文档内容
襄阳四中 2026 届高三下学期质量检测 A A． 和 B． 和 C． 和 D． 和
数学试题
一、单选题
1．已知集合 ，若集合 ，则实数a的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
2．已知圆锥底面半径 ，底面圆周上两点 、 满足 ，圆锥顶点到直线 的距离为 ，则
该圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
3.已知向量 满足 ， ，则 的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知 三点，点 在圆 上运动，则 的最大值
与最小值之和为（ ）
A．96 B．98 C．100 D．102
5．已知函数 的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．在平面直角坐标系 内，将椭圆 绕原点O旋转得到椭圆
，点 是椭圆 上任意一点，则下列说法错误的是（ ）
A．椭圆 的对称轴为 B． 的最大值为
C．椭圆 的离心率为 D．n的最大值为
7． ， ，使得 恒成立，则整数 的最小值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．已知数列 的前n项和为 ，满足 ， ，则可能同时为整数的是（ ）二、多选题
9．已知 ，下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则 中至少有一个为0
C． D．若 ，则
10．在一个有限样本空间中，假设 ，且 与 相互独立， 与 互斥，则
（ ）
A． B．
C． D．若 ，则 与 互斥
11．（多选）如图，三棱台 中， 是 上一点， ， 平面 ，
， ，则（ ）
A．过点 有四条直线与 、 所成角均为
B． 平面
C．棱 上存在点 ，使平面 平面
D．若点 在侧面 上运动，且 与平面 所成角的正切值
为 ，且 长度的最小值为
三、填空题
12．一组从小到大排列的数据： ，若删去 前后它们的 百分
位数相同，则 ____________．
13．如图，三棱锥 中， ， ， ， ， ，
.点Q在棱 上且 ，则直线 与平面 所成的角是
____________.
14．如图，某数阵满足：每一行从左到右成等差数列，每一列从上到下成公比相同的等比数列，数阵
中各项均为正数， ，则 ____________.；在数列 中的任意
与 两项之间，都插入 个相同的数 ，组成数列 ，记数列 的前 项
和为 ，则 ____________．四、解答题 （ii）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装. 已知一件
15．记 的内角 的对边分别为 ，已知 ． 等品芯片的利润是 元，一件 等品芯片的利润是 元，根据(1)的计算结果，试求
(1)求 ； 的值，使得每箱产品的利润最大.
(2)点 在直线 上，且 ．若 ，求 ．
18．已知圆 的圆心 在抛物线 上，且圆 与抛物
线 的准线相切.如图，过抛物线 上的三个不同点 ( 在 之间)，作抛物线的三条切
16．如图，已知四棱锥 的底面 是直角梯形， ，
线，分别两两相交于点 .
， ， 平面 ， .
(1)求圆 和抛物线 的方程；
(1)若平面 平面 ，求证： 平面 ；
(2)是否存在常数 ，使得 ？若存在，求出 的值；
(2)若 是线段 上动点， 为 中点，试确定点 的位置，使得
若不存在，请说明理由；
直线 与平面 所成角最大，并求出该最大角.
(3)当点 的横坐标为4时，以 为直角顶点，作抛物线的两个内接
及 ，求线段 的交点坐标.
17．某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如
19．已知A，B，C为函数 图象上不同的三点．它们的横坐标 依次成等差数列，且函数
下五组质量指标值： .
