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专题 11 解答题第 24 题（二次函数综合题）（16 区）
1．（2023·上海黄浦·统考二模）如图，在平面直角坐标系 中，直线 与x轴、y轴分别交于点
A、B，抛物线 经过点A、B．
(1)求抛物线的表达式；
(2)设抛物线与x轴的另一个交点为C，点P是 的外接圆的圆心，求点P坐标；
(3)点D坐标是 ，点M、N在抛物线上，且四边形 是平行四边形，求线段 的长．
【答案】(1)
(2)点P的坐标是
(3)
【分析】（1）先利用一次函数解析式求出点A和点B的坐标，再用待定系数法求出抛物线的表达式即可；
（2）先求出抛物线的对称轴是直线 ，由点P是 的外接圆的圆心得到点P在 的垂直平分线
上，即抛物线的对称轴上．点P横坐标是 ．设点P坐标为 ，由 ，求出 ，即可得
到点P的坐标；
（3）先说明点 ，N关于原点对称．设点M的横坐标为m（ ），则点M坐标是 ，点N坐标是 ，把点 坐标代入 ，解得 （负值已舍），
得到点M坐标是 ，点N坐标是 ，利用两点间距离公式即可得到线段 的长．
【详解】（1）解：把 代入 得 ，
∴点B坐标是 ，
把 代入 ，得 ，
∴点A坐标是 ，
将点A、B坐标代入 ，得 ，
解得 ．
∴抛物线的表达式是 ．
（2）∵ ，
∴抛物线的对称轴是直线 ，
∵点P是 的外接圆的圆心．
∴点P在 的垂直平分线上，即抛物线的对称轴上．
∴点P横坐标是 ．
设点P坐标为 ，
∵ ，
∴ ，解得 ，
∴．点P的坐标是 ．
（3）∵点O是 中点，即O是平行四边形 对角线交点，
又∵四边形 是平行四边形，
∴点 ，N关于原点对称．
设点M的横坐标为m（ ），
则点M坐标是 ，点N坐标是 ，
把点 坐标代入 ，
得 ，
解得 （负值已舍），
当 时， ，
∴点M坐标是 ，点N坐标是 ，
∴ ．
【点睛】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法、平行四边形的性质、两点间距离公式、三角形的外
接圆等知识，读懂题意，准确计算是解题的关键．
2．（2023·上海宝山·统考二模）在平面直角坐标系 中，已知抛物线 经过点 、
，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D．(1)求二次函数的解析式和顶点D的坐标；
(2)连接 ，试判断 与 是否相似，并说明理由；
(3)将抛物线平移，使新抛物线的顶点E落在线段 上，新抛物线与原抛物线的对称轴交于点F，连接 ，
如果四边形 的面积为3，求新抛物线的解析式．
【答案】(1)二次函数的解析式为 ，顶点D的坐标为 ；
(2) ，理由见解析
(3)新抛物线的解析式为 ．
【分析】（1）利用待定系数法求得抛物线的解析式，利用配方法可求得顶点D的坐标；
（2）利用勾股定理分别求得 的三边的长，根据勾股定理的逆定理判断 是直角三角形，且
，求得 ，即可证明 ；
（3）设新抛物线的解析式为 ( )，则顶点E的坐标为 ，分别用a表示出梯形
的上底和下底的长，据此即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线 经过点 、 ，
∴ ，
解得： ，
∴二次函数的解析式为 ，顶点D的坐标为 ；
（2）解：当 时， ，
∴ ，∵点 、 ，
∴ ， ，
，
，
，
∵ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，且 ，
∵ ， ，
∴ ；
（3）解：∵ ，
∴对称轴为 ，
设新抛物线的解析式为 ( )，则顶点E的坐标为 ，当 时， ，
∴ ，
∴ ， ，
依题意得 ，
解得 ，
∴新抛物线的解析式为 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的平移，相似三角形的判定，勾股定理及其逆定
理，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
3．（2023·上海崇明·统考二模）如图，在直角坐标平面 中，直线 分别与x轴、y轴交于A、B
