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2022 学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷初三数学试卷
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1. 下列互为倒数的是（ ）
A. 和 B. 和 C. 和 D. 和
【答案】A
【解析】
【分析】根据互为倒数的意义，找出乘积为1的两个数即可．
【详解】解：A．因为 ，所以3和 是互为倒数，因此选项符合题意；
B．因为 ，所以 与2不是互为倒数，因此选项不符合题意；
C．因为 ，所以3和 不是互为倒数，因此选项不符合题意；
D．因为 ，所以 和 不是互为倒数，因此选项不符合题意；
故选：A．
的
【点睛】本题考查了倒数，解题 关键是理解互为倒数的意义是正确判断的前提，掌握“乘积为1的两个
数互为倒数”．
2. 下列运算结果错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由同底数幂的除法运算可判断A，由幂的乘方运算可判断B，由同底数幂的乘法运算可判断C，
由合并同类项可判断D，从而可得答案．
【详解】解： ，故A不符合题意；
，故B不符合题意；
，故C不符合题意；
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学科网（北京）股份有限公司， 不是同类项，不能合并，故D符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查的是同底数幂的除法，负整数指数幂的含义，幂的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，
熟记幂的运算的运算法则是解本题的关键．
3. 如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点A、B对应的实数分别是a、b，下列结论一定
成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由数轴可得 ， ，再结合有理数的加法与减法法则及不等式的性质，绝对值的含
义逐一分析即可．
【详解】解：∵ ， ，故D不符合题意；
∴ ， ，故A，B不符合题意；
∵ ，
∴ ，故C符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查的是利用数轴比较实数的大小，有理数的加法与减法法则的应用，绝对值的含义，不等
式的性质，掌握基础知识是解本题的关键．
4. 如果点 、 、 在反比例函数 的图像上，那么（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】由题意可知函数的图象在二、四象限，由三点的横坐标可知 、 在第二象限，
在第四象限，根据反比例函数的增减性及各象限内点的坐标特点即可解答．
【详解】解：∵反比例函数解析式为 ，
∴反比例函数图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大，
∵点 、 、 在反比例函数 的图像上， ，
∴ ，
故选B．
【点睛】本题考查比较反比例函数值的大小，解题的关键是熟练掌握反比例函数 的性质：当
时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当 时，图象在二、四象限，在
每一象限内，y随x的增大而增大．
5. 某校足球社团有50名成员，下表是社团成员的年龄分布统计表，对于不同的m（m为0~14的整数），
下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（ ）
年龄（单位： 1
13 15 16 17
岁） 4
频数（单位： 1
12 m 9
名） 5
A. 平均数、中位数 B. 平均数、方差 C. 众数、中位数 D. 众数、方差
【答案】C
【解析】
【分析】分别求解平均数，众数与中位数，再根据方差受到平均数的影响，从而可得答案．
【详解】解：总人数为： 人，
平均数为：
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学科网（北京）股份有限公司，
∴ 变化，平均数变化，
∵50个数据，排在最中间的两个数据分别为第25个，第26个，都为14岁，
∴中位数为： ，
∴中位数不会变化；
∵ ，
∴出现次数最多的数据是14岁，则众数是14岁，
∴众数不会变化；
∵方差受到平均数的影响，平均数变化，
∴方差会变化，
故A，B，D不符合题意；C符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查的是平均数，众数，中位数，方差的含义与计算，理解题意，熟记概念是解本题的关键．
6. 如图，在梯形 中，已知 ， ， ， ， ，分别以 、
为直径作圆，这两圆的位置关系是（ ）
A. 内切 B. 外切 C. 相交 D. 外离
【答案】D
【解析】
【分析】先求出两圆的圆心距， 和 的一半为两圆的半径，利用半径之和和两圆的圆心距的大小关
系求解．
【详解】解：∵分别以 、 为直径作圆，
∴两圆的圆心分别是 、 的中点，
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学科网（北京）股份有限公司∴两圆心 的连线是梯形的中位线．
∵ ， ，
∴两圆的圆心距为 ，
∵ ， ，
∴两圆的半径分别为3和2，
∵ ，
∴两圆外离，
故选：D．
【点睛】本题考查了梯形的中位线，以及圆与圆的位置关系，解题的关键是分别求得两圆的圆心距和两圆
的半径．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7. 计算： ＝____.
【答案】2
【解析】
【分析】根据算术平方根的计算法则进行计算，即可得到答案.
【详解】 = ，故答案为2.
【点睛】本题考查求算术平方根，解题的关键是掌握求算术平方根的方法.
