专题01一次函数综合题（原卷版）_0122026上海中考一模二模真题试卷_2026年上海一模_上海1500初中高中试卷_初中_中考数学压轴题（全国通用）

专题 01 一次函数综合题 通用的解题思路： （1）一次函数与几何图形的面积问题 首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积． （2）一次函数的优化问题 通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前 提下求出最值． （3）用函数图象解决实际问题 从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题． 1．（2024•鼓楼区一模）如图，直线y 3x6与 O相切，切点为P，与x轴y轴分别交于A、B两点．  O与x轴负半轴交于点C．  （1）求 O的半径；  （2）求图中阴影部分的面积．2．（2023•宿豫区三模）如图①，在平面直角坐标系中，直线l :yx1与直线l :x2相交于点D，点A 1 2 是直线l 上的动点，过点A作ABl 于点B，点C的坐标为(0,3)，连接AC，BC．设点A的纵坐标为t， 2 1 ABC 的面积为s． （1）当t 2时，求点B的坐标；   1 t2 bt 5  t 1或t 5  （2）s关于t的函数解析式为s4 4 ，其图象如图②所示，结合图①、②的信息， at1t5 (1t5)  求出a与b的值； （3）在直线l 上是否存在点A，使得ACB90，若存在，请求出此时点A的坐标；若不存在，请说明 2 理由．3．（2023•溧阳市一模）如图1，将矩形AOBC 放在平面直角坐标系中，点O是原点，点A坐标为(0,4)，点B 坐标为(5,0)，点P是x轴正半轴上的动点，连接AP，AQP是由AOP沿AP翻折所得到的图形． （1）当点Q落在对角线OC上时，OP ； （2）当直线PQ经过点C时，求PQ所在的直线函数表达式； （3）如图2，点M 是BC的中点，连接MP、MQ． ①MQ的最小值为 ； ②当PMQ是以PM 为腰的等腰三角形时，请直接写出点P的坐标．4．（2022•启东市模拟）我们知道一次函数ymxn与ymxn(m0)的图象关于y轴对称，所以我们 定义：函数ymxn与ymxn(m0)互为“M ”函数． （1）请直接写出函数y2x5的“M ”函数； （2）如果一对“M ”函数ymxn与ymxn(m0)的图象交于点A，且与x轴交于B，C两点，如 图所示，若BAC 90，且ABC 的面积是8，求这对“M ”函数的解析式； （3）在（2）的条件下，若点D是y轴上的一个动点，当ABD为等腰三角形时，请求出点D的坐标．5．（2024•新北区校级模拟）如图①，动点P从矩形ABCD的顶点A出发，以v 的速度沿折线ABC向终 1 点C运动；同时，一动点Q从点D出发，以v 的速度沿DC向终点C运动，当一个点到达终点时，另一个 2 点也停止运动．点E为CD的中点，连接PE ，PQ，记EPQ的面积为S，点P运动的时间为t，其函数图 象为折线MN NF 和曲线FG（图②)，已知，ON 4，NH 1，点G的坐标为(8,0)． v AB （1）点P与点Q的速度之比 1 的值为 ； 的值为 ； v AD 2 （2）如果OM 15． ①求线段NF 所在直线的函数表达式； ②求FG所在曲线的函数表达式； 15 ③是否存在某个时刻t，使得S… ？若存在，求出t的取值范围：若不存在，请说明理由． 46．（2024•梁溪区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，二次函数yax2 3ax4a的图象与x轴交于A、 1 B两点（点A在点B的左侧），与y轴正半轴交于点C，直线y x交于第一象限内的D点，且ABC的 2 面积为10． （1）求二次函数的表达式； （2）点E为x轴上一点，过点E作y轴的平行线交线段OD于点F ，交抛物线于点G，当GF  5OF 时， 求点G的坐标； （3）已知点P(n,0)是x轴上的点，若点P关于直线OD的对称点Q恰好落在二次函数的图象上，求n的 值．3 7．