两点，抛物线 经过A、B两点，点D是抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)抛物线与x轴的另一个交点为C，点 在抛物线对称轴左侧的图象上，将抛物线向上平移m个
单位（ ），使点M落在 内，求m的取值范围；
(3)对称轴与直线 交于点E，P是线段AB上的一个动点（P不与E重合），过P作y轴的平行线交原抛
物线于点Q，当 时，求点Q的坐标．
【答案】(1) ，
(2)
(3) 或
【分析】（1）先求出A、B的坐标，再把A、B坐标代入抛物线解析式中求出抛物线解析式，再把抛物线
解析式化为顶点式求出点D的坐标即可；
（2）先求出点M的坐标，进而求出在 中，当 时，y的值即可得到答案；
（3）如图1所示，当点P在点E左侧时，设原抛物线对称轴与x轴交于点H，过点Q作 交 于
T，证明四边形 是平行四边形，推出 ；再证明 ，推出此时不可能存
在 （当点T在点D下方时，同样可证明不存在），则此时只有点T与点D重合，设 ，
则 ，求出 ，由平行四边形对角线中点坐标相同可知 ，
解方程即可；如图2所示，当点P在点E右侧时，由对称性可知当 时符合题意．
【详解】（1）解：在 中，令 ，则 ，令 ，则 ，
∴ ，
把 代入 中得： ，∴ ，
∴抛物线解析式为 ，
∴顶点D的坐标为 ；
（2）解：在 中，当 时，则 ，
解得 或 ，
∵点 在抛物线对称轴左侧的图像上，
∴ ，
在 中，当 时， ，
∵将抛物线向上平移m个单位（ ），使点M落在 内，
∴ ；
（3）解：如图1所示，当点P在点E左侧时，设原抛物线对称轴与x轴交于点H，过点Q作 交
于T，
∵ 轴，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴此时不可能存在 （当点T在点D下方时，同样可证明不存在），则此时只有点T与点D重合，
设 ，则 ，
在 中，当 时， ，
∴ ，
由平行四边形对角线中点坐标相同可知 ，
解得 或 （舍去），
∴ ；
如图2所示，当点P在点E右侧时，由对称性可知当 时符合题意，
∴ ；
综上所述，点Q的坐标为 或 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，平行四边形的性质，二次函数图象的平移等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
4．（2023·上海静安·统考二模）如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴分别
交于点 、点 ，与 轴交于点 ，连接 ，点 在线段 上，设点 的横坐标为 ．
(1)求直线 的表达式；
(2)如果以 为顶点的新抛物线经过原点，且与 轴的另一个交点为 ：
①求新抛物线的表达式（用含 的式子表示），并写出 的取值范围；
②过点 向 轴作垂线，交原抛物线于点 ，当四边形 是一个轴对称图形时，求新抛物线的表达式．
【答案】(1)
(2)① ， ；②
【分析】（1）先利用待定系数法求出抛物线解析式，进而求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线
的解析式即可；
（2）①先求出 ，设新抛物线解析式为 ，把原点坐标代入新抛物线解析
式求出新抛物线解析式，再根据点P在线段 上，可得 ；②先求出点D的坐标，再分当四边形
关于 对称时， 当四边形 关于 对称时，两种情况分类讨论求出m的值即可得到答案．
【详解】（1）解：把 、 代入抛物线解析式中得： ，
∴ ，∴抛物线解析式为 ，
在 中，令 ，则 ，
∴ ；
设直线 的解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
∴直线 的解析式为 ；
（2）解：①∵点P在线段 上，点 的横坐标为 ．
∴ ，
∴可设新抛物线解析式为 ，
∵新抛物线经过原点，
∴ ，
∴ ，
∴新抛物线解析式为 ，
∵点P在线段 上，
∴ ；
②∵新抛物线解析式为 与x轴的一个交点为原点，对称轴为直线 ，
∴新抛物线解析式为 与x轴的另一个交点D的坐标为 ，
∵ 轴，
∴ ；
当四边形 关于 对称时，则 ，解得 或 （舍去），
∴新抛物线解析式为 ；
当四边形 关于 对称时，
∵点D与O关于 对称，
∴点D与点A不关于 对称，
∴此种情况不成立；
