2．再解方程即可得．
1−a
4
【解答】解：由题意，f（a）= =2，
1−a
解得，a＝﹣1．
故a＝﹣1．【点评】本题是对函数值的考查，属于简单题．对这样问题的解答，旨在让学生体会函
数，函数值的意义，从而更好的把握函数概念，进一步研究函数的其他性质．
12．（4分）（2011•浙江）若直线x﹣2y+5＝0与直线2x+my﹣6＝0互相垂直，则实数m＝
1 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】求出两条直线的斜率；利用两直线垂直斜率之积为﹣1，列出方程求出m的值．
1
【解答】解：直线x﹣2y+5＝0的斜率为
2
2
直线2x+my﹣6＝0的斜率为−
m
∵两直线垂直
1 2
∴ ×(− )=−1
2 m
解得m＝1
故答案为：1
【点评】本题考查由直线方程的一般式求直线的斜率、考查两直线垂直斜率之积为﹣
1．
13．（4分）（2011•浙江）某小学为了解学生数学课程的学习情况，在 3000名学生中随
机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方
图（如图）．根据频率分布直方图3000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生
数是 60 0 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先计算成绩小于60 的三个小矩形的面积之和，即成绩小于60 的学生的频
率，再乘以3000即可．
【解答】解：由频率分布直方图成绩小于60 的学生的频率为10（0.002+0.006+0.012）
＝0.2，所以成绩小于60分的学生数是3000×0，2＝600
故答案为：600
【点评】本题考查频率分布直方图和由频率分布直方图估计总体的分布，考查识图能力．
14．（4分）（2011•浙江）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是 7 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】本题循环结构是当型循环结构，根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，
然后执行循环语句，一旦不满足条件就退出循环，从而到结论．
【解答】解：如图，这个循环结构是当型循环结构，
第一次循环：S＝100﹣20＝99，k＝1；
第二次循环：S＝99﹣2＝97，k＝2；
第三次循环：S＝97﹣22＝93，k＝3；
第四次循环：S＝93﹣23＝85，k＝4；
第五次循环：S＝85﹣24＝69，k＝5；
第六次循环：S＝69﹣25＝37，k＝6；
第七次循环：S＝37﹣26＝﹣27，k＝7．
∵S＝﹣27＜0，
∴输出k＝7．
故答案为：7．【点评】本题考查当型循环结构的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
15．（4分）（2011•浙江）若平面向量→，→满足|→|＝1，|→|≤1，且以向量 ， 为邻边的
α β α β
α β
1
平行四边形的面积为 ，则 和 的夹角 的范围是 [30 ° ， 150° ] ．
2
α β θ
【答案】见试题解答内容
【分析】根据平行四边形的面积，得到对角线分成的两个三角形的面积，利用正弦定理
写出三角形面积的表示式，表示出要求角的正弦值，根据角的范围写出符合条件的角．
1 1
【解答】解：∵ | → || → |sin =
α β
2 4
θ
1
∴sin = ，
→ →
2|α||β|
θ
∵|→|＝1，|→|≤1，
α β
1
∴sin ≥ ，
2
θ
∵ [0， ]
∴θ∈[30°，π 150°]，
θ∈ π 5π
故答案为：[30°，150°]，或[ ， ]，
6 6
【点评】本题考查两个向量的夹角，考查利用正弦定理表示三角形的面积，考查不等式
的变化，是一个比较简单的综合题目．
2❑√3
16．（4分）（2011•浙江）若实数x，y满足x2+y2+xy＝1，则x+y的最大值是 ．
3
【答案】见试题解答内容(x+ y) 2
【分析】利用基本不等式，根据xy≤ 把题设等式整理成关于x+y的不等式，求
4
得其范围，则x+y的最大值可得．
【解答】解：∵x2+y2+xy＝1