（2023•邗江区校级一模）如图1，在平面直角坐标系中，直线l:y x4 3分别与x轴、y轴交于 3 点A点和B点，过O点作OD AB于D点，以OD为边构造等边EDF(F点在x轴的正半轴上）． （1）求A、B点的坐标，以及OD的长； （2）将等边EDF ，从图1的位置沿x轴的正方向以每秒1个单位的长度平移，移动的时间为t(s)，同时 点P从E出发，以每秒2个单位的速度沿着折线EDDF 运动（如图2所示），当P点到F 点停止，DEF 也随之停止． ①t  (s)时，直线l恰好经过等边EDF 其中一条边的中点； ②当点P在线段DE上运动，若DM 2PM ，求t的值； ③当点P在线段DF上运动时，若PMN的面积为 3，求出t的值．8．（2023•武进区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P(x ，y )与P(x ，y )的“非常距 1 1 1 2 2 2 离”，给出如下定义： 若|x x |… | y  y |，则点P与点P 的“非常距离”为|x x |； 1 2 1 2 1 2 1 2 若|x x || y  y |，则点P与点P 的“非常距离”为| y  y |． 1 2 1 2 1 2 1 2 例如：点P(1,2)，点P(3,5)，因为|13||25|，所以点P与点P 的“非常距离”为|25|3，也就是图 1 2 1 2 1中线段PQ与线段PQ长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线PQ与垂直于x轴的直线PQ交点）． 1 2 1 2 1 （1）已知点A( ，0)，B为y轴上的一个动点， 2 ①若点A与点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标； ②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值； 3 （2）已知C是直线y x3上的一个动点， 4 ①如图2，点D的坐标是(0,1)，求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标； ②如图3，E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“非常距离”的最小值及相 应的点E与点C的坐标．9．（2023•海安市一模）对于平面直角坐标系xOy中的图形W 和点P，给出如下定义：F 为图形W 上任意 一点，将P，F 两点间距离的最小值记为m，最大值记为M ，称M 与m的差为点P到图形W 的“差距 离”，记作d(P,W)，即d(P,W)M m，已知点A(2,1)，B(2,1) （1）求d(O,AB)； （2）点C为直线y1上的一个动点，当d(C,AB)1时，点C的横坐标是 ； （3）点D为函数yxb(2„ x„ 2)图象上的任意一点，当d(D,AB)„ 2时，直接写出b的取值范围．10．（2022•姑苏区校级模拟）平面直角坐标系xOy中，对于任意的三个点A、B、C，给出如下定义：若 矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A， B，C的“三点矩形”．在点A，B，C的所有“三点矩形”中，若存在面积最小的矩形，则称该矩形为点 A，B，C的“最佳三点矩形”． 如图1，矩形DEFG，矩形IJCH 都是点A，B，C的“三点矩形”，矩形IJCH 是点A，B，C的“最佳 三点矩形”． 如图2，已知M(4,1)，N(2,3)，点P(m,n)． （1）①若m2，n4，则点M ，N，P的“最佳三点矩形”的周长为 ，面积为 ； ②若m2，点M ，N，P的“最佳三点矩形”的面积为24，求n的值； （2）若点P在直线y2x5上． ①求点M ，N，P的“最佳三点矩形”面积的最小值及此时m的取值范围； ②当点M ，N，P的“最佳三点矩形”为正方形时，求点P的坐标； （3）若点P(m,n)在抛物线 yax2 bxc上，当且仅当点M ，N，P的“最佳三点矩形”面积为12时， 2„ m„ 1或1„ m„ 3，直接写出抛物线的解析式．11．（2022•太仓市模拟）如图①，动点P从矩形ABCD的顶点A出发，以v 的速度沿折线ABC向终点C 1 运动；同时，一动点Q从点D出发，以v 的速度沿DC向终点C运动，当一个点到达终点时，另一个点也 2 停止运动．点E为CD的中点，连接PE ，PQ，记EPQ的面积为S，点P运动的时间为t，其函数图象为 折线MN NF 和曲线FG（图②)，已知，ON 3，NH 1，点G的坐标为(6,0)． v （1）点P与点Q的速度之比 1 的值为 ；AB:AD的值为 ； v 2 （2）如果OM 2． ①求线段NF 所在直线的函数表达式； 2 ②是否存在某个时刻t，使得S… ？