综上所述，新抛物线解析式为 ．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，轴对称的性质，求一次函数解析式等等，灵活运
用所学知识是解题的关键．
5．（2023·上海闵行·统考二模）在平面直角坐标系 中，抛物线 经过点 、 ，
与x轴的负半轴交于点C．
(1)求该抛物线的表达式及点C的坐标；
(2)设点D在该抛物线上（位于对称轴右侧部分），连接 ．
①如果 与线段 交于点E，且 ，求 的正切值；
②如果 与y轴交于点F，以 为半径的 ，与以 为半径的 外切，求点D的坐标．【答案】(1) ，
(2)① ；②
【分析】（1）把点 、 代入抛物线解析式可求解，然后令 可求点C的坐标；
（2）①根据题意作图，则过点E作 于点G，然后可得 ，则根据相似三角形的性
质可得点E坐标，进而问题可求解；②由题意可知 ，然后过点D作 于点H，设点
，则有 ，进而问题可求解．
【详解】（1）解：把点 、 代入抛物线解析式得：
，
解得： ，
∴抛物线的表达式为 ；
令 ，则有 ，
解得： ，
∴ ；
（2）解：①如图所示：
过点E作 于点G，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点 、 ，
∴ ，即 是等腰直角三角形，
∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
由（1）可知 ，
∴ ，
∴ ；
②如图所示：
∵以 为半径的 与以 为半径的 外切，
∴ 与 相切于点F，即 ，
过点D作 于点H，
∴ ， ，
∴ ，∴ ，
设点 ，则有 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： （不符合题意，舍去），
∴ ；
当点D在x轴的下方时，显然 ，所以以 为半径的 与以 为半径的 不会外切．
【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系及二次函数的综合，熟练掌握圆与圆的位置关系及二次函数的综
合问题是解题的关键．
6．（2023·上海杨浦·二模）已知抛物线 ： 与x轴相交于点 和点B，与y轴交于点
．
(1)求抛物线 的表达式；
(2)把抛物线 沿射线 方向平移得到抛物线 ，此时点A、C分别平移到点D、E处，且都在直线 上，设点F在抛物线 上，如果 是以 为底的等腰直角三角形，求点F的坐标；
(3)在第（2）小题的条件下，设点M为线段 上的一点， ，交直线 于点N，求 的
值．
【答案】(1)
(2)
(3)2
【分析】（1）用待定系数法求抛物线的解析式即可；
（2）理由待定系数法求出直线 的解析式为 ，根据 是以 为底的等腰直角三角形，得
出 ，求出 ，设 ，则 ，得出 ，
求出m的值即可；
（3）根据抛物线解析式求出点 ，作 ，交 于G，证明 ，得出 ，
求出 ，得出 ，即可得出答案．
【详解】（1）解：∵抛物线 ： 经过点 和 ，
∴ ，
解得： ，
∴抛物线 的解析式为 ；
（2）解：如图1，∵ 、 ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
∴ ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
∵ 是以 为底的等腰直角三角形，
∴ ，
由平移得 ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
解得 （舍）或 ，
∴ ；
（3）解：如图2，∵抛物线 的解析式为 ，令 ，则 ，
解得 或 ，
∴ ，
∵点 和 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
作 ，交 于G，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，求一次函数解析式，等腰直角三角形
的性质，三角形相似的判定和性质，求角的正切值，勾股定理，矩形的判定和性质，解题的关键是作出辅
助线，数形结合．
7．（2023·上海浦东新·统考二模）如图，直线 与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线