8. 已知f（x）＝ ，则 ＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】将x= 代入f（x）= ，再化简即可得．
详解】解：当x= 时， ，
【
故答案为： ．
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查了求函数值的能力，当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值．
9. 根据电影发行方的数据，电影《满江红》截至2023年3月17日，以4535000000元的票房高居春节档前
列，数据4535000000用科学记数法表示为______．
【答案】
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n为整数．确定n的值时，要看把
原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值 时，n是
正整数；当原数的绝对值 时，n是负整数．
【详解】解： ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，
n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
10. 方程组 的解是______．
【答案】 或 ．
【解析】
【分析】先把原方程组化为 或 ，再解二元一次方程组即可．
【详解】解：
由①得： ，
∴ 或 ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ 或 ，
解 可得： ，
解 可得： ，
∴原方程组的解为： 或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查的是二元二次方程组的解法，熟练的把二元二次方程组化为二元一次方程组是解本题的
关键．
11. 妈妈煮了4个汤圆，分别是2个花生味和2个芝麻味，小明随意吃两个恰好都是花生味的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】列表（用A，B表示花生味的汤圆，C，D表示芝麻味的汤圆）展示所有12种等可能的结果，找
出两个恰好都是花生味的结果数，然后根据概率公式计算．
【详解】解：如下表：用A，B表示花生味的汤圆，C，D表示芝麻味的汤圆
A B C D
A AB AC AD
B BA BC BD
C CA CB CD
D DA DB DC
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学科网（北京）股份有限公司共有12种等可能的结果，其中两个恰好都是花生味的结果数为2， 所以小明从中任意吃两个，恰好吃到
两个都是花生味汤圆的概率 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符
合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．
12. 关于x的方程 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，则 ，即可解
出m的范围．
【详解】解：关于x的方程 有两个不相等的实数根
．
【点睛】本题考查一元二次方程根的情况， ，方程有两个不相等的实数根； ，方程有两个相
等的实数根； ，方程没有实数根．
13. 如图，已知在 中，点D是边AC上一点，且 ．设 ， ，那么向量
______．（用 的形式表示，其中x、y为实数）
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】先求解 ， ，再根据 可得答案．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是平面向量的线性运算，熟练的掌握运算法则是解本题的关键．
14. 为了了解学生在家做家务情况，某校对部分学生进行抽样调查，并绘制了如图所示的频数分布直方图
（每组数据含最小值，不含最大值）．如果该校有1500名学生，估计该校平均每周做家务的时间少于2小
时的学生人数约是______人．
【答案】
【解析】
【分析】根据样本估计总体，用 乘以做家务的时间少于2小时的学生人数的占比即可求解．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：如果该校有1500名学生，估计该校平均每周做家务的时间少于2小时的学生人数约是
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了样本估计总体，频数分布直方图，熟练掌握样本估计总体是解题的关键．
15. 某公司产品的销售收入 元与销售量x吨的函数关系记为 ，销售成本 与销售量x的函数
关系记为 ，两个函数的图像如图所示．当销售收入与销售成本相等时，销售量x为______吨．
【答案】4
【解析】
【分析】分别求出 ， 的函数关系式，然后联立两关系式即可求出答案．
【详解】解：设 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
联立 ，解得 ，
∴当销售收入与销售成本相等时，销售量x为4吨，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，正确求出对应的函数关系式是解题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司16. 如图，已知 的内接正方形 ，点 是 的中点， 与边 交于点 ，那么
______．
【答案】
【解析】
【分析】连接 ，交 于点 ，连接 ，根据题意得出 ，设 ，则
，证明 ，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：如图所示，连接 ，交 于点 ，连接 ，
∵ 的内接正方形 ，
∴ 经过点 ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
∴
设 ，则
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学科网（北京）股份有限公司∴
∵ ,
∴
∵ ，
∴
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正多边形与圆，垂径定理，正方形的性质，相似三角形的性质，证明
是解题的关键．
17. 如图，抛物线 ： 与抛物线 ： 组成一个开口向上的“月牙线”，
抛物线 和抛物线 与x轴有着相同的交点A、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为C、D．如果
，那么抛物线 的表达式是______．
【答案】
【解析】
【分析】先求出A、B、C的坐标，设点D的坐标为 ，则 ，利用勾股定理结合
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学科网（北京）股份有限公司得到 ，解得 ，则 ，可设抛物线 的解析式为 ，
利用待定系数法求出 ．
【详解】解：在 中，令 ，则 ，
∴ ，
在 中，令 ，则 ，解得 或 ，
∴ ，
∴ ，
设点D的坐标为 ，则
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∵抛物线 经过A、B，
∴可设抛物线 的解析式为 ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司解得 ，
∴抛物线 的解析式为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，勾股定理，求二次函数与坐标轴的交点，正确求
出点D的坐标是解题的关键．
18. 如图，在直角坐标系中，已知点 、点 ， 的半径为5，点C是 上的动点，点P
是线段 的中点，那么 长的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】如图，在y轴上取一点 ，连接 ， ，由勾股定理求出 ，由三角形中位
线定理求 ，当C在线段 上时， 的长度最小值 ，当C在线段 延长线上时，
的长度最大值 ，即可求解．
【详解】解：如图，在y轴上取一点 ，连接 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵点P是 的中点，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
当C在线段 上时， 的长度最小值为： ，
当C在线段 延长线上时， 的长度最大值为： ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是圆外一点到圆上点距离的最值，三角形中位线定理，勾股定理等知识，添加恰当的
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学科网（北京）股份有限公司辅助线是解答本题的关键．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19. 先化简： ，然后从 、 、0、2、3中选一个数代入求值．
【答案】 ，当 时，原式
【解析】
【分析】先计算括号内分式的减法运算，再把除法运算化为乘法运算，约分后得到化简的结果，再选
或 代入求值即可．
【详解】解：
；
∵原分式有意义，则 ， ，
∴当 时，原式 .