若存在，求出t的取值范围；若不存在，请说明理由． 312．（2022•邗江区校级一模）在平面直角坐标系xOy中，对于点P和线段ST，我们定义点P关于线段ST PS (PS PT)  ST 的线段比k  ． PT  (PS…PT) ST （1）已知点A(0,1)，B(1,0)． ①点Q(2,0)关于线段AB的线段比k  ； ②点C(0,c)关于线段AB的线段比k  2，求c的值． （2）已知点M(m,0)，点N(m2,0)，直线yx2与坐标轴分别交于E，F 两点，若线段EF 上存在点使 1 得这一点关于线段MN 的线段比k„ ，直接写出m的取值范围． 4 13 ．（ 2022 • 泰 州 ） 定 义 ： 对 于 一 次 函 数 y axb、 y cxd， 我 们 称 函 数 1 2 ym(axb)n(cxd)(manc0)为函数y 、y 的“组合函数”． 1 2 （1）若m3，n1，试判断函数y5x2是否为函数y x1、y 2x1的“组合函数”，并说明理由； 1 2 （2）设函数y x p2与y x3p的图像相交于点P． 1 2 ①若mn1，点P在函数y 、y 的“组合函数”图像的上方，求 p的取值范围； 1 2 ②若 p1，函数y 、y 的“组合函数”图像经过点P．是否存在大小确定的m值，对于不等于1的任意实 1 2 数 p，都有“组合函数”图像与x轴交点Q的位置不变？若存在，请求出m的值及此时点Q的坐标；若不 存在，请说明理由．14．（2024•钟楼区校级模拟）在同一平面内，具有一条公共边且不完全重合的两个全等三角形，我们称这 两个三角形叫做“共边全等”． （1）下列图形中两个三角形不是“共边全等”是 ； 1 （2）如图1，在边长为6的等边三角形ABC中，点D在AB边上，且AD AB，点E、F 分别在AC、BC 3 边上，满足BDF 和EDF 为“共边全等”，求CF 的长； （3）如图2，在平面直角坐标系中，直线y3x12分别与直线yx、x轴相交于A、B两点，点C是OB 的中点，P、Q在AOB的边上，当以P、B、Q为顶点的三角形与PCB “共边全等”时，请直接写出 点Q的坐标．15．（2023•新北区校级二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、点B的坐标分别为(2,0)、(0,8)．经 过A、B、O三点的圆的圆心为M ，过点M 的直线与 M 的公共点是D、E，与x轴交于点F ，与y轴  交于点N，连接AE、OD、BD．已知ODF 45． （1） M 的直径为 ，点M 的坐标为 ；  （2）求直线DF所对应的函数表达式； （3）若P是线段AF 上的动点，PEA与BDO的一个内角相等，求OP的长度． 16．（2023•梁溪区模拟）如图，以A(9,0)、B(2,0)为顶点作等边ABC ，点C在第二象限． （1）求直线BC所对应的函数表达式． （2）过点D(1,0)作一条直线交BC于点P，交AC于点Q，且DP:PQ3:2． ①求点P的坐标与BPD的度数； ②在y轴上是否存在这样的点M ，使得点M 到BPD的两边所在直线的距离相等？若存在，请直接写出所 以符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．17．（2023•海州区校级二模）问题提出： （1）在学习几何时，我们可以通过构造基本图形，将几何“模型“化．例如在三角形全等与三角形的相似 的学习过程中，“k”字形是非常重要的基本图形．如图1，已知：ADC BEC ACB90，D、C、 E三点共线，AC BC，由ASA易证ADC CEB； 如图2，已知：ADC BEC ACB90，D、C、E三点共线，若AC 6、BC 3、BE1，则AD 的长为 ； 问题探究： （2）①如图 3，已知： ADC BEC ACB90， AC BC， D、 C、 E三点共线，求证： ADBEDE； ②如图4，已知点A(3,1)，点B在直线y2x4上，若AOB90，则此时点B的坐标为 ； 问题拓展： （3）如图 5，正方形 ABCD中，点G是BC边上一点，BF  AG，DE AG，垂足分别为F 、E．若 AE 1，四边形ABFD的面积等于10，求正方形ABCD的面积． EF （4）如图6，正方形ABCD中，点E、F 分别在AD、AB边上，AEBF ，连接EF 、DF，则 的最 DF 小值是 ．18．（2023•金坛区一模）在平面直角坐标系xOy中，对于点A，记线段OA的中点为M ．