经过A、C两点，且与x轴的另一个交点为B，抛物线的顶点为P．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如果抛物线的对称轴与直线 交于点D，求 的值；
(3)平移这条抛物线，平移后的抛物线交y轴于点E，顶点Q在原抛物线上．当四边形 是平行四边形
时，求平移后抛物线的表达式．【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先求出点A和点C的坐标，再用待定系数法求出抛物线的表达式即可；
（2）连接 ，求出 ，再求出直线 的表达式为： ，根据抛物线的对称轴为直线 ，
求出 ，根据两点之间的距离公式得出 ，即 ，最后根据
求解即可．
（3）求出 ，设点 ，点 ，求出 中点坐标： ，
中点坐标： ，根据平行四边形对角线互相平分得出 ，求出 ，得出点Q的坐
标，即可得出平移后的表达式．
【详解】（1）解：把 代入 得： ，解得： ，
∴ ，
把 代入 得： ，
∴ ，
将点 ， 代入 得：
，解得： ，∴该抛物线的表达式为： ；
（2）解：连接 ，
把 代入 得： ，
解得： ，
∴ ，
设直线 的表达式为： ，
将点 ， 代入得：
，解得： ，
∴直线 的表达式为： ，
∵抛物线的对称轴为直线 ，
∴把 代入 得： ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，即 ，
∵ ， ，
∴ ．（3）解：∵ ，
∴ ，
∵平移后的抛物线顶点Q在原抛物线上，
∴设点 ，
∵点E在y轴上，
∴设点 ，
∵ ，
∴ 中点坐标： ， 中点坐标： ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
解得： ．
∴ ，
∴平移后的函数表达式为： ，
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求
解函数表达式的方法和步骤，二次函数图象上点的特征，解直角三角形的方法．8．（2023·上海松江·统考二模）在平面直角坐标系 中（如图），已知直线 与 轴交于点 ，
抛物线 的顶点为 ．
(1)若抛物线经过点 ，求抛物线解析式；
(2)将线段 绕点 顺时针旋转 ，点 落在点 处，如果点 在抛物线上，求点 的坐标；
(3)设抛物线的对称轴与直线 交于点 ，且点 位于 轴上方，如果 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据一次函数解析式，求得点 ，代入 ，即可求解；
（2）过点 作 轴，垂足为 ，过点 作 于点 ，证明 得出 ，
代入抛物线解析式即可求解；
（3）设直线 与 轴交于点 ， 与 轴交于点 ，过点 作 ，由 得出
，根据 ，列方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：∵直线 与 轴交于点 ，
当 时， ，
∴ ，若抛物线经过点 ，则
解得： 或 （舍去）
∴抛物线解析式为 ；
（2）∵ 的顶点为 ．
∴
如图所示，过点 作 轴，垂足为 ，过点 作 于点 ，
∵旋转，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴ ，
∴
∵ 在抛物线上，
∴
解得： ，
∴ ，
（3）解：如图所示，设直线 与 轴交于点 ， 与 轴交于点 ，由 ，令 ，得 ，则 ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形
∵ 轴，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，则
过点 作 ，则 是等腰直角三角形，则 ，则
∴
∵ ，
∴
又
∴
即
∴
解得： 或 （舍去）
【点睛】本题考查了二次函数的性质，正切的定义，解一元二次方程，全等三角形的性质与判定，熟练以
上知识掌握是解题的关键．
9．（2023·上海金山·统考二模）在平面直角坐标系 中，已知抛物线 经过点 和点，直线 与 轴交于点 ，与抛物线的对称轴直线 交于点 ．
(1)求抛物线的表达式及对称轴；
(2)如果该抛物线平移后经过点 ，其顶点 在原抛物线上，且点 在直线 的右侧，求点 的坐标；
(3)点 在直线 上，若 ，求点 的坐标．