∴（x+y）2＝1+xy
(x+ y) 2
∵xy≤
4
(x+ y) 2 2❑√3 2❑√3
∴（x+y）2﹣1≤ ，整理求得− ≤x+y≤
4 3 3
2❑√3
∴x+y的最大值是
3
2❑√3
故答案为：
3
【点评】本题主要考查了基本不等式．应熟练掌握如均值不等式，柯西不等式等性质．
2 n
17．（4分）（2011•浙江）若数列{n(n+4)( ) }中的最大项是第k项，则k＝ 4 ．
3
【答案】见试题解答内容
【分析】求数列的最大值，可通过做差或做商比较法判断数列的单调性处理．
2 n
【解答】解：令a =n(n+4)( ) ，
n 3
2 n+1
(n+1)(n+5)( )
a 3 2 (n+1)(n+5)
假设 n+1= = ≥1，
a 2 n 3 n(n+4)
n n(n+4)( )
3
则2（n+1）（n+5）≥3n（n+4），即n2≤10，所以n＜4，
又n是整数，即n≤3时，a ＞a ，
n+1 n
当n≥4时，a ＜a ，
n+1 n
所以a 最大．
4
故答案为：4．
【点评】本题考查数列的最值问题，利用做差或做商比较法判断数列的单调性是求数列
最值的常用方式．
三、解答题（共5小题，满分72分）
π π
18．（14分）（2011•浙江）已知函数f(x)=Asin( x+φ)，x R，A＞0，0＜φ＜ ．y
3 2
∈＝f（x）的部分图象，如图所示，P、Q分别为该图象的最高点和最低点，点P的坐标
为（1，A）．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及 的值；
φ 2π
（Ⅱ）若点R的坐标为（1，0），∠PRQ= ，求A的值．
3
【答案】见试题解答内容
π
【分析】（I）由已知函数f(x)=Asin( x+φ)，我们易求出函数的最小正周期，又由
3
π
P的坐标为（1，A），我们易构造出一个关于 的三角方程，结合0＜φ＜ 解三角方
2
φ
程即可求出 值．
φ 2π
（II）根据（I）的结论及R的坐标，和∠PRQ= ，利用余弦定理我们易构造出一个
3
关于A的方程，解方程即可得到A的值．
2π
= =
【解答】解：（I）由题意得，T π 6
3
π
∵P（1，A）在函数f(x)=Asin( x+φ)的图象上
3
π
∴sin( +φ)=1
3
π
又∵0＜φ＜
2
π
∴ =
6
φ
（II）由P、Q分别为该图象的最高点和最低点，点P的坐标为（1，A），结合（I）可
知点Q的坐标为（4，﹣A）
2π
连接PQ，在△PRQ中，∠PRQ=
3
π
可得，∠QRX= ，作QM⊥X轴于M，则QM＝A，RM＝3，
6π ❑√3 QM A
所以有tan = = =
6 3 RM 3
∴A=❑√3
【点评】本题考查的知识点是函数y＝Asin（ x+ ）的图象变换，三角函数的周期性及
其求法，其中根据已知中条件构造关于参数Aω， φ是解答本题的关键．
1
φ
19．（14分）（2011•浙江）已知公差不为0的等差数列{a }的首项a （a R），且 ，
n 1 1 a
1
∈
1 1
， 成等比数列．
a a
2 4
（Ⅰ）求数列{a }的通项公式；
n
（Ⅱ）对n N*，试比较 1 1 1 1 与 1 的大小．
+ + +⋯+
a a a a a
2 22 23 2n 1
∈
【答案】见试题解答内容
1 1 1
【分析】（Ⅰ）由 ， ， 成等比数列，利用等比数列的性质及等差数列的通项公
a a a
1 2 4
式列出关于首项和公差的方程，根据公差d不为0，解得公差d与首项相等，然后根据
首项和公差写出数列的通项公式即可；
（Ⅱ）设T
n=
1
+
1
+
1
+⋯+
1 与根据（Ⅰ）中求得的通项公式表示出
a
，然后
a a 2 a 3 a n 2n
2 2 2 2
利用等比数列的前n项和的公式求出T ，即可比较出两者的大小关系．
n
【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a }的公差为d，由题意可知 1 2 1 1 ，
n ( ) = ×
a a a
2 1 4
即（a +d）2＝a （a +3d），从而a d＝d2，
1 1 1 1
因为d≠0，所以d＝a ，
1
故a ＝nd＝na ；
n 1
（Ⅱ）记T
n=
1
+
1
+⋯+
1 ，由a
n
＝na
1
，得
a =
2na
1
，
a a 2 a n 2n
2 2 2