在点 处的切线斜率恒小于直线AC的斜率，则称该函数是其定义域上的“等差偏移”函数．
根据长期检测结果，得到芯片的质量指标值 服从正态分布
设函数 ．
，并把质量指标值不小于80的产品称为 等品，
(1)讨论函数 的单调性；
其它产品称为 等品. 现从该品牌芯片的生产线中随机抽取
100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图. (2)已知函数
(1)根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差 的近似值为11，用样本平均数 作为 的近 ①证明：当 时， 是其定义域上的“等差偏移”函数；
似值，用样本标准差 作为 的估计值. 若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为 等品的概率(保
②当 时，函数 ，数列 满足 ．其前 项和为 ，
留小数点后面两位有效数字)；
(①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据:若随机变量 服从正态分布 ， 试证明： ．
则 ， . )
(2)（i）从样本的质量指标值在 和[85，95]的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标值在
[85，95]的芯片件数为 ，求 的分布列和数学期望；襄阳四中 2026 届高三下学期质量检测 A 答案
，
一选择题
1．A【详解】由 ，则 , 故 ，当且仅当 取等号，故B正确；对于C，由A可知： 是 的两条对称
故若 ，则 ，不等式无解，此时 ,符合题意， 轴，令 ，则 ，解得 ，令 ，则 ，解得 ，故长
当 时， ，
半轴轴长 ，短半轴长 ，故离心率为 ，故C错误；
结合 ，则 ，解得 ，综上可得 ，故选：A
对于D，由 可将其看作是关于 的方程，且该方程有实数根，故 ，
2．B【详解】设圆锥的顶点为 ，底面圆圆心为点 ，取线段 的中点 ，连接 、 、 、
故 ，因此n的最大值为 ，故D正确；故选：C.
，因为 ， ，则 ， ，
因为圆锥顶点到直线 的距离为 ，所以 ，因为圆锥底面半径 ，故
7．B【详解】由 得 ，当 时，
，又 ，所以 为等腰直角三角形， 为斜边，
因为 为线段 的中点， 故 ，因为 平面 ， 平面 ， ，函数在 上单调递增，当 时， ，函数在
， ，在 中， ，
上单调递减， 时， ,在同一直角坐标系中画出 与
在 中， ，所以，圆锥 的底面圆半径为 ，母
的图象，当 时，取 ，则 即
线长为 ，
因此，该圆锥的侧面积为 .故答案为： .
即 ，故 在 上恒成立，但当 时， ，
3．C【详解】如图所示，设向量 ，作向量 ，
故 不成立，若 ， 在 上为增函数，
因为 ，所以四边形 是边长为2的菱形，且 ，再作
在 上为减函数，而 ， ，
，则 ，所以点 在以 为圆心，半径为1的
故 在 上仅有一解 ，此时取 ，结合图象可得
圆上，结合图形，当 三点共线时，即点 在 处时， 取得最大值
恒成立，所以整数 的最小值为1.故选： .
，所以 取得最大值 .
4．D【详解】由点 在圆 上运动，设 ，所以
8．D【详解】依题意，由 ， 不等于0， ，可得：
，显然 的最大值、最小值分别为57和45， 当 时， ， ，
所以 的最大值与最小值之和为102.
对于A， ， ， ， ，
5．D【详解】函数 的图象上存在关于 轴对称的点，则 与 ，在 有交点，
则 ， ，因为数列的每一项都不等于0， 不是整数，
即 在 有解，可转化为 在 有解，令 ， ，
不可能同时为整数， 和 不可能同时取整数，故A错误；
则 ，故函数 在 上单调递增， 对于B， ，则 ， ，
，且 时， ，所以 ，则 ， 因为数列每一项都不为0， 且不为负整数， 不可能同时为整数，
又 恒成立，即 ， ，则 ， .故选：D. 和 不可以同时取整数，故B错误；对于C， ，
，
6．C【详解】设 是椭圆 上任意一点，则 关于 对称的点为 ，关于 对称的
则 ， ，因为数列每一项都不为0， 且不为负整数，
点为 ，由 可得 和 均在曲线上，故椭圆 的对称轴为 ，
不可能同时为整数， 和 不可以同时取整数，故C错误；对于D， ，则
故A正确；对于B， ，则
， ，当 为负整数时， 和 可以同时取整数，故D正确；