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，分式有意义的条件，掌握分式的混合运算的运算法则与运算顺序
是解本题的关键．
20. 解不等式组：
【答案】
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找
不到确定不等式组的解集．
【详解】解：由 ，得： ，
由 ，得： ，
则不等式组的解集为 ．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小
取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
21. 如图， 分别是 边 上的高和中线，已知 ， ， ．
（1）求 的长；
（2）求 的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由 是 边 上的高得到 ，由 ， ，
得到 则 ，即可得到答案；
（2）过点E作 于点F，由 分别是 边 上的中线，得到 ，由
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学科网（北京）股份有限公司得到 ，勾股定理求出 ，再由勾股定理得到 ，即可得到
的值．
【小问1详解】
解：∵ 是 边 上的高，
∴ ，
∵ ， ，
∴
∵ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：过点E作 于点F，
∵ 分别是 边 上的中线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∵
∴
∴ ，
∴ .
【点睛】此题考查了解直角三角形、勾股定理等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．
22. 小明家的花洒的实景图及其侧面示意图分别如图1、图2所示，花洒安装在离地面高度 厘米的A处，
花洒 的长度为 厘米．
（1）已知花洒与墙面所成的角 ，求当花洒喷射出的水流 与花洒 成 的角时，水
流喷射到地面的位置点C与墙面的距离．（结果保留根号）
（2）某店铺代理销售这种花洒，上个月的销售额为 元，这个月由于店铺举行促销活动，每个花洒的
价格比上个月便宜 0元，因此比上个月多卖出8个的同时销售额也上涨了 元，求这个此款花洒的原
价是多少元？
【答案】（1）
（2）120元
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）过点A作AH⊥CD于点H，过点B作 于点E，构造出矩形ABHE， ，
然后解直角三角形求解，
（2）设此款花洒的原价是 元，根据比上个月多卖出8个的同时销售额也上涨了400元列分式方程即可求
解．
【小问1详解】
解：过点 作 ，垂足为点 ，过 作 ，垂足为点 ，
∴四边形 为矩形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
在 中，
，
，
∴ ，，
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学科网（北京）股份有限公司在 中， ，
∴流喷射到地面 的位置点C与墙面的距离 ，
【小问2详解】
设此款花洒的原价是 元，根据比上个月多卖出8个的同时销售额也上涨了400元，列方程得：
，
解得： ，
经检验： 是方程的解，
答：这个此款花洒的原价是120元．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用和分式方程的应用，熟记理解题意，明确每一个量的意义是解题
的关键．
23. 如图，已知 是 的外接圆，连接 并延长交边 于点D，连接 ，且
．
（1）求证： ；
（2）当 时，过点A作边 的平行线，交 于点E，连接 交 于点F．请画出相应的
图形，并证明： ．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）先证明 ，再证明 ，如图，延长 交 于 ，结合垂
径定理与等腰三角形的判定可得结论；
（2）如图，补全图形如下：结合（1）设 ，再证明 ，
， ，可得 ，结合相似三角形的性质可得结论．
【小问1详解】
证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
如图，延长 交 于 ，
∴ ，
∴ ，
∴结合三角形的内角和定理可得： ，
∴ ．
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司如图，补全图形如下：结合（1）设 ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，而 ，
∴ ，
∴ ，而 ，
∴ ．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的判定与性质，
垂径定理的应用，熟练的证明三角形相似是解本题的关键．
24. 如图，已知抛物线 经过点 ，与x轴交于点B、 ．
（1）求抛物线的顶点M的坐标；
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学科网（北京）股份有限公司（2）点E在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将 沿直线BE翻折，如果点C的对应点F恰好
落在抛物线的对称轴上，求点E的坐标；
（3）点P在抛物线的对称轴上，点Q是抛物线上位于第四象限内的点，当 为等边三角形时，求直
线 的表达式．
【答案】（1） ，顶点坐标为： ．