1 1
(1− )
1 1 1 1 1 1 1 2 2n 1 1 1
则T = + +⋯+ =（ + +⋯+ ） = × =（1− ）
n 2a 22a 2na 2 22 2n a 1 a 2n a
1 1 1 1 1− 1 1
2，
1 1
当a ＞0时，T＜ ；当a ＜0时，T＞ ．
1 n a 1 n a
1 1
【点评】此题考查学生掌握等比数列的性质，利用运用等比数列的通项公式及前n项和
的公式化简求值，是一道中档题．
20．（14分）（2011•浙江）如图，在三棱锥 P﹣ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，
PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．
（Ⅰ）证明：AP⊥BC；
（Ⅱ）已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2．求二面角B﹣AP﹣C的大小．
【答案】见试题解答内容
【分析】（I）由题意．因为PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上所以BC⊥PO．有
AB＝AC，D为BC的中点，得到BC⊥AD，进而得到线面垂直，即可得到所证；
（II）有（I）利用面面垂直的判定得到PA⊥平面BMC，再利用二面角的定义得到二面
角的平面角，然后求出即可．
【解答】解：（I）由题意画出图如下：
由AB＝AC，D为BC的中点，得AD⊥BC，
又PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，得到PO⊥BC，
∵PO∩AD＝O∴BC⊥平面PAD，故BC⊥PA．
（II）如图，在平面PAB中作BM⊥PA于M，连接CM，
∵BC⊥PA，∴PA⊥平面BMC，∴AP⊥CM，故∠BMC为二面角B﹣AP﹣C的平面角，
在直角三角形ADB中，AB2=AD2+BD2=41得 ：A=❑B√41；
在直角三角形 POD 中，PD2＝PO2+OD2，在直角三角形 PDB 中，PB2＝PD2+BD2，
∴PB2＝PO2+OD2+BD2＝36，得PB＝6，
在直角三角形POA中，PA2＝AO2+OP2＝25，得PA＝5，PA2+PB2−AB2 1 2❑√2
又cos∠BPA= = ，从而sin∠BPA= ．
2PA⋅PB 3 3
故BM=PBsin∠BPA=4❑√2．同 理 ：C=M4❑√2，
∵BM2+MC2＝BC2，∴二面角B﹣AP﹣C的大小为90°．
【点评】（I）此问考查了线面垂直的判定定理，还考查了线面垂直的性质定理；
（II）此问考查了面面垂直的判定定理，二面角的平面角的定义，还考查了在三角形中
求解．
21．（15分）（2011•浙江）设函数f（x）＝a2lnx﹣x2+ax，a＞0，且f（1）≥e﹣1．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间
（Ⅱ）求所有的实数a，使e﹣1≤f（x）≤e2对x [1，e]恒成立．注：e为自然对数的底
数． ∈
【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）直接利用导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于
0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减来求f（x）的单调区间即可．
（Ⅱ）先利用（Ⅰ）的结论求出 f（x）在[1，e]上的最值，把原不等式转化为比较 f
（x）在[1，e]上的最值与两端点值之间的关系即可求所有的实数a．
【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）＝a2lnx﹣x2+ax，其中x＞0．
a2 (x−a)(2x+a)
所以f'（x）= −2x+a=− ．
x x
由于a＞0，所以f（x）的增区间为（0，a），f（x）的减区间为（a，+∞）．
（Ⅱ）证明：由题得，f（1）＝a﹣1≥e﹣1，即a≥e，
由（Ⅰ）知f（x）在[1，e]内单调递增
要使e﹣1≤f（x）≤e2对x [1，e]恒成立，
∈只要{ f(1)=a−1≥e−1 )
f(e)=a2−e2+ae≤e2
解得a＝e．