9．BCD【详解】对于A,若 ，满足 ，但 ，故A错误，对于B，由 ，则 或 ，故 中至少有一个为0，B 所以 ，又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，过 作 交
正确，对于C， ，C正确，对于D，设 ， ,故 于点 ， 是平行四边形， ， 点在线段 上），同理可得
，故 平面 ，又 是平面 内两相交直线，所以平面 //平面 ，C正确；选项
D，因为 平面 ， 平面 ，所以 ，又 ， ， 、
， ，故D正确，
平面 ，所以 平面 ，
10．BCD【详解】对于A，A与B相互独立，则 ,
而 平面 ，所以平面 平面 ，
过 作 ，垂足为 ，由面面垂直的性质定理得 平面 ，
，故A错误；对于B，因为 与 互斥，所以 ，
在直角梯形 中， ，所以在直角 中， ，
所以 ，所以 ， ，
， 与平面 所成角的正切值为 ，即 ，所以 ，
所以 ,故B正确；对于C，因为 与 互斥，所以 ，所以 ，所以 因此 点轨迹是以 为圆心， 为半径的圆在侧面 内圆弧， 的最小值为 ，D
正确．
所以 ，故C正确；
12． 【详解】原来有10个数据， ，原来第 百分位数为 ，
对于D，显然 ，即 ， 删去 后有9个数据， ，则第 百分位数 ，
依题意可得 ，解得 ．故答案为：
由 ，得 ，
13． 【详解】由 可得 ,
解得 ，所以 与 互斥，故D正确.故选：BCD
由 ，可得 ,故 如图，将底面补成矩形
11．ACD【详解】选项A，由异面直线所成角的定义考察过点 的直线，如图，直线
ACBD，连PD，因为 ,所以 ,又 , ,所以
是 的平分线，即 ，在过直线 且与平面 垂直的 平面 ，可得 ,
同理可得 平面 , ,又
平面内．把直线 绕点 旋转，旋转过程中始终保持该直线与 的夹角相等，
所以PD 底面ACBD ,作QE PD交BD于点E，连CE，则么 QCE就是直线CQ与平面ABC所成
旋转到与平面 垂直位置时，直线与 的夹角为 ，因此中间必有一个位置， 的角，因为 ，
所以 ,求得QE= , ，
使得夹角为 ，以 为旋转中心， 点向上移有一个位置，向下移也有一个位置，同
样 点
所以 ，故 ，即直线CQ与平面ABC所成的角是 .故答案为：
（如图， 点在 的反向延长线上）向上移有一个位置，向下移也有一个位置，共四个位置得四条直
线，由于夹角为 ，这四条直线不重合，再过 作这四条直线的平行线，满足题意，故A正确， 14． 【详解】设第一行公差为 ，各列的公比为 且 ，且 ，
则 ， ， ， ，所以
选项B，因为 平面 ， 平面 ，所以 ，因此 是直角梯形，
，则 ，但 ，因此 与 不垂直，从而 与平 ，则 ，由各项均为正数，故 ，则
，即 ，综上， ，故 ，
面 不垂直，B错；选项C，如下图，由 ， 得 ，
由上， 前n项为 ，且 ，
又 ，即 得 ，
故在 之前共有 项， 则 ， 则 ，
综上， 前70项为 ，则 ，当 时， 取得最
.故答案为： ；
15．(1) (2) 【详解】（1）由余弦定理得， 大值 ，所以 的最大值为 ，.....................14分
.........................2分
所以当 点满足 时， 与平面 的夹角的最大值为 .....................15分
又 ，故 ，
所以 ，又 ，所以 ，故而 .........................6分 17．(1) (2)（i）分布列见解析， ；（ii）
【详解】（1）由题意，估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件的平均数为：
（2）由 ，知 或 .........................8分
．.....................2分
即 ， ，所以 ，因为质量指标值 近似服从正态分布 ，
又 或 ，所以只可能是 或 ，分别解得 或
（舍去），........................10分 所以 ，
故只有如图情况，即 在线段 上，且 ，故 ， ， 所以从生产线中任取一件芯片，该芯片为 等品的概率约为 ......................5分
（2）（i） ，所以所取样本的个数为20件，
质量指标值在 的芯片件数为10件，故 可能取的值为0，1，2，3，
于是， ，即 ，故
相应的概率为：
， ， ， ，........