若点A，M ， P，Q按逆时针方向排列构成菱形AMPQ，其中QAM (0180)，则把菱形AMPQ称为点A的“ 菱形” AMPQ，把菱形AMPQ边上所有点都称为点A的“菱点”．已知点A(0,4)． （1）在图1中，用直尺和圆规作出点A的“60菱形” AMPQ，并直接写出点P的坐标（不写作法，保 留作图痕迹）； （2）若点B(1,1)是点A的“菱点”，求的值； 3 （3）若一次函数y xb的图象上存在点A的“菱点”，直接写出b的取值范围． 319．（2022•吴中区模拟）探究与应用：在学习几何时，我们可以通过分离和构造基本图形，将几何“模块” 化．例如在相似三角形中，K字形是非常重要的基本图形，可以建立如下的“模块”（如图①): （1）请就图①证明上述“模块”的合理性．已知：ADBCE90，求证：ABC∽DCE； （2）请直接利用上述“模块”的结论解决下面两个问题： ①如图②，已知点A(2,1)，点B在直线y2x3上运动，若AOB90，求此时点B的坐标； ②如图③，过点A(2,1)作x轴与y轴的平行线，交直线y2x3于点C、D，求点A关于直线CD的对 称点E的坐标．20．（2022•雨花台区校级模拟）阅读并解答下列问题；在学习完《中心对称图形》一章后，老师给出了以 下一个思考题：如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,3)，B(5,1)，C(a,0)，D(a2,0)，连接 AC，CD，DB，求ACCDDB最小值． 【思考交流】小明：如图2，先将点A向右平移2个单位长度到点A，作点B关于x轴的对称点B ，连接AB 1 1 1 1 交x轴于点D，将点D向左平移2个单位长度得到点C，连接AC．BD．此时ACCDDB的最小值等 于AB CD． 1 1 小颖：如图3，先将点 A向右平移2个单位长度到点 A，作点 A关于x轴的对称点A ，连接 A B可以求 1 1 2 2 解． 小亮：对称和平移还可以有不同的组合． 【尝试解决】在图2中，ACCDDB的最小值是 ． 【灵活应用】如图4，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,3)，B(5,1)，C(a,1)，D(a2,0)，连接AC， CD，DB，则ACCDDB的最小值是 ，此时a ，并请在图5中用直尺和圆规作出ACCDDB 最小时CD的位置（不写作法，保留作图痕迹）． 【拓展提升】如图6，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,3)，C是一次函数yx图象上一点，CD与y轴垂直且CD2（点D在点C右侧），连接AC，CD，AD，直接写出ACCDDA的最小值是 ，此 时点C的坐标是 ． 21．（2022•滨海县校级三模）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个 函数图象的“好点”，例如，点(1,1)是函数yx2的图象的“好点”． 6 （1）在函数① yx5，② y ，③ yx2 2x1的图象上，存在“好点”的函数是 （填序 x 号）． 4 （2）设函数 y (x0)与 ykx1的图象的“好点”分别为点 A、B，过点 A作AC  y轴，垂足为C．当 x ABC 为等腰三角形时，求k的值； （3）若将函数y2x2 4x的图象在直线ym下方的部分沿直线ym翻折，翻折后的部分与图象的其余 部分组成了一个新的图象．当该图象上恰有3个“好点”时，求m的值．22．（2022•宜兴市校级一模）如图（1），在平面直角坐标系中，四边形OABC 的顶点O是坐标原点，点A 坐标(6,0)，点B在y轴上，点C在第二象限角平分线上，动点P、Q同时从点O出发，点P以1cm/s的速 度沿O AB匀速运动到终点B；点Q沿OCB A运动到终点A，点Q在线段OC、CB、BA上 分别做匀速运动，速度分别为Vcm/s、V cm/s、Vcm/s．设点P运动的时间为t(s)，OPQ的面积为 1 2 3 S(cm2)，已知S与t之间的部分函数关系如图（2）中的曲线段OE、曲线段EF 和线段FG所示． （1）V  ，V  ； 1 2 （2）求曲线段EF 的解析式； （3）补全函数图象（请标注必要的数据）； （4）当点P、Q在运动过程中是否存在这样的t，使得直线PQ把四边形OABC 的面积分成11:13两部分， 若存在直接写出t的值；若不存在，请说明理由．