【答案】(1) ；
(2)
(3) 或
【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式，进一步即可求出抛物线的对称轴；
（2）求出直线 的解析式，进而求出C点坐标，设平移后的顶点坐标为 ，则有平移后
的解析式为 ，把点C坐标代入求出 解题即可；
（3）分点E在点D的上方时和点E在点D的下方两种情况解题，过E作 于点F，利用正切求出
与 的关系进行解题．
【详解】（1）解：把点 和点 代入 得：
，解得 ，
∴
对称轴为直线 ，
（2）设直线 的解析式为 ,代入得：
，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
当 时， ，
∴C点坐标为 ，
设平移后的顶点坐标为 ，
则解析式为 ，
把 代入得： 或 （舍），
∴ ，
（3）∵ ,
∴ ，
对于 ，当 时， ，
∴点D的坐标为 ，
∴ ，
当点E在点D的上方时，过E作 于点F，∵
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当点E在点D的下方时，过E作 于点F，
∵
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，综上所述， 或 ．
【点睛】本题考查三角函数，待定系数法求解析式，平移，二次函数的图象和性质，掌握待定系数法求函
数解析式是解题的关键．
10．（2023·上海嘉定·统考二模）如图，在直角坐标平面 中，点A在y轴的负半轴上，点C在x轴的正
半轴上， ，抛物线 经过A、B、C三点．
(1)求点A、B的坐标；
(2)联结 、 、 ，当 时，
①求抛物线表达式：
②在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得 ?如果存在，求出所有符合条件的点P坐标；如果
不存在，请说明理由．
【答案】(1) ，
(2)① ；②存在， 或
【分析】（1）求出抛物线的对称轴为 ，再根据A的坐标为 ， ，即可作答；
（2）①证明 ，即有 ，进而可得 ，问题得解；②先求出 ，
设点P的坐标为 ，设抛物线对称轴交 于N点，利用待定系数法可求出直线 的解析式为：
， ，则有： ，则有 ，进而可得，解方程即可求解．
【详解】（1） 该抛物线的表达式为 ，
，
该抛物线的对称轴为 ，
抛物线 经过点A，且点A在y轴的负半轴上，
点A的坐标为 ，
，对称轴为 ，
点B的坐标为 ；
（2）① ， ，
， ， ，
，
，
，
， ， ，
， ，
即： ，
，
点C在x轴的正半轴上，
点C的坐标为 ，
将 代入 中，解得 ，
该抛物线的表达式为 ；
②存在，理由如下：， ，
，
，
设点P的坐标为 ，
如图，抛物线对称轴交 于N点，
， ，
利用待定系数法可求出直线 的解析式为： ，
即 时， ，
即 ，
则有： ，
，
即有： ，
解得 ，或者 ，
点P的坐标为 或 ．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握二次函数
的图象与性质，相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．11．（2023·上海徐汇·统考二模）如图，已知抛物线 经过点 ，与x轴交于点B、
．
(1)求抛物线的顶点M的坐标；
(2)点E在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将 沿直线BE翻折，如果点C的对应点F恰好落
在抛物线的对称轴上，求点E的坐标；
(3)点P在抛物线的对称轴上，点Q是抛物线上位于第四象限内的点，当 为等边三角形时，求直线
的表达式．
【答案】(1) ，顶点坐标为： ．
(2)点E的坐标为 ；
(3)直线 的函数表达式为 ．
【分析】（1）利用待定系数法求解抛物线的解析式，再化为顶点式，即可得到顶点坐标；
（2）先求解抛物线与x轴交于 ， ， 可得 ，抛物线的对称轴为直线 ， 设抛物
线的对称轴与x轴交于点H，则H点的坐标为 ， ， 由翻折得 ， 由勾股定理，得 ， 求解 ， 由翻折得 ， 再利用三角函数可
得答案；
（3）连接 ， 证明 为等边三角形， 证明 ， 可得 ， 设 与