【点评】本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0
时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．
22．（15分）（2011•浙江）如图，设P是抛物线C ：x2＝y上的动点．过点P做圆C ：
1 2
x2+（y+3）2＝1的两条切线，交直线l：y＝﹣3于A，B两点．
（Ⅰ）求C 的圆心M到抛物线C 准线的距离．
2 1
（Ⅱ）是否存在点P，使线段AB被抛物线C 在点P处的切线平分？若存在，求出点P
1
的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）先求出抛物线 C 准线的方程，再利用点到直线距离的求法求出C 的圆
1 2
心M到抛物线 C 准线的距离即可．
1
（Ⅱ）先设抛物线 C 在点P处的切线交直线l于点D，线段AB被抛物线C 在点P处的
1 1
切线平分即为x +x ＝2X ．设出过点P做圆C x2+（y+3）2＝1的两条切线PA，PB，与
A B D 2
直线y＝﹣3联立，分别求出A，B，D三点的横坐标，代入x +x ＝2X ．看是否能解出
A B D
点P，即可判断出是否存在点P，使线段AB被抛物线C 在点P处的切线平分．
1
1
【解答】解：（Ⅰ）因为抛物线 C 准线的方程为：y=− ，
1
4
1 11
所以圆心M到抛物线 C 准线的距离为：|− −（﹣3）|= ．
1
4 4
（Ⅱ）设点P的坐标为（x ，x 2），抛物线 C 在点P处的切线交直线l与点D，
0 0 1
因为：y＝x2，所以：y′＝2x；
再设A，B，D的横坐标分别为x ，x ，x ，
A B D
∴过点P（x ，x 2）的抛物线 C 的切线的斜率k＝2x ．
0 0 1 0过点P（x ，x 2）的抛物线 C 的切线方程为：y﹣x 2＝2x （x﹣x ） ①
0 0 1 0 0 0
15
当 x ＝1时，过点P（1，1）且与圆C 相切的切线PA方程为：y﹣1= （x﹣1）．可
0 2
8
17
得x =− ，x ＝1，x ＝﹣1，x +x ≠2x ．
A B D A B D
15
15
当x ＝﹣1时，过点P（﹣1，1）且与圆C 的相切的切线PB的方程为：y﹣1=−
0 2
8
17
（x+1）．可得x ＝﹣1，x = ，x ＝1，x +x ≠2x ．
A B D A B D
15
所以x 2﹣1≠0．设切线PA，PB的斜率为k ，k ，
0 1 2
则：PA：y﹣x 2＝k （x﹣x ） ②
0 1 0
PB：y﹣x 2＝k （x﹣x ）．③
0 2 0
将 y＝﹣3 分别代入①，②，③得
x =
x
0
2−3（x
0
≠0）；
x =x −
x
0
2+3；
D 2x A 0 k
0 1
x 2+3（k ，k ≠0）
x =x − 0 1 2
B 0 k
2
1 1
从而x +x =2x −(x 2+3)( + )．
A B 0 0 k k
1 2
|−x k +x 2+3|
又 0 1 0 =1，
❑√k 2+1
1
即（x 2﹣1）k 2﹣2（x 2+3）x k +（x 2+3）2﹣1＝0，
0 1 0 0 1 0
同理（x 2﹣1）k 2﹣2（x 2+3）x k +（x 2+3）2﹣1＝0，
0 2 0 0 2 0
所以k ，k 是方程（x 2﹣1）k2﹣2（x 2+3）x k+（x 2+3）2﹣1＝0的两个不等的根，
1 2 0 0 0 0
2(x 2+3)x (3+x 2 ) 2−1
从而k 1 +k 2= 0 0，k 1 •k 2= 0 ，
x 2 x 2−1
0 0
因为x +x ＝2X ．．
A B D
所以2x
0
﹣（3+x
0
2）（ 1
+
1 ）
=
x
0
2−3，即 1
+
1
=
1 ．
k k x k k x
1 2 0 1 2 0从而 2(3+x 0 2 )x 0 = 1 ，
(x 2+3) 2−1 x
0 0
进而得x
0
4＝8，
x =±√4 8
．
0
综上所述，存在点P满足题意，点P的坐标为（±√4 8，2❑√2）．
【点评】本题是对椭圆与抛物线，以及直线与椭圆和抛物线位置关系的综合考查．在圆
锥曲线的三种常见曲线中，抛物线是最容易的，而双曲线是最复杂的，所以一般出大题
时，要么是单独的椭圆与直线，要么是椭圆与抛物线，直线相结合．这一类型题目，是
大题中比较有难度的题．