.........................13分
9分（算对一个概率1分）
16．【详解】（1）因为 平面 ， 平面 ，所以 ， ， 随机变量 的分布列为：
因为 ，所以 ，
0 1 2 3
所以 的数学期望 .................10
又因为 平面 ， ，所以 平面 ，.........................3分
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ， 分
（ii）设每箱产品中A等品有 件，则每箱产品中 等品有
因为平面 平面 ，所以 ，
件，
又因为 平面 ，所以 平面 ... ......................6分
设每箱产品的利润为 元，由题意知：
（2）以 为原点， 分别为 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
，........11分
， ，...................8分
由（1）知：每箱零件中A等品的概率为 ，
所以 ，所以 ，所以
设 ，则 ，设平面
......................13分
的法向量为 ，则有 ，取 ，
令 ，由 得， ，.....................14分
则 ，.....................10分 又 ， ， 单调递增， ， ， 单调递减，
，则 与平面 所以当 时， 取得最大值.所以当 时，每箱产品利润最大......................15分
18．(1)圆 的方程为 ，抛物线 的方程为
的夹角的正弦值为 ，设 ，.....................12分
(2)存在 ，使得 ，理由见解析(3)【详解】（1）圆 的圆心 ，因为圆心 在抛物线 上，所以 ，则 ,
，即 ，因为圆 与抛物线 的准线相切，所以 ， ，可得 ，同理可得 ，
解得 ， .....................3分 .....................14分
，所以圆 的方程为 ，抛物线 的方程为 ；.....................4分
所以直线 的方程为 ，整理得
（2）存在常数 ，使得 ，理由如下，设 ， ，
则在点 处的坐切线方程为 ，即 ，
，由 得 ，所以 的交点坐标为
在点 处的坐切线方程为 ，即 ,.....................6分
.....................17分
由 ，解得 ，所以 ，同理可得 ， ，
19．【详解】（1）函数 的定义域为R，求导得： ，
当 时， 恒成立，函数 在R上单调递增.....................2分
， ，.....................7分
；当 时，令 ，解得 ，
， ， 当 时， ，函数 在 单调递减，
当 时， ，函数 在 单调递增，
所以 ，....9分
函数 的单调增区间为 ，单调减区间为 .....................5分
， ，
综上所述：当 时，函数 在R上单调递增；当 时，函数 的单调增区间为
可得 ，
所以存在 ，使得 ；.....................10分
，单调减区间为 ；.....................6分
（3）因为 、 是抛物线的两个内接三角形，所以直线 的斜率存在且不
（2）①设三点 的横坐标成等差数列，
为0，当点 的横坐标为4时，代入 得 ，所以 ，
且满足 ，则 ，又由 ， ，
设 ，由 为直角顶点，设 ，则 ，
则直线 的方程为 ，与 联立得
则 ， ，....................8分
，则 ,....................11分
，可得 ，同理可得 ，
所以直线 的方程为 ，
.....................9分
整理得 ，即 ，...................13分
设 ，则 ， 则直线 的方程为 ，与 联立得令 ，则 ，令 ，求导得 ，
在 内单调递增， ，即 ，因为 ， ，所以
，即函数 在点 处的切线斜率恒小于直线AC的斜率，所以当 时，
是其定义域上的“等差偏移”函数；.....................11分
②由 ，当 时，
，.....................12分
设 ，求导得 ，当 时， ，则 在 内单
调递增， ， ， 符合题意，.....................12分
构造函数 ，求导得 ， 在 内单
调递增，则 ，.....................13分
当 时， ， ， ，...14
分 ，即 ，得 .....................15分
，即 ，
．.....................17分