x轴相交于点K， 可得点K的坐标为 ．再利用待定系数法求解函数解析式即可．
【详解】（1）解：∵抛物线 经过点 ，与x轴交于点B、 ．
∴ ，解得： ，
∴抛物线为： ，
∴顶点坐标为： ．
（2）如图，令 ，
解得： ， ，
∵抛物线与x轴交于 ， ，
∴ ，抛物线的对称轴为直线 ，设抛物线的对称轴与x轴交于点H，则H点的坐标为 ， ，
由翻折得 ，
由勾股定理，得 ，
∴点F的坐标为 ， ，
∴ ，
由翻折得 ，
∴ ，
∴点E的坐标为 ；
（3）连接 ，
∵ ， ， 则 为等边三角形，
∵ ， 为等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为等边三角形， ，
∴ ，设 与x轴相交于点K，
∴ ．
∴点K的坐标为 ．
设直线 的函数表达式为 ， 则 ， 解得 ，
∴直线 的函数表达式为 ．
【点睛】本题考查二次函数的应用，熟练掌握代入法求二次函数解析式，抛物线的性质，勾股定理，解直
角三角形，全等三角形的判定，轴对称的性质，代入法求一次函数解析式是解本题的关键．
12.（2023上海青浦二模）（本题满分12分，其中第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4
分）如图8，已知抛物线 经过点B(6，0)和C(0，3)，与x轴的另一个交点为点A．
（1）求抛物线的解析式及点A的坐标；
（2）将该抛物线向右平移m个单位（m>0），点C移到点D，点A移到点E，若∠DEC
=90∘
，求m
的值；
（3）在（2）的条件下，设新抛物线的顶点为G，新抛物线在对称轴右侧的部分与x轴交于点F, 求点
C到直线GF的距离．
y
C
A O B x
图8
解：（1）将B（6，0）、C（0，3）代入 ，得解得： ·······························································（2分）
所以， ． ············································································（1分）
当y=0时，x=6或x=－2．∴点A的坐标为（－2，0）································（1分）
（2）由平移得AC//DE，平移距离m=AE．
∴∠ACE=∠DEC=90°．······················································································（1分）
∵∠ACO+∠OCE=90°，∠ACO+∠CAO=90°．∴∠CAO=∠OCE
∴tan∠CAO=tan∠OCE．··················································································（1分）
在Rt△ACO中， ；在Rt△ECO中，
∴ ， ·······················································································（1分）
∴ ，即 ································································（1分）
（3）过点C作CH⊥GF，垂足为点H．
过点G作GP⊥x轴，垂足为点P．设直线GF与y轴交于点M．
原抛物线 向右平移 个单位，得到 ．
∴ ， ， ．····························································（1分）
，∴△GPF是等腰直角三角形，∠GFP=45°．························（1分）
在Rt△MOF中，∠OMF=∠OFM =45°， ．
∴ ．··············································································（1分）
在Rt△MCH中， ，
．·················································（1分）
答：点C到直线GF的距离是 .