（2）点E的坐标为 ；
（3）直线 的函数表达式为 ．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解抛物线的解析式，再化为顶点式，即可得到顶点坐标；
（2）先求解抛物线与x轴交于 ， ， 可得 ，抛物线的对称轴为直线 ， 设抛
物线的对称轴与x轴交于点H，则H点的坐标为 ， ， 由翻折得 ， 由勾股定
理，得 ， 求解 ， 由翻折得 ， 再利用
三角函数可得答案；
（3）连接 ， 证明 为等边三角形， 证明 ， 可得 ，
设 与x轴相交于点K， 可得点K的坐标为 ．再利用待定系数法求解函数解析式即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线 经过点 ，与x轴交于点B、 ．
∴ ，解得： ，
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学科网（北京）股份有限公司∴抛物线为： ，
∴顶点坐标为： ．
【小问2详解】
如图，令 ，
解得： ， ，
∵抛物线与x轴交于 ， ，
∴ ，抛物线的对称轴为直线 ，
设抛物线的对称轴与x轴交于点H，则H点的坐标为 ， ，
由翻折得 ，
由勾股定理，得 ，
∴点F的坐标为 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
由翻折得 ，
∴ ，
∴点E的坐标为 ；
【小问3详解】
连接 ，
∵ ， ， 则 为等边三角形，
∵ ， 为等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为等边三角形， ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
设 与x轴相交于点K，
∴ ．
∴点K的坐标为 ．
设直线 的函数表达式为 ， 则 ， 解得 ，
∴直线 的函数表达式为 ．
【点睛】本题考查二次函数的应用，熟练掌握代入法求二次函数解析式，抛物线的性质，勾股定理，解直
角三角形，全等三角形的判定，轴对称的性质，代入法求一次函数解析式是解本题的关键．
25. 已知：如图1，四边形ABCD中， ， ．
（1）求证：四边形ABCD是等腰梯形；
（2）边CD的垂直平分线EF交CD于点E，交对角线AC于点P，交射线AB于点F．
的
①当 时，设AD长为x，试用x表示AC 长；
②当 时，求 的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）① ；② ．
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】（1）如图，过 作 于 ，过 作 于 ，证明 ，再证明
，从而可得答案；
（2）①如图，连接 ，延长 交 于 ，证明 ，可得 ，再证明四边形
为平行四边形， ，可得 ， ， ，即
，可得 ，即 ， 重合，再建立方程求解即可；②当 时，则 在
线段 的延长线上，如图，延长 交 于 ，连接 ，证明四边形 是菱形，
，设 ， ， ，则 ， 由 ，可得
，过 作 ，交 的延长线于 ，证明 ， ，
可 得 ， ， 证 明 ， 可 得 ，
，再建立方程求解即可．
【小问1详解】
证明；如图，过 作 于 ，过 作 于 ，
∴ ，
∵ ， ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 为矩形，
∴ ，
∵ ， ， 不平行，
∴四边形 为等腰梯形．
【小问2详解】
①如图，连接 ，延长 交 于 ，
∵ 是 的垂直平分线，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，而 ，
∴ ，
第29页/共33页
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，而 ，
∴四边形 为平行四边形， ，
∴ ， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，而 ，
∴ ，即 ， 重合，
∴ 即 ，
解得： （负根舍去）．
②当 时，则 在线段 的延长线上，如图，延长 交 于 ，连接 ，
∵ 是 的垂直平分线，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，而 ，
∴四边形 是平行四边形，
第30页/共33页
学科网（北京）股份有限公司由线段垂直平分线的性质可得 ，
∴四边形 是菱形， ，
设 ， ， ，则 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
过 作 ，交 的延长线于 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，等腰梯形 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
第31页/共33页
学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ， （使 ，不合题意舍去），
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查的是等腰梯形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，全
等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，难度大，计算量大，属于压轴
题．
第32页/共33页
学科网（北京）股份有限公司第33页/共33页
学科网（北京）股份有限公司