13.（2023上海奉贤二模）（本题满分12分，每小题满分4分）
xOy y=−x2 +bx+3
如图9，在平面直角坐标系 中，抛物线 与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的表达式和对称轴；
（2）联结AC、BC，D为x轴上方抛物线上一点（与点C不重合），如果△ABD的面积与△ABC的面积
相等，求点D的坐标；
（3）设点P（m，4）（m >0），点E在抛物线的
对称轴上（点E在顶点上方），当∠APE=90°，
EP 5
=
AP 4
且 时，求点E的坐标．
y=−x2 +bx+3
解：（1）∵抛物线 与x轴交于点A（1，0），
∴代入得 ， 解得 ． ···················································（2分）
y=−x2 −2x+3
∴抛物线的表达式是 ．
该抛物线的对称轴是直线x=-1． ·······································································（2分）
y=−x2 −2x+3
（2）∵抛物线 与y轴交于点C，∴C（0，3）．·····················（1分）
∵△ABD的面积与△ABC的面积相等，
∴点C到x轴的距离等于点D到x轴的距离．
∴点C与点D关于抛物线的对称轴对称．··························································（2分）
∵点D在x轴上方的抛物线上，
∴点D的坐标（-2，3）．····················································································（1分）
（3）过点P作对称轴的垂线，垂足为点H，作x轴的垂线，垂足为点G．
∵∠APE=∠GPH=90°，∴∠EPH=∠APG．∵∠EHP=∠AGP=90°，∴△EHP∽△AGP．······························································（1分）
∴ ．
EP 5
=
AP 4
∵ ，GP=4，∴ ．············································································（1分）
∵点A到对称轴的距离是2，∴ ．
∴ ，∴E的纵坐标是 ．············································································（1分）
31
4
∴点E的坐标（-1， ）．························································································（1分）
14.（2023上海虹口二模）（本题满分12分，第（1）小题8分，第（2）小题4分）
在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 的顶点为A，与y轴相交于点B，
异于顶点A的点C（2，n）在该抛物线上．
（1）如图10，点B的坐标为（0，1）．
①求点A的坐标和n的值；
②将抛物线向上平移后的新抛物线与x轴的一个交点为D，顶点A移至点A ，如果四边形DCAA 为平
1 1
行四边形，求平移后新抛物线的表达式；
（2）直线AC与y轴相交于点E，如果BC∥AO且点B在线段OE上，求m的值．
y y
B
O x O x
C
A
图10 备用图
解：（1）① 根据题意，可得 ，
解得m=2.
∴抛物线的表达式是 .…………………………………………（2分）
∵ ∴点A（3，-8）…………………………………………（1分）
把点C（2，n）代入，得n= -7 ………………………………………………（1分）
② 点C（2，-7）由题意可得，DC∥AA ， A A’⊥ x轴
1
∴DC⊥x轴 ∴DC=7 ………………………………………………………（2分）
∵四边形DCAA’是平行四边形，
∴AA =DC=7 即抛物线向上平移7个单位…………………………………………（1分）
1
∴平移后的新抛物线的表达式 ……………………………………（1分）
（2）由题意可得C（2，-2m-3） 点B（0，2m-3）
∵
∴点A ………………………………………………………………（1分）
可得l ： ，l ：
BC OA
∵BC∥AO ∴ 解得 ……………………………（2分）
可得l ： ∴点E（0，-5）
AC
∵点B在线段OE上 ∴ ……………………………………………（1分）
15.（2023上海普陀二模）. (本题满分12分，第(1)小题满分4分，第(2) ①小题满分4分，第(2)②小题满
分4分)
在平面直角坐标系xOy中(如图10)，已知抛物线y=ax2 - 2x+c(a≠0)与x轴交于
点A(-1,0)和B(3,0)，与y轴交于点C。抛物线的顶点为点D.
(1)求抛物线的表达式，并写出点D的坐标;
(2)将直线BC绕点B顺时针旋转，交y轴于点E。此时旋转角∠EBC等于∠ABD .
①求点E的坐标;
②二次函数y=x2 + 2bx+b2-1的图像始终有一. 部分落在△ECB的内部，求实数b的取
值范围.16.（2023上海长宁二模）24．（本题满分12分，第（1）小题4分；第（2）小题6分；第（3）小题2
分）
已知抛物线 y=ax2 +2x+6 与x轴交于点A、点B（点A在点B的左侧，点B在原点 O 右侧），
与y轴交于点 C ，且 OB=OC .
（1）求抛物线的表达式.
（2）如图1，点D是抛物线上一点，直线 BD 恰好平分 ΔABC 的面积，求点D的坐标；
（3）如图2，点E坐标为 (0,−2) ，在抛物线上存在点P，满足∠OBP=2∠OBE ，请直接写出直线
BP
的表达式.
（ 图 1 ） （图2
